Ekvivalens konverzió

A matematika , ekvivalencia transzformáció ( Latin aequus = egyenlő; Valér = hogy érdemes) leír egy transzformációs egyenlet vagy egyenlőtlenség levelek az igazság érték változatlan ( logikai ekvivalencia ). Az átalakított logikai utasítás tehát ugyanazon változó hozzárendelésre igaz , mint az eredeti utasítás. Az egyenértékűség-transzformációk az elsődleges módszerek az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására .

Ahhoz, hogy az átalakítás egyenértékű legyen, a következőket kell alkalmazni:

• Van egy fordított transzformáció (inverz művelet), amely felhasználható az átalakítás visszavonására.
• Az egyenlet vagy egyenlőtlenség megoldási halmaza változatlan marad.

Az ekvivalencia-konverziókat általában valós számok térében hajtják végre, mivel ott a számtér nem korlátozott sem felfelé, sem lefelé.

Az ekvivalencia-konverzió mindig átalakítja az egyenlet vagy az egyenlőtlenség mindkét oldalát. Ha csak az egyik oldal átírása történik, akkor ez helyette átírási kifejezés .

Az egyenletek ekvivalencia transzformációi

A következő átalakítások megengedettek az egyenleteknél:

• A kifejezés hozzáadása
• Vonjon le egy kifejezést
• Szorzás 0-tól eltérő kifejezéssel
• Osztás 0-tól eltérő kifejezéssel
• Injekciós funkció használata

Összeadás és kivonás

Az ekvivalencia-konverzió például egy kifejezés összeadása vagy kivonása mindkét oldalon. Vonjunk le az egyenletből

${\ displaystyle x + 5 = 7}$

az 5-ös szám (mindkét oldal számának kivonásával) megadja az egyenletet

${\ displaystyle (x + 5) -5 = (7) -5}$

és végül a két oldal egyszerűsítésével

${\ displaystyle x = 2}$.

Szorzás és osztás

A kifejezés szorzata vagy osztása az egyenlet mindkét oldalán, amennyiben az nem egyenlő 0-val, szintén egyenértékű konverzió.

Meg kell jegyezni, hogy a nullával való szorzás vagy a nullával való osztás gyakran rejtett; például a szorzás nem egyenértékű konverzió, mivel ez a szorzó nulla lehet ebben az esetben . Azonban lehet az eset elemzése , annak érdekében, hogy a szorzás vagy osztás nullával nem zajlik: az esetekben, amikor a szorzó, vagy osztó nulla, meg kell vizsgálni külön; egyébként az átalakított állítások csak ekvivalensek egymással egy megfelelő kiegészítő követelmény alapján (azaz nem általában). ${\ displaystyle x-1}$${\ displaystyle x = 1}$

Az állítólagos ekvivalencia transzformáció 0-val való osztása a matematikai tévedés jól ismert példája .

Injekciós funkció használata

Az összeadás, kivonás, szorzás és osztás útján történő transzformáció általánosítható, például a műveletet függvénynek tekintve . ${\ displaystyle {} +3}$${\ displaystyle t \ mapsto t + 3}$

Egy ilyen függvénynek balra megfordíthatónak kell lennie, vagyis van egy inverz függvénye egy függvénynek , tehát . Az ilyen funkciókat injekciósnak nevezzük . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g (f (x)) = x}$

Ellenpélda: négyzet

A valós számtérben a négyzetre szabás nem egyenértékű transzformáció. A négyzet olyan funkció, amely a valós számok teljes terét leképezi a nem negatív valós számok terébe. Ennek fordított művelete , a gyökér kivonása nem egyedi, mert két különböző valós megoldás létezik, nevezetesen és . A teljes valós szám négyzetének nincs bal oldali inverz funkciója. ${\ displaystyle x ^ {2} = 4}$${\ displaystyle x = + 2}$${\ displaystyle x = -2}$

Ha valaki korlátozza az egyenlet két oldalának számtartományát oly módon, hogy azok vagy vagy , akkor a gyökerek kivonása ezen a korlátozott számtartományon egyértelmű. ${\ displaystyle {} \ geq 0}$${\ displaystyle {} \ leq 0}$

Például feltételezve, hogy az egyenletek és ekvivalensek. ${\ displaystyle x \ leq 0}$${\ displaystyle x ^ {2} = 4}$${\ displaystyle x = -2}$

