Van der Waals-egyenlet

A Van der Waals egyenlet egy állapotegyenlet gázokra, amelyeknek a viselkedése valódi gázok lehet leírni jobban, mint az általános gáz egyenlet az ideális gáz . Az általános gázegyenleten túllépve a Van der Waals-egyenlet két paramétert tartalmaz a gázrészecskék közötti taszító és vonzó erőkhöz. Ezek az adott gázra jellemzőek. Így a cseppfolyósítás és sok más tulajdonság egyszerű és megközelítőleg kvantitatív megértéséhez vezet, amelyekben a valódi gázok eltérnek az ideális gáztól. Az egyenletet 1873-ban hozta létre Johannes Diderik van der Waals , amiért 1910 -ben fizikai Nobel-díjat kapott .

Az egyenlet és értelmezése

egyenlet

Van der Waals konstansok a gázfázisban

gáz	A kohéziós nyomás a (kPa dm 6 ) / mol 2 = 10 −3 (Pa m 6 ) / mol 2 = 10 −3 (J m 3 ) / mol 2	B együttes térfogat cm 3 / mol = 10-6 m 3 / mol
Hélium (ő)	3.45	23.7
Neon (ne)	21.3	17.1
Argon (Ar)	136.3	32.2
Hidrogén (H 2 )	24.7	26.6
Nitrogén (N 2 )	140.8	39.1
Oxigén (O 2 )	137.8	31.8
Levegő (80% N 2 , 20% O 2 )	135.8	36.4
Szén-dioxid (CO 2 )	363,7	42.7
Víz (H 2 O)	557,29	31
Klór (Cl 2 )	657.4	56.2
Ammónia (NH 3 )	422.4	37.1
Metán (CH 4 )	225	42.8
Benzol (C 6 H 6 )	52.74	304.3
Dekán (C 10 H 22 )	37.88	237.4
Oktán (C 8 H 18 )	18.82	119.3

A Van der Waals-egyenlet az

${\ displaystyle p = {\ frac {nRT} {V-nb}} - {\ frac {n ^ {2} a} {V ^ {2}}} \ quad}$ vagy.

${\ displaystyle p = {\ frac {RT} {V_ {m} -b}} - {\ frac {a} {{V_ {m}} ^ {2}}}}$

vagy azonos

${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (p + {\ frac {a} {{V_ {m}} ^ {2}}} \ right) \ left (V_ {m} -b \ right) = RT \.}$

A szimbólumok a következő mennyiségeket jelentik :

• ${\ displaystyle p}$- a gáz nyomása
• ${\ displaystyle T}$- hőmérséklet
• ${\ displaystyle V_ {m}}$- moláris térfogata ( a térfogat és a mennyisége a lényegét a gáz)${\ displaystyle V_ {m} = V / n}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle n}$
• ${\ displaystyle R}$- Univerzális gázállandó (mint az ideális gáznál)

• ${\ displaystyle a}$- kohéziós nyomás (paraméter)
• ${\ displaystyle b}$- Térfogat

A kohéziós nyomást (paramétereket) és a térfogatot a kérdéses gáz van der Waals-állandóinak is nevezik (lásd a táblázat példáit). Az ideális gázhoz, és . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 0}$

Az anyag mennyiségének bevezetésével a Van der Waals-egyenlet is ábrázolható ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (p + {\ frac {n ^ {2} a} {V ^ {2}}} \ right) \ left (V-nb \ right) = nRT}$

A Van der Waals egyenlet a gáz és a folyadék fázis minőségileg helyesen, de gyakran túl pontatlan mennyiségi alkalmazásokhoz. Ennek eredményeként egy gáz van der Waals paraméterei függhetnek azoktól az állapotok tartományától, amelyekben ezeket kapták. Pontosabban a z. B. a Redlich-Kwong-egyenlet vagy Soave-Redlich-Kwong állapotegyenlete , mindkét fél- empirikusan módosított Van der Waals-egyenlet.

Vannak empirikus állapotegyenletek is, mint pl B. a Benedict-Webb-Rubin egyenlet .

