Leibniz-szektor képlete

A szektor általános képletű Leibniz , elnevezett Leibniz , kiszámítja a terület-orientált, a sugár áthalad egy futó görbe egy részét, különösen akkor lehetséges a felszíni felület a területeken, amelyek által leírt zárt görbe, számítsuk.

képlet

Legyen a egy sima görbe , majd átmegy a származási képzett távolsági fény az orientált területe a következő méretű: ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle t \ mapsto (x (t), y (t))}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle F (\ gamma) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} (x (t) y ^ {\ prime} (t) -y (t) x ^ {\ prime} (t)) dt}$

Kissé sima görbék

Ha van egy szakaszonként sima görbe a és a partíció , úgyhogy a részintervallumok számára van sima, akkor: ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle \ {t_ {0}, \ ldots, t_ {n} \}}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle [t_ {k-1}, t_ {k}]}$${\ displaystyle k = 1, \ ldots n}$

${\ displaystyle F (\ gamma) = F (\ gamma _ {1}) + \ ldots + F (\ gamma _ {n})}$

Itt az intervallumra korlátozott görbe jelöli . ${\ displaystyle \ gamma _ {k}}$${\ displaystyle [t_ {k-1}, t_ {k}]}$

Csatlakozás háromszögekkel

Az ágazati képlet a háromszögek területének kiszámítására szolgáló meghatározó képlet általánosításaként értelmezhető. Vannak , , csúcsainak bármely háromszög, akkor ez expresszálódik az alábbi piecewise sima görbe leírt: ${\ displaystyle A = (x_ {1}, y_ {1})}$${\ displaystyle B = (x_ {2}, y_ {2})}$${\ displaystyle C = (x_ {3}, y_ {3})}$ ${\ displaystyle [0,3] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ gamma (t): = {\ begin {cases} \ gamma _ {a} (t) = (x_ {1} + (x_ {2} -x_ {1}) t, \, y_ {1 } + (y_ {2} -y_ {1}) t) és {\ text {if}} 0 \ leq t \ leq 1 \\\ gamma _ {b} (t) = (x_ {2} + (x_ {3} -x_ {2}) (t-1), \, y_ {2} + (y_ {3} -y_ {2}) (t-1)) és {\ text {if}} 1 \ leq t \ leq 2 \ gamma _ {c} (t) = (x_ {3} + (x_ {1} -x_ {3}) (t-2), \, y_ {3} + (y_ {1 } -y_ {3}) (t-2)) és {\ text {fall}} 2 \ leq t \ leq 3 \ end {esetek}}}$

Ekkor a háromszög területszámításánál a következők érvényesek:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} F (\ triangle) & = {\ frac {1} {2}} \ left | {\ begin {mátrix} 1 & x_ {1} & y_ {1} \\ 1 & x_ {2} & y_ {2} \\ 1 & x_ {3} & y_ {3} \ end {mátrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} [(x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ { 2}) + (x_ {2} y_ {3} -y_ {2} x_ {3}) + (x_ {3} y_ {1} -y_ {3} x_ {1})] \\ & = \ quad {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} [(x_ {1} + (x_ {2} -x_ {1}) t) (y_ {2} -y_ {1} ) - (y_ {1} + (y_ {2} -y_ {1}) t) (x_ {2} -x_ {1})] dt \\ & \ quad + {\ frac {1} {2}} \ int _ {1} ^ {2} [(x_ {2} + (x_ {3} -x_ {2}) (t-1)) (y_ {3} -y_ {2}) - (y_ {2 } + (y_ {3} -y_ {2}) (t-1)) (x_ {3} -x_ {2})] dt \\ & \ quad + {\ frac {1} {2}} \ int _ {2} ^ {3} [(x_ {3} + (x_ {1} -x_ {3}) (t-2)) (y_ {1} -y_ {3}) - (y_ {3} + (y_ {1} -y_ {3}) (t-2)) (x_ {1} -x_ {3})] dt \\ & = F (\ gamma _ {a}) + F (\ gamma _ { b}) + F (\ gamma _ {c}) \\ & = F (\ gamma) \ vége {igazítva}}}$

Kapcsolat az integrál mondatokkal

Zárt görbe esetén Leibniz szektorképlete Green integrál tételének speciális esete . A szerves tétel egy görbe a zárt terület és két differenciálható függvények a következő egyenletet: ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ gamma (a) = \ gamma (b)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int _ {B} {\ Bigl [} g_ {x} (x, y) -f_ {y} (x, y) {\ Bigr]} dxdy = \ int _ {a} ^ {b} {\ Bigl [} f {\ bigl (} x (t), y (t) {\ bigr)} \ cdot x ^ {\ prime} (t) + g {\ bigl (} x (t), y ( t) {\ bigr)} \ cdot y ^ {\ prime} (t) {\ Bigr]} dt}$

