poliéder
A poliéder [ poliˈ (ʔ) eːdɐ ] (szintén poliéder ; az ókori görögből πολύεδρος polýedros , németül „sok ülő, sokszögű” ) egy háromdimenziós test , amelyet kizárólag sík felületek korlátoznak.
A kétdimenziós analóg a sokszög , a négydimenziós a polikórus , általában a -dimenziós politóp .
Ilyenek például a kocka , mint egy korlátos poliéder és oktáns az egy háromdimenziós koordináta-rendszer , mint egy határtalan poliéder.
tulajdonságait
Amellett, hogy a sík felület, poliéder is kizárólag egyenes élek, mivel sík felületek , mint egy részhalmaza a síkok csak metszik az egyenes vonalak.
A poliéderek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
topológia
- Az oldalfelületek száma és típusa
- Az élek száma és hossza
- A sarkok száma
- Arcok / élek száma minden sarokban
Méretek
- Hangerő (ha minden felület egyedi tájolással rendelkezik)
- Felszíni terület
- A szélek teljes hossza
Egyes poliédereknek például szimmetriatulajdonságaik is vannak
A platóni szilárd testek a szimmetriacsoportokat is meghatározzák , nevezetesen a tetraéderes csoportot , az oktaéderes csoportot és az ikozaéderes csoportot .
Építkezés
A poliéderek sarokpontjaik, valamint sík felületük alapján építhetők fel.
Az építkezés sarokpontjaitól
A poliéder létrehozható úgy, hogy legalább négy pontot (amelyek nem egy síkban vannak) élekkel kötik össze. A kapott határfelületek sarkainak száma attól függ, hogy hány pont van ebben a síkban. Mivel minden pont három síkon van, legalább háromszögek jönnek létre. Ha négy vagy több pont „okosan” helyezkedik el egy síkban, akkor a határoló felületek négyszög vagy sokszög.
Felületükből építés
A poliéderek felépíthetők úgy, hogy legalább négy szinttel elosztják a teret. A szükséges szintek száma a poliéder lapjainak száma. Két sík metszéspontjai alkotják a poliéder éleit (szám ), három vagy több sík metszéspontjai a sarokpontokat (szám ). Annak érdekében, hogy háromnál több sík vagy felület találkozzon egy sarokban, háromnál több síknak kell találkoznia egy pontban.
Különleges poliéderek
A poliéderek, ahogy a mindennapi életben találkozunk velük, vagy ahogy az iskolai matematikából ismerjük őket (lásd az előző részt), háromdimenziósak és korlátozottak, azaz - a topológia értelmében - a háromdimenziós euklideszi tér kompakt részhalmazai . Ezért ők az egyik geometriai test . A poliédert háromdimenziósnak nevezzük, ha nincs teljesen benne egy síkban sem. A poliédert határoltnak nevezzük, ha van egy gömb, amelyben teljesen benne van. A korlátozás nélküli, csak egy sarokkal rendelkező poliédereket poliéderkúpoknak nevezzük. Ide tartozik például a Trieder ( angol trihedron ).
Konvex poliéder
Gyakran a háromdimenziós poliéderek is domborúak . A poliédert konvexnek nevezzük, ha a poliéder minden két pontjánál az e pontok közötti összekötő vonal teljesen a poliéderben található. Például a szomszédos dodekaéder konvex. A nem domború poliéder példája az alább látható toroid alakú poliéder.
Rendszeres poliéderek, platóni, archimédészi, katalán és Johnson szilárd anyagok
A poliéderek különböző törvényszerűségek szerint osztályozhatók. A legfontosabbak a következők:
- Minden oldallap szabályos sokszög .
- Minden oldalfelülete egybevágó (egybevágó).
- Minden sarok ugyanaz, vagyis minden sarkon a poliéder elforgatható vagy tükrözhető oly módon , hogy átalakul , és az új poliéder megegyezik az eredetivel.
- A szomszédos felületek közötti szögek ( diéderes szögek ) azonosak.
