Szeximális rendszer

A sexagesimal rendszer (szintén hexagesimal rendszer vagy hatvanas évek rendszere ) a 60. bázison ( latinul sexagesimus 'hatvanadik " ) alapuló helyértékrendszer .

Ma is használják a szögek , földrajzi hosszúságok és szélességek jelzésére . Egy fok 60 ívperc , egy perc 60 másodperc . Az időmérés területén is fennmaradt . Egy óra 60 percet és egy perc 60 másodpercet tartalmaz . A késő középkorban néhány matematikus tovább számolta a másodperceket terciákra . Ez azonban nem fogott meg.

eredet

Az első bizonyíték egy írásos nemi számítási rendszerre, amely még összeadási rendszer volt, a sumerok idejére nyúlik vissza, ie 3300 körül. Kr. E. A babiloni matematika további folyamán kb. Szeximális kis helyrendszert használtak. A matematika fő forrásai ie 1900 -ból származnak. Kr. E. 1600 -ig Kr. E., De a legrégebbi táblázatszövegek az új sumér korszakból valók. Az alexandriai időszak utáni időszak egyre növekvő görög hatásokat mutat a szeleukidák alatt , amelyek szinergiába léptek a babiloni ismeretekkel annak érdekében, hogy később teljes mértékben exportálni tudják a sumérok, akkádok, asszírok és babiloniak tapasztalatait Görögországba. Az arab csillagászok a híres görög csillagász, Ptolemaiosz helyesírását használták csillagtérképeikben és tábláikban , amely a nemek közötti törtek alapján készült. A korai európai matematikusok, mint például Fibonacci is használtak ilyen törteket, amikor nem tudtak egész számokkal operálni.

Sok történész lásd a motívum a bevezetését hatvanas rendszer csillagászat , mivel a babiloni év áll tizenkét hónap 30 nap, de volt még egy további 13 szökõhónapot körülbelül háromévente . További információk a holdhónapok korai számlálásában találhatók, amely Kr.e. 35 000 -ből származik. Bizonyítható (naptári bot). A Cseh Köztársaság , a küllő csont egy fiatal farkas találtak körül 30,000 BC. A Discover, amelynek összesen 55 rovátkája van, a 9., a 30. és a 31. bevágás körülbelül kétszer olyan hosszú a tetejétől, mint a többi bevágás. Mivel a holdfázisok átlagos időtartama 29,53 nap, a jelölések a holdfázisokhoz köthetők .

Más tudósok a 60 -as szám kiválasztásának okát látják a számítástechnikai rendszer alapjául, hogy egyszerűen ki tudják fejezni vagy kiszámíthassák a gyakorlati számlálás és mérés (kereskedelem) során előforduló részek lehető legtöbbjét. Erre utal, hogy a 60, 12 osztóval a nagyon összetett számokhoz tartozik ( az OEIS A002182 sorozatának 9. száma ).

Egy- és kétkezes számlálás falangokkal és ujjakkal

A szokásos tizedes rendszerben (tízes rendszer) mindkét kéz tíz ujjával (kétszer öt) számol . A világ egyes területein azonban számolás történt a falanx segítségével , ami egy kézzel a tizenkettes ( duodecimális ) számhoz vezetett, de két kézzel a 60 -as számhoz vezetett.

Egykezes számolás 12-ig

A számlálás a hüvelykujjal történik, mint mutató, és ugyanazon kéz kézfejével, mint a számláló objektum.

Az egykezes számlálás azzal kezdődik, hogy megérinti az első tárgy ugyanazon kéz kisujjának hegyét, azaz a felső falanxot.
A második tárgynál a kisujj középső falanxját érintik a hüvelykujjával; tehát hüvelykujjával végtagján és ujjánál számít.
Három → a kisujj alsó láncszeme
Négy → a gyűrűsujj felső láncszeme
Öt → a gyűrűsujj középső láncszeme
Hat → a gyűrűsujj alsó láncszeme
Hét → a középső ujj felső falanxja
Nyolc → középső ujj középső falanxja
Kilenc → a középső ujj alsó láncszeme
Tíz → a mutatóujj felső falanxja
Tizenegy → a mutatóujj középső láncszeme
Tizenkét → a mutatóujj alsó láncszeme

Más szóval: négy ujj 3 falannal egyenlő 12 -vel.

