Törtek

Szűkebb értelemben, frakció számítása utal , hogy kiszámításához a közös frakciók (néha rendes frakciók ) a „számlálóban-frakció-bar-nevező jelölés” (lásd alább). Tört kiszámítása része aritmetikai , egy ága a matematika .

Tágabb értelemben a szót racionális számokkal történő számításra is használják , függetlenül azok írási módjától.

Ennél fontosabb kiterjesztés a felvételi frakció szempontjából , ezek olyan kifejezések, amelyek formálisan, mint a józan frakciók, de amelyben a számláló és a nevező is tekintve , hogy tartalmaznak változókat . A törtszámítás szabályai analóg módon vonatkoznak ezekre a törtfogalmakra. A törtfogalmakkal való számítás az algebra része .

A törtek szabályai az alapvető számtani műveletekre vonatkoznak , azaz összeadás , kivonás , szorzás , osztás és kölcsönös értékek kialakítása . Különösen töredékes kifejezések esetén vannak szabályok a hatalmakra és a gyökerekre is.

Van egy csökkentési és bővítési szabály is , amelyek a törtek sajátossága. Ez a tört és a tört közötti különbségen alapul , amelyet részletesebben a következő részben ismertetünk.

A töredékes helyesírás, azaz a törtvonalú írásmód Leonardo von Pisa -hoz nyúlik vissza , aki 1228 -ban vezette be. Elég általánosan használják a matematika különböző területein, különösen az algebrában , amikor a törtek elemi szabályai, különösen a redukciós és bővítési szabály érvényesek a vizsgált szerkezetben. Itt is „törtekről” beszélünk, amikor ezeket a szabályokat alkalmazzák.

Tört és törtszám

A frakció számítás alapja az a tény, hogy az egész (a egy kiszámításában természetes számok) is felosztható. Például egy tortát négy részre lehet osztani. Ha ezek a darabok azonos méretűek, minden darab a torta negyede. Ha, mint a képen, az egyik negyed hiányzik, akkor a sütemények háromnegyede látható.

Az egész négy egyenlő részre oszlik; hármat itt értünk. Vagy: három egészet négy egyenlő részre osztanak; ugyanezen részek egyike értendő.

Ezt általában a "számláló-tört-sáv-nevező jelölésben" írják: A törtvonal alatti szám -az úgynevezett nevező vagy osztó- jelzi, hogy az egész hány részre oszlott; a törtvonal fölötti szám - a számláló - jelzi, hogy ebben az esetben hány részre gondolunk. Így kapsz töredéket . Ez a következőképpen is értelmezhető: A számláló jelzi, hogy hány egész részt kell annyi egyenlő részre osztani, amennyit a nevező jelez. (Három süteményt tesz egymásra, és a köteget négy egyenlő részhalomra osztja.)

Ha az egészet (a tortát) nyolc részre osztjuk, és hatot veszünk belőle , akkor ez egy másik tört: a helyett . De ez a két frakció láthatóan ugyanannyi süteményt jelent: ugyanazt a frakciót képviselik . ${\ displaystyle {\ frac {6} {8}}}$${\ displaystyle {\ frac {3} {4}}}$

Minden tört esetében sok (végtelen sok) különböző ábrázolás , különböző tört , amelyek mindegyike ugyanazt az értéket (ugyanazt a mennyiséget ) képviseli, de különböző módon. Bővítéssel és rövidítéssel az egyik törtről a másikra juthatunk . Ez nem változtatja meg a tört értékét , de különböző módon ábrázolhatja ezt a számot: különböző törteket.

Meghatározás és kifejezések

A törtek kezdetben közönséges törtekre (más néven közönséges törtek ) és tizedes törtekre (= tizedes szám, köznyelven: "pontszám") oszthatók fel , és létezik vegyes tört is. Amikor törtről beszélünk, általában közönséges törtet értünk, a tizedes törtekkel való számítást általában nem nevezik törtszámításnak.

