Differenciál forma

A differenciális forma (gyakran váltakozó differenciálformának is nevezik ) kifejezés Élie Joseph Cartan matematikusra nyúlik vissza . A differenciálformák a differenciálgeometria alapvető fogalma . Lehetővé teszik a koordinátától független integrációt az általános orientált differenciálható sokaságokon .

kontextus

Legyen ${\ displaystyle U}$

• egy nyílt részhalmaza az${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• vagy a Differenciálható alcsoportja${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
• vagy differenciálható sokaság .

Ezen esetek mindegyikében van

• a differenciálható funkció fogalma a végtelenül differenciálható függvények térén, a kijelöltnél folytatva;${\ displaystyle U;}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$
• fogalmát pontbeli egy olyan ponton${\ displaystyle \ mathrm {T} _ {p} U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle p \ U-ban;}$
• a tangenciális vektor és a differenciálható függvény irányított deriváltjának fogalma${\ displaystyle {\ tfrac {\ részleges f} {\ részleges X}}}$${\ displaystyle X \ in \ mathrm {T} _ {p} U}$${\ displaystyle f;}$
• a koncepció a differenciálható vektor mező a térben a vektor mező van jelölve.${\ displaystyle U;}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Gamma (\ mathrm {T} U)}$

A kettős tere a pontbeli nevezzük kotangensét helyet . ${\ displaystyle \ mathrm {T} _ {p} U}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T} _ {p} ^ {*} U}$

meghatározás

Differenciál forma

A differenciális alakja fokú on${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$ vagy a rövid formában egy sima vágás a th külső erő a Kotangentialbündels a . Szimbolikus jelöléssel ez azt jelenti , amikor a kotangens köteg , a kijelölt sima szakaszok külső ereje és ezáltal a mennyisége . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ omega \ Gamma (\ Lambda ^ {k} (T ^ {*} U))}$${\ displaystyle T ^ {*} U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} (T ^ {*} U)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle T ^ {*} U}$${\ displaystyle \ Gamma (\ Lambda ^ {k} (T ^ {*} U))}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} (T ^ {*} U)}$

Ez azt jelenti, hogy egy váltakozó Multilineáris formában a tangens tér hozzárendelve minden egyes pontja ; oly módon, hogy sima vektormezők esetén a függvény ${\ displaystyle p \ U-ban}$ ${\ displaystyle \ omega _ {p}}$${\ displaystyle T_ {p} U}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {k}}$

${\ displaystyle p \ mapsto \ omega _ {p} ((X_ {1}) _ {p}, \ ldots, (X_ {k}) _ {p}) \ in \ mathbb {R}}$

sima , vagyis a kívánt gyakorisággal differenciálható.

Alternatív megoldásként az -forma váltakozó, sima, többvonalas leképezésként tekinthető . Ez azt jelenti: hozzárendel egy függvényt a vektor mezőkhöz úgy, hogy ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega \ kettőspont (\ Gamma TU) ^ {k} \ - C ^ {\ infty} (U)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {k}}$${\ displaystyle \ omega (X_ {1}, \ ldots, X_ {k})}$

• ${\ displaystyle \ omega (X_ {1}, \ ldots, X '_ {i} + X' '_ {i}, \ ldots, X_ {k}) = \ omega (X_ {1}, \ ldots, X '_ {i}, \ ldots, X_ {k}) + \ omega (X_ {1}, \ ldots, X' '_ {i}, \ ldots, X_ {k})}$
• ${\ displaystyle \ omega (X_ {1}, \ ldots, f \ cdot X_ {i}, \ ldots, X_ {k}) = f \ cdot \ omega (X_ {1}, \ ldots, X_ {i}, \ ldots, X_ {k})}$ Mert ${\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (U), 1 \ leq i \ leq k}$

és

• ${\ displaystyle \ omega (X_ {1}, \ ldots, X_ {i}, \ ldots, X_ {j}, \ ldots, X_ {k}) = - \ omega (X_ {1}, \ ldots, X_ { j}, \ ldots, X_ {i}, \ ldots, X_ {k})}$

vonatkozik.

