Kerekítés

A kerekítési vagy a fordulóban a csere egy szám által egy proxy , a kívánt tulajdonságokkal, amelyek hiányoznak az eredeti szám.

Egy forduló

• A tizedesjegyű számokat könnyebben olvashatja;
• betartani a korlátozott számú ábrázolható számjegyet ( lebegőpontos számokkal is );
• legalább irracionális számok értékének , például a kör számának a feltüntetése ;${\ displaystyle \ pi}$
• az eredmény pontosságának figyelembevétele és ezáltal a fiktív pontosság elkerülése; ehhez nemcsak a tizedesjegyeket kerekítik, hanem a nagy egészeket is, az ábrázolás rövidítése nélkül. Például a Szövetségi Foglalkoztatási Ügynökség a kiszámított munkanélküliek számát 100-ra kerekíti. Itt a bemutatott számjegyek száma változatlan marad, de az utolsó két számjegy jelentéktelennek tűnik ;
• adott szám hozzáigazítása az ábrázolható vagy használható egységhez . Ilyen például a legkisebb pénzérme, a legkisebb számtani pénznem a könyvpénznél, egész gramm a konyhai mérlegnél, és az egész mandátum az arányos képviselethez az ülések kiosztására .

Ha növeljük a pozitív számot, akkor "felfelé kerekítésről" beszélünk; ha kisebb lesz, akkor a „kerekítéssel”. Negatív számok esetén ezek a szavak nem egyértelműek. Ha csak tizedesjegyek maradnak el, akkor az „elvágásról” beszél.

A „körülbelül egyenlő” ( ≈  ) jel  azt jelezheti, hogy a következő szám kerek. Alfred George Greenhill vezette be 1892-ben .

Kerekítési szabályok

Kereskedelmi kerekítés

A kereskedelmi fordulók (nem negatív számok) a következők:

• Ha az első tizedesjegyű szám 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor azt lefelé kerekítik.
• Ha az első tizedesjegyű szám 5, 6, 7, 8 vagy 9, akkor felfelé kerekítjük.

Ezt a kerekítési szabályt írja le a DIN 1333 szabvány . A kerekítést gyakran már az általános iskolában tanítják.

Példák (két tizedesjegyre kerekítve):

• 13,3749 ... € 13,37 €
• 13,3750 ... .3 13,38 €

Negatív számokat aszerint, hogy azok nagysága kerekítve, egy 5 mondani re nulla ( Engl : Távol Zero ):

• −13,3749 ... € ≈ −13,37 €
• −13.3750 ... € ≈ −13.38 €

A kereskedelmi fordulók részben a jogi környezetben vannak, mivel a polgári fordulók meg vannak hívva és z. B. a közszolgáltatókról szóló törvény 14. §- ában a következőképpen magyarázta:

Szimmetrikus lekerekítés

A kereskedelmi és szimmetrikus kerekítés csak abban különbözik egymástól, ahol egy számot pontosan középre kerekítünk két szám között a kiválasztott tizedesjegyű számmal.

A szimmetrikus (vagy geodéziai, matematikai, torzítás nélküli, tudományos ) kerekítést a következőképpen határozzuk meg (a formulához igazítva):

1. Ha az első tizedesjegyű szám 0, 1, 2, 3 vagy 4, akkor lefelé kerekítjük.
2. Ha a számjegy egy ötödik (majd további számjegyek, amelyek nem mind nullaak), 6, 7, 8 vagy 9 az első tizedesjegy pontossággal, akkor felfelé kerekítik.
3. Ha az első tizedesjegyben szereplő szám csak 5 (vagy 5, amelyet csak nulla követ), akkor úgy kerekítik, hogy az utoljára megtartandó szám páros legyen ("páros szabály").

Ezt a típusú kerekítést használják a numerikus matematikában , a mérnöki munkában és a technológiában. Az IEEE 754 szabvány rendelkezik a számítógépes bináris lebegőpontos számokkal történő számításra. Az angol nyelvű irodalomban Round to Evennek vagy Banker Rounding-nek hívják .