Értelmezés a kinetikus gázelmélet keretein belül

Az ideális gáz állapotegyenlete

${\ displaystyle p = {\ frac {RT} {V_ {m}}}}$

lehet indokolt a kinetikus gáz elméletnek feltételezve pontszerű részecskék nélkül kölcsönös erők ( levezetés ). Ehhez képest van der Waals gázzal a nyomás

• csökkenthető az összetartó nyomás (vagy belső nyomás ) levonásával${\ displaystyle {\ frac {a} {V_ {m} ^ {2}}}}$
• tényezővel megnövelve azáltal, hogy hatékonyan csökkenti a moláris térfogatot a térfogat által .${\ displaystyle {\ frac {V_ {m}} {V_ {m} -b}} = {\ frac {1} {1-b / V_ {m}}}}$${\ displaystyle b}$

Ezek a módosítások egyértelműen értelmezhetők a kinetikus gázelmélet segítségével is.

Összefüggő nyomás

A Van der Waals paraméter figyelembe veszi azt a tényt, hogy a gázmolekulák vonzzák egymást. Ezt az ideális gáz modelljénél figyelmen kívül hagyják, de egyebek között meghatározó a cseppfolyósítás lehetősége szempontjából (ezért a kohéziós nyomás kifejezés). Ezek a vonzó erők, amelyeket Van der Waals erők néven foglalnak össze, végső soron elektromágneses természetűek, de sokkal kisebb hatótávolsággal rendelkeznek. Ezek azon a tényen alapulnak, hogy a molekulák, még azok is, amelyek nem rendelkeznek állandó dipólusmomentummal, elektromosan polarizálhatják egymást, különösen markánsan, ha két molekula azonos. Ezek az erők csökkentik a tartály falának nyomását, mert főleg a fal közelében lévő molekulák felé irányulnak (ezért a belső nyomás kifejezés). Az egyes részecskék szilárdsága arányos a fennmaradó részecskék sűrűségével, az összes részecske esetében együttesen arányos a részecskesűrűség négyzetével . Ezért a nyomáshoz való teljes negatív hozzájárulás fordítottan arányos a . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle V_ {m} ^ {2}}$

Térfogat

A Van der Waals paraméter figyelembe veszi, hogy a gázmolekulák nem tömegpontok, ahogy azt az ideális gáz modelljében feltételezzük. Véges méretük miatt az átlagos szabad út megrövidül, és a falat érő, a nyomást generáló ütések száma, valamint az egymással való ütközések száma nagyobb, mint a pontszerű részecskéké. A hatások számának növekedése paraméterezhető a térfogat nyilvánvaló csökkentésével. Világosan megfogalmazva, a részecskeközpontok csak a sugár kétszereséig közelíthetik meg egymást, ami gyakorlatilag nem nyolcszor, hanem csak négyszerese blokkolja saját térfogatukat (mert itt csak a lehetséges részecskepárokat kell számolni). Ez azt jelenti, hogy a térfogat körülbelül négyszer akkora, mint a molekulák saját térfogata. A társtérfogat nagyjából megfelel a cseppfolyósított gáz térfogatának is. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$

Indoklás a statisztikai mechanikában

A van der Waals-egyenlet és annak paraméterei szisztematikus okai , és a megadott statisztikai mechanikában használják . Ott az állapotegyenletet a részecskék sűrűsége szerinti sorozat-tágulás részeként számítják ki (lásd: virális tágulás ). Klasszikus gáz esetében az ideális gáz állapotegyenlete akkor jön létre, ha ez a sorozatbővülés az első tag után megszakad, és a van der Waals-egyenlet (megfelelő közelítésben), ha a következő második tagot vesszük figyelembe. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Izotermák a pV diagramban

Az izoterm a megoldott Van der Waals-egyenlet szerint ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p (V_ {m}) = {\ frac {RT} {V_ {m} -b}} - a {\ frac {1} {V_ {m} ^ {2}}}}$

a pV diagramban egy görbe ábrázolja , amely különbség az egyszerű hiperbola és a négyzet alakú hiperbola között, az egyszerű hiperbola eltolásával . ${\ displaystyle b}$

Magas hőmérséklet és alacsony sűrűség esetén (azaz nagy ) az ideális gázok egyenlete szerint közelíti meg az egyszerű hiperbolát. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V_ {m}}$

