Sebességpotenciál

A sebesség potenciál kerül bevezetésre örvény-mentes , két- és háromdimenziós áramlás a folyadék dinamika . Ezzel a számítások leegyszerűsödnek, és mélyebb matematikai-fizikai megértést nyer. A folyadékdinamika sebességpotenciálja matematikailag megfelel az elektrosztatikus vagy a gravitációs potenciálnak . ${\ displaystyle \ phi}$

Ez a cikk a kétdimenziós esettel foglalkozik - a háromdimenziós esetet a Potenciális áramlás cikk mutatja be .

Az egyenlet megoldása megadja az áramlásmező potenciálvonalait . ${\ displaystyle \ phi (x, y) = {\ text {const.}}}$

Ezen túlmenően, a jelenlegi funkció be , a tiszta amelyek jelentése, hogy a egyenlet megoldásai jelentik a áramvonalak az a sebesség potenciál. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi (x, y) = {\ text {const.}}}$

A komplex sebességpotenciál a sebességpotenciálból és az aktuális funkcióból alakul ki .

Alapok

Örvény nélküli kétdimenziós áramlási mező esetén a forgatás egyenlő 0-val: ${\ displaystyle {\ vec {u}} (x, y)}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {u}} (x, y) = 0}$

Az elektrosztatikus potenciál esetéhez hasonlóan most bevezetjük a sebességpotenciált is . Ennek a potenciálnak a gradiense pontosan az áramlási mező: ${\ displaystyle \ phi (x, y)}$

${\ displaystyle {\ vec {u}} (x, y) = {\ vec {\ nabla}} \ phi (x, y) = \ balra ({\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x}} , {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y}} \ jobbra}}$

Emiatt a folyamatmező automatikusan örvénymentes. ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {\ nabla}} \ phi (x, y) = 0}$

Ezenkívül a folytonossági egyenlet a sebesség mezőre is vonatkozik összenyomhatatlan áramlás esetén :

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} (x, y) = 0}$

Ha beillesztjük a sebességpotenciál meghatározását, láthatjuk, hogy a Laplace-egyenlet (mint a Poisson-egyenlet speciális esete ) kielégíti: ${\ displaystyle \ phi (x, y)}$

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} (x, y) = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ phi (x, y ) = \ Delta \ phi (x, y) = 0}$

Az aktuális funkció

A sebességpotenciált úgy vezették be, hogy az örvényektől való mentesség automatikusan megvalósuljon. A folytonossági egyenlet vagy a Laplace-egyenlet teljesítését azonban kifejezetten meg kellett követelni. ${\ displaystyle \ phi (x, y)}$

Most bemutatjuk az aktuális függvényt , amelyet a következők határoznak meg: ${\ displaystyle \ psi (x, y)}$

${\ displaystyle {\ vec {u}} = \ balra ({\ frac {\ partis \ psi} {\ részleges y}}, - {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges x}} \ jobbra)}$

Ebből a definícióból látható, hogy a folytonossági egyenlet automatikusan teljesül:

${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} \ psi} {\ részleges x \ cdot \ részleges y}} - {\ frac { \ részleges ^ {2} \ psi} {\ részleges y \ cdot \ részleges x}} = 0}$

Mindazonáltal kifejezetten meg kell követelni a forgás szabadságát:

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges u_ {y}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ részleges u_ {x}} {\ részleges y}} = {\ frac {\ részleges ^ {2} \ psi} {\ részleges x ^ {2}}} + {\ frac {\ részleges ^ {2} \ psi} {\ részleges y ^ {2}}} = 0}$

Az aktuális függvény örvény nélküli áramlásokban is teljesíti a Laplace-egyenletet.

Komplex sebességpotenciál

A sebességpotenciál és az áramfüggvény meghatározásával kapjuk: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges x}} = {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges y}} \ quad \ ék \ quad u_ {y} = {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y}} = - {\ frac {\ részleges \ psi} {\ részleges x}}}$

Ez pontosan az a formáját a Cauchy-Riemann differenciálegyenletek egy Holomorf funkciót , egy valós része és egy képzetes része . Így bemutatjuk az összetett sebességpotenciált : ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle w (z)}$

${\ displaystyle w (z) = \ phi (z) + i \ cdot \ psi (z) \ quad {\ textrm {with}} \ quad z = x + i \ cdot y}$

A komplex sebességpotenciál így teljesíti a Laplace-egyenletet is:

${\ displaystyle \ Delta w (z) = \ Delta \ phi (z) + i \ cdot \ Delta \ psi (z) = 0}$

irodalom

• Ralf Greve: Continuum Mechanics . Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1 . 
• M. Bestehorn: hidrodinamika és szerkezetképzés . Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6 .