Másrészt feltételezve, hogy az egyenletek és ekvivalensek. ${\ displaystyle x \ geq 0}$${\ displaystyle x ^ {2} = 4}$${\ displaystyle x = + 2}$

A fenti két példában két szerepben utazik. Egyrészt ez az egyetlen ismeretlen az egyenletben, másrészt az egyenlet teljes bal oldala. Az inverz függvény argumentum mindig az egyenlet mindkét oldalát megcélozza, az ismeretleneket nem. ${\ displaystyle x}$

Például , ha az egyenlet igen , akkor a számok tartományát korlátozni kell, hogy a kifejezés vagy mindig, vagy mindig . ${\ displaystyle (x-5) ^ {2} = 9}$${\ displaystyle x-5}$${\ displaystyle {} \ geq 0}$${\ displaystyle {} \ leq 0}$

Az egyenlőtlenségek ekvivalencia transzformációi

Egyenlőtlenségek esetén be kell tartani az inverzió törvényét, miszerint a sorrendviszony negatív számmal megszorozva vagy elosztva megváltoztatja az irányt. Például szorozzuk meg az egyenlőtlenséget

${\ displaystyle x> y \!}$

−5 értékkel az ember ekvivalens egyenlőtlenséget kap

${\ displaystyle -5x <-5y \!}$.

A −5-gyel való osztás ismét az eredeti egyenlőtlenséget eredményezi.

Általánosságban elmondható, hogy a szigorúan monoton funkció alkalmazása az egyenlőtlenség mindkét oldalára ekvivalencia transzformáció; szigorúan monoton növekvő függvények esetén a rendkapcsolat iránya megmarad; szigorúan monoton csökkenő függvények esetén a sorrendváltozás irányt változtat. A fenti −5 szorzás fenti példája mindkét oldalon megfelel a szigorúan monoton csökkenő függvény alkalmazásának . ${\ displaystyle t \ mapsto -5t}$

Ha egy egyenlőtlenséget megszoroz egy olyan számmal, amelynek a jele nem ismert, esetkülönbségre van szükség. Például szeretné az egyenlőtlenséget

${\ displaystyle {\ frac {x + 3} {x-2}} <2}$

szeretnek szorozni, de nem tudni, hogy igaz- e vagy sem (az esetet ki kell zárni, mivel ekkor az egyenlőtlenség bal oldalát nem is definiálnák). Ha igaz, akkor az ellene indított ügyet eredményezi . Így az adott egyenlőtlenség összességében ekvivalens ${\ displaystyle x-2}$${\ displaystyle x> 2}$${\ displaystyle x <2}$${\ displaystyle x = 2}$${\ displaystyle x> 2}$${\ displaystyle x + 3 <2x-4}$${\ displaystyle x <2}$${\ displaystyle x + 3> 2x-4}$

${\ displaystyle (x> 2 {\ text {és}} x + 3 <2x-4) {\ text {vagy}} (x <2 {\ text {és}} x + 3> 2x-4)}$

ezt is

${\ displaystyle (x> 2 {\ text {és}} 7 <x) {\ text {vagy}} (x <2 {\ text {és}} 7> x).}$

összességében

${\ displaystyle x <2 {\ text {or}} x> 7.}$

Ahelyett, hogy a logikai kombinációkkal együtt foglalkoznánk az ekvivalencia vonatkozásában, ahogy ez a jelen esetben történik, szokás az eseteket egymás után és külön feldolgozni, és a végén összefoglalni.

jelölés

Az ekvivalencia transzformációkat általában an ekvivalencia nyíllal jelölik (Unicode U + 21D4). A fenti példára alkalmazva:

${\ displaystyle x + 5 = 7 \ Balra mutató nyíl x = 2 \!}$

A transzformációs művelet ábrázolása: Különösen az iskolai matematikában az egyenértékűség-transzformációkat gyakran egy függőleges vonallal mutatjuk be az (in) egyenlet után, hogy melyik műveletet kell alkalmazni a következő (mindkét) egyenlet mindkét oldalán. A fenti példákat ezután formában írjuk

${\ displaystyle x + 5 = 7 \; \; \; \; \; \; \; \; | -5}$

${\ displaystyle x = 2 \;}$

vagy.

${\ displaystyle x> y \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; | \ cdot (-5)}$

${\ displaystyle -5x <-5y \;}$.

web Linkek

• Egyenértékű átalakulás - Bevezetés a hallgatóknak (videó)