Hullámegyenlet
A hullámegyenlet , a Jean-Baptiste le Rond d'Alembert szerint szintén D'Alembert-egyenlet meghatározza a hullámok, például a hang vagy a fény terjedését . Ez az egyik hiperbolikus differenciálegyenlet .
Ha a közeg vagy a vákuum csak átengedi a hullámot, és nem maga generálja a hullámokat, akkor pontosabban a homogén hullámegyenlet , a másodrendű lineáris parciális differenciálegyenlet
a téridő valódi függvényéhez . Itt van a szoba mérete. A paraméter a hullám terjedési sebessége, vagyis a hang hangsebessége (homogén és izotróp közegben) és a fény fénysebessége.
A hullámegyenlet differenciáloperátorát D'Alembert operátornak hívják, és szimbólummal jelölik .
- ,
A hullámegyenlet megoldásait hullámoknak nevezzük . Mivel az egyenlet lineáris, a hullámok átfedik egymást anélkül, hogy befolyásolnák egymást. Mivel a hullámegyenlet együtthatói nem függenek helytől vagy időtől, a hullámok attól függetlenül viselkednek, hogy hol, mikor és melyik irányba gerjesztik őket. Az elmozdított, késleltetett vagy elforgatott hullámok szintén megoldást jelentenek a hullámegyenletre.
Az inhomogén hullámegyenlet az inhomogén lineáris parciális differenciálegyenlet
Leírja a hullámok időbeli fejlődését egy olyan közegben, amely maga generálja a hullámokat. Az inhomogenitást a hullám forrásának is nevezik .
A hullámegyenlet térbeli dimenzióban
A D'Alembert operátor térbeli dimenzióban
a fekete tétel szerint a termékre bomlik, mint a binomiális képletben
- .
Ezért a hullámegyenletnek van egy általános megoldása egy térbeli dimenzióban
bármilyen kétszeresen differenciálható funkcióval és . Az első summand egy balra mozgó hullám , a második summand pedig egy változatlan formájú jobbra mozgó hullám. Az egyenes vonalak vannak a jellemzői a hullám egyenlet.
Lenni
a kezdeti érték és
a hullám kezdeti időderiváltja. Ezeket a térfunkciókat együttesen a hullám kezdeti értékeinek nevezzük.
Az utolsó egyenlet integrálása megadja
Feloldásával az ember eljut
A hullámegyenlet megoldását tehát annak kezdeti értékeiben fejezzük ki
Ez más néven D'Alembert megoldása a hullámegyenletre ( d'Alembert , 1740-es évek).
A hullámegyenlet három térbeli dimenzióban
A hullámegyenlet általános megoldása síkhullámok lineáris kombinációjaként fejezhető ki
ír. A delta eloszlás biztosítja a diszperziós viszony megőrzését. Ilyen síkhullám mozog az irányába . Az ilyen megoldások egymásra helyezésével azonban nem nyilvánvaló, hogy kezdeti értékeik hogyan kapcsolódnak a későbbi megoldáshoz.
A homogén hullámegyenlet általános megoldása a kezdeti értékek átlagértékeinek segítségével három térbeli dimenzióban ábrázolható. Hagyja, hogy a funkció és annak időbeli változása adható elején a funkciókat és ,
akkor az eszközök lineáris kombinációja
a homogén hullámegyenlet megfelelő megoldása. Itt kijelölt
a függvény középértéke egy gömbhéjra átlagolva , különösen a sugarú pont körül
Mivel a megoldásnak ezt a kezdeti értékekkel jelzett ábrázolását mutatjuk be, a megoldás folyamatosan függ a kezdeti értékektől, attól függően, hogy a helyszínen mennyi az idő , csak azokon a helyeken lévő kezdeti értékektől függően , ahonnan futás közben , sebességgel elérheti az ember. Így kielégíti a Huygens-elvet .
Ez az elv nem vonatkozik az egydimenziós rendszerekre és az egyenes térbeli dimenziókra. Ott a megoldások jelenleg a közeli pontokon lévő kezdeti értékektől is függenek , ahonnan kisebb sebességgel lehet elérni .
Az inhomogén hullámegyenlet megoldása három térdimenzióban
Jelenleg csak attól függ, hogy az inhomogenitás a visszafelé fény kúp , a negatív alkalommal csak az inhomogenitás a határidős fényt. Az inhomogenitás és a kezdeti értékek fénysebességgel befolyásolják az oldatot.
Retardált potenciál
az inhomogén hullámegyenlet megoldása, amely feltételezi, hogy az inhomogenitás minden visszafelé eső fénykúpnál gyorsabban csökken , mint . Ez az a hullám, amelyet a médium teljesen létrehoz, áthaladó hullám nélkül.
Az elektrodinamikában a folytonossági egyenlet korlátozza az inhomogenitást. Így a nem eltűnő teljes töltés sűrűsége soha nem tűnhet el mindenhol. A perturbációelméletben olyan inhomogenitások fordulnak elő, amelyek térben nem csökkennek elég gyorsan. Ekkor a hozzá tartozó retardált integrál divergál és úgynevezett infravörös divergenciája van.
A megoldás valamivel bonyolultabb ábrázolása a kezdeti értékei által a véges időben és a fénykúp véges szakaszai felett elhelyezkedő integrálokon keresztül mentes az ilyen infravörös divergenciáktól.
A D'Alembert operátor Lorentz invarianciája
A D'Alembert operátor invariáns a fordítások és a Lorentz-transzformációk alatt abban az értelemben, hogy a Lorentz összefűzött függvényekre alkalmazva ugyanazt az eredményt adja, mint a Lorentz összefűzött függvény
Ennek megfelelően a Laplace operátor invariáns a fordítások és a forgatások alatt.
A homogén hullámegyenlet konformális átalakulások esetén is invariáns, különösen nyújtás esetén.
Lásd még
irodalom
- Richard Courant , David Hilbert : A matematikai fizika módszerei. 2. kötet, második kiadás. Springer Verlag, Berlin 1968 ( Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684 ).
- Fritz John : Részleges differenciálegyenletek, 4. kiadás, Springer 1982
web Linkek
- Gernot Pfanner, A hullámegyenlet (PDF)
- Norbert Dragon, A relativitás geometriája (PDF; 2,5 MB) 5.5. Fejezet