Űrcsoport

Tükrös szimmetria a jég kristályszerkezetében

A krisztallográfiás tércsoport vagy rövid tércsoport matematikailag leírja a szimmetria az elrendezése az atomok, ionok, molekulák egy kristályszerkezet . A „csoport” származik csoport elmélet .

Például a szerkezet egyik komponensét (például szulfátionját) egy másik komponens (jelen esetben egy másik szulfátion ) tükrözésével vagy forgatásával állíthatjuk elő. A teljes kristályszerkezet leírásához csak az első ion leírására van szükség, a második iont a tükrözés vagy a forgatás szimmetriai működésével kapjuk. Az ábra ezt a jég kristályszerkezetének példáján mutatja be. A jobb hatgyűrű a bal hatgyűrű tükörképe; az űrcsoport reprodukálja (többek között) a szimmetria ezt a tulajdonságát. Az ehhez használt szimbólumokat részletesen leírjuk a Hermann Mauguin szimbólumok alatt .

A tér-csoport egy diszkrét alcsoportja az euklideszi mozgás csoport egy euklideszi (affin) tér egy korlátozott alapvető domént . Az űrcsoportok a szimmetria csoportokhoz tartoznak, és általában a Hermann Mauguin szimbolikával vagy néha a Schoenflies szimbolikával írják le őket .

Míg a kristálytani pontcsoportok nem transzlatív szimmetriaműveletekből (pl. Elfordulások vagy visszaverődések) állnak, a különböző tércsoportok meghatározásakor ezt a követelményt enyhítik a transzlációs szimmetriaműveletek (ennek eredményeként például csúszó tükörsíkok és csavartengelyek ) és a rácsfordítások javára . Ez új szimmetriacsoportok, az űrcsoportok sokaságát eredményezi.

Matematikai meghatározás

Az izometrikus csoport a dimenziós euklideszi tér a csoport${\ displaystyle \ kezelőnév {isom} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ kezelőnév {Isom} (\ mathbb {R} ^ {n}) = O (n) \ ltimes \ mathbb {R} ^ {n}}$,

ahol az ortogonális csoport visszaverődésekből és a nulla pont körüli elfordulásokból áll, és ezt a csoport elmozdulásainak csoportjaként értjük . ${\ displaystyle O (n)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

A rang kristálytani csoportja${\ displaystyle n}$ a diszkrét és együtt kompakt alcsoport . (Az alcsoportot diszkrétnek nevezzük, ha nincs szekvencia a és gombbal. Akkor hívjuk együttes kompaktnak, ha a hányados tér kompakt .) ${\ displaystyle \ kezelőnév {isom} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ Gamma \ alkészlet \ operátornév {isom} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle \ gamma \ Gamma}$${\ displaystyle (\ gamma _ {n}) _ {n} \ alhalmaz \ Gamma}$${\ displaystyle \ gamma _ {n} \ not = \ gamma}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ gamma _ {n} = \ gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma \ hátsó perjel \ mathbb {R} ^ {n}}$

A Bieberbach-csoport torzió nélküli kristálytani csoport. (A semleges elemű csoportot torziómentesnek nevezzük, ha mindig következik a és alapján .) ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ gamma \ not = e}$${\ displaystyle n \ not = 0}$${\ displaystyle \ gamma ^ {n} \ not = e}$

A lehetséges szobacsoportok száma

A lehetséges helyiségcsoportok száma az adott szoba méretétől és tájolásától függ. A háromdimenziós térben a kristálytani tércsoportok egy végtelenül kiterjesztett kristály szimmetriáit írják le . A kristály szimmetriaműveletei (az azonosság-művelettől eltekintve, amely az egyes pontokat önmagára térképezi fel) pontvisszaverődés, síkbeli visszaverődés, tengely körüli elfordulás, elmozdulás (az úgynevezett transzláció ) és ezeknek a műveleteknek a kombinációja. Ha valaki a szimmetriaműveletek végrehajtását egymás után multiplikatív műveletként érti, akkor felismeri, hogy a szimmetriaműveletek halmaza csoport (általában nem kommutatív ).

A 230 lehetséges helyiségcsoport (vagy helyiségcsoport típus ) három dimenzióban történő meghatározását 1891-ben Arthur Moritz Schoenflies és Evgraf Stepanowitsch Fjodorow fáradságos válogatásában hajtották végre egymástól függetlenül . William Barlow ezt is önállóan kezelte, bár csak 1894-ben tette közzé. A 230 tércsoport (és a kristályok, amelyek ezen tércsoportok egyikének szimmetriaelemeivel rendelkeznek) u. a. felosztható a hét kristályrendszerre , a 14 Bravais rácsra és a 32 kristályosztályra .