Az alábbi táblázat összefoglalja az ebben a részben ismertetett gyakori tört kifejezéseket. Az alábbi táblázatban szereplő kifejezések a fenti általános kifejezések alá tartoznak, például minden pszeudo -tört egy közönséges tört, a szomszédos kifejezéseknek nem kell kizárniuk egymást. Meg kell jegyezni, hogy ezek a számok helyesírására vonatkoznak, és nem a megjelenített számokra. Egy bizonyos szám különböző ábrázolásokat tartalmazhat, amelyek mindegyikét különböző kifejezésekkel jelölik a táblázatból. Például írhat minden helytelen törtet vegyes törtként.

A törtek megjelenítésére szolgáló egyéb formákkal ( folytatott tört , százalék és ezer jelölés , bináris törtek stb.) Minden cikk külön foglalkozik, és nem szerepel ebben a táblázatban.

Gyakori törtek

Egy közönséges tört leírása

A közönséges törteket általában a számláló és a nevező egymásra helyezése jelenti, vízszintes vonallal elválasztva:

${\ displaystyle {\ frac {Z} {N}}}$

A tört számlálója és nevezője egész számok . A nevező nem lehet nulla, mert a nullával való osztás nincs meghatározva. ${\ displaystyle N}$

Minden törtet felosztási problémaként is fel lehet fogni. A számláló az osztalék , a nevező az osztó: ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle Z: N = {\ frac {Z} {N}}}$

A törteknél a döntő tényező az , hogy minden osztás (kivéve nullával) lehetséges és könnyen ábrázolható eredménnyel jár, míg az oszthatóság szabályai egész számokra vonatkoznak .

Általában természetes számokat használnak a számlálóhoz és a nevezőhöz, és minden negatív előjel a tört elé kerül, például a vagy helyett . Ha a számláló és a nevező negatív, akkor ez a pozitív törtet jelöli az egész számok osztására vonatkozó szabályok szerint :${\ displaystyle - {\ tfrac {3} {4}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {-3} {4}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {- 4}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {-3} {- 4}} = {\ tfrac {3} {4}}}$

Ennek a jelölésnek egy változatában, amelyet gyakran használnak, amikor gyakori törtek fordulnak elő a szövegekben, a számlálót, törtvonalat és nevezőt egymás után írják, és törtjelet használnak perjelet , például 1/2, 3/8 . A jelölési perjel helyett a vízszintes frakció bar (különösen) jegyű számláló és a nevező néha felett csökken, vagy írásos alatt perjel: ⁶ / ₇ . Ebből a célból számos nyomtatási karakterkészletben léteznek speciális karakterek, például ¾ vagy ½.

Valódi és hamis törtek

Ha a számláló összegének töredéke kisebb, mint a nevezőé, akkor valódi vagy tényleges törésről beszélünk (z. B. vagy ), máskülönben hamis vagy helytelen törtből (z. B. vagy ). ${\ displaystyle {\ tfrac {6} {7}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {5}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {7} {7}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {11} {3}}}$

Tehát valódi törtek azok, amelyek mennyisége kisebb, mint egy egész.

Törzstörések és ágatörések

Amennyiben a számláló egy közös frakcióban 1 (például , vagy ), beszélünk egy törzs frakció , egyébként ez egy származó frakciót , vagy ága frakciót . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {9}}}$

Álszünetek

A helytelen törteket, ahol a számláló a nevező egész szám többszöröse (pl. ), Dummy törteknek nevezzük, mert azok rövidítésével egész számokká alakíthatók (a példában a 4 -es számra). Különösen minden egész szám leírható hamis törtként . ${\ displaystyle {\ tfrac {12} {3}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ tfrac {n} {1}}}$

Vegyes frakciók

A nem megfelelő törtek, amelyek nem pszeudo-törtek, mindig vegyes törtként ábrázolhatók (és: vegyes számként, vegyes jelöléssel).

