Végtelen kis szám

A matematikában a pozitív végtelen kis szám olyan objektum, amely a valós számok sorrendjét tekintve nagyobb, mint nulla , de kisebb, mint bármelyik pozitív valós szám, legyen az bármilyen kicsi is.

jellemzők

Nyilvánvalóan nincsenek végtelen számok a valós számok között, amelyek megfelelnek ennek a követelménynek, mert egy ilyen végtelennek teljesítenie kellene a feltételt , mivel létezik pozitív valós szám is. Annak érdekében, hogy továbbra is meg lehessen határozni az ilyen végteleneket , vagy meg kell gyengíteni a fenti követelményt, vagy a valós számokat be kell ágyazni egy nagyobb, rendezett mezőbe , amelyben akkor van hely ilyen további elemek számára. Ez utóbbi az algebrai végtelenek meghatározásának módja (Coste, Roy, Pollack), valamint a nem szabványos elemzés (NSA) (Robinson, Nelson) módszere is. ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0 <x <{\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$

A végtelen kicsinek megvan az a tulajdonsága, hogy ennek a számnak a végesen sok (NSA-ban: standard végesen sok) kifejezésének összege kevesebb, mint 1: ${\ displaystyle x \ neq 0}$

${\ displaystyle | x | + \ dotsb + | x | <1}$ tetszőleges számú nyárra.

Ebben az esetben nagyobb, mint bármely pozitív valós (az NSA-ban: standard valós) szám. Az algebrai végtelenek esetében ez azt jelenti, hogy a társított mező kiterjesztés nem archimédészi . ${\ displaystyle | 1 / x |}$

számítás

Az első matematikus, aki ilyen számokat használt, vitathatatlanul Archimédész volt , bár nem hitt ezek létezésében .

Newton és Leibniz a végtelen kis számokat használja a végtelen kis számítás (differenciális és integrális számítás) kiszámításához.

Jellemzően azzal érveltek (valójában csak Newton, Leibniz monádokat használ , ma nagyjából: befejezett vagy formális hatványsorok ):

A függvény deriváltjának megkereséséhez feltételezzük, hogy ez végtelenül kicsi. Azután ${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle f \ kettőspont \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {f (x + \ mathrm {d} x) -f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {x ^ {2} + 2x \ cdot \ mathrm {d} x + \ left (\ mathrm {d} x \ right) ^ {2} -x ^ {2}} {\ mathrm {d} x}} = 2x + \ mathrm {d} x = 2x,}$

mert végtelenül kicsi. ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Bár ez az érvelés intuitív és helyes eredményeket ad, matematikailag nem pontos: Az alapprobléma az, hogy kezdetben nem nullának tekintjük (az egyik osztja a következővel ), de az utolsó lépésben nullával egyenlőnek tekintjük. A végtelenül kis számok használatát George Berkeley bírálta művében: Az elemző: vagy egy hitetlen matematikusnak címzett beszéd (1734).${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

Történelmi előrelépés

Azóta a végtelen személyek kérdése szorosan kapcsolódik a valós számok természetének kérdéséhez. Csak a XIX. Században adta Augustin Louis Cauchy , Karl Weierstrass , Richard Dedekind és mások a matematikailag szigorú formai formát. Olyan határérték- szempontokat vezettek be , amelyek feleslegessé tették a végtelenül kis mennyiségek alkalmazását.

Ennek ellenére a végtelenül kis számok használatát még mindig hasznosnak tartották az ábrázolások és számítások egyszerűsítéséhez. Tehát, ha a tulajdonság végtelennek számít, és ennek megfelelően a végtelenség tulajdonságát meg lehet határozni: ${\ displaystyle x \ kb 0}$${\ displaystyle N \ kb \ infty}$

• A (standard) eredmény egy null-szekvencia, ha minden érvényes: .${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle N \ kb \ infty}$${\ displaystyle a_ {N} \ kb 0}$
• A (standard) függvény egy korlátos intervallum egyenletesen folytonos akkor és csak akkor az összes , hogy jétől alkalmazni a következő: .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x, y \ I-ben}$${\ displaystyle xy \ kb 0}$${\ displaystyle f (x) -f (y) \ kb 0}$

A 20. században olyan valós számok számtartomány-kiterjesztéseit találták, amelyek végtelenül kis számokat tartalmaznak formailag helyes formában. A legismertebbek a hiper-valós számok és a szürreális számok .

A szabványos elemzés szerint Abraham Robinson (1960), amely tartalmazza a hiperreál számokat, mint egy különleges eset, infinitezimális szám jogos mennyiségben. Ebben az elemzésben a fent említett levezetése lehet indokolt egy kismértékű módosításával: beszélünk a szabvány része a differenciálhányados és a standard része van (ha van egy szabványos számot, további részletek a csatolt cikket). ${\ displaystyle f \ kettőspont \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2x + \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle x}$

dagad

1. ↑ A teljes szöveg letölthető (újonnan beállított) [1]