matematika

A matematika ( szövetségi német felsőnémet : [ matematik ], [ matematik ]; osztrák felnémet : [ matematik ]; ókori görög μαθηματική τέχνη mathematike téchnē , a tanulás művészete ”) egy formális tudomány , a geometriai számok és számítások tanulmányozásából a számok keletkezett. A matematika számára nincs általánosan elfogadott definíció ; manapság általában olyan tudományként írják le, amely a logika segítségével vizsgálja a saját készítésű absztrakt szerkezeteket tulajdonságaik és mintáik logikai meghatározások segítségével .

Az egyiptomi Papyrus Rhind

sztori

A matematika az egyik legrégebbi tudomány. Első virágkorát az ókor előtt élte meg Mezopotámiában , Indiában és Kínában , később pedig az ókorban Görögországban és a hellenizmusban . Innen kelt a tájékozódás a „tisztán logikai bizonyítás” feladatára és az első axiomatizációra , nevezetesen az euklideszi geometriára . A középkorban önállóan élte túl az egyetemek korai humanizmusát és az arab világot.

A korai újkorban , François Viète bevezette változók, René Descartes megnyitotta a számítógépes megközelítés geometria segítségével a koordinátákat . Az ellenérték az árak változásának ( fluxions ), valamint a leírás érintők és területek meghatározásáról ( „kvadratúra”) vezetett a infinitezimális kalkulus által Gottfried Wilhelm Leibniz és Newton . Newton mechanikája és gravitációs törvénye továbbra is olyan alapvető matematikai problémák forrása volt , mint a három test problémája az ezt követő évszázadokban .

A kora újkor másik kulcsfontosságú problémája az egyre összetettebb algebrai egyenletek megoldása volt. Ennek kezelésére Niels Henrik Abel és Évariste Galois kifejlesztették a csoport kifejezést , amely leírja az objektum szimmetriái közötti kapcsolatokat. Az újabb algebra és különösen az algebrai geometria ezen vizsgálatok további elmélyítésének tekinthető .

A Blaise Pascal és Pierre de Fermat 1654 -es levelezésében annak idején egy új ötlet egy régi probléma megoldásához vezetett, amelyre már léteztek más, bár ellentmondásos megoldások. A megfelelést a klasszikus valószínűségi számítás születésének tekintik. Az új ötletek és folyamatok sok területet meghódítottak. De az évszázadok során a klasszikus valószínűség -elmélet külön iskolákra szakadt. A „valószínűség” kifejezés egyértelmű meghatározására irányuló kísérletek csak különleges esetekben sikerülnek. Csak 1933 -ban jelent meg Andrei Kolmogorov Alapfogalmak a valószínűségelméletben című tankönyve, amikor befejeződött a modern valószínűségelmélet alapjainak kidolgozása, lásd még : Valószínűségelmélet története .

A 19. század folyamán a végtelen kicsi számítás Augustin-Louis Cauchy és Karl Weierstrass munkáin keresztül találta meg jelenlegi szigorú formáját . A Georg Cantor által a 19. század vége felé kifejlesztett halmazelmélet a mai matematikában is nélkülözhetetlenné vált, még akkor is, ha a naiv halmazfogalom paradoxonain keresztül kezdetben világossá tette azt a bizonytalan alapot, amelyen a matematika állt.

A 20. század első felének fejlődését David Hilbert 23 matematikai feladat listája befolyásolta . Az egyik probléma a matematika teljes axiomatizálásának kísérlete volt; Ugyanakkor erőteljes erőfeszítéseket tettek az absztrakció, azaz a tárgyak lényegi tulajdonságaikra redukálására irányuló kísérlet felé. Így dolgozta ki Emmy Noether a modern algebra alapjait, Felix Hausdorff általános topológiáját, mint a topológiai terek tanulmányozását , Stefan Banach valószínűleg a róla elnevezett funkcionális elemzés legfontosabb fogalma , a Banach -tér . Még magasabb absztrakciós szinten, a közös keret megtekintésére hasonló konstrukciók különböző területein matematika, végül létre bevezetése kategória elmélet szerint Samuel Eilenberg és Saunders Mac Lane .

