Matematikai statisztika

Mivel a matematikai statisztika a statisztika azon ágára utal, amely a statisztika módszereit és eljárásait matematikai formában vagy azok segítségével csak indokoltan elemzi. Az induktív statisztika , az értékelő statisztika és az inferenciális statisztika ( záró statisztika ) kifejezéseket többnyire szinonimákként használják, amelyek a statisztika azon részét jellemzik , amely kiegészíti a leíró statisztikát . A valószínűségelmélettel együtt a matematikai statisztika képezi a matematika sztochasztikának nevezett részterületét.

A matematikai statisztika matematikai alapja a valószínűségelmélet.

A statisztika céljai

A statisztika tárgya olyan populációk , amelyeknek mindegyikének van egy bizonyos jellemzője . Megállapításokat kerestünk arról, hogy ez a jellemző milyen gyakran veszi fel lehetséges értékeit a populáción belül. Az állítások gyakran olyan származtatott mennyiségekre korlátozódnak, mint például a populáció tagjai jellemző értékeinek átlaga .

Korpiramis: a nem és az életkor megoszlása ​​a német lakosság körében (2010)

Az egyik példa erre a koreloszlás, amelyet gyakran grafikusan kor-piramisként mutatnak be, ahol a lakosság lehet például a német népesség. Mivel a németek életkor szerinti megoszlásának pontos meghatározása bonyolult, teljes felmérést igényel , például népszámlálást , olyan módszereket keresünk, amelyekkel részleges felmérések alapján már nagyrészt megbízható állítások lehetségesek. Csakúgy, mint a Politbarométer példáján , csak a populáció véletlenszerűen kiválasztott részhalmazának, az úgynevezett mintának a tagjait vizsgálják az érdeklődés jellemzői szempontjából.

módszertan

Ha ismert lenne a populáció kor szerinti megoszlása, akkor a mintákon belül megfigyelhető koreloszlások valószínűségei kiszámíthatók a valószínűségelmélet képleteinek felhasználásával , amelyek véletlenszerű ingadozásoknak vannak kitéve a minták véletlenszerű kiválasztása miatt. A matematikai statisztikákban ilyen számításokat használnak annak érdekében , hogy a minta eredményétől a populációig fordítva lehessen rajzolni : a kifejezetten egy mintára megfigyelt jellemző értékek alapján a populáción belüli gyakorisági eloszlásokat jellemzik. amelyekkel a megfigyelés eredménye hihetően megmagyarázható. Az elméleti vizsgálatok nemcsak magukra a következtetésekre összpontosítanak, hanem azokra a becslésekre is, amelyek számszerűen pontosak és mennyire biztosak az ilyen előrejelzések.

A felhasználó számára érdekes frekvenciaeloszlások csak közvetetten képezik a matematikai statisztika módszereinek tárgyát. Ehelyett ezek a módszerek véletlenszerű változókra utalnak . Különösen azok a valószínűségi változók tekintjük, amelynek valószínűségi eloszlás megegyezik a relatív gyakoriságát a funkció értékeit . Különösen a kor szerinti megoszlás példája esetében a véletlen változó realizált értéke megegyezik egy véletlenszerűen kiválasztott német életkorával. Ily módon a mintából meghatározott megfigyelt értékek önálló és azonos eloszlású véletlen változók úgynevezett megvalósításaként értelmezhetők . Ebben az esetben az előzetes ismereteket a valószínűségeloszlások családja vagy a valószínűségmérők megfelelő családja képviseli . Az egyik disztribúciós feltételezésről beszél . Ez tartalmazhat utasításokat a lehetséges tulajdonságértékekről, például egész számukra vonatkozóan, valamint az eloszlás típusáról, például "az értékek normálisan vannak elosztva ".