Az alábbiakban egy kritikus hőmérséklet (izotermák pirossal jelölve a képen), azonban egy maximális és egy minimális fordul elő (pont C és A), úgy, hogy egy izotermikus kompresszió a C az A, mind a térfogat és a nyomás csökkenni fog. Ez a terület tehát instabil, és a természetben nem fordul elő metastabil formában. Ehelyett az izoterma izobarikusan fut ebben a térfogattartományban, azaz. H. a - ábrán vízszintes vonalként (fekete). Nagy izoterm kompresszióval kisebb kezdeti térfogatot feltételezve a nyomás kezdetben a van der Waals izotermának megfelelően növekszik, de egy bizonyos értéktől (az ábra G pontjánál) állandó marad, még akkor is, ha a térfogat tovább csökken. Ettől a ponttól kezdve - ha a hőmérsékletet hőelvezetéssel állandó értéken tartják - a gáz folyadékká történő kondenzálása állandó nyomáson történik . A fekete vonal mentén mindkét aggregációs állapot együtt él, csak mennyiségi arányuk változik. A gáz halmazállapotú rész megtartja a G pontban sűrűségét, a folyékony rész pedig az F pont sűrűségét. Ezen izotermán az együttélési terület akkor ér véget, amikor az izobár rész ismét találkozik a van der Waals görbével (az ábra F pontja). Ettől kezdve a nyomás meredeken emelkedik a térfogat további csökkenésével, amely a tiszta folyadék alacsony összenyomhatóságára jellemző. Az izotermák ezen izobár területei együttesen a kritikus hőmérsékletig terjedő hőmérsékletekig alkotják a szóban forgó gáz gáz-folyadék együttélési területét. ${\ displaystyle T_ {c}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle V}$

A vízszintes darab helyzete, vagyis a cseppfolyósított gáz telített gőznyomása a vizsgált izoterm hőmérsékletén abból a tényből határozható meg, hogy a két felületi darabnak a van der Waals-görbe (az ábrán mészzöld) irányába kell azonos méretű legyen. James Clerk Maxwell , aki ezt a Maxwell-konstrukciót vezette be , az energia megtakarításával indokolta a két felszínt határoló Van der Waals hurok mentén egy izoterm reverzibilis ciklusban . Ez az ok azonban abban szenved, hogy az A és C közötti instabilitás miatt a ciklusfolyamat valójában nem valósulhat meg. Jobb ok azon a tényen alapul, hogy a Van der Waals izotermának megfelelő részén lévő állapotok instabilak és automatikusan a Maxwell vonalon állapotokba változnak, mivel ezeknek a hőmérsékleten és nyomáson a lehető legalacsonyabb a szabad entalpia . A Van der Waals-egyenlet által leírt homogén anyag spontán két különböző sűrűségű részre bomlik. Az így meghatározott gőznyomás a hőmérséklettől függ, amint azt a Clausius-Clapeyron egyenlet előírja.

A páralecsapódás és a párolgás olyan fázisátalakulás, amely kellően gyors állapotváltozás esetén csak késéssel kezdődhet. Ezért a van der Waals-izoterm görbe darabjainál a minimumtól balra (FA pontok) és a maximumtól jobbra (CG pont) lévő állapotok néha rövid ideig elérhetők, ha a tiszta gáz térfogata gyorsan csökken vagy a tiszta folyadéké gyorsan növekszik, vagy más alkalmas eljárásokkal, amelyek nem izotermek, például pl. B. Késleltetett forrás . Ezek az állapotok homogén sűrűségű metastabil állapotokat képviselnek , amelyek megfelelő vegyes állapotba bomlanak, amikor a gőz képződik vagy kondenzálódik. Például a vízcseppeket rövid ideig 279 ° C-ra melegíthetjük légköri nyomáson, amíg robbanásszerűen el nem párolognak. A van Waals-egyenlet szerinti lefutás hozzávetőlegesen beigazolódott.

