Papyrus Rhind

A Rhind Papyrus legnagyobb töredékének előlapjának bal oldala (ma a British Museumban található , pBM 10057)
A fenti ábrán látható szövegszakasz lejátszása a jobb oldalon
Különböző színű tinta használata a hieratikus szkriptben írt kéziratban (jobbról balra) - itt a 41. probléma (kattintson az ábra nagyításához)
Néhány sor egy vázlat alatt
E vonalak átírása a 48. feladat vázlata alatt

A Papyrus Rhind egy ősi egyiptomi értekezést írt a papirusz különböző matematikai témaköröket most hívja számtani , algebra , geometria , trigonometria és frakciói . A valamivel régebbi, de kevésbé terjedelmes Papyrus Moscow 4676 mellett az ókori Egyiptomban matematikai ismereteink egyik legfontosabb forrásának tekintik, és Kr.e. 1550 körül nyúlik vissza. Keltezett.

felfedezés

A Papyrus Rhind névadója a skót ügyvéd és régi Alexander Henry Rhind , aki megvette a Luxor , Felső-Egyiptom a 1858 . A dokumentumokat valószínűleg valamivel korábban találták meg az illegális ásatások során a Thébai területen, a Nílustól nyugatra, Luxorral szemben, a Ramesseumban vagy annak közelében , pontosabb körülmények nem ismertek.

Részletek

A papirusz valószínűleg a Kr. E. 16. században készült. Úgy során tett második közbenső időszak - kezdetben a 33. évében uralkodása Apopi , a király a 15. Hikszoszok dinasztia , adják a dátum - és nagyrészt tekinthető egy példányát papirusz több mint két évszázad idősebb, ami valószínűleg Amenemhet uralkodásától III. a 12. dinasztia a Közép-Királyságban . A másoló - egy Ahmose nevű írnok , egy korábbi átírás után szintén Ahmes - használta a hieratikus szkriptet, és néhány értéket és eljárást fekete tintával piros színnel emelt ki, például elválasztó készleteket.

Ma a papirusz csak 5 méter hosszú és körülbelül 32 cm széles tekercs töredéke formájában áll rendelkezésre, amelyet mindkét oldalra írnak. A British Museumban két darab 295,5 cm és 199,5 cm hosszú darabot tartanak (1865-ben 10057-es vagy 10 058-as számú leltár van); a kettő közötti rés becslések szerint körülbelül 18 cm. Néhány táblázat mellett a papirusz számos különféle matematikai feladatot ad meg példamutató megoldásokkal; a számlálási módtól függően összesen 84 vagy 87 vagy 91 feladat van. A szöveget csak a Kr. U. 19. század végén sikerült megfejteni és lefordítani, matematikai állításait a 20. század eleje óta megfejtették és hozzáférhetővé tették.

Tartalmát tekintve a kézirat három szakaszra osztható. A cím után az első rész elején található egy hosszabb táblázat, amely a 2 / n törtet mutatja  az eredeti n minden 3-tól 101-ig terjedő törtrészeinek összegeként , majd egy rövid táblázat adódik n- től 2-ig 9-ig. n / 10 frakciója . Ezután 40 számtani és algebrai problémát fedezünk fel. A második rész 20 geometriai problémát mutat be, és foglalkozik a különböző alakok térfogatával és területével, valamint a piramis testének magassága és oldala közötti viszonysal . Két tucat egyéb probléma alkotja a harmadik részt, a kenyér és sör előállítására, valamint a baromfi és a szarvasmarha etetésére vonatkozó számítások mellett itt találós találat található a macskákról és az egerekről.

A kör területének hozzávetőleges értéke

Egy négyzeten belüli kör, amelyet rács oszt el.
A kör átmérője olyan hosszú, mint a környező négyzet egyik oldala - ha 9, akkor egy kis négyzet oldalhossza 3.

A Rhind Papyrus második részében tárgyalt problémák körterület-számításokat is tartalmaznak. A 48. feladatban Ahmes leírja, hogyan számolja ki egy négyzetbe beírt kör területét . Mai perspektívából ez úgy értelmezhető, mint a körök számának közelítése . A vázlat melletti papiruszban megadott számítási szabály alapján (lásd fentről a negyedik és ötödik ábrát) Kurt Vogel 1928-ban rekonstruálta a mögöttes szempontokat.

Ahmes először a négyzet oldalait harmadokra osztja, és így kilenc egyenlő kisebb négyzetet nyer, 3 oldal oldalhosszal. Aztán levágja a négy sarokcellának a felét, és rábukkan egy szabálytalan nyolcszög alakjára. Ez a nyolcszög öt teljes és négy fél négyzetből áll, a kis négyzetek 7 teljes területére, mindegyik 3 2 = 9 területegységgel rendelkezik, és így 7 • 9 = 63 négyzet egységnyi. Nyilvánvalóan csak kissé kisebb, mint a kör - területére Ahmes tehát 64 = 8 • 8 négyzetegység tartalmat feltételez, ami nem kisebb.