Kétkezes számlálás 60-ig

Miután az első tucatot a hüvelykujjával mutatószámként számolták ugyanazon kéz fennmaradó négy ujjának három falangájával (4 × 3 = 12), az egyik kéz számlálási képessége kezdetben kimerült.

A másik kezét ökölbe szorítják. Hogy emlékezzen arra, hogy egy tucatot megszámoltak, az egyik most kinyújtja az ujját, pl. B. a hüvelykujjat ki.
Most folytatja a számolást úgy, hogy újrakezdi egynél az első kezével . Abban tizenkét , a második tucat megtelt.
Hogy emlékezzünk arra, hogy két tucatot megszámoltak, az egyik most kinyújtja a másik kéz következő ujját, pl. B. miután a hüvelykujj ki a mutatóujját.
Az első kéz öt ujjával ötször tucatszámolhat, tehát 5 × 12 = 60.
Most az első kézzel újra megszámolhatja a következő tucatokat, azaz két kézzel 72 -ig (másrészt 12 az első plusz 60).

Ez az ujjszámláló rendszer még mindig létezik Törökország , Irak , India és Indokína egyes részein .

12 × 12 = 144 ( nagy ) vagy 156 (13 × 12) is számíthat , ha másodkézből számolja a falanx segítségével.

Nagy mennyiség számításakor segédeszköz használható, például botok, kövek, vonalak vagy a segítő tíz ujja. Egyszerre öt tucatot, azaz 60 -at jegyeznek az egyik segédeszközzel. Egy emberi segítő tíz ujjával akár 10 × 60 = 600 -at is megszámolhat, a többi segédeszközzel pedig még tovább.

Sumérok

A sumérok körében a 60 -at gesch -nek hívták .

120: gesch-min (60 × 2)
180: gesch-esch (60 × 3)
240: gesch-limmu (60 × 4)
300: gesch-iá (60 × 5)
360: gesch-asch (60 × 6)
420: gesch-imin (60 × 7)
480: felvétel (60 × 8)
540: gesch-ilummu (60 × 9)
600: gesch-u (60 × 10)
Most a sumérok nem 60-as ( gesch- lépések), hanem 600 lépésben ( gesch-u -steps ) számoltak , mégpedig hatszor 600, azaz 3600-ig, amit schárnak hívtak .
A 3600-at ezután tízszer növelték schàr-u (3600 × 10) 36 000-re.
A 36 000-et hatszor 216 000 schàr-gal- ig számolták , szó szerint a nagy 3600- at ( azaz 60 × 60 × 60).
A 216 000-et tízszer 2160 000 schàr-gal-u-ig számolták (= (60 × 60 × 60) × 10)
A schàr-gal-u kezdetben ötször szorozódott. A hatodik többszörös 12 960 000, azaz 60 × 60 × 60 × 60 ismét a saját nevét kapta, nevezetesen a schàr-gal-shu-nu-tag (a nagy schár felsőbbrendű egység).

A 10 és 60 közötti számok tizedesjelekkel rendelkeznek (30 = uschu = esch-u = 3 × 10), és néha még egy vigesimális szerkezetűek is (40 = nischmin = nisch -min = 2 × 20).

A sexagesimal rendszer a babiloni használatban

A sumírok előtt ékírásos jelzéseket a számok 1 és 60 mindegyike különböző méretű fele ellipszisek és a számok 10 és 3600 = 60² egyes különböző méretű körök , a hengeres ceruza nyomják agyagtábla. Ezekből a szimbólumokból a 600 = 10 · 60 és 36000 = 10 · 60² szimbólumokat ennek megfelelően kombinálták. Volt egy másik rendszer 1, 10 és 100 tizedes szinttel, valamint egy harmadik rendszer akkád idő szerint. Amíg a késő-sumer időszakban az egyes karakterek megváltozott az alakjuk, de megőrizték egyedi jellegének és kialakult egy kiegészítés rendszere hasonló a római számokkal . Csak a későbbi babiloni szexualizális rendszerrel létezett valódi helyérték -rendszer, amely csak két egyéni karakterrel rendelkezett: 1 -re és 10 -re. Ezekkel az 1-59 számokat additívan lehetett kialakítani, ami viszont megkapta tényleges értékét, mint a számjegyeket a tizedesrendszerben a pozíciójukon keresztül.