Tartalom és módszertan

Tartalom és részterületek

A következő lista kezdeti időrendi áttekintést nyújt a matematikai témák terjedelméről:

Ettől a listától kissé eltekintve a numerikus matematika , amely algoritmusokat biztosít a konkrét problémák folyamatos megoldására a fent említett területek közül sok közül.

Különbséget tesznek a tiszta matematika, más néven elméleti matematika , amely nem foglalkozik a nem matematikai alkalmazásokkal, és az alkalmazott matematika , mint például a biztosításmatematikai matematika és a kriptológia . Az imént említett területek közötti átmenetek folyékonyak.

Előrelépés a problémamegoldáson keresztül

Isaac Newton : Principia Mathematica ( előlap )

A matematika másik jellemzője, hogy hogyan halad előre a „valójában túl nehéz” feladatok feldolgozásán keresztül.

Egyszer egy általános iskolában , hogy a hozzá tanult természetes számok, akkor képes megérteni a következő kérdést és választ próbálgatással: „Melyik szám van hozzá legfeljebb 3 eljutni 5” De a szisztematikus megoldás ezen feladatok bevezetése szükséges egy új fogalom: kivonás. A kérdés ezután újrafogalmazható: „Mi az 5 mínusz 3?” De amint a kivonás meg van határozva, feltehetjük azt a kérdést is: „Mi az a 3 mínusz 5?”, Amely negatív számra utal, és így már általános iskolán keresztül a matematika vezet.

Ahogyan az egyéni tanulásnak ebben az elemi példájában, a matematika is előrelépett a történelemben: minden elért szinten jól meghatározott feladatokat lehet kitűzni, amelyek megoldása sokkal kifinomultabb eszközöket igényel. Sok évszázad telt el egy probléma megfogalmazása és megoldása között, végül egy teljesen új alterületet hoztak létre a problémamegoldási folyamattal: A 17. században például a végtelen kicsi számítás képes volt megoldani az eddig felmerült problémákat. ősidők óta nyitva.

Még a negatív válasz, a probléma megoldhatatlanságának bizonyítéka is előmozdíthatja a matematikát: például a csoportelmélet az algebrai egyenletek megoldásának sikertelen kísérleteiből alakult ki.

Axiomatikus megfogalmazás és nyelv

Sir Henry Billingsley első angol kiadása Euklidész "Elemek" című művéről (1570)

A 19. század vége óta és esetenként az ókor óta a matematikát olyan elméletek formájában mutatják be , amelyek igaznak vélt állításokkal kezdődnek; ebből további igaz állítások származnak. Ez a levezetés pontosan meghatározott végső szabályok szerint történik . Azokat az állításokat, amelyekkel az elmélet kezdődik, axiómáknak , a belőlük származtatottakat állításoknak nevezzük . Maga a levezetés a tétel bizonyítéka . A gyakorlatban a definíciók továbbra is szerepet játszanak; matematikai kifejezéseket vezetnek be és pontosítanak azáltal, hogy alapvetőbbekre redukálják őket. A matematikai elméletek ilyen felépítése miatt axiomatikus elméleteknek nevezik őket .

Általában az ember elvárja az elmélet axiómáitól, hogy mentesek az ellentmondásoktól, vagyis hogy egy állítás és e tétel tagadása nem igaz egyszerre. Ez a következetesség azonban általában nem bizonyítható matematikai elméleten belül (ez az alkalmazott axiómáktól függ). Ennek eredményeként például a Zermelo-Fraenkel halmazelmélet következetessége , amely alapvető fontosságú a modern matematika számára, további feltételezések nélkül nem bizonyítható.

Ezen elméletek tárgyai absztrakt matematikai struktúrák, amelyeket axiómák is meghatároznak. Míg a többi tudományban a kezelt tantárgyakat megadják, majd megalkotják ezeknek a tárgyaknak a vizsgálati módszereit, addig a matematikában fordítva, a módszer adott, és a vele vizsgálható tárgyak csak utána jönnek létre. Ily módon a matematika mindig különleges helyet foglal el a tudományok között.

A matematika további fejlődése ezzel szemben olyan javaslatok, bizonyítások és definíciók gyűjteményein keresztül történt, és gyakran történik, amelyek nem axiomatikusan vannak felépítve, hanem elsősorban az érintett matematikusok megérzései és tapasztalatai alakítják őket. Az axiomatikus elméletre való átalakításra csak később kerül sor, amikor más matematikusok foglalkoznak a nem olyan új ötletekkel.

