Referencia ellipszoid

A referencia-ellipszoid ellapszoid lapított pólusú , általában forradalmi ellipszoid , amelyet referenciarendszerként használnak a földmérési hálózatok kiszámításához vagy a földrajzi koordináták közvetlen megjelöléséhez. A föld matematikai alakjaként meg kell közelítenie az állandó magasságú területet (lásd geoid ), amely során a történelmi fejlődés a regionális fokméréstől a gravitációs mező globális beállításáig terjedt .

történelem

A földgömb a föld tudományosan elismert modellje a görög természetfilozófia óta . Az első kételyek a pontos gömb alakkal kapcsolatban a 17. században merültek fel; 1680 körül Isaac Newton volt képes elméletileg bizonyítani a vita Giovanni Domenico Cassini és a párizsi Akadémia , hogy a Föld forgása kell okoznia a összeolvasztás a pólusok és nem az egyenlítő (lásd hosszúkás ellipszoid ). A felmérés a franciaországi Philippe de La Hire és Jacques Cassini (1683-1718) eredetileg azt javasolta, az ellenkezője. Az empirikus bizonyítást csak Pierre Bouguer és Alexis-Claude Clairaut szerezték meg a 18. század közepén , amikor a perui (mai Ecuador ) és Lappföldi (1735–1741) expedíciók méréseit egyértelműen értékelték. Ez az első pontos fokú mérése is vezetett a meghatározása a mérő a 10 milliomodik része a föld negyed , amely azonban az volt, „túl rövid” 0,022% miatt elkerülhetetlen kis mérési hibák .

A 19. században számos matematikus és geodetikus kezdett foglalkozni az ellipszoid méretek meghatározásával. Az egyenlítői sugár meghatározott értékei 6376,9 km ( Jean-Baptiste Joseph Delambre 1810) és 6378,3 km ( Clarke 1880 ) között változtak, míg a széles körben elfogadott besseli ellipszoid 6377,397 km-t mutatott (a modern referenciaérték 6378,137 km). Az a tény, hogy a különbségek ötször meghaladták az akkori mérési pontosságot, annak köszönhető, hogy az egyes földmérő hálózatok a földfelszín különböző módon ívelt területein helyezkednek el (lásd a merőlegestől való eltérést ).

A lapítás értékei azonban kevésbé változtak - 1: 294 és 1: 308 között, ami ± 0,5 km-t jelent a sarki tengelyben. Itt Bessel értéke (1: 299,15) messze a legjobb volt. Az egyre nagyobb felmérési hálózatok miatt az eredmény a 20. században 1: 298,3 körül " szinteződött" ( Friedrich Robert Helmert 1906, Feodossi Krassowski 1940), ami az egyenlítői és a sarki tengely közötti 21,4 km-es különbségnek felel meg, míg a Hayford Az 1: 297,0 értékű Ellipszoid a geofizikai redukció típusa miatt egyértelműen kilógott a sorból. A második világháború utáni nagy amerikai befolyás miatt mégis ezt választották az ED50 referenciarendszer alapjául , míg a " keleti blokk " a Krassowski-értékeket tartotta normának. Ezeket az 1970-es években a globális műholdas hálózat és a globális multilateralizáció (a kvazárok és geodéziai műholdak jeleinek repülési időmérései) megerősítették jobbnak.

Referencia ellipszoidok a gyakorlatban

A referencia-ellipszoidokat a geodetikusok a föld felszínén történő számításokhoz használják, és más geotudományoknál is a leggyakoribb referencia-rendszerek . Az állam minden regionális adminisztrációjának és földmérésének szüksége van egy ilyen referencia ellipszoidra

• állami felmérési hálózat létrehozása ( hálózat bővítése ),
• pontos térképeket készít és egyértelműen meghatározza az országhatárokat,
• hogy képes legyen kiszámítani az összes föld és épület helyét és alakját
• valamint a határpontok és egyéb jogok ( telekkönyv stb.) garantálása a földmérési hálózat néhány ezer úgynevezett fix pontjával ( háromszögelés stb.) .
• 1985 óta ezt a „ katasztert ” digitális információs rendszerek ( földrajzi információs rendszer , földinformációs rendszer , környezeti információs rendszer stb.) Is kiegészítik, amelyek szintén az ország referenciaellipszoidjára épülnek.