Így a 9 átmérőjű kör területét megegyezik a 8 oldalhosszúságú négyzet területével. Ennek eredménye egy körülbelül tartalmának a kör alakú terület sugarú a 9 / 2

felett
így és így hozzávetőlegesen

Az így meghatározott érték abszolút értékben elmulasztja a ( pi ) számot körülbelül 0,01890-rel és viszonylag kevesebb mint egy százalékkal (0,602%). Az ókori egyiptomi számrendszerben ez az érték nem tizedes, hanem az ősi törtek összegeként jelenik meg:

A Papyrus Rhind-ben reprodukált eljárás esetében a körök számához való közelítés kiszámítható egy beírt kör és annak körülírt négyzet területének arányából,

ott , tehát akkor és így

A 81 területegységet tartalmazó négyzetbe beírt kör valójában körülbelül 63 617 területegységet ölel fel. Mint egy közelítés , által ismertetett eljárás Jahmesz tárgya egy kört, hogy egy négyzet alakú 9 • 9, közvetít ez keresztül egy nyolcszögletű ábra, és megfelel annak a területen, hogy egy négyzet alakú 8 • 8 -, amelyek valószínűleg úgy tekinteni, mint a korai kísérlet négyszögesítése kör . A felület egyenlősége egy tér egy kör alakú területen ezért feltételezhető, amikor az oldalsó hossza 8 / 9 jelentése az átmérőjük, így kilenced alacsonyabb.

Egy kört egy derékszögű rácsban úgy lehet megrajzolni, hogy a kerületi körvonal metszi nyolc rácspontot, amelyek egy négyzet oldalainak negyedpontjai, amelyek úgy tűnik, hogy majdnem megegyeznek a kör alakú területtel.
8 × 8 négyzet esetén, 64 egységnyi egységgel, a kör átmérője körülbelül 9 hosszegységet mér.

De a kapcsolatot a körvonalait alakja derékszögű hálózati vonalak már ismeri az ősi egyiptomi kőművesek átadása érdekében a tervezési arányosan alapuló kapcsolatokat kereszteződés rá a kő felületén kell dolgozni. Ennek hátterében Hermann Engels 1977-ben egy másik feltételezést mutatott be, amely megmagyarázhatja az itt megadott hozzávetőleges arányt a rács négyzetek rácsán alapulva . Akkor az ember azt ösztönösen felhívni a C kör (átmérőjű d ) oly módon, hogy a középpontja az, hogy a körülbelül azonos négyzet F (oldalhosszúságú a ) alkotja 4 × 4 részleges négyzetek, amely metszi nyolcszor ez a kör az oldalainak negyedpontjainál. Az F még finomabb felosztására való áttéréssel (8 × 8 egységes résznégyzetre) az F négyzet tartalma tehát 64 ilyen területegység, míg a kör tartalma valójában körülbelül 62,8 területegység - és pontosan egy U négyzetbe írva 80 területegységgel - mert

a háromszög középpontja, felezőpontja, negyedpontja a kör sugarát és négyzet oldalát állítja be az összefüggésben és
azzal az átmérő eredmények
off majd
A hosszegységekben ezáltal egység területén,
valamint a számára , tehát ill
Ám az átmérő kisebb, mint 9 egy C kör esetében, amelyet 80 felületi U négyzetbe (világossárga) kell beírni.
A (szürke és sárga) részterületek összehasonlítása azt sugallhatja, hogy ez a négyzet területe megegyezik az F (64) négyzet és a 4 × 4 négyzet (16) összegével - Pythagoras ismerte ezt a kapcsolatot.

Téves feltételezés esetén, hogy a C kör területe megegyezik az F négyzet területével, a kör területének („64 egység”) feltüntetésének hibája csaknem két százalék ( 1,825%). Másrészt, ha figyelembe vesszük a megépített kör alakú terület tényleges tartalmát, majd figyelembe vesszük az oldalhossz és az átmérő közötti kapcsolatot,

A eredmény , tehát körülbelül a becslés , hogy elégedjenek, mi hiányzott, így mintegy 1234% - pontosan 1- / a 81. -, mert 20 helyett terület egység.

Ha ezután a fent leírt hozzávetőleges értékre vonatkozik , akkor a (≈ 62.832) tényleges területet a közelítéssel kissé túl magasra becsüljük - de az eredmény most téves feltételezésnek felel meg: „64 egység”.

Ily módon, ha egy kört nézünk egy négyzet alakú hálózatban, ahogy az a szokás volt, hogy a piszkozatokat átmunkáltuk a megmunkálandó felületekre, akkor nagyon egyszerű módon - helytelen feltételezésekkel és durva méretekkel - egyszerű számítási szabályt kaptunk a kör területére. : „Csökkentse a kör átmérőjét egy kilenced körül, így megkapja a négyzet oldalát.” - ami gyakran meglepően jól alkalmazható.

