Törött törzs

A törés tört egy matematikai kifejezés, és egy olyan törtet ír le , amelynek 1 -es a számlálója és bármely természetes szám a nevezőben. Ez azt eredményezi, hogy a törtszámok a természetes számok reciproka . Ilyenek például a szárfrakciók, és bár nincs törésrész. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {6}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$

Törzstörés kialakulása

Az űrlap természetes számokkal rendelkező bármely töredéke ábrázolható a szülő törtek összegeként (és természetes számmal, ha van ilyen ). Ez vonatkozik például ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle a> b}$

${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}}}$

A szártörés kifejlesztésének egyik módja először az egész rész kivonása, majd a legnagyobb töredék kivonása, amely kisebb vagy egyenlő a maradékkal (ezt mohó algoritmusnak hívják ).

eljárás

Ezzel az eljárással egy valódi rövidített törtet eredeti törtek összegére bontunk, így minden eredeti tört különböző nevezővel rendelkezik:

Valódi, már lerövidített tört adva: a . ${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$${\ displaystyle a <b}$

1. lépés

Alakítsuk ki az új törtet , ahol: és és minimális, azaz H.,${\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}}}$${\ displaystyle c = a}$${\ displaystyle d = n \ cdot a \;> b \;, n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle n}$

az új számláló megegyezik a régi számlálóval, az új nevező pedig a régi számláló legkisebb többszörösével, amely nagyobb, mint a régi nevező.

Az új frakció a képződési szabályozás miatt mindig lerövidíthető a törzs frakciójára .${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$

2. lépés

Tehát érvényes vele .${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}} = {\ tfrac {c} {d}} \; + \; {\ tfrac {a} {b}} \; - \; {\ tfrac {c} {d}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}} = {\ tfrac {1} {n}}}$

3. lépés

Számítsa ki a különbséget .${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}} + ({\ tfrac {a} {b}} - {\ tfrac {c} {d}}) = { \ tfrac {1} {n}} + {\ tfrac {na-b} {nb}}}$

4. lépés

Ha lehetséges, csökkentse a különbséget .${\ displaystyle {\ tfrac {na-b} {nb}}}$

5. lépés

Szüntesse meg az eljárást, ha a különbség a szár töredéke, ellenkező esetben ismételje meg az 1–4. Lépést a különbséghez .${\ displaystyle {\ tfrac {na-b} {nb}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {na-b} {nb}}}$

példa

A törzsfrakció bővítése a következőkre vonatkozik : ${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$

1. Lépés: Új szünet: ${\ displaystyle {\ frac {2} {4}}}$
2. Lépés: ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {2} {4}} + {\ frac {2} {3}} - {\ frac {2} {4}}}$
3. Lépés: ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {2} {4}} + \ bal ({\ frac {2} {3}} - {\ frac {2} {4}} \ jobbra) = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {2} {12}}}$
4. Lépés: ${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}}}$
5. Lépés: A folyamat törlődik, mert a különbség már törzstörés.${\ displaystyle {\ frac {1} {6}}}$

Ez a folyamat mindig véges számú lépés után véget ér. Ez azonban nem mindig biztosítja a lehető legrövidebb ábrázolást az eredeti törtek összegeként. Például ez a módszer biztosítja a reprezentációt

${\ displaystyle {\ frac {59} {120}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {65}} + {\ frac {1} {10920}}}$,

de van rövidebb verzió

${\ displaystyle {\ frac {59} {120}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {8}}}$

sztori

Az ókori egyiptomiak csak valós töredékeket rögzítettek. Mivel hieroglifákkal rendelkeztek a törzsfrakciókhoz, kivéve és csak, minden más törtet törzsrészek összegére kellett bontaniuk ( lásd még az egyiptomi számokat ).${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$

Leonardo Fibonacci közzétette a fenti algoritmust Liber abaci -ban ( 1202 ). James Joseph Sylvester brit matematikus csak 1880 -ban tudta bizonyítani az algoritmus általános érvényességét .

További események

A törzstörések kialakulásával összefüggésben megoldatlan matematikai probléma az Erdős-Straus sejtés .

Egyes statisztikailag rögzített mennyiségek arányosan oszlanak el a törzsrészekhez képest; ez egy egyszerű Zipf elosztást jelent .

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Törött törzs . In: Guido Walz (Szerk.): Lexicon of Mathematics . 1. kiadás. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
2. ↑ ^{a b} törtrész összege . In: Guido Walz (Szerk.): Lexicon of Mathematics . 1. kiadás. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
3. ^ Heinz-Wilhelm Alten : 4000 év algebra. Történelem, kultúra, emberek . Springer, Berlin és mtsai. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , pp. 13 .