Referencia ellipszoidok elméletben

Mivel a fizikai földalaknak , a geoidnak a földfelszín és a gravitációs mező szabálytalanságai miatt enyhe hullámai vannak, a geometriai földrajzi alakra vonatkozó számítások sokkal könnyebbek. A mérendő tárgyakat függőlegesen az ellipszoidra vetítik, és akkor akár kis méretben is megtekinthetők, mint egy síkban . Erre z. B. a Gauss-Krüger koordinátarendszert alkalmazzák.

A magasság jelzi az ellipszoid távolságát, merőleges a felületére. Azonban ez a merőleges különbözik az úgynevezett. Merőlegesen error az igazi függőleges vonal, mint egy függőleges vonal jelentene. Azoknál a méréseknél, amelyek állítólag pontosabbak, mint néhány deciméter kilométerenként, ezt a hatást ki kell számolni, és a méréseket ezzel csökkenteni kell. A vertikális eltérés Közép-Európában 10–50 ″ lehet, a tereptől és a geológiától függően, és különbséget okoz a csillagászati és ellipszoid hosszúság és szélesség ( vagy ) között. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ varphi}$

Lásd még: Geodéziai fő feladat

Átalakítás geocentrikus derékszögű koordinátákra

Egy geocentrikus, derékszögű referenciarendszerben, amelynek kiindulási pontja a forradalom ellipszoidjának középpontjában fekszik, és a forgástengely ( ) és az első meridián ( ) irányába illeszkedik .${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} X & = (N _ {\ varphi} + h) \ cos \ varphi \ cdot \ cos \ lambda \\ Y & = (N _ {\ varphi} + h) \ cos \ varphi \ cdot \ sin \ lambda \\ Z & = (N _ {\ varphi} (1- \ varepsilon ^ {2}) + h) \ sin \ varphi \ end {igazítva}}}$

Val vel

• ${\ displaystyle a}$ - fő féltengely (a referencia ellipszoid paraméterei)
• ${\ displaystyle b}$ - kis szemiaxis (a referencia ellipszoid paraméterei)
• ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a}}}$- numerikus különcség
• ${\ displaystyle N _ {\ varphi} = {\ frac {a} {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}} \, \!}$- az első függőleges görbületi sugara , d. H. a vízvezeték alapjának távolsága a meghosszabbított vízvezeték Z tengellyel való metszéspontjától.

Φ , λ és h kiszámítása derékszögű koordinátákból

Az ellipszoid hosszúság pontosan meghatározható ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lambda = \ arctan \ balra [{\ frac {Y} {X}} \ jobbra}}$

Adott esetben a magasság olyan ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle h = {\ frac {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} {\ cos \ varphi}} - N _ {\ varphi}}$

Bár ez a kapcsolat pontos, a képlet önmagát kínálja

${\ displaystyle h \ kb {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} \ cdot \ cos \ varphi + Z \ sin \ varphi -a ^ {2} / N _ {\ varphi}}$

inkább gyakorlati számításokhoz a hiba miatt

${\ displaystyle \ Delta h \ kb {\ frac {1} {2}} (h + {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}) (\ Delta \ varphi) ^ {2}}$

csak a hiba négyzetétől függ. Az eredmény tehát több nagyságrenddel pontosabb. ${\ displaystyle \ varphi}$

A közelítés módszereinek kiszámításához meg kell. A forgásszimmetria miatt a probléma az XZ síkra ( ) kerül. Az általános esetben, ezután helyébe . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$