1930 körül Kurt Gödel megmutatta a róla elnevezett hiányossági tételt , amely azt mondja, hogy a klasszikus logika minden axiómarendszerében, amely lehetővé teszi a természetes számokkal kapcsolatos bizonyos állítások bizonyítását, vannak olyan állítások, amelyek ugyanolyan bizonyíthatatlanok, mint a tagadásuk, vagy maga a rendszer ellentmond önmagának.

A matematika nagyon kompakt nyelvet használ a tények leírására, amely szakkifejezéseken és mindenekelőtt képleteken alapul. A képletekben használt karakterek ábrázolása megtalálható a matematikai szimbólumok listájában . Különlegessége a matematikai terminológia áll kialakulását melléknevek származó matematikusok nevek , mint a Pitagorasz- euklideszi, Euler , Abel , Noetherian és Artinsch .

alkalmazási területek

Jakob Bernoulli : Ars Conjectandi (1713)

A matematika minden olyan tudományban alkalmazható, amelyek kellően formalizáltak . Ez szoros kölcsönhatást eredményez az empirikus tudományokban alkalmazott alkalmazásokkal. A matematika sok évszázadon keresztül inspirációt merített a csillagászatból , a geodéziából , a fizikából és a közgazdaságtanból, és fordítva, alapot adott e tárgyak fejlődéséhez. Például Newton kifejlesztett egy végtelen kicsi számítást , hogy matematikailag felfogja az „erő egyenlő a lendület változásával” fizikai fogalmat. Solow kifejlesztett egy gazdaság növekedésének gazdasági modelljét , amely a mai napig a neoklasszikus növekedési elmélet alapját képezi. A hullámegyenlet tanulmányozása során Fourier megalapozta a modern függvényfogalmat , Gauss pedig kifejlesztette a legkisebb négyzetek módszerét, és rendszerezte a lineáris egyenletrendszerek megoldását a csillagászati ​​és földmérési munkája részeként . A ma mindenütt jelenlévő statisztikák a szerencsejátékok kezdeti tanulmányából derültek ki.

Ezzel szemben a matematikusok olykor olyan elméleteket dolgoztak ki, amelyek csak később találtak meglepő gyakorlati alkalmazásokat. Például az elektromágnesesség matematikai ábrázolásához szükséges komplex számok elmélete , amely már a 16. században felmerült, elengedhetetlenné vált. Egy másik példa a -kalkül tenzoros differenciálformák , amelyeket az általános relativitáselmélet matematikai megfogalmazásának Einstein használt. Továbbá, a számelmélettel való foglalkozást sokáig gyakorlati haszontalan szellemi trükknek tekintették, amely nélkül a mai kriptográfia és sokrétű internetes alkalmazása elképzelhetetlen lenne.

Kapcsolat más tudományokkal

A matematika kategorizálása

Gregor Reisch , Margarita Philosophica (1508)

A kérdés, hogy a természettudományi matematika melyik kategóriájába tartozik, régóta vita tárgya.

Sok matematikai kérdést és fogalmat a természettel kapcsolatos kérdések motiválnak, például a fizikából vagy a mérnöki tevékenységből , és a matematikát szinte minden természettudományban segédtudományként használják. Ez azonban önmagában nem szűk értelemben vett természettudomány , mivel állításai nem függenek kísérletektől vagy megfigyelésektől. Ennek ellenére a legújabb matematikafilozófiában azt feltételezik, hogy a matematika módszertana egyre inkább megfelel a természettudomány módszertanának. Lakatos Imrét követve „az empirizmus reneszánszát” feltételezik, amely szerint a matematikusok is hipotéziseket állítanak fel, és megerősítéseket keresnek számukra.

A matematika módszertani és tartalmi hasonlóságokat mutat a filozófiával ; például a logika a két tudomány közötti átfedési terület. A matematika tehát a bölcsészettudományok közé sorolható , de a filozófia besorolása is ellentmondásos.

Ezen okok miatt is vannak, akik a matematikát - más tudományágak, például az informatika mellett - strukturális vagy formális tudománynak minősítik .