Először is az egész számrész, azaz. H. a számot nullára kerekítik, írják, majd közvetlenül utána a fennmaradó részt valós törtként. Például helyett vagy helyett . ${\ displaystyle 1 {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {4} {3}}}$${\ displaystyle -3 {\ tfrac {3} {5}}}$${\ displaystyle - {\ tfrac {18} {5}}}$

A vegyes helyesírás egyik problémája, hogy félreérthető termékként:

Tehát többnyire kiáll és nem . ${\ displaystyle 2 {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle 2 + {\ tfrac {1} {3}} = {\ tfrac {7} {3}}}$${\ displaystyle 2 \ cdot {\ tfrac {1} {3}} = {\ tfrac {2} {3}}}$

Ha viszont írsz, akkor nem tört a vegyes jelölésben, hanem (a változók miatt) egy kifejezés . Itt a kihagyott számtani szimbólumnak festési pontnak kell lennie (a többi aritmetikai szimbólumot nem szabad kihagyni kifejezésekkel). ezért úgy kell érteni, és soha . ${\ displaystyle a {\ tfrac {b} {c}}}$${\ displaystyle a {\ tfrac {b} {c}}}$${\ displaystyle a \ cdot {\ tfrac {b} {c}}}$${\ displaystyle a + {\ tfrac {b} {c}}}$

Számítási szabályok

Praktikus számtan törtekkel

Amikor a négy alap számtani műveletben, az összeadás , kivonás , szorzás és osztás törtekkel számolunk , két tört összekapcsolódik egy harmadik szám létrehozásához. Ezt nem szabad összetéveszteni az alakformáló törtekkel, ahol egyetlen tört új formát kap, anélkül, hogy megváltoztatná az értékét.

A formázás (alakváltozás) gyakran előfeltétele a várható töréseknek. Ezért először itt foglalkozunk vele.

A törések alakjának megváltozása

Konvertálás tizedes számmá

Egy tört tizedesjegyre konvertálásához egyszerűen ossza el a számlálót a nevezővel. 0,75 vagy 75% -át adja az egésznek. ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$

Bővítse és rövidítse le

A tört által képviselt tört értéke nem változik, ha a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk ugyanazzal a számmal (nem egyenlő 0 -val ) ( kibontjuk a törtet ), vagy elosztjuk a törtet a számláló és a nevező közös osztójával ( rövidítse le a töredéket ).

Példa: . Balról jobbra olvasva a töredéket kibővítettük, jobbról balra pedig lerövidítettük. ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} = {\ tfrac {2 \ cdot 3} {3 \ cdot 3}} = {\ tfrac {6} {9}}}$

Állítson be vegyes számokat, és ossza szét az egészeket

A vegyes jelöléssel jelölt tört értéke nem változik, ha az egész részt dummy törtként írjuk fel a tört nevezőjével, és a többi törtet hozzáadjuk. Fordítva, nem megfelelő tört esetén leválaszthatja az egészet alkotó törteket, és hozzáadhatja a fennmaradó frakciókat.

Példa: . Egész számokat osztottak balról jobbra, és vegyes számokat állítottak be jobbról balra. ${\ displaystyle {\ tfrac {8} {3}} = {\ tfrac {6} {3}} + {\ tfrac {2} {3}} = 2 + {\ tfrac {2} {3}} = 2 {\ tfrac {2} {3}}}$

Készítsen törteket azonos névvel

Közös frakciók, amelyek az azonos nevezőre nevezik ugyanaz . Ha a törteket úgy bővítjük ki, hogy akkor ugyanazzal a nevezővel rendelkezzenek, ezt nevezzük azonos név készítésének . A gyakorlati számtanban meg kell határozni a törtek fő nevezőjét , ez a nevező legalacsonyabb közös többszöröse (lcm) .

Példa: A törteket azonos névvel kell elkészíteni. Az LCM a nevező , ezért mindhárom törtet úgy bővítjük, hogy a nevezőjük 42 legyen: ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {7}}; {\ tfrac {1} {6}}; {\ tfrac {9} {14}}}$${\ displaystyle 2 \ alkalommal 3 \ alkalommal 7 = 42}$

${\ displaystyle {\ tfrac {2} {7}} = {\ tfrac {2 \ cdot 6} {42}} = {\ tfrac {12} {42}}; \ quad {\ tfrac {1} {6} } = {\ tfrac {1 \ cdot 7} {42}} = {\ tfrac {7} {42}}; \ quad {\ tfrac {9} {14}} = {\ tfrac {9 \ cdot 3} { 42}} = {\ tfrac {27} {42}}}$.