Ellipszis görbületi körrel. A zöld út hossza .${\ displaystyle N _ {\ varphi}}$

Az ellipszis keresett pontjának merőlegese a lejtővel rendelkezik . A meghosszabbított merőleges a görbületi kör M középpontján halad át , amely a merőleges tövénél lévő ellipszist érinti. A központ koordinátái ${\ displaystyle (X, Z)}$${\ displaystyle \ tan \ varphi}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} X_ {M} \\ Z_ {M} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ varepsilon ^ {2} a \ cos ^ {3} t \\ - { \ tilde {\ varepsilon}} ^ {2} b \ sin ^ {3} t \ end {pmatrix}}}$

Val vel

• ${\ displaystyle t}$- paraméteres szélesség , d. vagyis az ellipszis pontjait az írja le${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} a \ cos t \\ b \ sin t \ end {smallmatrix}} \ right)}$
• ${\ displaystyle {\ tilde {\ varepsilon}} = {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {b}}}$

Ez érvényes

${\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {Z + {\ tilde {\ varepsilon}} ^ {2} b \ sin ^ {3} t} {X- \ varepsilon ^ {2} a \ cos ^ {3 } t}}}$

Ez egy iteratív megoldás, mert ott és túl vannak összefüggésben. Nyilvánvaló kiinduló érték lenne ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {a} {b}} \ tan t}$

${\ displaystyle \ tan t_ {0} = {\ frac {a} {b}} {\ frac {Z} {X}}}$.

Ezzel a választással egy iterációs lépés után érhető el a pontosság

${\ displaystyle \ Delta \ varphi \ kb {\ frac {3} {2}} \ varepsilon ^ {3} {\ frac {ah ^ {2}} {(a + h) ^ {3}}} \ sin ^ {3} \ varphi \ cos ^ {3} \ varphi}$.

Vagyis a föld felszínén a maximális hiba 0,00000003 ″, a globális maximális hiba (at ) pedig 0,0018 ″. ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle h = 2a}$

Jó választás esetén a térbeli pontok maximális hibája még tovább csökkenthető. Val vel ${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle \ tan t_ {0} = {\ frac {b} {a}} {\ frac {Z} {X}} \ bal (1 + {\ tilde {\ varepsilon}} {\ frac {b} { \ sqrt {X ^ {2} + Z ^ {2}}}} \ jobbra)}$

a szöget (a föld paraméterei szerint) 0,0000001 ″ pontossággal határozzuk meg úgy, hogy egyszer beillesztjük az iterációs képletbe (függetlenül a értékétől ). ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle h}$

Fontos referencia ellipszoidok

Az alak és méret különböző régióiban használt ellipszoidokat általában annak fél-fő tengelye és a lapítás (angolul Lapítás ) készlete adja. Ezenkívül meg kell határozni azt a központilag elhelyezkedő „ alapvető pontot ”, amelyen a referencia-ellipszoid megérinti a geoidot, és így egyértelmű magasságot ad neki . Mindkét meghatározást együtt " geodéziai nullának " nevezzük . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle f}$

Még akkor is, ha két ország ugyanazt az ellipszoidot használja (pl. Németország és Ausztria a Bessel-ellipszoid ), ebben a központi pontban vagy alapvető pontban különböznek egymástól . Ezért a közös határpontok koordinátái akár egy kilométerrel is eltérhetnek.

Az ellipszoidok tengelyei legfeljebb 0,01% -kal térnek el attól a régiótól függően, amelynek mérései alapján meghatározták őket. A pontosság növekedése a lapítás meghatározása során (az ellipszoid tengelyek közötti különbség 21 km körül) az első mesterséges műholdak kilövésével függ össze . Ezek nagyon egyértelmű útzavarokat mutattak az előre kiszámított utak tekintetében. A hibák felhasználásával vissza lehetett számolni és pontosabban meghatározni a lapítást. ${\ displaystyle f = (from) / a}$

A Bessel-ellipszoid ideálisan alkalmazkodik Eurázsiához, így „800 m-es hibája” Európa geodéziájának kedvez - hasonlóan a Hayford-ellipszoid ( John Fillmore Hayford után ) szemben lévő 200 m- hez Amerikához.