Osztályozás szám 1. 2. 3. 4. konvex Megjegyzések platonikus szilárd anyagok mindegyik kettős platonikus szilárd anyag Kepler-Poinsot test mindegyik kettős egy Kepler-Poinsot testhez rendes poliéderek - a platonikus szilárd anyagok és a Kepler-Poinsot szilárd anyagok közös meghatározása Archimedesi testek mindegyik kettős egy katalán testhez megfelelő magasságú, rendszeres prizmák az oldalfelületek 2 szabályos n-sarok és n négyzet , az archimédészi szilárd anyagok kizárási kritériuma megfelelő magasságú rendszeres antiprizmák az oldallapok 2 szabályos n-csúcs és 2 · n egyenlő oldalú háromszög, kizárási kritérium az Archimédészi szilárd testeknél katalán test mindegyik kettős egy archimedesi testülethez megfelelő magasságú szabályos kettős piramisok az oldalfelületek 2 · n egyenlő oldalú háromszög , a katalán szilárd anyagok kizárási kritériuma megfelelő magasságú szabályos trapéz az oldalfelületek 2 · n sárkánynégyzetek , a katalán testek kizárási kritériuma Johnson teste minden arc szabályos sokszög
Ortogonális poliéder
Az arcok ortogonális poliéder találkozik derékszögben . Szélei párhuzamosak egy derékszögű koordinátarendszer tengelyével . A kocka alakú kivételével az ortogonális poliéderek nem domborúak. Kiterjesztik a kétdimenziós ortogonális sokszögeket a harmadik dimenzióba. Az algoritmikus geometriában ortogonális poliédereket használnak . Itt korlátozott szerkezetük előnyöket kínál az egyébként megoldatlan problémák kezelésében (bármilyen poliéder). Az egyik példa a poliéder felületek sokszögű hálóvá történő kibontása.
Királis poliéderek
A királis poliéderek olyan poliéderek , amelyek topológiailag nem egyeznek a tükörképükkel. Példák három dimenzióban a ferde kocka és a görbe dekaéder . Kéziességet mutatnak , vagyis van jobb- és balkezes változatuk, amelyek tükrözéssel leképezhetők egymásra.
Apeiroeder
Az Apeiéderek korlátlan poliéderek, ismétlődő szerkezetekkel.
Poliéderek a mindennapi életben
A hétköznapi életből származó poliéderek példái - amelyeket geometriai testeknek tekintünk - a szokásos felépítésükben vannak - szekrények , piramisok , házak , kristályok , kockák és geodéziai kupolák . A golyók , kúpok , palackok és süteménydarabok nem poliéderek, mert ívelt széleik vannak.
Euler poliéder helyettesítője és Euler jellemzője
A domború és a határolt poliéderekre Euler poliéder egyenlete érvényes :
Itt található a sarkok , az élek és a felületek száma .
Az alábbiak általában vonatkoznak a kapcsolódó poliéderekre
Euler -karakterisztikával . A tórusra például az . A jobb oldalon látható poliéder erre példa. Azt sarkok 24, 72 élek és 48 felületek: .
Minden poliéder esetében a páratlan számú sarkú arcok száma (ami megegyezik az élek számával) páros. Ez abból következik, hogy az összes oldal éleinek összege páros, mert ez az összeg kétszerese a poliéder éleinek.
Ezenkívül minden poliéder esetében páros azoknak a sarkoknak a száma, ahol a páratlan számú oldal (amely megegyezik az élek számával) találkozik. Ez abból következik, hogy a sarkoknál találkozó élek számának összege páros, mert ez az összeg kétszerese a poliéder éleinek.
Az egyenlőtlenség minden domború poliéderre vonatkozik , mivel minden felület legalább 3 éllel szomszédos, és minden él pontosan 2 felületet határol. Ebből és az egyenletből ( Euler sokszögű tétele) következik . Ezenkívül az alábbiak érvényesek, mivel minden sarokban legalább 3 él találkozik, és pontosan 2 sarok tartozik minden élhez. Ebből és Euler poliéderek helyettesítéséből következik .
Egy domború, arcokkal ellátott poliédernek legalább és legfeljebb sarkai vannak. Ebből az is következik, hogy a sarkokkal rendelkező poliédernek legalább és legfeljebb területei vannak.
Adott számú felület esetén a minimális sarokszám akkor érhető el, ha a poliédert csak háromszög alakú felületek határolják, azaz 3 élekkel és 3 sarkokkal rendelkező sokszögek. Ez a helyzet a tetraéder , az oktaéder , az ikozaéder , a deltaéder , néhány katalán szilárd anyag és az összes kettős piramis esetében . További példák a geodéziai poliéderek (lásd még: en: Geodéziai poliéder ).
Adott számú felület esetén a sarkok maximális száma akkor érhető el, ha csak 3 felület és 3 él találkozik minden sarokban. Ez a helyzet a tetraéderrel , a kockával , a dodekaéderrel , néhány archimédészi szilárd anyaggal és minden prizmával . További példák a Goldberg poliéderek (lásd még: en: Goldberg poliéder ).