Példák (egy tizedesjegyig kerekítve):

• 2,2499 ≈ 2,2 (az 1. szabály szerint)
• 2,2501 ≈ 2,3 (a 2. szabály szerint)
• 2,2500 ≈ 2,2 (páros számra kerekítve a 3. szabály szerint)
• 2,3500 ≈ 2,4 (páros számra kerekítve a 3. szabály szerint)

Az előző szakaszban leírt kereskedelmi kerekítés apró szisztematikus hibákat okoz, mivel a felfelé kerekítés 0,5-tel történik, de a 0,5-ös lefelé kerekítés soha nem történik meg; ez kissé torzíthatja a statisztikákat. Az itt leírt matematikai kerekítés mindig két számjegy közötti pontos közepétől a következő páros számig kerekít felfelé vagy lefelé. Ennek eredményeként az átlagot nagyjából olyan gyakran kerekítik felfelé és lefelé, legalábbis ha az eredeti számok sztochasztikusak . (Ellenpélda: Ha a kis szám gyakoribb, mint a nagy, akkor azokat szisztematikusan lefelé, nem pedig felfelé lehet kerekíteni, lásd Benford törvényét .)

Összeg megőrzése kerekítés

Teljes megőrzésű kerekítéssel az összegeket úgy kerekítjük, hogy összegük megegyezzen az összegek kerekített összegével. Szükség lehet egyes összegek lekerekítésére a legközelebbi kerekített értéktől az ellenkező értékig.

Fontos alkalmazások a helyek kiosztása arányos ábrázolásban, és a számlában szereplő teljes áfa elosztása az egyes tételeknél.

Alaposan megvizsgálták azt az esetet, amikor minden összesítés pozitív, lásd a helyek kiosztásának eljárását .

Az ott található Hare-Niemeyer módszer általánosítható a mindkét előjelű summákra : Minden számot a legközelebbi kerek számokra kerekít, és amíg az összeg túl nagy (vagy túl kicsi), akkor a felfelé kerekített (vagy ) számokat az egyik a legnagyobb kerekítési (vagy a legnagyobb mennyiségű kerekítés lefelé), és megváltoztatja a kerekítési az ellenkező irányba. Ez azt jelenti, hogy a változások összegének összege minimális .

Lekerekített számok kezelése

A már lekerekített számok kerekítése

Ha a kezdeti szám már a kerekítés eredménye, akkor abban a határesetben, hogy az új kerekítési számjegy 5 (és az összes számjegy a nulla után legyen), lehetőség szerint a kerekítés nélküli számot kell használni (pl. Matematikai állandókkal):

• Nem ismert kerek szám: 13.374999747, kerekített kezdő szám: 13.3750

→ A kerekítetlen szám két tizedesjegyre történő kerekítése: 13.37

• Lekerekítetlen szám ismeretlen, kerekített kezdő szám: 13,3750

→ A korábban kerekített szám két tizedesjegyre történő kerekítése: 13.38.

A kerekítési eredmények azonosítása

A tudományos cikkekben és a logaritmustáblákban néha feltüntetik, hogy az utolsó számjegyet felfelé vagy lefelé kerekítéssel szerezték-e. A felfelé kerekítéssel kapott számot a szám alatti (vagy feletti) sor jelöli, egy számot, amelyet a kerekítés nem változtatott meg (a számot lekerekítették), a szám fölötti ponttal jelöljük.

Példák:

• ${\ displaystyle 3 {,} 4134928 ...}$válik ; ez a szám az új fordulók . Újra kerekítéskor (a példában a tizedesjegy utáni három helyre) le kell kerekíteni.${\ displaystyle 3 {,} 413 {\ aláhúzás {5}}}$${\ displaystyle 3 {,} 413}$
• ${\ displaystyle 2 {,} 6245241 ...}$válik ; ez a szám világosabb lesz, amikor legközelebb kerekíti . Újra kerekítéskor (a példában három helyre a tizedesjegy után) felfelé kell kerekíteni. A további kerekítéshez (itt két helyre) lefelé kerekítenék, amelyet 5 jelez .${\ displaystyle 2 {,} 624 {\ dot {5}}}$${\ displaystyle 2 {,} 625}$${\ displaystyle 2 {,} 62 {\ aláhúzás {5}}}$

Ha más számjegy nem ismert, akkor a kezdő számot feltételezzük pontosnak.

Számoljon kerek számokkal

Ha egy számításba kerekített számokat is beleszámítanak, a végeredményt ugyanannyi szignifikáns számra kell kerekíteni. Ha z. Például, ha 12,2 Newton erőt mérünk, akkor az ettől az erőtől függő összes végeredményt úgy kell kerekíteni, hogy legfeljebb három jelentős számjegy maradjon. Ily módon az olvasót nem teszik úgy, mintha pontosabb lenne, mint ami valójában elérhető.

