Átló (geometria)

A diagonális (a görög διά dia : „keresztül”, és γωνία Gonia : „sarok, szög”) van általában egy sort a geometria , amely összeköti a sarkokat a felületek vagy szervek , anélkül, hogy egy oldalon, vagy pereme az ábra. A pontos meghatározást lásd alább.

Átló a sík geometriájában

Tizenhét sarok 14 átlóval egy saroktól
z. B. jelentése : átlós három oldalon${\ displaystyle d_ {3}}$

A planáris geometriát , átlók az összekötő vonalak a nem-szomszédos sarkokon egy sokszög (poligon) , amelyet ezért legalább négy sarkában.

Átlóinak száma

A szám az átlók egy sarokban, azaz egy sokszög a sarkok számával , az ${\ displaystyle d (n)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle d (n) = {\ frac {n (n-3)} {2}}}$,

mert mindegyik sarok átlóval van összekötve a sarkokkal (nem önmagával és nem a két szomszédos sarokkal). A képletben szereplő 2 nevező ( osztó ) figyelembe veszi, hogy ezzel a megfontolással minden átlót kétszer generálnánk egy teljes ciklussal az összes sarokpont felett. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n-3}$

Ennek eredményeként a sarok száma 3-25:

${\ displaystyle n}$	3	4	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.	12.	13.	14-én	15-én	16.	17-én	18	19-én	20	21.	22-én	23.	24.	25-én
${\ displaystyle d}$	0	2	5.	9.	14-én	20	27.	35	44.	54.	65	77	90	104	119	135	152	170	189	209	230	252	275

A konvex sokszög , az összes átlók feküdjön teljesen benne legyen a sokszög, egy konkáv sokszög legalább egy átlós hazugság teljesen kívül a sokszög.

Átló hossza

Tábornok

Az átlós hossza az egyik sarokban a következő sarokig számítjuk ki a hossza a két közbenső oldalán , és a közbenső szög szerint koszinusztétel : ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle s_ {0}}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$

${\ displaystyle d = {\ sqrt {s_ {0} ^ {2} + s_ {1} ^ {2} -2s_ {0} s_ {1} \ cos \ varphi _ {1}}}}$

Ha a köztük lévő sarkok oldalai és belső szögei ismertek az átló végeinek közötti részleges kerületnél , akkor az átló hossza kiszámítható.

Ha az egyik átlós végtől kezdve az oldalakat és az előttük lévő belső szöget jelöljük : ${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle \ varphi _ {i}}$

• Három oldal átlójának:

${\ displaystyle d_ {3} = {\ sqrt {(s_ {0} -s_ {1} \ cdot \ cos (\ varphi _ {1}) + s_ {2} \ cdot \ cos (\ varphi _ {1} ) + \ varphi _ {2})) ^ {2} + (s_ {1} \ cdot \ sin (\ varphi _ {1}) - s_ {2} \ cdot \ sin ((\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2})) ^ {2}}}}$

• A következő az átlóra vonatkozik a négy oldalon:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} d_ {4} ^ {2} & = (s_ {0} - & s_ {1} \ cdot \ cos (\ varphi _ {1}) + s_ {2} \ cdot \ cos (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}) - s_ {3} \ cdot \ cos (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2} + \ varphi _ {3})) ^ { 2} \\ & + (& s_ {1} \ cdot \ sin (\ varphi _ {1}) - s_ {2} \ cdot \ sin (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}) + s_ {3} \ cdot \ sin (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2} + \ varphi _ {3})) ^ {2} \ end {igazítva}}}$

• Általános az oldalak közötti átlóhoz:${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle d_ {n} = {\ sqrt {\ bal (s_ {0} + \ sum _ {i = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ {i} \ cdot s_ {i} \ cdot \ cos \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {i} \ varphi _ {k} \ right) \ right) ^ {2} + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n-1 } - (- 1) ^ {i} \ cdot s_ {i} \ cdot \ sin \ balra (\ sum _ {k = 1} ^ {i} \ varphi _ {k} \ right) \ right) ^ {2 }}}}$

Különleges esetek

Egyes speciális esetekben egyszerű képletek vannak az átló hosszára:

• A diagonális hossza egy paralelogramma az oldalsó hosszúságú , és és a belső szög a következők:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle e = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + 2ab \ cos \ alpha}}}$

és

${\ displaystyle f = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ alpha}}}$

• Egy téglalap ( ) átlós hosszára az oldalak hosszával, és ezért a Pitagorasz-tétel szerint :${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle d = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$.