A számok

A sexagesimal rendszer használatának okai a hatékony számítási módszerben és az egyes számkarakterek nagyon korlátozott számában rejlenek. Néhány példa a babiloni ékírásra:

Szeximális rendszer ékírás formájában
	1	2	3	4.	5	6.	7	8.	9

10	11	12	13	14 -én	15 -én	16	17 -én	18 -án	19

20	30 -án	40	50

További számszerű példák:

= 62, = 122 és = 129.

A számok csak két egyedi számból állnak. E tekintetben a tényleges számok számát nem korlátozták, bár csak két egyedi számra hivatkoztak, amelyek méretét szükség szerint módosították. Ennek ellenére mindig vannak problémák az olvasással, mert egy szám számjegyei, amelyek többnyire a kontextusból adódtak, nem voltak egyértelműek: z. B. jelentése 30, 30x60 vagy 30/60 stb. Hasonlóképpen nem volt nulla, így időnként hiányzott egy számjegy - ami azonban nagyon ritka volt -, és különböző számokat írtak ugyanúgy. Később néha hiányt hagytak egy hiányzó ponton, az ie 6. századtól kezdve. A nulla értékű szóköz további számjelként jelent meg. Ezt a teret azonban nem használták közvetlenül a számításban, és nem jelent meg külön számszimbólumként, így nem jelentette a nulla szám jelentését . A jelentést a nulla szám szimbólumaként viszont először az indiánok adták a helyüknek .

A szexuális számokat arab számokkal ábrázoljuk úgy, hogy vesszőt írunk két különálló szám közé. Ezzel szemben az egész nemi számjelet pontosvessző választja el a törött helyektől, és ha hiányoznak helyek vagy szóközök, akkor egy „0” -ot kell írni (ez akkor értelmezés). B. 30,0 = 30 * 60 és 0; 30 = 30/60.

A számítástechnika

Összeadni és kivonni

A tizedes rendszerünkhöz hasonlóan a helyérték -rendszer lehetővé tette az előző számjegy 1 -es bővítését vagy csökkentését. Az ékek alakja megkönnyítette a szexualitási rendszert, mert csak az ékeket kellett összerakni. Az összeadáshoz és kivonáshoz használt szakkifejezések a „szorzás” és az „eltávolítás” voltak (a + és - matematikai szimbólumokat először Johannes Widmann vezette be a Kr. U. 15. században). A két szám közötti negatív különbséget a "Subtrahend isyond" kifejezéssel fejezzük ki. Az összeadás és a kivonás ugyanúgy működik, mint ma a tizedes rendszerben.

Példa a kiegészítésre:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rr} 59 & \\ + \ 11 & \\ + \ 20 & \\\ hline 1 {,} 30 & (= 90), \ end {tömb}}}

a sexagesimal rendszer jelölésében. A tizedesvessző előtti 1 az 1 60 értéket jelöli, amelyhez a tizedespont utáni 30 -as számot hozzáadjuk.

Példa kivonásra:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} 4 {,} 40 & (= 280) \\ - \ 1 {,} 40 & (= 100) \\ - \ 1 {,} 50 & (= 110) \\\ hline 1 {,} 10 & (= 70), \ end {tömb}}}

a sexagesimal rendszer jelölésében. A 4 és az 1 a tizedesvessző előtt a 4 60 és az 1 60 értékeket jelöli, amelyekhez a 40, 50 és 10 számokat kell hozzáadni a tizedespont után.

Szorozz

A szaporításhoz ugyanazt az eljárást alkalmazták, mint a tizedesrendszerben. De míg a tízes számrendszerben az egyiknek a szorzást táblázat 1 · 1-9 · 9 szem előtt tartva, a babiloniak kellett volna képes megjegyezni a szorzótábla 1 · 1-59 · 59. A dolgok megkönnyítése érdekében szorzótáblákat használtak, amelyekből le lehetett olvasni a szükséges termékeket: A szorzótábla minden sora azonos fejszámmal kezdődött , pl. B. 2, majd az „times” kifejezés és a szorzó, pl. B. 1, és végül az eredmény, pl. B. 2. A szorzók 1 és 20 között voltak, majd 30, 40 és 50 jött.