Ezeknek a poliédereknek is mindegyiküknek van minimális vagy maximális éle egy adott számú oldal (vagy sarok) számára.
Példák a poliéderekre bizonyos számú területen
A poliédereket csak kivételes esetekben osztályozzák a határoló felületek száma szerint (általában a maximális szimmetriájú szilárd anyagok, a platóni szilárd anyagok).
Az oktaéder (3,3,3,3,3,3,3,3) inkább platóni szilárd anyag, mint egy hatoldalú alapú henger (6,6,4,4,4,4,4,4) .
Egy adott oldalszámhoz eltérő topológiájú poliéderek száma exponenciálisan növekszik az oldalak számával.
- A tetraéder egyedülálló.
- A pentaéder ötoldalas piramis vagy háromoldalú prizma.
- A hexaédereknek már 7 domború és 4 homorú poliédere van .
- Az Octahedráknak már 257 domború poliédere van, plusz nagyobb számú konkáv poliéderük.
- A dodekaéderekben már több mint 6 millió domború poliéder van, a tetradecaéderekben már elérték a milliárdot.
A poliéder neve általában jelzi kapcsolatát és építési elvét, néha a mindennapi élet tárgyaival is. Az olyan poliédereknek, amelyek neve "-dekaeder" -re végződik, nem is kell 12 arccal rendelkezniük ( üreges dodekaéder 20 arccal), néha csak tizenkét arc vagy poliéder van az építési láncban, amelyek 12 arccal rendelkeznek egy bizonyos típusú sokszöggel ( rombicosidodecahedron with 62 arc).
F. | általában | példa | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Vezetéknév | K | E. | Vezetéknév | kép | K | E. | |||
4. | Tetraéder | 6. | 4. | Háromszög piramis | 6. | 4. | |||
5 | Pentaéder | 8 ... 9 | 5 ... 6 | Négyzet alakú piramis | 8. | 5 | |||
6. | Kocka | 9 ... 12 | 5 ... 8 | dobókocka | 12 | 8. | |||
7 | Heptaéder | 11 ... 15 | 6 ... 10 | hosszúkás háromszögű piramis |
12 | 7 | |||
8. | nyolcszög | 12 ... 18 | 6 ... 12 | Csonka romboid | 18 -án | 12 | |||
9 | Enneaeder | 14 ... 21 | 7 ... 14 | hosszúkás négyzet alakú piramis |
16 | 9 | |||
10 | Decahedron | 15 ... 24 | 7 ... 16 | Pentagonális bipyramid | 15 -én | 7 | |||
11 | Hendekaeder | 17 ... 27 | 8 ... 18 | ? | 20 | 11 | |||
12 | Dodekaéder | 18 ... 30 | 8 ... 20 | rendes dodekaéder |
30 -án | 20 | |||
13 | Tridekaéder | 9 ... 22 | csavart hosszúkás négyzet alakú piramis |
20 | 9 | ||||
14 -én | Tetradekaéder | 9 ... 24 | Disheptahedron | 24 | 12 | ||||
15 -én | Pentadekaéder | 10 ... 26 | hosszúkás ötszögű bipiramid |
25 -én | 12 | ||||
16 | Hexadekaéder | 10 ... 28 | kétszeres kiterjesztett antiprizma |
24 | 10 | ||||
17 -én | Heptadekaéder | 11 ... 30 | megnagyobbodott sphenocorona |
26 -án | 11 | ||||
18 -án | Octadecahedron | 11 ... 32 | Négyzet alakú dupla kupola | 32 | 16 | ||||
20 | Ikozaéder | 12 ... 36 | rendes ikozaéder | 30 -án | 12 | ||||
22 -én | Ikosidiplo- eder |
13 ... 40 | hosszúkás ötszögű kupola |
45 | 25 -én | ||||
24 | Ikositetra- eder |
14 ... 44 | Deltoidal- ikositetra- eder |
48 | 26 -án | ||||
30 -án | Triakonta- eder |
17 ... 56 | kétszeresen kiterjesztett csonka hexaéder |
60 | 32 | ||||
32 | Triász diploederek |
48 ... 90 | 18 ... 60 | Csonka ikozaéder | 90 | 60 | |||
60 | Hexakonta- eder |
90 ... 174 | 32 ... 116 | Pentagon hexakonta- Eder |
150 | 92 |
kettősség
Minden domború poliéderhez van kettős poliéder. Minden sarkában a poliéder van rendelve egy felülete kettős poliéder bijectively és fordítva. Ezenkívül a kettős poliéder egy széle biológiailag hozzá van rendelve minden élhez .