Formális kerekítési szabályok

Különösen a kereskedelmi kerekítést magyarázzák úgy, hogy a gyerekek is megértsék. Ehhez csak az áruk és a fizetések árait kell tudni a pontjegyzetben. Még Bronstein / Semendjajew matematika zsebkönyvének "Elemi matematika" fejezetében is valamivel bonyolultabb kerekítési szabályok vannak megfogalmazva mélyebb matematikai kifejezések segítsége nélkül, de matematikai magyarázatokkal. Ez a szakasz ezek és néhány más matematikai megfontolást tárgyal.

Véges és végtelen számjegysorozat

Bronstein / Semendjajew megvitassák kerekítés felfelé vagy lefelé hivatalos számok - karakterláncok egy (decimális) helye értékrend , nem tévesztendő össze a része beszédet . Pozitív tizedes törtek (szigorú értelemben ) használhatók ${\ displaystyle {\ frac {a} {10 ^ {n}}}}$${\ displaystyle a, n \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle z_ {v} z_ {v-1} \ ldots z_ {0}, z _ {- 1} z _ {- 2} \ ldots z _ {- n}}$

legyen írva (vagy fordítva). Van néhány vessző (általános elválasztó ) előtt és utána. is ki a numerikus állomány { , , , , , , , , , }. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z_ {v}, \ ldots, z _ {- n}}$0123456789

További pozitív valós számok tizedes törtek (közelítő) tetszőleges pontossággal közelíthető legyen. Lásd illusztrációk a különböző fizetési módok és tizedes bővítése . A tizedes frakció tágulásának együtthatói

${\ displaystyle \ sum _ {i = v} ^ {\ infty} a_ {i} 10 ^ {i}}$

Ekkor egy szám végtelen hosszú számjegysorozatot eredményez (vessző vagy elválasztó által megszakítva) . Mindegyik esetben a szám a számjegy értéke a - már a számjegy értéke , az a számjegy értéke , stb ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z_ {v} z_ {v-1} \ ldots z_ {0}, z _ {- 1} \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle z_ {i}}$0${\ displaystyle 0}$1${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle A (j): = \ sum _ {i = v} ^ {- j} a_ {i} 10 ^ {i} \ qquad (j \ geq -v)}$

a hozzávetőleges értékek sorrendje monoton növekszik, és felfelé korlátozza . Még inkább: a felmondási hiba 0 felé hajlik , így konvergál a felé . van ${\ displaystyle A (j)}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle xA (j) \ leq 10 ^ {- j}}$ ${\ displaystyle A (j)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle Z (j): = z_ {v} \ ldots z_ {0}, z _ {- 1} \ ldots z _ {- j}}$

Minden a képviselő karakterlánc, így a karakterlánc egy előtagot a karaktersor , a végtelenül hosszú, ami karakterlánc - mellékesen  - ez valami hasonlót, Bronstein / Semendjajew informálisan ez egy „ kezdő részében ” az utóbbi. Ugyanaz, mint lehet mondható (vessző és tizedes helyek hiányoznak). ${\ displaystyle A (j)}$${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq l}$${\ displaystyle Z (k)}$${\ displaystyle Z (l)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Z (\ infty)}$${\ displaystyle Z (k)}$${\ displaystyle Z (0): = z_ {v} \ ldots z_ {0}}$

Az és az if-re vonatkozó állítások véges karakterláncokkal, tizedesjegyekkel ábrázolhatók . Ebben az esetben az együtthatókra és a számjegyekre vonatkoznak . Ez a megközelítés hasznos a kerekítési szabályok megfogalmazásában is. ${\ displaystyle A (j)}$${\ displaystyle Z (j)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z _ {- 1} \ ldots z _ {- n}}$${\ displaystyle i> n}$${\ displaystyle a_ {i} = 0}$${\ displaystyle z_ {i}}$ 0

Negatív számokra ugyanez vonatkozik egy megelőző mínusz előjelre stb. (A hozzávetőleges értékek sorrendje esik ...).