Az azonos nevű ábrázolások mostantól felhasználhatók például a megjelenített törtek méret szerinti rendezésére a számlálóik összehasonlításával:

${\ displaystyle {\ tfrac {7} {42}} <{\ tfrac {12} {42}} <{\ tfrac {27} {42}} \; \;}$, tehát alkalmazni kell .${\ displaystyle \; \; {\ tfrac {1} {6}} <{\ tfrac {2} {7}} <{\ tfrac {9} {14}} \;}$

Az alapvető számtan

Összeadni és kivonni

Példa az azonos nevű két gyakori tört hozzáadására. Az egyik így szól: " háromnegyed plusz negyed "${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} + {\ tfrac {1} {4}} = 1}$

Az összeadandó vagy kivonandó törteket először ugyanazzal a névvel illetik, majd a számlálóikat összeadják vagy kivonják.

Példa: . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {2} {15}} = {\ tfrac {5} {30}} + {\ tfrac {4} {30}} = {\ tfrac {9} {30}} = {\ tfrac {3} {10}}}$

Szorozz

A törteket megszorozzuk, ha megszorozzuk számlálóikat és nevezőiket. A számláló szorzata ekkor az eredmény számlálója, a nevező szorzata ekkor az eredmény nevezője.

Példa: . ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ cdot {\ tfrac {9} {14}} = {\ tfrac {2 \ cdot 9} {3 \ cdot 14}} = {\ tfrac {3} { 7}}}$

Elosztani, megosztani

Egy töredéket úgy osztunk meg, hogy megszorozzuk a reciprokával .

Példa: . ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {15}}: {\ tfrac {14} {27}} = {\ tfrac {2} {15}} \ cdot {\ tfrac {27} {14}} = {\ tfrac {2} {3 \ cdot 5}} \ cdot {\ tfrac {3 \ cdot 9} {2 \ cdot 7}} = {\ tfrac {1 \ cdot 9} {5 \ cdot 7}} = {\ tfrac {9} {35}}}$

Amint a példában látható, a köztes eredmények lerövidíthetők (itt például a 3. és a 2. az utolsó előtti lépésben).

Matematika vegyes törtekkel

Vegyes törtek szorzásakor vagy osztásakor általában először rendes törtekké kell alakítani. (Kivéve a nagyon egyszerű feladatokat, mint pl .) ${\ displaystyle 6 {\ tfrac {1} {3}}: 2 = 3 {\ tfrac {1} {6}}}$

Összeadás és kivonás esetén viszont sokkal olcsóbb, ha az egészet elszigetelten nézzük, és csak a maradék valódi törtekre használunk törteket. Hozzáadáskor egy további egész jelenhet meg itt, amikor a törtek kivonása nem elegendő, így az egész egyikét fel kell osztani, hogy látszólagos törtet alkosson:

${\ displaystyle 13 {\ tfrac {3} {4}} + 27 {\ tfrac {1} {2}} = 40+ \ balra ({\ tfrac {3} {4}} + {\ tfrac {1} { 2}} \ right) = 40 + 1 {\ tfrac {1} {4}} = 41 {\ tfrac {1} {4}}}$;

${\ displaystyle 16 {\ tfrac {1} {3}} - 9 {\ tfrac {1} {2}} = 7+ \ balra ({\ tfrac {1} {3}} - {\ tfrac {1} { 2}} \ jobb) = 7 + \ bal ({\ tfrac {2} {6}} - {\ tfrac {3} {6}} \ jobb) = 6 + \ bal ({\ tfrac {6} {6 }} + {\ tfrac {2} {6}} - {\ tfrac {3} {6}} \ right) = 6 {\ tfrac {5} {6}}}$.

