Terület

Fizikai méret
Vezetéknév Felszíni
terület
keresztmetszeti területe
Képlet szimbólum (terület)
Származó hossz
Méret és
egységrendszer
Mértékegység dimenzió
SI m 2 L 2
cgs cm 2 L 2
Planck Planck felület ħ · G · c −3
A kockás alapon lévő három figura területeinek összege megközelítőleg 15,57 négyzet

A terület egy terület nagyságának mértékegysége . A felület alatt kétdimenziós szerkezeteket értünk , vagyis azokat, amelyekben két független irányban lehet mozogni. Ez magában foglalja a lapos geometria szokásos alakjait , például téglalapokat , sokszögeket , köröket , de a háromdimenziós testek határfelületeit is, például kockákat , gömböket , hengereket stb. Ezek a felületek sok alkalmazáshoz elegendőek, gyakran összetettebb felületek is készíthetők vagy azok által közelített .

A felület fontos szerepet játszik a matematikában, sok fizikai mennyiség meghatározásában, de a mindennapi életben is. Például a nyomást úgy határozzák meg, mint egy területre ható erőt, vagy egy vezetőhurok mágneses momentumát, mint az áramot és a körülötte lévő területet. Az ingatlanok és a lakások mérete összehasonlítható a terület megadásával. Az anyagfelhasználás, például a vetőmag vetőmagja vagy a festék egy terület festéséhez, a terület segítségével becsülhető meg.

A terület normalizált, abban az értelemben, hogy az egység négyzet , azaz az 1 oldalhosszúságú négyzet 1 területe; Kifejezve a mértékegységeket , egy tér oldalán hossza 1 m van egy  területe 1  m 2 . Annak érdekében, hogy a felületek összehasonlíthatók legyenek területeik tekintetében, követelni kell, hogy az egybevágó területek azonos területtel rendelkezzenek, és hogy a kombinált területek területe a részterületek tartalmának összege legyen.

A felületek off -off mérése nem a szabály szerint történik. Ehelyett bizonyos hosszúságokat mérnek, amelyekből a területet kiszámítják. Egy téglalap vagy gömbfelület területének méréséhez általában meg kell mérni a téglalap oldalainak hosszát vagy a gömb átmérőjét, és a kívánt területet az alább felsorolt ​​geometriai képletekkel kell elérni.

Néhány geometriai alakzat területe

Az alábbi táblázat felsorol néhány síkgeometriai ábrát , valamint a területük kiszámítására szolgáló képleteket.

Ábra / objektum Terület Megnevezések
négyzet Square-a-tab.svg
téglalap Téglalap-tab.svg
háromszög Triangle-gh.svg
Trapéz Trapezoid-abcdh-tab.svg
Rombusz Hash-d1d2-tab.svg
paralelogramma Parallelog-aha-tab.svg
regul. hatszög Hexagon-a-tab.svg
kör Kör-r-tab.svg
ellipszis Ellipse-ab-tab.svg
integrál Váza-f-fx-tab.svg
Leibniz képlet Leibniz-f-tab.svg

A sokszög területének meghatározásához háromszögelheti azt, azaz háromszögre bonthatja az átlók húzásával, majd meghatározza a háromszögek területét, és végül hozzáadja ezeket a részterületeket. Ismertek -e a koordináták , a sokszög csúcsai egy derékszögű koordináta -rendszerben , és kiszámítják a területet a Gauss -trapéz szabály szerint:

Az indexekre az alábbiak vonatkoznak: az is és a with jelentése . Pozitív az összeg, ha a sarokpontokat a koordinátarendszer forgásirányának megfelelően haladják meg. Negatív eredmény esetén előfordulhat, hogy ki kell választani az összeget . A Pick -tétel különösen olyan sokszögű felületeknél használható, ahol rácspontok vannak sarkokként . Más területek általában könnyen közelíthetők sokszögek használatával, így könnyen hozzávetőleges értéket lehet kapni.

Néhány felület kiszámítása

Íme néhány tipikus képlet a felületek kiszámításához:

Ábra / objektum felület Megnevezések
dobókocka Dice-1-tab.svg
Kocka alakú Cuboid-1-tab.svg
Tetraéder Tetraéder-a-tab.svg
Gömb
( gömbfelület )
Ball-1-tab.svg
henger Henger-1-fül
kúp Cone-1-tab.svg
Torus Torus-1-tab.svg
A forradalom felszíne

(Forgatás az x tengely körül)

Váza-1-tab.svg

Az ilyen felületek meghatározásának tipikus eljárása az úgynevezett "gördülés" vagy "lecsévélés" a síkban, vagyis az ember megpróbálja feltérképezni a felületet a síkban úgy, hogy a felület megmaradjon, majd meghatározza a a kapott síkok területe ábra. Ez azonban nem minden felülettel működik, amint azt a gömb példája is mutatja. Az ilyen felületek meghatározásához a labda példájában alkalmazott elemzési módszerek a forgó felületek használatáról szólhatnak . Gyakran Guldin első szabálya is gyors sikerhez vezet, például a tórusznál.