Közép-Európa számos olyan országában , amely Bessel-ellipszoid, fontos Hayford és Kraszovszkij ellipszoidjai (helyesírási következetlensége), valamint a GPS - a WGS84 felmérése .

Az eredmények Delambre és von Schmidt úttörő munkát, és alapul csak korlátozott mérésekhez. Másrészt az Everest (Ázsia) és Hayford (Amerika) közötti nagy különbség a különböző földrészek geológiailag meghatározott geoid görbületéből adódik. Hayford ennek a hatásnak egy részét képes volt kiküszöbölni az izosztázis matematikai csökkentésével , így értékeit jobbnak ítélték meg, mint az akkori európai összehasonlító értékeket.

irodalom

• Wolfgang Torge : Geodézia. 3. teljesen átdolgozott és kibővített kiadás. De Gruyter-Verlag, Berlin és mtsai. 2001, ISBN 3-11-017072-8 .
• J. Ihde és mtsai: European Spatial Reference Systems - Frames for Geoinformation Systems . (PDF)

web Linkek

• Térképes referenciarendszerek, ellipszoidok, geoidok és topográfiai felületek
• MapRef - európai referenciarendszerek és térképvetítések
• CRS-EU - Információs és szolgáltatási rendszer az európai koordinátarendszerek számára.
• euref-iag.net - Az EUREF további geodéziai információkra mutat
• epsg-registry.org - referenciarendszerek adatbázisa és koordináta transzformációs paraméterek

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Bowring: A geodéziai szélességi és magasságegyenletek pontossága (Survey Review, 28. évf.)
2. ↑ Bowring: Átalakítás térbeli koordinátákról földrajzi koordinátákra (Survey Review, 23. évf.)
3. ↑ crs.bkg.bund.de , állandók referencia Eiiipsoids használt Dátum transzformációk ( Memento az az eredeti október 6 2013-ban az Internet Archive ) Info: A archív linket helyeztünk automatikusan, és még nem ellenőrizték. Kérjük, ellenőrizze az eredeti és az archív linket az utasításoknak megfelelően, majd távolítsa el ezt az értesítést. A Bessel 1841-től a WGS 1984-ig és a beépített ellipszoidoktól adva a b értékét 1 mm-re kerekítve, az EPSG-ben meghatározott a és f paraméterek alapján : 7004 @ 1@ 2Sablon: Webachiv / IABot / www.arsitech.com
4. ↑ ${\ displaystyle b = - ({\ tfrac {a} {n}} - a) = - ({\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {\ color { Zöld} 299 {,} 1528128}} - 6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}) = 6 \, 356 \, 078 {,} 96282 \; \ mathrm {m} \ simeq 6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}$
5. ↑ Helytelenül is${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ tfrac {a} {ab}} = {\ tfrac {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m}} {6 \, 377 \, 397 {,} 155 \; \ mathrm {m} -6 \, 356 \, 078 {,} {\ color {Red} 963} \; \ mathrm {m}}} = {\ szín {zöld} 299 {,} 15281} {\ szín {piros} 53513205998}}$
6. ↑ georepository.com epsg.io EPSG: 7004 felhasználások Ez az érték az amerikai hadsereg térképszolgálatának műszaki kézikönyvéből származik ; 1943. „ Megjegyzések: Az eredeti Bessel-definíció a = 3272077.14 és b = 3261139.33 toise. Ez több szerző értékeinek súlyozott átlagát használta, de nem vette figyelembe a különféle toise hosszának különbségeit: a "Bessel toise" tehát bizonytalan hosszúságú. ”${\ displaystyle n = {\ tfrac {1} {f}} = {\ color {Green} 299 {,} 1528128}}$