A számítás absztrakt szabályai

Az alábbi szabályok mind a szűkebb értelemben vett törtekre, mind a törtfogalmakkal történő számításra vonatkoznak. Törtekkel történő számításkor a szabályok változói bizonyos egész számokat képviselnek. Ha ehelyett más kifejezéseket használ ezekhez a változókhoz, pl. Ha például saját maga ad meg valós törteket, tizedes törteket vagy kifejezéseket, akkor szabályokat kap a törtfogalmakkal, a tágabb értelemben vett törtekkel való számításhoz. ${\ displaystyle a, \; b, \; c, \; d, \; n \;}$

A törtekkel való számítás során az absztrakt számítási szabályok mindig helyes eredményeket adnak, és a „gyakorlati számítási szabályok” szerinti számítás gyakran kevésbé időigényes.

Bővítse és rövidítse le

Rövidítse le ${\ displaystyle \ rightarrow}$
${\ displaystyle {\ frac {a \ cdot c} {b \ cdot c}} = {\ frac {a} {b}}}$
${\ displaystyle \ leftarrow}$ Kiterjed

Hasznos szamárhidak a következők:

• Vágási tényezők, ez jó; aki összegeket vág, az bárány.
• A különbségek és az összegek csak a hülyéket vágják le.
• Amit fent tesz, azt lent is!

A természetes számok ekvivalenciájából az következik, hogy minden racionális szám végtelen számú különböző törttel reprezentálható, mert fennáll . ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {a \ cdot c} {b \ cdot c}}}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {2a} {2b}} = {\ frac {3a} {3b}} = {\ frac {4a} {4b}} = \ pöttyös}$

kiegészítés

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \; + \; {\ frac {c} {d}} \; = \; {\ frac {a \ cdot d + c \ cdot b} {b \ cdot d}}}$

kivonás

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} - {\ frac {c} {d}} \; = \; {\ frac {a \ cdot dc \ cdot b} {b \ cdot d}}}$

szorzás

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \; \ cdot \; {\ frac {c} {d}} \; = \; {\ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d}} }$

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \; \ cdot \; n \; = \; {\ frac {a \ cdot n} {b}}}$

osztály

Példa törtre osztásra

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}: {\ frac {c} {d}} \; = \; {\ frac {a} {b}} \; \ cdot \; {\ frac {d } {c}} \; = \; {\ frac {a \ cdot d} {b \ cdot c}}}$

Tehát osztasz egy törtet úgy, hogy megszorozod a tört reciprokával , ami osztóként működik . Az osztás tehát szorzásra szorul.

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}: n \; = \; {\ frac {a} {b \ cdot n}} \ quad {\ text {és}} \ quad n: {\ frac { a} {b}} \; = \; {\ frac {n \ cdot b} {a}}}$

Potenciák

szabály	példa
${\ displaystyle {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {m}}} = a ^ {n} \ cdot b ^ {- m}}$	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} = 3 \ cdot 2 ^ {- 1}}$
${\ displaystyle {\ frac {a ^ {n}} {a ^ {m}}} = a ^ {nm}}$	${\ displaystyle {\ frac {a ^ {3}} {a ^ {2}}} = a ^ {3} \ cdot a ^ {- 2} = a ^ {3-2} = a}$
${\ displaystyle {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {n}}} = \ bal ({\ frac {a} {b}} \ jobb) ^ {n}}$	${\ displaystyle {\ frac {3 ^ {2}} {2 ^ {2}}} = \ bal ({\ frac {3} {2}} \ jobb) ^ {2}}$

Számítás tört tagokkal

Az elemi algebrában fontos szerepet játszanak a törtfogalmak, azaz a számtani kifejezések közönséges törtek formájában. A Terme frakció általában számokat is tartalmaz a következő változókhoz . A törtek számítási szabályai a tört kifejezésekre is alkalmazhatók.

A definíció tartománya

A tört tag definíciós tartományának meghatározásakor figyelembe kell venni, hogy a nevező nem lehet 0 értékű. Például a tört frakció, amelytől függ, nem lenne definiálva a beszúráskor . A tartomány tehát az, ha a valós számok halmazát vesszük alaphalmaznak . Bonyolultabb esetekben a nevezőt tényezőkre kell bontani, hogy a meghatározás tartománya azonosítható legyen. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {6-2x}}}$${\ displaystyle x = 3}$${\ displaystyle D = \ mathbb {R} \ setminus \ {3 \}}$

Példa: rendelkezik a definíció tartományával . ${\ displaystyle {\ tfrac {x} {x ^ {2} -9}} = {\ tfrac {x} {(x + 3) (x -3)}}}$${\ displaystyle D = \ mathbb {R} \ setminus \ {- 3; +3 \}}$

Rövidítse le

A rövidítés azt jelenti, hogy a számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számtani kifejezéssel osztja el. Fontos, hogy csak a termékek tényezőit lehet eltávolítani. Előfordulhat, hogy a számláló és a nevező összegeit és különbségeit először termékekre kell bontani ( faktorizálás ).