Integrált számítás

A görbe alatti terület a a a b közelítjük téglalapok

Az integrálszámítást többek között azért alakították ki, hogy meghatározzák a görbék alatti területeket, azaz függvénygráfok alatt . Az ötlet az, hogy a görbe és a tengely közötti területet közelítsük egy keskeny téglalap sorozatával, majd hagyjuk, hogy e téglalapok szélessége megközelítse a 0 -t egy határfolyamat során. Ennek a határnak a konvergenciája az alkalmazott görbétől függ. Ha a korlátozott területet, például a görbét egy korlátozott intervallumon keresztül nézzük, mint a szomszédos rajzon, az elemzési tételek azt mutatják, hogy a görbe folytonossága elegendő a határfolyamat konvergenciájának biztosításához. A jelenség az, hogy a tengely alatti területek negatívvá válnak, ami nem kívánatos lehet a területek meghatározásakor. Ha ezt el akarja kerülni, akkor át kell mennie a függvény mennyiségére .

Gauss -harang görbe

Ha szeretné az intervallumhatárokat és megengedi, először meghatároztuk a véges korlátokhoz tartozó területeket, és az imént leírtak szerint, majd távozunk egy további határfolyamatban , vagy keressük mindkettőt. Itt előfordulhat, hogy ez a határfolyamat nem konvergál, például olyan oszcilláló függvények esetében, mint a szinuszfüggvény . Ha csak olyan függvényekre korlátozza magát, amelyeknek a függvénygrafikája a felső fősíkban van, akkor ezek az oszcillációs hatások már nem fordulhatnak elő, de előfordul, hogy a görbe és a tengely közötti terület végtelen lesz. Mivel a teljes terület végtelen kiterjedésű, ez még hihető és végső soron szintén elvárt eredmény. Ha azonban a görbe a 0 -tól távol eső pontokhoz kellően gyorsan megközelíti az -axis -t, akkor előfordulhat, hogy egy végtelenül kiterjesztett területnek is van véges területe. Jól ismert példa, amely fontos a valószínűségelmélet szempontjából , a Gauss-haranggörbe közötti terület

és a tengely. Annak ellenére, hogy a terület tól -ig terjed, a terület 1.

Amikor további területeket próbálunk kiszámítani, például szakaszos görbék alatt is, végül felmerül a kérdés, hogy a síkban mennyi mennyiségnek kell egyáltalán értelmes területet adni. Ez a kérdés nehéznek bizonyul, amint azt a dimenzióproblémáról szóló cikk is ismerteti . Kiderült, hogy az itt használt intuitív területfogalmat nem lehet értelmesen kiterjeszteni a sík minden részhalmazára.

Differenciálgeometria

A differenciál geometria , a terület egy sík vagy ívelt felülete van számítjuk koordináták használata , mint egy területet integrál:

A terület elem az intervallum szélességének felel meg az egydimenziós integrálszámításban . Ott van az érintők területe a paralelogrammán átívelő koordinátákhoz , oldalakkal és tovább. A felületi elem a koordináta -rendszertől és a felület Gauss -görbületétől függ .

A terület elem derékszögű koordinátákban van . A gömbfelületen a sugár és a hossz és a szélesség a koordináta -paraméterek szerint érvényesek . A gömb ( ) felszínén megkapjuk a területet:

A terület elemének kiszámításához nem feltétlenül szükséges a térbeli tér térbeli helyzetének ismerete. A felületi elem csak olyan méretekből származtatható, amelyek a felületen belül mérhetők, és így számítanak a felület belső geometriájába . Ez az oka annak is, hogy a (fejleszthető) felület területe nem változik, amikor kifejlődik, és ezért síkba fejlődve meghatározható.

Felületek a fizikában

A felületek természetesen a fizikában mérhető mennyiségként is megjelennek. A területeket általában közvetett módon mérik a fenti képletek segítségével. A felületek jellemző méretei:

Terület mint vektor

Gyakran a felülethez egy olyan irányt is rendelnek, amely merőleges a felszínre, ami a felületet vektorrá teszi, és orientációt ad a merőleges irány két lehetséges választása miatt . A vektor hossza a terület mértéke. Abban az esetben, egy paralelogramma határolt vektorokkal és , ez a vektor termék

.

Ha vannak felületek, akkor általában a normál vektormezőt kell használni annak érdekében, hogy minden ponton lokálisan irányt lehessen rendelni hozzájuk. Ez vezet a fluxus mennyiségek meghatározása a a skalár szorzata a vektor mező és a területen (például egy vektort). Az áramot az áramsűrűségből kell kiszámítani a szerint

,

ahol az integrálban a skaláris szorzat

alakult. Az ilyen integrálok értékeléséhez hasznosak a felületek kiszámítására szolgáló képletek.