Alternatív a tenzor mezők igénybevételével : Az űrlap a szint váltakozó, kovariáns tenzor mezője${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k.}$

Differenciálformák tere

A készlet formák képez vektortér , és jelöljük. Fogadsz tovább ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (U)}$

${\ displaystyle \ Omega (U) = \ bigoplus _ {k = 1} ^ {\ infty} \ Omega ^ {k} (U).}$

Véges dimenziós sokaságoknál ez az összeg véges, mivel a vektortér a nulla vektortér . A halmaz egy algebra , amelynek szorzata a külső szorzat, és így ismét vektortér. Egy topológiai szempontból ez a tér is egy kéve . ${\ displaystyle k> \ dim U}$${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (U)}$${\ displaystyle \ Omega (U)}$

Meg lehet érteni, mint a külső erő elemét ; ezért a külső termék (azaz a termék a külső algebrában ) meghatározza a térképeket ${\ displaystyle \ omega _ {p}}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} (T_ {p} ^ {*} U)}$${\ displaystyle \ wedge}$

${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (U) \ times \ Omega ^ {\ ell} (U) \ to \ Omega ^ {k + \ ell} (U), \ quad (\ omega, \ eta) \ mapsto \ omega \ ék \ eta,}$

hogy át ${\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta}$

${\ displaystyle (\ omega \ wedge \ eta) _ {p} = \ omega _ {p} \ wedge \ eta _ {p}}$

pontról pontra van meghatározva.

Ez a termék fokozatos-kommutatív , érvényes

${\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta = (- 1) ^ {\ deg \ omega \ cdot \ deg \ eta} \ cdot \ eta \ wedge \ omega;}$

ahol a d fokát jelöli . azaz ha egy -forma, akkor az is . Ennek megfelelően két páratlan fokú alak szorzata antikommutatív és minden más kombinációban kommutatív. ${\ displaystyle \ deg \ omega}$${\ displaystyle \ omega,}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ deg \ omega = k}$

Példák

• A sima függvények 0 formák.
• A Pfaff formái 1 formájúak.

Koordináta képviselet

Legyen egy -dimenziós differenciálható sokaság. Tegyünk fel egy helyi koordinátarendszert (térképet) is . Azután ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (U, x)}$

${\ displaystyle B = \ {\ mathrm {d} x_ {i_ {1}} | _ {p} \ ék \ ldots \ ék \ mathrm {d} x_ {i_ {k}} | _ {p} \ {\ nagy |} \ i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \}}$

alapjául hol van a teljes eltérés az a -ik koordináta függvényében . Vagyis a lineáris forma az, amely az alap -odik bázisvektorát 1-re, az összes többi 0-ra leképezi. ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} (T_ {p} ^ {*} M).}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {i} | _ {p}}$${\ displaystyle T_ {p} (M)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges x_ {1}}} | _ {p}, \ ldots, {\ frac {\ részleges} {\ részleges x_ {n}}} | _ {p }}$

Minden differenciálformának egyedi ábrázolása van minden térképen${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (M)}$${\ displaystyle (U, x)}$

${\ displaystyle \ omega | _ {U} = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leq n} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} \ , \ mathrm {d} x_ {i_ {1}} \ ék \ ldots \ ék \ mathrm {d} x_ {i_ {k}}}$

megfelelő differenciálható funkciókkal ${\ displaystyle a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}.}$

A koordinátaábrázolás azt mutatja, hogy az egyetlen különbség a nulla alakra vonatkozik . ${\ displaystyle k> n}$${\ displaystyle \ omega = 0}$

Külső származék

A külső származék olyan operátor, amely differenciálalakot rendel a differenciálformához . Ha figyelembe vesszük a differenciálalakok halmazán , azaz a sima függvények halmazán, akkor a külső származék megfelel a függvények szokásos származékának . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle (k + 1)}$${\ displaystyle 0}$

meghatározás

A külső származéka egy -forma válik induktív a Lie-származék és Cartan formula${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} = i_ {X} \ circ \ mathrm {d} + \ mathrm {d} \ circ i_ {X}}$