A domború poliéder kettősét poláris oda -vissza mozdulattal kaphatjuk meg. A kettős poliéderek párban léteznek, és a kettős kettős az eredeti poliéder. Néhány poliéder önmagában kettős, ami azt jelenti, hogy a poliéder kettős egybevág az eredeti poliéderrel. Ilyen poliéder például a tetraéder , a négyzet alakú piramis és az összes szabályos piramis .
A platonikus szilárd anyag duálja maga is platonikus szilárd anyag. A hexaéder kettős az oktaéderrel és fordítva, a dodekaéder kettős az ikozaéderrel és fordítva, a tetraéder pedig kettős önmagával. A 13 archimédészi szilárd anyag mindegyike kettős a 13 katalán szilárd anyag egyikével és fordítva.
Az absztrakt poliéderek kettőseket is tartalmaznak, amelyek továbbá kielégítik, hogy ugyanazokkal az Euler -jellemzőkkel és tájolhatósággal rendelkeznek, mint az eredeti poliéder. A dualitásnak ez a formája azonban nem a kettős poliéder alakját írja le, hanem csak annak kombinatorikus szerkezetét. A nem domború geometriai poliéderek egyes definícióihoz léteznek olyan poliéderek, amelyek absztrakt kettősét nem lehet geometriai poliéderként megvalósítani ugyanazon meghatározás szerint.
Általánosítások
A politóp kifejezés mellett a „poliéder” kifejezést gyakran használják olyan terekre, amelyek nem feltétlenül háromdimenziósak.
- Különösen topológia , egy részhalmaza az nevezzük egy poliéder ha lehet háromszögelt, azaz ha lehet kialakítva, mint egy unió a simplexes az egy simplicial komplex . A homeomorf kép egy ilyen általános poliéder hívják görbe poliéder , és a képek a simplexes részt nevezik görbe simplexes .
- A lineáris optimalizálási , a (konvex) poliéder definiáljuk, mint a kereszteződésekben a véges sok fél-terek . E definíció szerint a poliéder nem feltétlenül korlátozott. A határolt, nem üres poliédert ezután politópnak nevezik. A domború poliéderek bontási tétele szerint a részhalmaz akkor és csak akkor poliéder, ha egy konvex politóp és egy (domború) poliéderes kúp összegeként ábrázolható.
Algoritmusok
A C # programozási nyelvben megvalósított alábbi módszerek kiszámítják a poliéder térfogatát és felületét :
// Berechnet das Volumen des Polyeders als Summe der Volumina der Pyramiden
// mit dem Koordinatenursprung als Spitze und den Seitenflächen als Grundfläche
public double VolumenBerechnen(Polyeder polyeder)
{
double volumen = 0;
List<Polygon> polygone = polyeder.polygone;
int anzahlDerPolygone = polygone.Count;
// Berechnet den Flächeninhalt des Polygons als Summe des Flächeninhalts von Dreiecken
for (int i = 0; i < anzahlDerPolygone; i++)
{
Polygon polygon = polygone[i];
List<Punkt> ecken = polygon.ecken;
double flaecheninhalt = FlaechenSumme(ecken);
// Berechnet einen Normalenvektor für die Höhe der Pyramide
Punkt p1 = ecken[0];
Punkt p2 = ecken[1];
Punkt p3 = ecken[2];
double x = -p1.y * p2.z + p2.y * p1.z - p2.y * p3.z + p3.y * p2.z - p3.y * p1.z + p1.y * p3.z;
double y = -p1.z * p2.x + p2.z * p1.x - p2.z * p3.x + p3.z * p2.x - p3.z * p1.x + p1.z * p3.x;
double z = -p1.x * p2.y + p2.x * p1.y - p2.x * p3.y + p3.x * p2.y - p3.x * p1.y + p1.x * p3.y;
double faktor = (p1.x * x + p1.y * y + p1.z * z) / (x * x + y * y + z * z);
Punkt normalenVektor = new Punkt(faktor * x, faktor * y, faktor * z);
double hoehe = GibLaenge(normalenVektor);
// Addiert das Volumen der Pyramide zum Gesamtvolumen
double pyramidenVolumen = flaecheninhalt * hoehe / 3;
volumen += pyramidenVolumen;
}
return volumen;
}
// Berechnet den Oberflächeninhalt des Polyeders als Summe der Flächeninhalte der Seitenflächen
public List<double> GibOberflaecheninhalt(Polyeder polyeder)
{
List<double> oberflaecheninhalt = new List<double>();
List<Polygon> polygons = polyeder.polygone;