A matematikai statisztika központi területe a becsléselmélet , amelyen belül megfelelő becslési módszereket dolgoznak ki. A módszertan olyan, hogy az eloszlási feltételezés alapján a becslési függvények bizonyos osztályait megvizsgálják és összehasonlítják a különféle minőségi kritériumok (például elégségesség vagy hatékonyság ) szempontjából. Egy ilyen becslési függvény lehet mind a populáció kívánt paraméterének egyértékű közelítése, mind pedig egy úgynevezett konfidencia intervallum formájában megjelenő tartománybecslés . A populációra vonatkozó konkrét feltételezéseket megfelelő statisztikai tesztekkel ellenőrizhetjük. A minta eredményén alapuló hipotézis alapján 0-1-es döntés születik a hipotézis elutasításáról vagy megtartásáról.

A matematikai statisztika magában foglalja a statisztikai szelekciós eljárások elméleteit , valamint az optimális kísérleti és felmérési tervet is .

Statisztikai modellek

A statisztikai kérdések teljes formalizálása matematikai objektumok alapján a statisztikai modell kifejezéssel valósul meg , amelyet gyakran statisztikai térnek is neveznek . A korábban leírt, inkább alkalmazásorientált forgatókönyvvel ellentétben el lehet tekinteni a populáció meghatározásától:

A lehetséges mintavételi eredményeket egy halmazba , a mintavételi területbe egyesítik . Az abban megfigyelhető eseményeket formálisan a mintaterületre definiált σ-algebra jellemzi . Az eloszlási feltételezés, vagyis a szóban forgó valószínűségi eloszlások a valószínűségi mérések családjának felelnek meg . A statisztikai modell tehát formailag hármas . Ha valódi paramétervektor van, vagyis egy paramétertérrel rendelkező paraméteres modellről beszélünk . Egy valós paraméter esetét egyparaméteres modellnek nevezzük . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle (P _ {\ vartheta}) _ {\ vartheta \ in \ Theta}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {F}}, P _ {\ vartheta} \ kettőspont \ vartheta \ in \ Theta)}$${\ displaystyle \ vartheta}$${\ displaystyle \ Theta \ subseteq \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle d = 1}$

A mérhető függvény a másik mérési szoba nevezzük minta funkció vagy statisztikák . Egy becslő funkció , röviden, egy becslés egy jellemző paraméter egy minta funkciót . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {S}}, \ Sigma)}$${\ displaystyle \ tau (\ vartheta) \ in {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle T \ kettőspont {\ mathcal {X}} \ - {\ mathcal {S}}}$

irodalom

• Jörg Bewersdorff : Statisztika - hogyan és miért működnek. Matematikai olvasó . Vieweg + Teubner Verlag 2011, ISBN 978-3-8348-1753-2 , doi: 10.1007 / 978-3-8348-8264-6 .
• Hans-Otto Georgii: Sztochasztika: Bevezetés a valószínűségelméletbe és a statisztikákba , 4. kiadás, de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , doi: 10.1515 / 9783110215274 .
• Norbert Henze : Sztochasztika kezdőknek: Bevezetés az esély lenyűgöző világába. Vieweg + Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8 , doi: 10.1007 / 978-3-8348-9351-2 .
• Hermann Witting : Matematikai statisztika , 1. kötet, Parametrikus módszerek rögzített mintamérettel , Teubner Verlag 1985, ISBN 3-519-02026-2 , doi: 10.1007 / 978-3-322-90150-7 .
• Herrmann Witting, Ulrich Müller-Funk : Matematikai statisztika , 2. kötet, Asymptotic Statistics: Parametric Models and Nonparametric Functionals , Teubner Verlag 1995, ISBN 3-322-90153-X , doi: 10.1007 / 978-3-322-90152-1 .
• Dieter Rasch és Dieter Schott: Matematikai statisztika, matematikusok, természettudományi és mérnöki tudósok számára . 1. kiadás 2015. november, 648 oldal, keménytáblás, 150 illusztráció, tankönyv ISBN 978-3-527-33884-9 , Wiley-VCH, Weinheim

web Linkek

• Az inferenciális statisztikákról szóló irodalom a Német Nemzeti Könyvtár katalógusában