A fizikában vannak olyan területméretek is, amelyeket ténylegesen kísérletileg határoznak meg, például a szórt keresztmetszetek . Ez azon az elképzelésen alapul, hogy egy részecskeáram egy szilárd célpontot, az úgynevezett célpontot ér el, és a részecskeáram részecskéi bizonyos valószínűséggel a célszemcséket érik el. A makroszkóposan mért szórási viselkedés ezután lehetővé teszi a következtetések levonását azokról a keresztmetszeti területekről, amelyeket a célszemcsék az áramló részecskékhez tartanak. Az így meghatározott méret egy terület mérete. Mivel a szórási viselkedés nemcsak a geometriai paraméterektől függ, hanem a szórási partnerek közötti egyéb kölcsönhatásoktól is, a mért terület nem mindig egyenlő egyenlő a szórási partnerek geometriai keresztmetszetével. Ezután általánosabban beszélünk a keresztmetszetről , amelynek szintén van egy területének mérete.

Területszámítás a földmérésben

Általában a földterület, a földrészek, az országok vagy más területek nem határozhatók meg az egyszerű geometriai ábrák képleteivel. Az ilyen területek kiszámíthatók grafikailag, félig grafikusan, a mező méreteiből vagy a koordinátákból.

A grafikus folyamathoz rendelkezésre kell állnia a terület leképezésének. Azokat a területeket, amelyek határait sokszög alkotja, háromszögekre vagy trapézokra lehet bontani, amelyek alapvonalait és magasságát mérik. Ezekből a mérésekből kiszámítják a részterületek területét és végül a teljes terület területét. A félig grafikus területszámítást akkor használjuk, ha a területet szűk háromszögekre lehet bontani, amelyek rövid alapoldalát pontosan megmérték a mezőben. Mivel a relatív hibája a területen döntően a relatív hiba rövid bázis oldalán, mérjük a bázis oldali területén helyett a térképen növeli a pontosságot a terület, mint a tisztán grafikus módszerrel.

A szabálytalan felületek rögzítése négyzet alakú üveglap segítségével lehetséges. Ennek az alsó oldalán négyzetrács van, amelynek oldalhossza ismert (pl. 1 milliméter). A táblát a feltérképezett területre helyezzük, és a területet a területen belüli négyzetek megszámlálásával határozzuk meg.

Hosszú felületekhez síkmérő hárfa használható. Ez egy párhuzamos vonalakkal rendelkező papírlapból áll, amelyek egyenletes távolsága ismert. A síkmérő hárfát úgy kell a felületre helyezni, hogy a vonalak megközelítőleg merőlegesek legyenek a felület hosszirányára. Ez trapézokra osztja a területet, amelyek középvonalait pár elválasztóval egészítik ki . A terület a középvonalak hosszának és a sortávolságnak az összegéből számítható ki.

Poláris planiméter, jobb oldalon a vezetőtoll nagyítóval, bal oldalon a görgő számlálóval, a mérés során rögzített pólus tetején

A síkmérő , egy mechanikus integrációs műszer , különösen alkalmas görbületi szegéllyel rendelkező területek felületének meghatározására. A határt a síkmérő tollal kell átlépni. Amikor a környéken halad, egy görgő forog, és a görgő forgása és a terület mérete leolvasható mechanikus vagy elektronikus számlálón. A pontosság attól függ, hogy a kezelő milyen pontosan halad a terület szélén a vezetőtollal. Minél kisebb a kerülete a területhez képest, annál pontosabb az eredmény.

A területméretből származó területszámítást akkor lehet használni, ha a területet háromszögekre és trapézokra lehet bontani, és a terület kiszámításához szükséges távolságokat a területen mérik. Ha a felület sarokpontjait ortogonális módszerrel mérési vonalra szögezték , akkor a felület kiszámítható a Gauss -féle trapéz képlet segítségével is.

Ma a területeket gyakran koordináták alapján számítják ki. Ez lehet például az ingatlankataszter határvonalainak koordinátái vagy egy terület sarokpontjai egy földrajzi információs rendszerben . A sarokpontokat gyakran egyenesek, esetenként ívek kötik össze. Ezért a terület kiszámítható a Gauss -féle trapéz képlet segítségével. Körívek esetén figyelembe kell venni a kör alakú szegmenseket a sokszög oldala és a körív között. Ha egy szabálytalanabb terület tartalmát földrajzi információs rendszerben kell meghatározni, akkor a területet rövid oldalhosszú sokszöggel lehet közelíteni.

Lásd még

Egyéni bizonyíték

  1. Heribert Kahmen: Földmérő én . Walter de Gruyter, Berlin 1988.

web Linkek

Wikiszótár: terület  - jelentések magyarázata, szó eredete, szinonimák, fordítások