Kritikus pont

A kritikus hőmérséklet feletti hőmérsékleten a diagram van der Waals izotermája negatív meredekséget mutat mindenhol. Ezért nem lehet olyan terület, ahol a térfogat (vagy a sűrűség) változik, de a hőmérséklet ugyanaz marad. Ezért két, különböző sűrűségű fázis együttélése kizárt. Ez egyetért a valós gázokkal kapcsolatos összes megfigyeléssel. A kritikus hőmérsékletet az adja, hogy izotermája áthalad a kritikus ponton, ahol a diagramban vízszintes érintővel rendelkező fordulópont van: A kritikus pontban a nyomás térfogatához viszonyított első és második deriváltja eltűnik ( állandó hőmérsékleten): ${\ displaystyle pV}$${\ displaystyle T_ {crit}}$${\ displaystyle pV}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ mathrm {d} p} {\ mathrm {d} V}} \ right) _ {T} = 0 \; \ quad \ left ({\ frac {\ mathrm {d } ^ {2} p} {\ mathrm {d} V ^ {2}}} \ jobbra) _ {T} = 0}$

Ebből következik:

Kritikus hőmérséklet :		${\ displaystyle T _ {\ mathrm {crit}} = {\ frac {8a} {27bR}}}$
Kritikus nyomás :		${\ displaystyle p _ {\ mathrm {crit}} = {\ frac {a} {27b ^ {2}}}}$
Kritikus moláris térfogat :		${\ displaystyle V _ {\ mathrm {m, crit}} = 3b}$

Néhány példa a kritikus hőmérsékletekre: víz  = 374,12 ° C, nitrogén  = -146 ° C, szén-dioxid  = 31 ° C, hélium-4  = 5,2 K. A szóban forgó gázt csak ezen hőmérséklet alatt lehet cseppfolyósítani. ${\ displaystyle \ T _ {\ mathrm {crit}}}$${\ displaystyle \ T _ {\ mathrm {crit}}}$${\ displaystyle \ T _ {\ mathrm {crit}}}$${\ displaystyle \ T _ {\ mathrm {crit}}}$

Ezzel szemben a van der Waals állandók, és a kritikus pont kísérletileg talált adatai alapján kiszámítható. Mivel három kritikus adat van, de csak két Van der Waals-konstans van, az egyenletrendszer túlhatározott, és csak akkor lenne pontos megoldása, ha a gáz pontosan a Van der Waals-egyenlet szerint viselkedne. A táblázatokban a van der Waals-paraméterekből kapott értékeket gyakran adják meg: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle T _ {\ mathrm {crit}} \, p _ {\ mathrm {crit}}}$

${\ displaystyle b = {\ frac {R \ T _ {\ mathrm {crit}}} {8 \ p _ {\ mathrm {crit}}}}}$

${\ displaystyle a = {\ frac {27 \ (RT _ {\ mathrm {crit}}) ^ {2}} {64 \ p _ {\ mathrm {crit}}}}}$

A (z) értéke általában csak kevésbé pontosan ismert, de lényegesen eltérő értékhez vezetne . Ezt a tömörítési tényező kiszámításakor is kifejezzük . Minden ideális gáz minden államban van . Szerint a Van der Waals-egyenlet, a következőket kell alkalmazni , függetlenül a paraméterek és , azaz minden valós gáz: ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {crit}}}$${\ displaystyle b = V _ {\ mathrm {m, c}} / 3}$ ${\ displaystyle Z = {\ tfrac {pV} {R \, T}}}$${\ displaystyle Z = 1}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {p _ {\ mathrm {crit}} V _ {\ mathrm {m, crit}}} {R \, T _ {\ mathrm {crit}}}} = {\ frac { 3} {8}} = 0 {,} 375}$

Valójában a valós gázok értékei viszonylag közel vannak egymáshoz, de még messzebb vannak az ideális gáz 1. értékétől, mint a van der Waals-modellnél. Példák:

${\ displaystyle Z (\ mathrm {H_ {2}}) = 0 {,} 304; \ quad Z (\ mathrm {C_ {2} H_ {6}}) = 0 {,} 267; \ quad Z (\ mathrm {NH_ {3}}) = 0 {,} 238; \ quad Z (\ mathrm {H_ {2} O}) = 0 {,} 226}$

A van der Waals-modell teljesítményét a viszonylag jó egyezés mutatja, és hozzávetőleges jellege a modell értékétől való eltérésben.