A különböző készletek számok és különböző kritériumok reprezentálhatósági véges karakterláncok, a fenti is vonatkozik helyre értékrendek más bázisok helyett 10. Base 10 közhely, ha nem (szakmailag) foglalkozik végrehajtásának kerekítés a számítógép , ahol hatáskörét 2 alapjául szolgálhatnak.

A jól szeretett dot jelölést formálisan definiált rekurzív következők ( áll az összefűzés karakterlánc, az üres karakterlánc ): ${\ displaystyle z _ {- 1} ... z _ {- j}}$${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle z _ {- 1} \ ldots z _ {- 0} = \ varepsilon; \ qquad z _ {- 1} \ ldots z _ {- (j + 1)} = z _ {- 1} \ ldots z _ {- j} \ circ (z _ {- (j + 1)}) \ quad (j \ in \ mathbb {N} _ {0}).}$

"Cut off" / "Cancel"

Csonkolása vagy az abortusz / vetélés után -edik tizedesjegyig számos amely tizedesjegyig ismert eszközökkel, hogy a „numerikus szó” helyébe „közelítés”, a jelöléseket fent a . Tehát egy precízebb karakterlánc előtagját vagy „kezdő részét” használja. Az eset gyakorlatilag arról szól, amikor egymás után egy nem megjeleníthető, véges számú számjeggyel az első szám meghatározza a tizedesjegyeket, és nem tovább - ebben az esetben azonban inkább a képviselt szám közelítés . A (legalább) ismerete azonban szükséges a matematikai kerekítéshez a tizedes tizedesjegyig . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n \ geq b}$${\ displaystyle z_ {v} \ ldots z_ {0}, z _ {- 1} \ ldots z _ {- n} \ ldots}$${\ displaystyle z_ {v} \ ldots z_ {0}, z_ {v + 1} \ ldots z _ {- b}}$${\ displaystyle Z (n)}$${\ displaystyle Z (b)}$${\ displaystyle b = n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle Z (b)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle z _ {- b-1}}$

Szám törlése tizedesjegyekkel - z. B. mért értékekből számolva vagy leolvasva a mérőeszközről - a tizedesjegyek hasznosak lehetnek, ha kerek számokkal számolnak , vagy ha tudod, hogy a készülék tizedesjegyeket jelenít meg, de csak megbízhatóan képes megmérni őket. ${\ displaystyle n> b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$

Befejez

A Gauss-zárójel  : más néven Gauss-szám, egész vagy kerekítési függvény minden valós számot a legnagyobb egész számra képez , amely nem nagyobb, mint a valós szám. ${\ displaystyle \ lfloor ... \ rfloor}$

Következtetések:

• A Gauss-függvény nem változtatja meg a jelet , de a pozitív számot nullára tudja térképezni.
• A pozitív számok esetében a számjegyes jelölésben a Gauss-függvény használata megegyezik a tizedesjegyek (beleértve a vesszőt) csonkolásával.
• Minden negatív nem egész szám esetében a függvényérték nagysága nagyobb, mint a bemeneti szám nagysága.

A pozitív nem egész szám számokban való kerekítéséhez , hogy csak a tizedes tizedesjegy maradjon meg ( a tizedesjegy után a tizedikig kerekítve), egyszerűen levágja a többi tizedesjegyet. A tizedes rendszerben az érték a tizedes tizedesjegyig kerekszik a Gauss-zárójelek segítségével${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ frac {\ lfloor 10 ^ {b} \ cdot x \ rfloor} {10 ^ {b}}} = \ lfloor 10 ^ {b} \ cdot x \ rfloor \ cdot 10 ^ {- b}}$.

Felhajt

A Gauss-zárójel függvény párja a kerekítési függvény (más néven felső Gauss-zárójel ), a valós számé az egész szám. ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ lceil x \ rceil: = \ min \ {y \ in \ mathbb {Z} \ y y \ geq x \}}$

kijelöli. Az érték egy pozitív valós szám kerekítve a -ik tizedesjegyig van . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lceil 10 ^ {b} \ cdot x \ rceil \ cdot 10 ^ {- b}}$

Kerekítés a számítógépben

Mivel a lebegőpontos számok csak egy bizonyos, véges memóriaterületet foglalnak el a számítógépen, a pontosságot a rendszer korlátozza. Matematikai műveletek (például szorzás) után általában olyan számokat állítanak elő, amelyek nagyobb fokú pontosságot igényelnek. Az eredmény megjelenítéséhez valamilyen módon kerekíteni kell, hogy a szám illeszkedjen a kívánt számformátumba (pl. IEEE 754 ).