Meghatározottak; van egy vektor mező, a Lie derivált és a helyettesítése${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ displaystyle i_ {X}}$${\ displaystyle X.}$

Például, ha 1-forma, akkor az ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} \ omega) (Y) = {\ mathcal {L}} _ {X} (\ omega (Y)) - \ omega ({\ mathcal {L} } _ {X} (Y)) = X \ omega (Y) - \ omega ([X, Y])}$

és

${\ displaystyle ((\ mathrm {d} \ circ i_ {X}) \ omega) (Y) = (\ mathrm {d} (\ omega (X))) (Y) = Y \ omega (X),}$

így

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega (X, Y) = X \ omega (Y) -Y \ omega (X) - \ omega ([X, Y])}$

vektor mezőkhöz ; a Lie zárójel jelöli . ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle [X, Y]}$

Az általános képlet az

${\ displaystyle {\ begin {tömb} {rcl} \ mathrm {d} \ omega (X_ {0}, \ ldots, X_ {k}) & = & \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} X_ {i} \ omega (X_ {0}, \ ldots, {\ hat {X}} _ {i}, \ ldots, X_ {k}) + \\ [0.5em] && + \ sum _ {0 \ leq i <j \ leq k} (- 1) ^ {i + j} \ omega ([X_ {i}, X_ {j}], X_ {0}, \ ldots, {\ hat {X}} _ {i}, \ ldots, {\ hat {X}} _ {j}, \ ldots, X_ {k}) \ ,; \ end {tömb}}}$

a tető a szimbólumban azt jelenti, hogy a megfelelő argumentumot el kell hagyni. ${\ displaystyle {\ hat {}}}$${\ displaystyle {\ hat {X}} _ {i}}$

tulajdonságait

A külső származék a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• A külső származék anti-levezetés . Azaz, az -linear és Leibniz szabály vonatkozik${\ displaystyle \ mathrm {d}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ Omega ^ {k} (U), \ beta \ in \ Omega ^ {l} (U)}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} (\ alpha \ wedge \ beta) = \ mathrm {d} \ alpha \ wedge \ beta + (- 1) ^ {k} \ alpha \ wedge \ mathrm {d} \ beta.}$

• Engedje meg, hogy a külső származék egyezzen meg a teljes különbséggel .${\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (U),}$
• ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} = \ mathrm {d} \ circ \ mathrm {d} = 0}$
• A külső származék tiszteletben tartja a korlátozásokat. Legyen nyitva, és akkor a következő érvényes: A külső származékot ezért helyi operátornak is nevezzük.${\ displaystyle U \ V részhalmaz M \ M részhalmaz}$${\ displaystyle \ alpha \ in Omega ^ {k} (V).}$${\ displaystyle \ mathrm {d} (\ alpha | _ {U}) = (\ mathrm {d} \ alpha) | _ {U}.}$

Ez a négy tulajdonság teljes mértékben jellemzi a külső származékot. Ez azt jelenti, hogy a fenti empirikus képlet levezethető ezekből a tulajdonságokból. Ha a külső származékkal számol, akkor inkább a származtatott tulajdonságokkal számoljon, és kerülje a fenti képletet.

A külső származék koordináta ábrázolása

A differenciál forma külső származéka

${\ displaystyle \ omega = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leq n} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} (x) \ cdot \ mathrm {d} x_ {i_ {1}} \ ék \ ldots \ ék \ mathrm {d} x_ {i_ {k}}}$

koordinátareprezentációban az

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <\ ldots <i_ {k} \ leq n} \ mathrm {d} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} \ ék \ mathrm {d} x_ {i_ {1}} \ ék \ ldots \ ék \ mathrm {d} x_ {i_ {k}}}$

az együtthatófüggvények teljes különbségével

${\ displaystyle \ mathrm {d} a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}} = \ összeg _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ részleges a_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {k}}} {\ részleges x_ {j}}} \ mathrm {d} x_ {j}}$.