A van der Waals-egyenlet redukált alakja

Préselési nyomás, hőmérséklet és moláris térfogat a

${\ displaystyle p = p_ {piros} \, p_ {krit}}$, ,${\ displaystyle T = T_ {piros} \, T_ {krit}}$${\ displaystyle V_ {M} = V_ {piros} \, V_ {m, crit}}$

a dimenzió nélküli redukált állapotú változókkal a Van der Waals-egyenletet hívjuk: ${\ displaystyle p_ {red}, \ T_ {red}, \ V_ {red}}$

${\ displaystyle \ left (p_ {red} + {\ frac {3} {V_ {red} ^ {2}}} \ right) (V_ {red} - {\ frac {1} {3}}) = { \ frac {8} {3}} T_ {red}}$

Ez az egyenlet nem tartalmaz semmilyen anyagspecifikus paramétert, ezért azonos formában alkalmazható minden olyan anyagra, amely a Van der Waals-egyenletet követi. Ez egy példa az egybeeső állapot tételre . Ha két anyag ugyanazt az értéket veszi fel , az egyik megfelelő / megfelelő állapotokról beszél. ${\ displaystyle p_ {red}, V_ {red}, T_ {red}}$

A kötet hatványai szerint rendezve egy 3. fokú polinomot kapunk:

${\ displaystyle \ Leftrightarrow V_ {red} ^ {3} - \ left ({\ frac {1} {3}} + {\ frac {8T_ {red}} {3p_ {red}}} \ jobb) V_ {piros } ^ {2} + {\ frac {3} {p_ {red}}} V_ {red} - {\ frac {1} {p_ {red}}} = 0}$

A dimenzió nélküli tömörítési tényező az ideális gáz moláris térfogatára vonatkozik: ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {p \, V_ {m}} {R \, T}} = {\ frac {p_ {c} \, V_ {m, c}} {R \, T_ {c} }} ~ {\ frac {p_ {red} \, V_ {red}} {T_ {red}}} = {\ frac {3} {8}} ~ {\ frac {p_ {red} \, V_ {red }} {T_ {red}}}}$

A Van der Waals-egyenlet így hangzik:

${\ displaystyle \ left (p_ {red} + {\ frac {27} {64}} ~ {\ frac {p_ {red} ^ {2}} {T_ {red} ^ {2} Z ^ {2}} } \ jobbra) \ balra (Z - {\ frac {p_ {red}} {8}} \ jobbra) = 1}$

Ez a tömörítési tényező 3. fokú egyenlete:

${\ displaystyle Z ^ {3} - \ balra (1 + {\ frac {p_ {red}} {8T_ {red}}} \ jobbra) Z ^ {2} + {\ frac {27} {64}} ~ {\ frac {Zp_ {red}} {T_ {red} ^ {2}}} - \ bal ({\ frac {3} {8}} \ jobbra) ^ {3} {\ frac {p_ {red} ^ {2}} {T_ {red} ^ {3}}} = 0}$

Kis nyomások és / vagy magas hőmérsékletek hozzávetőleges értéke:

${\ displaystyle Z = 1 - {\ frac {p_ {red}} {8T_ {red}}} + {\ frac {27} {64}} ~ {\ frac {p_ {red}} {T_ {red} ^ {2}}} - \ balra ({\ frac {3} {8}} \ jobbra) ^ {3} {\ frac {p_ {red} ^ {2}} {T_ {red} ^ {3}}} }$

Hőtágulási együttható

Az izobár tágulási együttható az állapotegyenletből származik, ha megkülönbözteti a fent megadott formában:

${\ displaystyle \ mathrm {d} p = {\ frac {1} {V_ {m} -b}} \ mathrm {d} T- \ balra ({\ frac {T} {(V_ {m} -b) ^ {2}}} - {\ frac {2a} {RV_ {m} ^ {3}}} \ jobbra) \ mathrm {d} V_ {m}}$

majd beállít. Ebből következik${\ displaystyle \ mathrm {d} p = 0}$

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {V_ {m}}} bal ({\ frac {\ részleges V_ {m}} {\ részleges T}} \ jobb) _ {p} = {\ frac {V_ {m} -b} {V_ {m} T - {\ frac {2a} {R}} \ bal ({\ frac {V_ {m} -b} {V_ {m}}} \ jobb) ^ {2}}}}$