Ha a helyi függvényeket választjuk, és így igaz , és megkapja: ${\ displaystyle f (x, y) = - y}$${\ displaystyle g (x, y) = x}$${\ displaystyle f_ {y} (x, y) = - 1}$${\ displaystyle g_ {x} (x, y) = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ int _ {B} (1 - (- 1)) dxdy = \ int _ {a} ^ {b} {\ Bigl [} -y (t) \ cdot x ^ {\ prime} (t) + x (t) \ cdot y ^ {\ prime} (t) {\ Bigr]} dt \\\ Balra mutató nyíl & \ int _ {B} 1dxdy = {\ frac {1} {2 }} \ int _ {a} ^ {b} {\ Bigl [} x (t) \ szor y ^ {\ prime} (t) -y (t) \ x x {{prime} (t) {\ Bigr]} dt \ end {igazítva}}}$

Mivel az 1-es területre történő integráció maga a terület biztosítja, az alábbiak érvényesek:

${\ displaystyle F (\ gamma) = \ int _ {B} 1dxdy = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} {\ Bigl [} x (t) \ cdot y ^ {\ prime} (t) -y (t) \ cdot x ^ {\ prime} (t) {\ Bigr]} dt}$.

Alternatív képlet

A szakirodalomban egy másik képletet időnként Leibniz szektorképletének neveznek. Ez sokkal több különleges és ahelyett, hogy hangolják össze , és a paraméter görbe használ egy függvény , amely leírja a távolság egy görbe pont a közepén egy csillag alakú készlet . Ezzel akkor érvényes: ${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$${\ displaystyle r (t)}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle F (B) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} r (t) ^ {2} \ dt}$

Mivel ez a képlet az előzővel ellentétben nem használ orientált területet, csak csillag alakú halmazokra érvényes. Ha van egy csillag alakú halmaz középpontja, akkor r (t) kiszámítható a paramétergörbe koordinátafüggvényeiből származó kapcsolat segítségével . ${\ displaystyle (x_ {z}, y_ {z})}$${\ displaystyle r (t) = {\ sqrt {(x (t) -x_ {z}) ^ {2} + (y (t) -y_ {z}) ^ {2}}}}$

példa

A szívgörbe a következő paraméter-ábrázolással rendelkezik: ${\ displaystyle \ gamma: [0,2 \ pi] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle x = a \ cos (t) (1+ \ cos (t)) \ qquad y = a \ sin (t) (1+ \ cos (t))}$

Az ágazati képlet ekkor a következő területet adja meg:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} F (\ gamma) & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} a \ cos (t) ( 1+ \ cos (t)) a (\ cos (t) +2 \ cos (t) ^ {2} -1) + a \ sin (t) (1 + 2 \ cos (t)) a \ sin ( t) (1+ \ cos (t)) {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} (1 + \ cos (t)) ^ {2} a ^ {2} {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {3} {2}} a ^ {2} \ pi \ end {igazítva}}}$

Az alternatív képlet használatakor választhat középpontnak, majd megkapja: ${\ displaystyle (0,0)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} F (\ gamma) & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} {\ bigl (} a \ cos (t) (1+ \ cos (t)) {\ bigr)} ^ {2} + {\ bigl (} a \ sin (t) (1+ \ cos (t)) {\ bigr)} ^ { 2} {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} (1+ \ cos (t)) ^ { 2} a ^ {2} (\ cos (t) ^ {2} + \ sin (t) ^ {2}) {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ Bigl [} (1+ \ cos (t)) ^ {2} a ^ {2} {\ Bigr]} dt \\ & = {\ frac {3} { 2}} a ^ {2} \ pi \ end {igazítva}}}$

irodalom

• Konrad Königsberger : Elemzés 1 . 2. kiadás, Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6 , 343. o
• Wolfgang Walter: Analysis I . 2. kiadás, Springer 1985, ISBN 3-540-51708-1 , 285-286
• Harro Heuser : Az elemzés tankönyve - 2. rész . 5. kiadás, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0 , 498. o

web Linkek

• Weikert J.: Görbék és ívhossz (PDF; 595 kB). A matematika számítógépes szakemberek azt , script Uni Saarland
• Többdimenziós integrálszámítás . II . Felső matematikában (egyetemi írás)