A kapott kifejezések újbóli kifejezése a standard alapon az identitások

${\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {i} \ ék \ mathrm {d} x_ {j} = - \ mathrm {d} x_ {j} \ ék \ mathrm {d} x_ {i}}$

és

${\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {i} \ ék \ mathrm {d} x_ {i} = 0}$

fontos.

példa

a valódi ${\ displaystyle n = 2, k = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathrm {d} (a_ {1} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} + a_ {2} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2}) & = \ mathrm {d} a_ {1} \ ék \ mathrm {d} x_ {1} + \ mathrm {d} a_ {2} \ ék \ mathrm {d} x_ {2} \\ [0.5em] & = \ balra ({\ frac {\ részleges a_ {1}} {\ részleges x_ {1}}} \ mathrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ részleges a_ {1}} {\ részleges x_ {2}} } \ mathrm {d} x_ {2} \ jobbra) \ ék \ mathrm {d} x_ {1} + \ balra ({\ frac {\ partis a_ {2}} {\ részleges x_ {1}}} \ mathrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ részleges a_ {2}} {\ részleges x_ {2}}} \ mathrm {d} x_ {2} \ jobbra) \ ék \ mathrm {d} x_ {2 } \\ [0.5em] & = {\ frac {\ részleges a_ {1}} {\ részleges x_ {1}}} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} \ ék \ mathrm {d} x_ {1 } + {\ frac {\ részleges a_ {1}} {\ részleges x_ {2}}} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2} \ ék \ mathrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ részleges a_ {2}} {\ részleges x_ {1}}} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} \ ék \ mathrm {d} x_ {2} + {\ frac {\ részleges a_ {2}} { \ részleges x_ {2}}} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2} \ ék \ mathrm {d} x_ {2} \\ [0.5em] & = \ bal ({\ frac {\ részleges a_ {2 }} {\ részleges x_ {1}}} - {\ frac {\ részleges a_ {1}} {\ részleges x_ {2}}} \ jobbra) \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} \ ék \ mathrm {d} x_ {2}. \ end {igazítva}}}$

Általában az 1-forma külső származéka érvényes

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ balra (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} \ cdot \ mathrm {d} x_ {i} \ right) = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ balra ({\ frac {\ részleges a_ {j}} {\ részleges x_ {i}}} - {\ frac {\ részleges a_ {i}} {\ részleges x_ {j}}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} x_ {j}}$

Az 1-forma külső származékának együtthatói esetében az 1-alak együtthatóiból képzett vektor forgása . ${\ displaystyle n = 3}$

További műveletek differenciálformákkal

Belső termék

Legyen sima vektor mező. A belső termék egy lineáris térkép ${\ displaystyle X \ T-ben (M)}$

${\ displaystyle i_ {X} \ kettőspont \ Omega ^ {k} (M) \ to \ Omega ^ {k-1} (M),}$

által

${\ displaystyle \ omega \ mapsto \ omega (X, \ cdot, \ ldots, \ cdot)}$

adott van. Ez azt jelenti, hogy a belső szorzat egy alakot egy alakzathoz leképez egy alakzat kiértékelésével egy rögzített vektormezőn . Ez a leképezés a tenzor kúp analógja a differenciális formák térében. Ezért nevezik ezt a műveletet angolul "összehúzódásnak". ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle (k-1)}$${\ displaystyle X}$

A belső terméket egy anti-levezetése . Vagyis a és a Leibniz-szabály érvényes${\ displaystyle i_ {X}}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (M)}$${\ displaystyle \ nu \ in \ Omega ^ {l} (M)}$

${\ displaystyle i_ {X} (\ omega \ wedge \ nu) = (i_ {X} \ omega) \ wedge \ nu + (- 1) ^ {k} \ omega \ wedge (i_ {X} \ nu). }$

A belső termékre is vonatkozik ${\ displaystyle i_ {X} \ circ i_ {X} = 0.}$

A differenciálformák visszaszállítása (visszahúzás)

Ha van egy sima leképezés közötti differenciálható sokaságok , majd a formát lekért a meghatározása a következő: ${\ displaystyle f \ kettőspont M \ - N}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (N)}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle (f ^ {*} \ omega) \ in \ Omega ^ {k} (M)}$