A különbség, hogy a tágulási együtthatója az ideális gáz , ami a számítjuk ${\ displaystyle \ beta _ {idGas} = {\ tfrac {1} {T}}}$${\ displaystyle a = b = 0}$

${\ displaystyle \ beta - \ beta _ {idGas} = {\ frac {{\ frac {2a} {RT}} \ bal ({\ frac {V_ {m} -b} {V_ {m}}} \ jobb ) ^ {2} -b} {V_ {m} T - {\ frac {2a} {RT}} \ balra ({\ frac {V_ {m} -b} {V_ {m}}} \ jobbra) ^ {2}}}}$

A normál hőmérsékleti tartományban az olyan gázok különbsége pozitív, mint az oxigén, a nitrogén és a levegő; ezek a gázok valamivel jobban kitágulnak, mint egy ideális gáz. Hidrogénnel és a nemesgázokkal fordítva van. Velük, az erők a vonzás közötti atom vagy molekula, és így a van der Waals paraméter egy , olyan kicsi, hogy a számláló negatív lesz (ha a hőmérséklet nem túl alacsony). A számláló nulla pontja jelzi azokat az állapotokat is, amelyekben a Joule-Thomson-effektus megváltozik a hűtés és a fűtés között (inverziós pont).

Belső energia

Belső szabadságfokok nélküli van der Waals-gázra az állapot kalóriaegyenlete vonatkozik :

${\ displaystyle U = {\ frac {3} {2}} nRT - {\ frac {na} {V_ {m}}}.}$

vagy még általánosabban :, hol van a hangerő-független részét a belső energia per részecske.${\ displaystyle U = n \ cdot N_ {A} \ cdot u (T) - {\ frac {n ^ {2} a} {V}} \ quad}$${\ displaystyle u (T)}$

Ez nem csak a molekulák kinetikus energiájától , hanem a paraméter által adott kohéziós erők potenciális energiájától is függ . ${\ displaystyle a}$

irodalom

• Johannes Diderik van der Waals: Több mint folytatás van van gáz en vloeistoftoestand . Sijthoff, Leiden 1873, német: A gáznemű és folyékony állapot folytonossága. Barth, Lipcse 1881.
• James Clerk Maxwell: A testek molekuláris alkotmányának dinamikus bizonyítékáról. In: Természet . 1875. évi 11. évfolyam, 357-359 és 374-377.
• Peter W. Atkins: Fizikai kémia. Wiley-VCH, Weinheim 2001, 43–46.
• D. Lüdecke, C. Lüdecke: Termodinamika - A hőtechnikai folyamatok fizikai-kémiai alapjai. Springer Verlag, 2000, ( books.google.de ).
• Torsten Fließbach: Statisztikai fizika. Spectrum Akadémiai Kiadó, 2006.

Egyéni bizonyíték

1. ↑ C. San Marchi és mtsai., WSRC-STI-2007-00579
2. B Richard Becker: A hő elmélete . Springer-Verlag, Heidelberg 1985, p. 32 . 
3. ↑ Frederick Reif: Statisztikai fizika és hőelmélet . 3. Kiadás. Walter de Gruyter, Berlin 1987, p. 354 ff . 
4. ↑ Pablo Debenedetti: Metasztálható folyadékok . Princeton University Press, Princeton 1996, pp. 5. ff . 
5. ^ Arnold Sommerfeld: Termodinamika és statisztika , Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig, 1965
6. ↑ lásd Van-der-Waals Gas (tu-freiberg.de, T. Fliessbach tankönyvéből, Statistische Physik, 37. fejezet).

web Linkek

• Videó: Valódi gázok és VAN DER WAALS - Hogyan írja le az ideális viselkedéstől való eltéréseket? . Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, elérhetővé tette a Műszaki Információs Könyvtár (TIB), doi : 10.5446 / 15651 .