Ha a szoba tájolását nem veszik figyelembe , a szám 219 különböző helyiségcsoportra csökken. Ennek eredményeként tizenegy pár enantiomorf tércsoport létezik. Ezekben a párokban különböznek a szimmetria elemek, például a kép és a tükörkép elrendezése, amelyeket forgatással nem lehet egymásba átalakítani.

A tércsoportok (szintén magasabb dimenziókban) osztályozásának algebrai módszere Johann Jakob Burckhardt- tól származik az 1930-as években, aki a probléma történetével is foglalkozott.

kijelölés

A helyiségcsoportok kijelölése általában a Hermann Mauguin szimbolikában történik, egyes részlegekben a Schoenflies szimbolikát ma is alternatívaként használják. A Hermann Mauguin szimbolikában az űrcsoport szimbóluma egy nagybetűből áll, amely jelzi a Bravais típusát , valamint egy szimbólumsorozatot (számok és kisbetűk, amelyek további szimmetria elemek jelenlétét jelzik), amelyek szorosan a pontcsoportok szimbolikáján alapulnak , de figyelembe veszi, hogy a fordításból, forgatásból vagy tükrözésből származó kombinált szimmetriai műveletek is létezhetnek.

A 230 háromdimenziós szobacsoport teljes listája megtalálható a szobacsoportok listájában .

Lásd még

• Bieberbach csoport
• Sohncke űrcsoport (más néven királis űrcsoport )
• Lapos kristálytani csoport

irodalom

• Johann Jakob Burckhardt : A kristálytan mozgáscsoportjai. 2. kiadás, Springer, 1966, ISBN 978-3-0348-6931-7 .
• John Horton Conway , Olaf Delgado Friedrichs, Daniel Huson, William Thurston : Háromdimenziós űrcsoportokon . In: Hozzájárulások az algebrához és a geometriához. 42, 2001, 475-507. ( Online ).
• Hans Zassenhaus : A helyiségcsoportok meghatározásának algoritmusáról. In: Komm. Math. Helveticae. 1948. 21., 117–141. ( Online ).
• Harold Brown, J. Neubüser, Hans Wondratschek , R. Bülow, Hans Zassenhaus : A négydimenziós tér kristálytani csoportjai. Wiley 1978, ISBN 978-0-471-03095-9 .
• Joachim Neubüser , Hans Wondratschek, Rolf Bülow: A kristályográfiáról magasabb dimenziókban. (1-3. Rész) In: Acta Crystallographica A., 27. kötet, 1971, 517-535. Oldal (különösen 4 dimenzió).
  • J. Neubüser, H. Wondratschek, R. Bülow: A kristályográfiáról magasabb dimenziókban. I. Általános meghatározások . In: Acta Crystallographica A. szakasz . szalag 27 , no. 6. , 1971. november 1., p. 517-520 , doi : 10.1107 / S0567739471001165 . 
  • R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek: A kristályográfiáról magasabb dimenziókban. II. Számítási eljárás az R 4-ben . In: Acta Crystallographica A. szakasz . szalag 27 , no. 6. , 1971. november 1., p. 520-523 , doi : 10.1107 / S0567739471001177 . 
  • H. Wondratschek, R. Bülow, J. Neubüser: A kristályográfiáról magasabb dimenziókban. III. Eredmények az R 4-ben . In: Acta Crystallographica A. szakasz . szalag 27 , no. 6. , 1971. november 1., p. 523-535 , doi : 10.1107 / S0567739471001189 . 
• Harold Brown: Algoritmus a tércsoportok meghatározására. In: Számítási matematika. 23. kötet, 1969., 499-514. ( PDF; 1,25 MB ).

web Linkek

• Interaktív ábra a 17 szobacsoportról a szinten:
  • Díszek , Java kisalkalmazások és alkalmazások rajzolása . Rajzolt vonalakat tart a csoport váltásakor.
  • Escher webes vázlat , Java kisalkalmazás. A szabadkézi rajz mellett egyedi egyéb tárgyak használatát is lehetővé teszi.

Egyéni bizonyíték

1. ^ ^{A b c d} Will Kleber , Hans-Joachim Bautsch , Joachim Bohm : Bevezetés a kristálytanba . Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3 , p. 101 ff . ( korlátozott előnézet a Google Könyvkeresőben).