Egységcella

A kristályszerkezet összetevői: rács, egységsejt és bázis

Egy elemi cella , vagy elemi cella van a három alapvető vektorok , , egy rács képződik paralelepipedon . A térfogatuk az alapvektorok késői szorzata . Matematikai szempontból a kristály az egységsejt bázisának és a rács mindhárom bázisirányú elmozdulásának szorzata az alapvektorok egész számszorosaival ( transzlációs szimmetria ). Az egységcellák hézagok és átfedések nélkül fedik le a teret. A felületi kristályográfia kétdimenziós megfelelője az elemi háló . ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} \ szor {\ vec {c}})}$

leírás

Pontrács kristálytani alappal

Köbös primitív rács, az egységsejtdel és a három bázisvektor kék színnel

A kristályszerkezet az alap vagy egy motívum háromdimenziós, periodikus ismétlése. A rácsot egybevágó transzlációs vektorokat bázis- vagy rácsvektoroknak nevezzük. Ezek alkotják a transzláció szimmetrikus rácson . Ennek a rácsnak a pontjai nem ábrázolják az atomokat, csupán a szerkezet periodicitását írják le.

Három tetszőleges rács vektorok , , amelyek nem egy síkban, így egy „kristálytani bázis”. Ezen alapvektorok összes egész lineáris kombinációjának halmaza egy B rácsot képez, amely általában egy G kristály rácsának részhalmaza. ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$

${\ displaystyle B: = \ left \ {\ left.u {\ vec {a}} + v {\ vec {b}} + w {\ vec {c}} \; \ right | \, u, v, w \ in \ mathbb {Z} \ right \} \ subseteqq G}$

A három alap vektorok is egy térfogatot határozzon elem V, a alapvető háló a rács B:

${\ displaystyle V: = \ left \ {\ left.x {\ vec {a}} + y {\ vec {b}} + z {\ vec {c}} \; \ right | \, 0 \ leq x , y, z <1 \ jobb \}}$

Ez a kötet elem az az egység cella a vektorok által , , rács leírt. Ez egy párhuzamos alakú . Ha az egységcella pontosan egy G rácspontot tartalmaz, akkor ezt „primitív egységcellának” nevezzük. Ebben az esetben a B rács egyenlő a G hálóval, különben ez egy igazi részhalmaz. ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$

A rácsvektorok alkotják azt a koordináta-rendszert, amellyel a kristályt leírják. A koordináták fejezhető mind frakcionális koordinátaértékeket és Descartes-koordinátákban .

A G-ben levő vektorokat egyedülállóan a kristály szimmetriatulajdonsága határozza meg. A B rács vektorait egy kristály leírására használják. Ezért lehet őket megfelelően kiválasztani a G halmazból. Ennek a kiválasztásnak azonban vannak szabványai.

Alkalmazás

A szoba minden pontja egyértelműen hozzárendelhető egy egység cellához. Ezt az origótól egy rácsváltó eltolja. Két térpont egyenértékű a rács vonatkozásában, ha egységcella eredetéhez képest ugyanazt a helyet foglalják el. Így a rács ekvivalencia osztályokra osztja a teret . Minden ekvivalenciaosztály minden pontról áll, amelyek egy adott ponttól csak a rács transzlációs vektorával különböznek. A transzlációs vektor mennyisége megegyezik a rácsparaméterrel .

Az egységsejtben található atomok vagy molekulák alkotják a kristály alapját. A kristály leírására elegendő megjelölni a bázis atomok helyzetét az egységcellában. Ezeket az atomokat az ekvivalencia osztály képviselőinek is tekinthetjük. A kristályszerkezetek tárgyalásakor ebben az értelemben hallgatólagosan használják a „bázis atomja” kifejezést.

A primitív egységsejt

Köbös primitív egységsejt.

Ha az alapvektorokat úgy választottuk meg, hogy az általuk képzett B rács azonos legyen egy G kristály rácsával, akkor ezt az alapot „primitívnek” nevezzük. Ezek a vektorok egy primitív egységsejtet írnak le. A kristály rácspontjainak koordinátái egész számok.

Minden primitív egységcella csak egy rácspontot tartalmaz egy kristályban. Ez a lehető legkisebb térfogatú egységcella.

A képen a rács minden pontja kristályban látható. Csak egy sarokpont (0,0,0) tartozik az egységcellához.

A központosított egységcella

Kocka alakú test központú egységsejt

Különösen, ha olyan tengelyrendszert szeretne használni, amely alkalmazkodik a kristály tércsoportjának szimmetriaelemeihez, akkor nem kerülheti el a nem primitív egységcellák használatát a legtöbb kristályrendszerben. A kristályrács ekkor nem egész koordinátájú pontokat is tartalmaz. Az egységcella tehát a rács több pontját tartalmazza.

Ezeket az egységcellákat központosítottnak nevezzük. Térfogatuk a primitív egységsejt térfogatának a többszöröse. A háromdimenziós kristályok összes lehetséges szerkezetének leírására egy hagyományos cellával 14 különböző rácsra van szükség. Ezek a Bravais rácsok .