Mivel a sexagesimal rendszerben a 60 -at 10 -es lépésekben osztályozták (lásd fent a számok alatt), és általában a mindennapi élet tizedes számai voltak használatban. B. 1.40 = 100 és 16.40 = 1000 szorzótábla létrehozva. Egy másik ok a kölcsönös táblázatok értékeivel való kölcsönhatás (lásd alább a felosztást). Ha más értékekre volt szükség, a számokat összegezték.

A fej számai:

1.15	1.20	1.30	1.40	2	2.13.20	2.15	2.24	2.30	3	3.20	3.45	4.	4.30	5	6.	6.40	7	7.12	7.30	8.
8.20	9	10	12	12.30	15 -én	16	16.40	18 -án	20	22.30	24	25 -én	30 -án	36	40	44.26.40	45	48	50

Példa szorzásra:

{\ displaystyle 29 \ cdot 1 {,} 12 = 29 \ cdot 1 {,} 0 + 20 \ cdot 0 {,} 12 + 9 \ cdot 0 {,} 12 = 29 {,} 00 + 4 {,} 00 +1 {,} 48 = 34 {,} 48}

.

Elosztani, megosztani

A babilóniaiak osztva számos számos , amelyben a reciprok a szorzatát: ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle a: n = a \ cdot {\ frac {1} {n}}}

.

A reciproka számos lehet találni egy szorzást táblázatot a fej számot , ha egy elektromos 60 osztva. Mivel ennek eredményeként ott volt , d. H. 60 -as hatvány, akkor a megfelelő szorzó az Ön által keresett kölcsönös érték ( és ugyanaz a képviselet a babiloni szexualizális rendszerben): ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}}}$

{\ displaystyle n \ cdot m = 60 ^ {l}}

, így .

{\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}} = {\ frac {1} {n}}}

A természetes számok kölcsönös értékeit (reciprokokat) ismét kölcsönös táblázatokba foglaltuk össze , hogy megkönnyítsük a dolgokat . Az egyik ilyen táblázatokba írta azokat az értékeket, amelyeknek nem volt reciproka a szorzótáblában, "nincs" a reciprok helyett. Ezeknél a szabálytalan számoknál, amelyek prímtényezője ≥ 7, hozzávetőleges értékeket használtak, mint az irracionális számokhoz .

A főként használt kölcsönös táblázat a következő számpárokat tartalmazza:

n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n
2	30 -án	3	20	4.	15 -én	5	12	6.	10	8.	7.30	9	6.40	10	6.	12	5	15 -én	4.
16	3.45	18 -án	3.20	20	3	24	2.30	25 -én	2.24	27	2.13.20	30 -án	2	32	1.52.30	36	1.40	40	1.30
45	1.20	48	1.15	50	1.12	54	1640	60	1	1.4	56.15	1.12	50	1.15	48	1.20	45	1.21	44.26.40

A kölcsönös táblázatból sok mindent ki lehet olvasni, beleértve vagy vagy , de fordítva is, stb. ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0; 20}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3 {,} 0}} = {\ frac {1} {180}} = 0; 0 {,} 20}$ ${\ displaystyle 1: 0; 3 = 60: 3 = 20}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} = 0; 3}$

Példák felosztásokra:

{\ displaystyle 4: 3 = 4 \ cdot {\ frac {1} {3}} = 4 \ cdot 0; 20 = 1; 20}

.

{\ displaystyle 0; 12: 25 = 0; 12 \ cdot {\ frac {1} {25}} = 0; 12 \ cdot 0; 2,24 = 0; 0.28.48}

.

Gyökér számítás

Az ókori görög matematikus és alexandriai Heron mérnök a Metrica -ban az ókori Babilóniai Birodalomban már ismert módszert használta a gyökerek kiszámításához.

{\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ pm b}} \ kb a \ pm {\ frac {b} {2a}}}

.

${\ displaystyle a}$ négyzetek asztaláról vették . A 2 (irracionális) négyzetgyökére kapjuk:

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {1; 20 ^ {2} +0; 13.20}} \ kb 1; 20 + 0; 5 = 1; 25}

,

d. H.

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {2} + {\ frac {2} {9}}}} \ kb {\ frac {4} {3}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {17} {12}} \ kb 1 {,} 41666667}

.