Abban német egyetemeken matematika tartozik többnyire ugyanazon kar , mint a természettudományok, így a matematikusok, miután a promóció általában a tudományos fokozat Dr. rer. nat. (Tudományok doktora) kitüntetett. Ezzel szemben az angol nyelvterületen az egyetemet végzettek elnyerik a „Bachelor of Arts” vagy a „Master of Arts” címet, amelyet tulajdonképpen a bölcsészek kapnak.

Különleges szerep a tudományok között

Galileo Galilei : Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze (1638)

A matematika a tudományok között különleges szerepet játszik megállapításai érvényességében és módszereinek szigorában . Például, bár minden tudományos eredményt új kísérletek meghamisíthatnak , és ezért elvileg ideiglenesek, a matematikai állításokat tiszta gondolati műveletek útján állítják elő egymástól, vagy redukálják egymásra, és nem szükséges őket empirikusan ellenőrizni. Ehhez azonban szigorúan logikus bizonyítékot kell találni a matematikai ismeretekre, mielőtt matematikai állításként felismerhetővé válna . Ebben az értelemben a matematikai kijelentések elvileg végleges és egyetemes igazság, hogy a matematika lehet tekinteni, mint az egzakt tudomány. Pontosan ez a pontosság az, ami annyira lenyűgözi a matematikát sok ember számára. Így mondta David Hilbert a párizsi matematikusok nemzetközi kongresszusán 1900 -ban:

„Röviden megvitatjuk, hogy milyen indokolt általános követelményeket kell támasztani egy matematikai feladat megoldásával kapcsolatban: mindenekelőtt arra gondolok, hogy a válasz helyességét véges számú következtetéssel lehet bizonyítani, mégpedig véges alapon számos előfeltétel, amelyek a problémában rejlenek, és amelyeket minden alkalommal pontosan meg kell fogalmazni. Ez a logikus levonás követelménye véges számú következtetés segítségével nem más, mint az érvelés szigorúságának követelménye. Valóban, a szigor követelménye, amely, mint köztudott, közmondásos jelentőségűvé vált a matematikában, megfelel a megértésünk általános filozófiai igényének, másfelől pedig csak a teljesítés révén valósul meg a szellemi tartalom és a a probléma eredményessége teljes mértékben érvényesül. Egy új probléma, különösen, ha a külvilágból származik, olyan, mint egy fiatal rizs, amely csak akkor virágzik és hoz gyümölcsöt, ha óvatosan és a kertész szigorú szabályai szerint a régi törzsre oltják, matematikai biztonságunk. a tudás fogja. "

Joseph Weizenbaum, a Massachusettsi Műszaki Intézet munkatársa a matematikát minden tudomány anyjának nevezte.

"Fenntartom azonban, hogy a természet bizonyos elméleteiben csak annyi tényleges tudomány található meg, amennyi matematika megtalálható benne."

- Immanuel Kant : A természettudomány metafizikai kezdetei , A VIII - (1786)

A matematika tehát halmozott tudomány is. Ma már több mint 2000 matematikai folyóiratot ismerünk. Ez azonban kockázatot is rejt magában: az újabb matematikai területek háttérbe szorítják a régebbi területeket. A nagyon általános állítások mellett vannak olyan nagyon különleges állítások is, amelyekre vonatkozóan nem ismert igazi általánosítás. Donald E. Knuth ezt írja a Concrete Mathematics című könyvének előszavában :

„A„ Konkrét matematika ”tanfolyam címét eredetileg az„ Absztrakt matematika ”ellenszerének szánták, mivel a konkrét klasszikus eredményeket gyorsan kisöpörték a modern matematikai tantervből az absztrakt ötletek új hulláma, amelyet népi nevén„ Új matematika ”. Az absztrakt matematika csodálatos tantárgy, és nincs vele semmi baj: gyönyörű, általános és hasznos. De hívei megtévesztették, hogy a matematika többi része alacsonyabb rendű, és már nem érdemel figyelmet. Az általánosítás célja annyira divatossá vált, hogy a matematikusok egy generációja képtelen volt élvezni a szépséget, élvezni a mennyiségi problémák megoldásának kihívását, vagy értékelni a technika értékét. Az absztrakt matematika beltenyésztetté vált, és elvesztette a kapcsolatot a valósággal; A matematikai oktatásnak konkrét ellensúlyra volt szüksége az egészséges egyensúly helyreállításához. "