A legegyszerűbb kerekítési séma a vágás (angol. Csonkolás vagy aprítás ): Egy adott balra egy bizonyos pont balra áll, a többit eldobta. Ez kerekíti le a lehető legközelebbi számra. Például, ha nulla tizedesjegyig kerekít, a . Ez a módszer nagyon gyors, de viszonylag nagy kerekítési hibában szenved (a példában ). A nyírás azonban nélkülözhetetlen módszer a digitális jelfeldolgozásban . Ez az egyetlen módszer, amely megbízhatóan megakadályozhatja az instabil határciklust a digitális szűrők kerekítési hibái miatt . ${\ displaystyle 10 {,} 11_ {2} = 2 {,} 75_ {10}}$${\ displaystyle 10_ {2} = 2_ {10}}$${\ displaystyle 0 {,} 75_ {10}}$

A kereskedelmi kerekítést további kerekítési sémaként is alkalmazzák ( kerek-legközelebbi ). Kerekítés előtt hozzáadod a kerekítendő számhoz, majd levágod. A példában ez azt jelenti, hogy levágják . A hiba itt csak az . Ez a kerekítés azonban pozitívan torzul. ${\ displaystyle 0 {,} 1_ {2} = 0 {,} 5_ {10}}$${\ displaystyle 2 {,} 75_ {10} +0 {,} 5_ {10} = 3 {,} 25_ {10} = 11 {,} 01_ {2}}$${\ displaystyle 11_ {2} = 3_ {10}}$${\ displaystyle 0 {,} 01_ {2} = 0 {,} 25_ {10}}$

Ezért figyelembe vesszük a matematikai kerekítést ( angol kerekítés a legközelebbi-párosig ), amely a következő páros számra kerekszik a végződő számokra . Ezt a kerekítési eljárást az IEEE 754 szabvány írja elő. Alternatív megoldásként a legközelebbi páratlan számra kerekítve is ( angolul kerek-legközelebbi-páratlanra ). ${\ displaystyle \ ldots {,} \ ldots 5_ {10} = \ ldots {,} \ ldots 1_ {2}}$

Annak ellenére, hogy a matematikai kerekítés jól teljesít numerikusan, mégis teljes kiegészítést igényel, mert a legrosszabb esetben a hordozó bit végigvándorol a szám minden számjegyén. Ezért a futásideje viszonylag gyenge. A lekerekített eredményeket tartalmazó kész táblázat, amelyet csak fel kell hívni, egy lehetséges út ennek a problémának.

internetes linkek

• Az euró bevezetése és a valutaösszegek kerekítése (PDF; 200 kB) - Európai Bizottság, 1999

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling: Lineáris algebra, mint bevezetés az absztrakt matematikába. World Scientific, Szingapúr, 2016, ISBN 978-981-4730-35-8 , 186. o.
2. ↑ Kereskedelmi kerekítés - Mi a kereskedelmi kerekítés? Billomat GmbH & Co. KG ( Nürnberg ), hozzáférés: 2018. március 31. (különösképpen elmagyarázza, hogy miként kell használni a lekerekített számokat ). 
3. ↑ A számtartományok didaktikája ( Memento 2015. február 19-től az Internet Archívumban ) (PDF; 118 kB) Augsburgi Egyetem, C. Bescherer.
4. ^ Ilja N. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, ISBN 978-3808557891 .
5. ↑ Hogyan hajtják Custom kerekítése Eljárások cikk - 196652, Microsoft Support (2004).
6. ^ ^{A b} J. N. Bronstein , KA Semendjajew : Taschenbuch der Mathematik . Szerk .: Günter Grosche, Ziegler Viktor. 20. kiadás. Verlag Harri Deutsch , Thun és Frankfurt / Main 1981, ISBN 3-87144-492-8 , 2.1. Szakasz. "Elemi közelítő számítás" (szerkesztette: G. Grosche), 2.1.1. Szakasz. 
7. B ^{a b} Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 20. kiadás. 1981, 2.1.1.1. Szakasz "Számábrázolás a helyzetrendszerben", p. 149 . 
8. ^ ^{A b c} Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 20. kiadás. 1981, 2.1.1.2. Szakasz "Felmondási hibák és kerekítési szabályok", p. 150 .