Osztási probléma

Az osztási probléma egy matematikai probléma, amely Luca Paciolira (1494) nyúlik vissza. Blaise Pascal és Pierre de Fermat leveleket írt erről a problémáról.

megfogalmazás

Két A és B játékos egyenlő mennyiségű E pénzt tesz egy bankba. A bankban lévő G = 2E összegért szerencsejátékot játszik, amely több fordulóból áll. Minden körben korrekt érmét dobálnak. A játékra vonatkozóan a következő szabályokat állapodták meg:

A játékot addig kell játszani, amíg a két játékos közül az egyik n- szer nem nyert .
Aki először n alkalommal nyer, megkapja a bankban lévő összeget. A másik nem kap semmit, függetlenül attól, hogy milyen szoros volt a vezetés.

Vis maior miatt azonban a játék meghozatala előtt váratlanul le kell állítani az a: b pontot . Az első szabály megszegve. A játék nem folytatható vagy nem játszható újra, és a pénzt azonnal fel kell osztani.

Most állítsa be magát egy bíró helyzetébe, aki állítólag „tisztességesen” elosztja a bankban lévő G nyereményösszeget a két játékos számára. Vegye figyelembe, hogy a „csak” szó itt inkább jogi, mint matematikai jelentéssel bír.

javaslat

A korábbi játékos azzal érvel, hogy a játék illegálisan ért véget. Azt akarja, hogy az E használatát ismét megtérítsék, fele G szóval . Végül is utolérhette volna és nyerhetett.

Ellen javaslat

A vezető játékos a teljes pénzösszeget igényli. Ragaszkodik a "mindent vagy semmit" szabályhoz. Különösen akkor, ha egyértelműen az élen jár, számíthatunk arra, hogy ő is győzni fog.

A két megalkuvás nélküli javaslat sem „téves”, sem „helyes”. Inkább a néző igazságérzetétől függ, hogy az egyik javaslatot „rossznak” vagy „helyesnek” értékeli-e. Mennyire nehéz a második szabály, ha az elsőt már megszegték?

A következő két nézet igazságosnak tűnik:

Ha a játék megszakad, ha döntetlen van, mindenki megkapja a felét, vagyis a tétjét.
Ha van vezető, akkor soha nem kaphat kevesebbet, mint a mögöttes.

Klasszikus kompromisszumos megoldások

Pacioli

A kap és B kap . ${\ displaystyle {\ frac {a} {a + b}} \, G}$ ${\ displaystyle {\ frac {b} {a + b}} \, G}$

Az osztási arány az a pontszámra vonatkozik: b . ${\ displaystyle a: b \,}$

Tartaglia

A kap és B kap . ${\ displaystyle \ bal ({\ frac {ab} {n}} + 1 \ jobb) E}$ ${\ displaystyle \ bal ({\ frac {ba} {n}} + 1 \ jobb) E}$

Az osztási arány az . ${\ displaystyle (a-b + n) :( b-a + n) \,}$

Cardano

A kap és B kap ${\ displaystyle {\ frac {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {nb} k} {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {na} k + \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {nb} k}} \, G}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {na} k} {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {na} k + \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {nb} k}} \, G}$

Az osztási arány az . ${\ displaystyle {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {nb} k}: {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {na} k}}$

Fermat és Pascal

A kap és B kap ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {a + b}} {2 ^ {2n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {nb-1} {2n-1- (a + b) \ válassza a k} \, G} lehetőséget$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {a + b}} {2 ^ {2n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {na-1} {2n-1- (a + b) \ válassza a k} \, G} lehetőséget$

Az osztási arány az . ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {nb-1} {2n-1- (a + b) \ válassza a k lehetőséget: \ sum _ {k = 0} ^ {na-1} {2n-1 - (a + b) \ válassza k}}$

Megjegyzések

A láncban

Javaslat - Tartaglia - Cardano - Fermat / Pascal - ellenjavaslat

A vezető preferenciája balról jobbra monoton nő.

Végül Fermat és Pascal megoldása tűnik a "legtisztességesebbnek" vagy "a leghelyesebbnek", mert a győzelem összegét az egyéni nyerési valószínűségek szerint osztja meg egy fiktív játékfolytatásban. A probléma megoldása érdekében mindketten azt feltételezték, hogy az egymással versenyző játékosok azonos képességekkel rendelkeznek. Ez érthető, mert Pacioli 1494-ben megfogalmazta a megosztási problémát egy megszakított labdajátékkal kapcsolatban, csak később nem volt egészen érthetően összefüggésben a megszakított szerencsejátékkal.

irodalom

Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elemi sztochasztika: Bevezetés az adatok és a véletlen matematikájába . Springer 2007, ISBN 9783540453819 , 263-266

web Linkek

A valószínűség fogalmának kidolgozása 1654-től 1718-ig (pdf) - Munkamunka a felosztás problémájával

Egyéni bizonyíték

^ Thomas Bronder: Játék, esély és kereskedelem. A pénz játékának elmélete és gyakorlata a matematika, a törvény és a valóság között . Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2016), XXIII, 313 pp., Puhakötésű ISBN 978-3-662-48828-7 , e-könyv ISBN 978-3-662-48829-4 , a felosztás problémája. 12-15. Oldal , doi : 10.1007 / 978-3-662-48829-4

[1] Thomas Bronder: Játék, esély és kereskedelem. A pénz játékának elmélete és gyakorlata a matematika, a törvény és a valóság között . Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2016), XXIII, 313 pp., Puhakötésű ISBN 978-3-662-48828-7 , e-könyv ISBN 978-3-662-48829-4 , a felosztás problémája. 12-15. Oldal , doi : 10.1007 / 978-3-662-48829-4

Languages