Szabályos sokszögek

• Az oldalhosszú négyzet átlós hossza a következőképpen számítható:${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle d = a {\ sqrt {2}}}$.

• Az oldalhosszú szabályos ötszög átlós hosszára vonatkozik${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle d = {\ frac {a} {2}} \ balra (1 + {\ sqrt {5}} \ jobbra)}$

• Az alábbiak a két vagy három oldal feletti átlóra vonatkoznak, szabályos hatszögben, oldalhosszal${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle d_ {2} = a {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}$   valamint   .${\ displaystyle d_ {3} = 2a}$

• Általánosságban elmondható, hogy az oldalhosszúságú szabályos sokszögben az átló hossza az oldalak fölött az${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle d_ {k} = a \ cdot \ sin \ bal ({\ frac {k \ pi} {n}} \ jobb) \ cdot \ csc \ bal ({\ frac {\ pi} {n}} \ jobb)}$.

Átlósok a térgeometriában

A szeterometria , a átlója egy poliéder azt értjük, hogy egy vonal, amely összeköti a két sarkában a test egymással, de sem egybeesik egy él, sem, átlós egy oldalfelületének (szóköz vagy szerv átlós).

Átlóinak száma

Ahhoz, hogy megtalálja a számát átlói poliéder, 1 kivonása a szögletek száma, többszörösen a fennmaradó részt pedig a szögletek száma, és felére csökkentik a terméket . Az így kapott számból először kivonja az összes él számát, majd az összes oldalfelület átlóinak számát.

Ha számát jelöli a sarkokban , a szám a felületek száma élek száma és a sarkokban a felület nem. Az egyik eredménye ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle N_ {i}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {E (E-1)} {2}} - K- \ sum _ {i = 1} ^ {F} {\ frac {N_ {i} (N_ {i} -3 )} {2}}}$

Minden párhuzamos oldalú , pl. B. kockacső , azzal eredményez

${\ displaystyle E = 8, \ quad F = 6, \ quad K = 12, \ quad N_ {i} = 4 \ quad \ all i}$:

${\ displaystyle Z = {\ frac {8 (8-1)} {2}} - 12- \ sum _ {i = 1} ^ {6} {\ frac {4 (4-3)} {2}} }$

${\ displaystyle Z = 28-12-6 \ cdot 2}$

${\ displaystyle Z = 4}$

Átló hossza

• A hossza a testátló egy kocka (oldalsó hosszúságú , , van) .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle d = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}$

• Ennek eredménye a kocka speciális esete .${\ displaystyle d = a {\ sqrt {3}}}$

Átlós módszer

Alkalmazás a művészetben

A képzőművészetben az átlókat használják kompozíciós elemként a művek formai tervezéséhez. Az átlós módszer különösen egy téglalap alakú formátumot két négyzetre oszt, majd az átlójukkal rendezi a képet.

észlelés

A tágabb értelemben vett átlókat és a (fotó) grafikai tervezéseket másképp érzékeljük: A jobbra felfelé emelkedőket pozitívnak és dinamikusnak érzékeljük, ezért pozitív átlónak nevezzük . A szemközti pólus a negatív átló, amely a kép bal felső sarkából származik, és a jobb alsó részig fut - a fékezés, a megállás és a negatív érzések szimbóluma. Jó kialakítású, lehet, hogy átlós vagy átlós felépítésű, a vizuális kijelentés támogató iránya szembesülhet megfelelőjének egy kis változatával, egy anti-átlóval . A hatás észlelésileg pszichológiailag magyarázható a jobb oldali írás és olvasás irányától, a gyorsan kézzel írt betűk, dőlt betűvel nyomtatott nyomtatók, az alkar jobb felső sarkába történő felfelé emelkedő, a grafika a tudománytól a a tőzsdei árfolyamon, ha jobb jobb oldali orientáció van, akkor a felfelé ábrázolt érték pozitívan alakul a jobbra futó idő tengelye alatt.

Lásd még

• Képernyő átlója

Egyéni bizonyíték

1. ↑ J. Dorfmeister: Következmények és teljes indukció - modell megoldás. Előzetes matematika intenzív WS 06/07. In: „11. [...] számos d (n) az átlók ... " TU München, 2006, p. 3 , hozzáférhető a szeptember 9, 2018 . 
2. ↑ Hartel, M. (2008). Városi kifejezés. Digitális fotós, 74 (szeptember), 30-42.