„Az esemény címe„ Konkrét matematika ”eredetileg az„ Absztrakt matematika ”ellenpontja volt, mert a konkrét, klasszikus eredményeket az absztrakt ötletek új hulláma gyorsan eltávolította a tantervekből - általában„ új matematika ”. Az absztrakt matematika csodálatos dolog, aminek semmi baja: szép, általános és hasznos. De követőik tévesen azt hitték, hogy a többi matematika rosszabb, és már nem érdemes megfontolni. Az általánosítás célja annyira divatossá vált, hogy a matematikusok egész generációja már nem volt képes különösképpen látni a szépséget, megkérdőjelezni a mennyiségi problémák megoldását vagy értékelni a matematikai technikák értékét. Az absztrakt matematika csak maga körül forgott, és elvesztette a kapcsolatot a valósággal; A matematikai képzésben konkrét ellensúlyra volt szükség a stabil egyensúly helyreállításához. "

A régebbi matematikai irodalom ezért különösen fontos.

Claus Peter Ortlieb matematikus bírálja - véleménye szerint - a modern matematika nem megfelelően tükrözött alkalmazását:

„Tudatában kell lennie annak, hogy vannak korlátai annak, hogy a matematika hogyan ragadhatja meg a világot. Az a feltételezés, hogy kizárólag matematikai törvények szerint működik, azt eredményezi, hogy az ember csak ezeket a törvényeket keresi. Természetesen a természettudományokban is megtalálom, de tisztában kell lennem azzal, hogy szemüvegen keresztül nézem a világot, amely eleve elzárja a nagy részeket. […] A matematikai módszert régóta alkalmazzák szinte minden tudományág tudósai, és minden lehetséges területen alkalmazzák, ahol valójában nincs helye. [...] A számok mindig megkérdőjelezhetők, amikor normalizálódáshoz vezetnek, bár senki sem értheti, hogyan keletkeztek a számok. "

Matematika a társadalomban

A matematika évének logója

A Szövetségi Oktatási és Kutatási Minisztérium (BMBF) által 2000 óta évente megszervezett tudomány éve a matematika éve volt 2008 -ban .

A matematika, mint iskolai tantárgy

A matematika, mint kötelező tantárgy fontos szerepet játszik az iskolában . A matematika didaktika az a tudomány, amely a matematika tanításával és tanulásával foglalkozik. Az 5–10. Osztály elsősorban a számtani ismeretek elsajátításáról szól. A német gimnáziumokban a differenciál- és integrálszámítást, valamint az analitikus geometriát / lineáris algebrát vezetik be a felső szinten, azaz a 11. osztályból, és folytatják a sztochasztikát.

A matematika mint tantárgy és szakma

Emberek, akik professzionális szinten foglalkoznak a fejlesztése és alkalmazása a matematika nevezzük matematikus .

A matematika tanulmányozása mellett, amelynek prioritásai a tiszta és / vagy alkalmazott matematikára támaszkodhatnak, a közelmúltban több interdiszciplináris tanfolyamot is létrehoztak, például ipari matematikát , üzleti matematikát , számítógépes matematikát vagy biomatematikát . Emellett tanít középfokú iskolák és egyetemek fontos ága a matematika. A német egyetemeken a bolognai folyamat részeként az oklevelet Bachelor / Master képzéssé alakították át . A kezdő informatikusoknak , vegyészeknek , biológusoknak , fizikusoknak , geológusoknak és mérnököknek hetente bizonyos órákat kell teljesíteniük .

A matematikusok leggyakoribb munkáltatói a biztosítótársaságok , a bankok és a vezetési tanácsadók , különösen a matematikai pénzügyi modellek és tanácsadás területén, de az informatika területén is. Ezenkívül a matematikusokat szinte minden iparágban használják.

Matematikai múzeumok és gyűjtemények

A matematika az egyik legrégebbi tudomány és egyben kísérleti tudomány is. Ezt a két szempontot múzeumok és történelmi gyűjtemények nagyon jól illusztrálják.