Példák:

1. ${\ displaystyle \ quad {\ frac {4abc ^ {3}} {6a ^ {2} bc}} = {\ frac {2c ^ {2}} {3a}}}$
2. ${\ displaystyle \ quad {\ frac {x ^ {2} -6xy + 9y ^ {2}} {2x-6y}} = {\ frac {(x-3y) ^ {2}} {2 (x-3y )}} = {\ frac {x-3y} {2}}}$

A törtrész rövidítésekor a definíciótartomány megváltozhat! Az első példában a bal oldali rövidítetlen kifejezés csak akkor van definiálva, ha érvényes, a jobb oldali pedig már akkor van definiálva, ha csak érvényes. A második példában a rövidítés nélküli kifejezést csak akkor határozzuk meg, ha a rövidített kifejezést korlátozások nélkül határozzuk meg . ${\ displaystyle a, b, c \ neq 0}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle x \ neq 3y}$

A tört tag definíciós tartományának megváltoztatása annak lerövidítésekor az egyik olyan technika, amellyel a függvénykifejezések folyamatosan folytathatók .

Összeadás és kivonás

A számokhoz hasonlóan szükséges, hogy a megadott törtfogalmakat ugyanazzal a névvel lássuk el, azaz H. hogy ugyanazt a nevezőt hozza. Meghatározzák a lehető legegyszerűbb közös nevezőt (fő nevezőt), amely minden adott nevezővel osztható.

Példa:

${\ displaystyle {\ frac {3} {2a ^ {2}}} - {\ frac {4ab -1} {2ab}} + 2}$

A fő nevező az . A három megadott tört tag expanziós tényezőit úgy kapjuk meg, hogy elosztjuk az előző nevező által talált fő nevezőt. Tehát a bővítési tényezők , ill . ${\ displaystyle 2a ^ {2} b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 2a ^ {2} b}$

${\ displaystyle {\ frac {3} {2a ^ {2}}} - {\ frac {4ab -1} {2ab}} + 2}$

${\ displaystyle = {\ frac {3 \ alkalommal b- (4ab-1) \ alkalommal a + 2 \ alkalommal 2a ^ {2} b} {2a ^ {2} b}}}$

${\ displaystyle = {\ frac {3b-4a ^ {2} b + a + 4a ^ {2} b} {2a ^ {2} b}} = {\ frac {3b + a} {2a ^ {2} b}}}$

Gyakran a fő nevező csak akkor azonosítható, ha a nevezőket tényezőkre bontják (faktorizálás). Gyakran alkalmazzák a faktoring módszerét, vagy binomiális képleteket .

Példa:

${\ displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} -xy}} - {\ frac {y} {x ^ {2} + xy}} - {\ frac {x} {x ^ {2} - y ^ {2}}}}$

${\ displaystyle = {\ frac {x} {x (xy)}} - {\ frac {y} {x (x + y)}} - {\ frac {x} {(x + y) (xy)} }}$

${\ displaystyle = {\ frac {x \ cdot (x + y) -y \ cdot (xy) -x \ cdot x} {x (x + y) (xy)}}}$

${\ displaystyle = {\ frac {x ^ {2} + xy -xy + y ^ {2} -x ^ {2}} {x (x + y) (xy)}} = {\ frac {y ^ { 2}} {x (x + y) (xy)}}}$

Szorzás és osztás

A tört tagok szorzásakor a számlálót és a nevezőt is meg kell szorozni. A számláló és a nevező közös tényezőit csonkolni kell.