A babiloni agyagtáblán (Yale Babylonian Collection 7289) jobb közelítés látható a négyzet átlóján is:

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ kb 1; 24,51,10 \ left (= {\ frac {305470} {216000}} \ kb 1 {,} 41421296 \ right)}

.

Mivel

{\ displaystyle 1; 25> {\ sqrt {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}}> {\ frac {2} {1; 25}} \ kb 1; 24,42, 21 ( \ kb 1 {,} 41176389)}

,

1, 25 és 1; 24,42,21 között van, számtani átlaguk

{\ displaystyle (1; 25 + 1; 24,42,21) \ cdot 0; 30 \ kb 1; 24,51,10}

közelebb

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ kb 1 {,} 41421356}

.

Most az agyagtábla négyzetének oldalhossza 30, az átlók hossza pedig 42,25,35, ami a következő számításként értelmezhető:

{\ displaystyle 0; 30 \ cdot 1; 24,51,10 = 0; 42,25,35}

.

A példa azt mutatja, hogy a babiloniak algebrai és geometriai ismeretekkel rendelkeztek (itt a „ Pitagorasz -tételt ” lehetett volna használni).

további információ

A sexagesimal rendszer közvetlen rokona a 12 bázisú duodecimális rendszer .

irodalom

Robert Kaplan: A nulla története. Kemény borító: Campus Verlag, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-593-36427-1 . Könyvkiadás: Piper Verlag, 2003, ISBN 3-492-23918-8 .
Richard Mankiewicz: A matematika időutazása - a számok eredetétől a káoszelméletig. VGS Verlagsgesellschaft, Köln 2000, ISBN 3-8025-1440-8 .
Kurt Vogel : A görög előtti matematika. II. Rész: A babiloniak matematikája. Schroedel, Hannover és Schöningh, Paderborn 1959.

web Linkek

Wikiszótár: Sexagesimal rendszer - jelentésmagyarázatok, szó eredet, szinonimák, fordítások

Christoph Grandt: A babiloni Sexagesimal System . (PDF; 215 kB)

Egyéni bizonyíték

↑ JP McEvoy: Napfogyatkozás. Berlin-Verlag, 2001, 43. o. K. Vogel: II . Rész , 22. o.
↑ Vogel K.: A görög előtti matematika. I. rész: Őstörténet és Egyiptom. Schroedel, Hannover és Schöningh, Paderborn 1958. 16. o., 11. ábra.
↑ Vogel K.: II . Rész , 23. o.
↑ Georges Ifrah: A számok egyetemes története . Licencelt kiadás kétezer és egy kiadás. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, p. 69–75 és 90–92 (franciául: Histoire universelle des chiffres . Fordította: Alexander von Platen).
↑ Ifrah: A számok egyetemes története . 2. kiadás. Campus, Frankfurt am Main és New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, p. 69 ff . (Első kiadás: 1991).
↑ Thureau-Thangin 1932-ben "a sumér számrendszeren belül legkisebb szigetnek" nevezte. Ifrah: A számok egyetemes története . 2. kiadás. S. 71 .
↑ Vogel K.: II . Rész , 18. o.
↑ Vogel K., II . Rész , 34. o.

[1] JP McEvoy: Napfogyatkozás. Berlin-Verlag, 2001, 43. o. K. Vogel: II . Rész , 22. o.

[2] Vogel K.: A görög előtti matematika. I. rész: Őstörténet és Egyiptom. Schroedel, Hannover és Schöningh, Paderborn 1958. 16. o., 11. ábra.

[3] Vogel K.: II . Rész , 23. o.

[Ifrah_2-4] Georges Ifrah: A számok egyetemes története . Licencelt kiadás kétezer és egy kiadás. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, p. 69–75 és 90–92 (franciául: Histoire universelle des chiffres . Fordította: Alexander von Platen).

[Ifrah_69-5] Ifrah: A számok egyetemes története . 2. kiadás. Campus, Frankfurt am Main és New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, p. 69 ff . (Első kiadás: 1991).

[Ifrah_71-6] Thureau-Thangin 1932-ben "a sumér számrendszeren belül legkisebb szigetnek" nevezte. Ifrah: A számok egyetemes története . 2. kiadás. S. 71 .

[7] Vogel K.: II . Rész , 18. o.

[8] Vogel K., II . Rész , 34. o.

Languages