A rács minden pontja látható a képen. Csak egy sarokpont (0,0,0) és a belső pont tartozik az egységcellához. Ebben az esetben a ( ½, ½, ½ ) vektor a rács vektora egy kristályban, amelynek nincs egész koordinátája.

Más sejtek

Hatszögletű egységsejt ábrázolása (sötét vonalak).

Hézag- és átfedésmentes térfelosztás érhető el olyan cellákkal is, amelyek nem párhuzamosak, és ezért a szó valódi értelmében nem egységcellák. E sejtek közül a legismertebb a Wigner-Seitz sejt .

Az irodalomban gyakran hatszögletű prizmát használnak sejtként a gömbök hatszögletű szoros csomagolásának leírására. Ez a prizma nem egységsejt. Általános szabály, hogy nem a szerkezet kristálytani leírásához, hanem csak szemléltetésére szolgál.

Az aszimmetrikus egység

Eddig a fordítást tekintették az egyetlen szimmetriai műveletnek. A: egy kristály, hanem más szimmetria műveletek létezhet rotáció , a pont reflexió , a forgás inverzió , a csavarozási és siklanak . A kristály összes szimmetriai műveletének halmaza alkotja tércsoportját .

Ezek a szimmetriai műveletek a kristályt önmagára is feltérképezik. Különösen azonban az egységcella egy része egy ilyen művelettel leképezhető az egységcella egy másik részére is. Ebben az esetben az egységcella két része szimmetrikusan egyenértékű egymással. A kristály térfogati elemét, amelyből a kristály kialakítható az űrcsoport összes szimmetriai műveletével, aszimmetrikus egységnek nevezzük. Általában kisebb, mint a primitív egységsejt. Asztalmetrikus egység van megadva a Nemzetközi táblázatokban minden helyiségcsoportra.

A különböző kifejezések problémájáról

A nyelvhasználat nem mindig egyértelmű és nemzetközileg sem egységes. A német ajkú kristályográfusokban az egységsejt az a közös kifejezés, amelyet az angol egységsejt szinonimájaként használnak . A francia maille élémentaire és az olasz cella elementare szintén szinonimák . Ezeket a kifejezéseket többnyire "hagyományos sejt" értelemben használják, de egy primitív sejtet is jelölhetnek. Figyelemre méltó, hogy a francia kifejezés nem fordul elő a régebbi szerzőknél: Bravais kétféle dimenzióban használta a parallélogramme générateur vagy a maille parallélogramme , három dimenzióban pedig a parallélopipède générateur vagy noyau ("mag") kifejezéseket. Mallard csak maille-t írt , Friedel maille-t egyszerűen . Csak a „primitív sejt” és a „hagyományos sejt” kifejezések egyértelműek. A Nemzetközi Kristálytan Szakszervezet Kristálytani Nómenklatúrája Bizottsága a következő fogalommeghatározásokat adja:

Primitív sejt

A primitív sejt (francia maille primitív ) egy egységsejt, amelyet a közvetlen rács primitív bázisának alapvektorai feszítenek. Ez azt jelenti, hogy mindegyik rácsvektor a három bázisvektor egész lineáris kombinációjaként ábrázolható.

Egységcella

Az elemi cella (német elemi cella , francia MAILLE ), hogy a három vektor a, b, c kristálytani alapján közvetlen rács kifeszített téglalap. Ha az alap primitív, tehát (vagyis az egységsejt "primitív sejt" primitív sejt ). Ha az alap nem primitív, akkor az egységcella többcellás . A sokaság térfogatának és a primitív sejt térfogatának arányához vezet.

Hagyományos cella

A hagyományos cella (francia maille conventionnelle ) az egyes rácsok cellája, amelyek megfelelnek a következő feltételeknek:

• Alapvektoraik meghatározzák a jobbkezes tengelyrendszert.
• Széleik a rács szimmetriatengelyei mentén futnak.
• Ez a legkisebb sejt, amely megfelel a fenti feltételeknek.

Az azonos típusú hagyományos sejtekkel rendelkező kristályok ugyanabba a kristálycsaládba tartoznak .

irodalom

• D. Schwarzenbach: Kristallographie Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67114-5
• Nemzetközi táblázatok a kristálytechnikához . A kötete: Theo Hahn (Szerk.): Tércsoport szimmetria. Kluwer Academic Publishing Company, Dordrecht et al., 1983, ISBN 90-277-1445-2 .
• Prof. Dr. Helmut Föll, 3. fejezet: "Tökéletes kristályok" , a TF Christian Albrechts Egyetem hiperszáma Kiel

Egyéni bizonyíték

1. ^ IUCr Online Dictionary of Crystallography: Primitív sejt
2. ^ IUCr Online Dictionary of Crystaiiography: Elemi cella
3. ^ IUCr Online Dictionary of Crystallography: Hagyományos sejt