Példa: ${\ displaystyle {\ frac {4xy} {z ^ {2}}} \ cdot {\ frac {xz} {6y}} = {\ frac {4x ^ {2} yz} {6yz ^ {2}}} = {\ frac {2x ^ {2}} {3z}}}$

A bonyolultabb feladatoknál a számlálót és a nevezőt faktorokra kell bontani, hogy a tényleges szorzás előtt el lehessen távolítani őket.

Példa: ${\ displaystyle {\ frac {a -2b} {4a + 1}} \ cdot {\ frac {16a ^ {2} -1} {a ^ {2} -4ab + 4b ^ {2}}} = {\ frac {a-2b} {4a + 1}} \ cdot {\ frac {(4a + 1) (4a-1)} {(a-2b) ^ {2}}} = {\ frac {4a-1} {a-2b}}}$

A tört tagok felosztása szorzásra redukálható. Töredékkel osztasz, ha szorzod a kölcsönösével .

Példa: ${\ displaystyle {\ frac {2x-3} {5x}}: {\ frac {4x ^ {2} -9} {10x ^ {2}}} = {\ frac {2x-3} {5x}} \ cdot {\ frac {10x ^ {2}} {(2x + 3) (2x-3)}} = {\ frac {2x} {2x + 3}}}$

A képviselet egyéb formái

Részleges törtek

A törteket gyakran úgynevezett parciális törtekre lehet bontani, amelyek nevezői a prímszámok egész hatványai ; z. B.:

${\ displaystyle {\ frac {5} {6}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}},}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {3}}, \,}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {72}} = {\ frac {1} {8}} - {\ frac {1} {9}},}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {60}} = {\ frac {-1} {4}} - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {8} {5}}.}$

Egyiptomi frakciók

Léteznek bomlások úgynevezett egyiptomi törtekként is ( törzsfrakciók ), pl. B.

${\ displaystyle {\ frac {3} {7}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {231}}}$ és

${\ displaystyle {\ frac {25} {31}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {1116}}}$,

az ókori egyiptomiak csak tudtak és számoltak ilyen összegeket.

Pitagorasz frakciók

A számhármas egy példa a Pitagorasz -törtre (lásd még Pitagorasz -hármas ), mert ${\ displaystyle ({\ tfrac {1} {5}}, {\ tfrac {24} {35}}, {\ tfrac {5} {7}})}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {5}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {24} {35}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {5} {7}} \ jobb) ^ {2}}$.

Racionális számláló vagy nevező

Lásd racionalizálás (törtek) .

Általánosítások

A racionális számok mezőjének egész számok gyűrűjéből törtekként való felépítését az elvont algebrában általánosítja a hányadosmező fogalma bármely integritási gyűrűre.

Lásd még

• Farey epizód
• Kereszt szorzás

irodalom

• Erhard Cramer, Johanna Nešlehová: matematika előtanfolyam . Munkafüzet az alapképzési programok tanulmányainak megkezdéséhez. 3., ige. Kiadás. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-78180-6 , pp. 77-83 . 
• Friedhelm Padberg: Általános törtek - tizedes törtek. Frakcionális számítási didaktika . BI-Wissenschafts-Verlag, 1989, ISBN 3-411-03207-3 . 

web Linkek

Wikikönyvek: Matematika az iskolához${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {matrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {mátrix}}}}$  - alapvető számtani és törtszámítások

Wikikönyvek: Matematika az iskolához${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {matrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {mátrix}}}}$  - Töredékes kifejezések

Wikiszótár: Töredékes számítás  - jelentésmagyarázatok, szó eredet, szinonimák, fordítások

• Töredékes számítás oktatóvideókban illusztrálva (Olaf Hinrichsen, OberPrima.com UG, 2018. március 16.)
• Frakciószámológép - különféle online programok törtekhez
• A törtek kiszámításának képletei - A törtekkel való számítás legfontosabb képleteinek világos listája
• Interaktív kisalkalmazás, amely végigvezeti a frakciók kiszámításának különböző feladatain

Egyéni bizonyíték

1. ↑ H. Wussing: Előadások a matematika történetéről . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979, 325. o
2. ↑ 2006. augusztus 1 -i hivatalos helyesírási szabályok, 106. §, Canoonet