A becsült aránya 8 / 9 is használják problémát 41 (lásd a harmadik ábrán felülről, nagyítva) a Rhind papirusz, ahol a számítás a térfogat egy hengeres magtár van szó. Az ívelt felület területére vonatkozó számítási szabály azt is feltételezi, amely a régebbi Moszkva Papyrus 4676 10. feladatában jelenik meg ; Itt azonban eltérnek az értelmezések arról, hogy melyik területet értjük pontosan.

Tárolási hely

A Rhind Papyrus (Rhind Mathematical Papyrus (RMP)) két fő darabja , egy majdnem 3 m és egy közel 2 m hosszú töredék 1865 óta a londoni British Museum birtokában van, pBM 10057 leltári szám alatt rögzítve. és a pBM 10058. A hiányzó köztes darab (csaknem 0,2 m) néhány kisebb töredéke megmaradt, amelyeket Rhind akkor még nem szerzett be, és most a New York-i Brooklyn Múzeumban őrzik .

Lásd még

kiadás

  • August Eisenlohr : Az ókori egyiptomiak matematikai kézikönyve (Papyrus Rhind, a British Museum). 2 kötet, Hinrichs, Lipcse 1877 ( online ).
  • Thomas Eric Peet: The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. Hodder & Stoughton a University of Liverpool számára, London, 1923.
  • Arnold Buffum Chace, Henry Parker Manning, Raymond C. Chace, Ludlow Bull: The Rhind Mathematical Papyrus: British Museum 10057 és 10058. 2 kötet, Amerikai Matematikai Egyesület, Oberlin [OH], 1927/1929 . (Rövidített új kiadás: National Matematikatanárok Tanácsa, Reston [OH] 1979, ISBN 0-87353-133-7 ).
  • Meleg Robins, Charles Shute: A Rhind matematikai papirusz. Egy ókori egyiptomi szöveg . British Museum, London, 1987, ISBN 0-7141-0944-4 (a papirusz fényképeivel).

irodalom

  • Marshall Clagett : Az ókori egyiptomi tudomány. Forráskönyv. 3. kötet: Az ókori egyiptomi matematika (= Az Amerikai Filozófiai Társaság emlékiratai. 232). American Philosophical Society, Philadelphia PA 1999, ISBN 0-87169-232-5 .
  • Milo Gardner: Egy ókori egyiptomi probléma és annak innovatív számtani megoldása. In: Gaṇita-Bhāratī. Az Indiai Matematikatörténeti Társaság értesítője. 2006. évfolyam , 28. évfolyam , ISSN  0970-0307 , 157-173.
  • Richard J. Gillings: Matematika a fáraók idejében. Rövidítés nélküli, kissé javított újraterjesztés. Dover Publications, New York NY 1982, ISBN 0-486-24315-X .
  • Annette Imhausen : Egyiptomi algoritmusok. Vizsgálat a közép-egyiptomi matematikai gyakorlati szövegekről (= egyiptológiai értekezések. 65). Harrassowitz, Wiesbaden 2003, ISBN 3-447-04644-9 .
  • Franz von Krbek : Elfogott végtelen. Elkötelezettség a matematikatörténet iránt. 2. kiadás. Geest & Portig, Lipcse 1954, 79. o.
  • Neil MacGregor : A világ története 100 objektumban . (Angolból fordította: Waltraut Götting, Andreas Wirthensohn, Annabell Zettel). Beck és mtsai., München 2011, ISBN 978-3-406-62147-5 , 141-149.

web Linkek

Commons : Rhind Mathematical Papyrus  - képek, videók és hangfájlok gyűjteménye

Egyéni bizonyíték

  1. a b c d A Rhind Papyrus . A gyűjtemény a British Museum . Letöltve: 2021. július 6 .
  2. ^ A b Annette Imhausen: Matematika az ókori Egyiptomban. Egy kontextuális történelem. Princeton University Press, Princeton NJ et al., 2020, ISBN 978-0-691-20907-4 , 65. o., ( Google könyv ).
  3. hasonlítsa össze a Rhind matematikai papirusz ezen részének fényképes reprodukcióját a British Museum weboldalán.
  4. lásd Kurt Vogel : Vorgiechische Mathematik. 1. rész: Őstörténet és Egyiptom (= matematikai tankönyvek a felsőbb iskolák matematikaóráihoz. 1, ZDB -ID 255205-X ). Schroedel és mtsai., Hannover 1958, 66. o.
  5. ^ A b Hermann Engels: A kör kvadrátuma az ókori Egyiptomban. In: Historia Mathematica . 4. kötet, 2. szám, 1977, 137–140. O., Doi : 10.1016 / 0315-0860 (77) 90104-5 .
  6. ^ Hans Wußing : 6000 év matematika. Kulturális és történelmi utazás az időben. 1. kötet: A kezdetektől Leibnizig és Newtonig. Springer, Berlin és mtsai, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , 120. o., ( Korlátozott online változat (Google Könyvek) ).
  7. ^ Rhind matematikai papirusz töredékei . online gyűjtemény a Brooklyn Museum . Letöltve: 2016. augusztus 29 .