A legrégebbi ilyen típusú intézmény Németországban az 1728-ban alapított drezdai Mathematisch-Physikalische Szalon . Az ottani Diszkrét Matematikai Intézet bonni Arithmeumja az 1970 -es évekre nyúlik vissza, és Bernhard Korte matematikus számítástechnikai eszközeinek gyűjteményén alapul . A padinborn -i Heinz Nixdorf MuseumsForum (rövidítés: "HNF") a legnagyobb német múzeum a számítástechnika (különösen a számítógépek) fejlesztésére, a Gießeni Mathematikumot pedig 2002 -ben alapította Albrecht Beutelspacher, és ő folyamatosan fejleszti. A Rudolf Taschner által rendezett Math.space a bécsi Múzeumnegyedben található, és a matematikát mutatja be a kultúra és a civilizáció összefüggésében.

Ezenkívül számos különleges gyűjtemény található az egyetemeken, de olyan átfogóbb gyűjteményekben is, mint a müncheni Deutsches Museum vagy a Berlin for Museum of Technology (a számítógépet Konrad Zuse fejlesztette és építette).

Aforizmák a matematikáról és a matematikusokról

Ismert személyiségek alábbi aforizmái találhatók:

  • Albert Einstein : A matematika kizárólag a fogalmak közötti kapcsolatokkal foglalkozik, függetlenül a tapasztalatokhoz való viszonyuktól.
  • Galileo Galilei : A matematika az ábécé, amellyel Isten leírta az univerzumot.
  • Johann Wolfgang von Goethe : A matematikusok egyfajta franciák: ha beszélsz hozzájuk, lefordítják a nyelvükre, és akkor azonnal valami egészen másról van szó.
  • Godfrey Harold Hardy : A matematikus sémák készítője.
  • David Hilbert : Senki sem képes kiűzni minket abból a paradicsomból, amelyet Cantor teremtett nekünk.
  • Novalis : Az egész matematika valójában egy egyenlet a többi tudomány számára nagy léptékben.
  • Friedrich Nietzsche : A matematika finomságát és szigorát minden tudományba be akarjuk vezetni, amennyire ez egyáltalán lehetséges; nem abban a hitben, hogy így fogunk tudni a dolgokról, hanem azért, hogy meghatározzuk a dolgokhoz való emberi viszonyunkat. A matematika csak az emberek általános és végső ismereteinek eszköze.
  • Bertrand Russell : A matematika az a tudomány, amelyről nem tudja, miről beszél, vagy igaz -e, amit mond.
  • Friedrich Schlegel : A matematika mintegy érzéki logika; olyan filozófiához kapcsolódik, mint az anyagi művészet, a zene és a szobrászat, a költészethez.
  • James Joseph Sylvester : A matematika az értelem zenéje.
  • Ludwig Wittgenstein : A matematika egy logikai módszer.

Lásd még

Portál: Matematika  - A Wikipédia tartalmának áttekintése a matematika témakörében

irodalom

web Linkek

Commons : Matematika  - képek, videók és hangfájlok gyűjteménye
Wikikönyvek: Polc: Matematika  - Tanulási és tananyagok
Wikikönyvek: Matematika tankönyv  - Tanulási és tanítási anyagok
Wikiquote: Matematika  - Idézetek
Wikiforrás: Matematika  - források és teljes szövegek
Wikiszótár: Matematika  - jelentésmagyarázatok, szó eredet, szinonimák, fordítások
Portálok és tudásbázisok
Iskolai matematika
szoftver
Történelem

Egyéni bizonyíték

  1. Osztrák kiejtési adatbázis.
  2. Helmut Hasse : A matematika, mint humán tudományok és a gondolkodás eszközei a pontos természettudományokban . In: Studium generale . szalag 6 , 1953, pp. 392-398 ( on-line ( memento április 25 2013-ban az Internet Archive )).
  3. David Hilbert: Matematikai problémák. ( Memento 2012. január 19 -től az Internet Archívumban ). Előadás a párizsi Matematikusok Nemzetközi Kongresszusán 1900 -ban.
  4. Oliver Link: A világot nem lehet kiszámítani. Interjú Claus Peter Ortlieb -lel, márka eins 11/2011, hozzáférés 2012. január 1 -jén.
  5. Lothar Schmidt : Aforizmák A -tól Z -ig. A szárnyas definíciók nagy kézikönyve . Drei Lilien Verlag, Wiesbaden 1980, p. 288-289 . (Lothar Schmidt tart közgazdász és tanított politológia a Johann Wolfgang Goethe Egyetem, Frankfurt am Main .)