int anzahlDerPolygone = polygons.Count;
// Berechnet den Flächeninhalt des Polygons als Summe der Flächeninhalte von Dreiecken
for (int i = 0; i < anzahlDerPolygone; i++)
{
Polygon polygon = polygons[i];
List<Punkt> ecken = polygon.ecken;
double flaecheninhalt = FlaechenSumme(ecken);
oberflaecheninhalt.Add(flaecheninhalt);
}
return oberflaecheninhalt;
}
private double FlaechenSumme (List<Punkt> ecken)
{
double flaecheninhalt = 0;
int anzahlDerEcken = ecken.Count;
for (int j = 0; j < anzahlDerEcken - 2; j++)
{
Punkt ecke1 = ecken[0];
Punkt ecke2 = ecken[j + 1];
Punkt ecke3 = ecken[j + 2];
// Berechnet die Seitenlängen des Dreiecks als Abstand der Ecken
double a = GibAbstand(ecke1, ecke2);
double b = GibAbstand(ecke2, ecke3);
double c = GibAbstand(ecke3, ecke1);
double s = 0.5 * (a + b + c);
// Formel des Heron für den Flächeninhalt des allgemeinen Dreiecks
flaecheninhalt += Math.Sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c));
}
return flaecheninhalt;
}
// Berechnet die Länge des Vektors mit dem Satz des Pythagoras
private double GibLaenge(Punkt ecke)
{
double x = ecke.x;
double y = ecke.y;
double z = ecke.z;
return Math.Sqrt(x * x + y * y + z * z);
}
// Berechnet den Abstand zwischen den beiden Ecken mit dem Satz des Pythagoras
private double GibAbstand(Punkt ecke1, Punkt ecke2)
{
double x = ecke1.x - ecke2.x;
double y = ecke1.y - ecke2.y;
double z = ecke1.z - ecke2.z;
return Math.Sqrt(x * x + y * y + z * z);
}
A sarkok közötti euklideszi távolság a Pitagorasz -tételből adódik .
A terület a oldalfelületek kiszámítani, a sokszögek a háromszögek . A háromszögek területe Heron képletéből származik .
A kötet a poliéder az összege az (aláírt) mennyisége a piramisok a hegyével a koordináta eredete és a mindenkori egyedi oldalsó felületek , mint a bázis területén .
A magassága a piramisok a skálázott hossza egy normál vektor a bázis .
web Linkek
- Poliéderes kerti képek, animációk, VRML 3D modellek; esztétikai normákkal
- Képletek a rendszeres és félig szabályos poliéderekhez
- Poliédersablonok papírmodellei poliéderek készítéséhez
- Poliéderek fonott csíkokból Készítsen poliéder modelleket papírcsíkok fonásával ragasztó nélkül
Egyéni bizonyíték
- ^ Wilhelm Pape , Max Sengebusch (elrendezés): A görög nyelv tömör szótára . 3. kiadás, 6. benyomás. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 ( zeno.org [letöltve: 2020. március 12]).
- ^ Edward S. Popko: Osztott szférák: geodézia és a gömb rendezett felosztása . CRC Press, 2012, ISBN 978-1-4665-0429-5 ( korlátozott előnézet a Google Könyvkeresőben).
- ^ H. Martyn Cundy, AP Rollett: Matematikai modellek . In: Clarendon Press . , Oxford 1961, 78-79.
- ^ B. Grünbaum, GC Shephard: Konvex politópok . In: Bulletin of the London Mathematical Society . 1, 3. szám, 1969, 257-300. doi : 10.1112 / blms / 1.3.257 .
- ↑ Egzert Harzheim : Bevezetés a kombinatorikus topológiába (= DIE MATHEMATIK. Bevezetés az alterületek és kapcsolódó tudományok tárgyába és eredményeibe ). Tudományos Könyvtársaság , Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X , p. 34 ( MR0533264 ).
- ^ John M. Lee : Bevezetés a topológiai sokaságokba (Graduate Texts in Mathematics 202) . Springer, New York [et al.] 2000, ISBN 0-387-98759-2 , pp. 149 .
- ↑ Egzert Harzheim : Bevezetés a kombinatorikus topológiába (= DIE MATHEMATIK. Bevezetés az alterületek és kapcsolódó tudományok tárgyába és eredményeibe ). Tudományos Könyvtársaság , Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X , p. 35 ( MR0533264 ).
- ↑ Rainer E. Burkhard, Uwe T. Zimmermann: Bevezetés a matematikai optimalizálásba (= Springer -tankönyv ). Springer, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-28673-5 , pp. 19 .