${\ displaystyle (f ^ {*} \ omega) (X_ {1}, \ ldots, X_ {k}): = \ omega (\ mathrm {d} f (X_ {1}), \ ldots, \ mathrm { d} f (X_ {k}))}$

Ennek oka a származtatott termékek indukált térképe, az úgynevezett "előre tolás". A visszavonás kompatibilis a külső lefolyóval és a külső termékkel: ${\ displaystyle df \ kettőspont TM \ TN-hez}$${\ displaystyle f}$

• ${\ displaystyle f ^ {*} (\ mathrm {d} \ omega) = \ mathrm {d} (f ^ {*} \ omega)}$

(részletesebben írva: a bal oldalon , a jobb oldalon ellene ) és${\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} ^ {(N)}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} = \ mathrm {d} ^ {(M)}}$

• ${\ displaystyle f ^ {*} (\ omega \ wedge \ eta) = (f ^ {*} \ omega) \ wedge (f ^ {*} \ eta)}$

mindenkinek ${\ displaystyle \ omega, \ eta \ in \ Omega ^ {pback} (N)}$

Különösen a De Rham kohomológiai csoportok közötti feltérképezés (lásd alább) ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f ^ {pback} \ kettõs \ mathrm {H} _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (N) \ longrightarrow \ mathrm {H} _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} ( M),}$

Ügyeljen az ellenkező nyíl irányának megfordítására („visszahúzás”, „kohomológia” a „homológia” helyett). ${\ displaystyle f \ kettőspont M \ - N}$

Kettős forma és csillagkezelő

A külső formákat egy -dimenziós térben vesszük figyelembe, amelyben egy belső szorzatot (metrikát) definiálunk, hogy a tér ortonormális alapja kialakulhasson. Ebben a -dimenziós térben a fokozat külső formájához kettős forma egy -forma ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (nk)}$

${\ displaystyle * (e_ {1} \ ék e_ {2} \ ék \ ldots \ ék e_ {k}) = e_ {k + 1} \ ék e_ {k + 2} \ ék \ ldots \ ék e_ {n }.}$

Mindkét oldal orientált formában van megírva. A kettős formát hivatalosan a (Hodge) operátor segítségével jelöljük meg . Különösen a háromdimenziós euklideszi térbeli differenciálformák esetében a következő eredmények: ${\ displaystyle *}$

${\ displaystyle * \ mathrm {d} x = \ mathrm {d} y \ ék \ mathrm {d} z}$

${\ displaystyle * \ mathrm {d} y = \ mathrm {d} z \ ék \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle * \ mathrm {d} z = \ mathrm {d} x \ ék \ mathrm {d} y}$

az 1 űrlappal . Figyelembe vették, hogy az orientált sorrend itt van és (ciklikusan váltakozik ). ${\ displaystyle dx, dy, dz}$${\ displaystyle (y, z), (z, x)}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (x, y, z)}$

A szimbólum célja annak a ténynek a hangsúlyozása, hogy egy belső termék van a formák térében egy mögöttes téren , mert két formára és kötetformára, valamint az integrálra is lehet írni ${\ displaystyle *}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ alpha \ wedge * \ beta}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {M} \ alfa \ ék * \ beta}$

valós számot ad vissza. Az összeadás kettős azt jelzi, hogy a -forma kettős alkalmazása ismét a -form eredményt eredményezi - kivéve a jelet , amelyet külön kell figyelembe venni. Pontosabban a következő vonatkozik a -formára egy -dimenziós térben, amelynek metrikája aláírással rendelkezik ( az euklideszi térben, a Minkowski-térben): ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s = + 1}$${\ displaystyle s = -1}$

${\ displaystyle ** \ alpha = (- 1) ^ {k (nk)} s \; \ alpha}$

Fent azt mutatták, hogy a 3-dimenziós euklideszi tér a 2-formában eredmények a külső levezetését egy 1-formát a komponenseket a forgatás vektor a vektor analízis , mint együtthatók. Ez a két formában használhatja a operátor most már hivatalosan is közvetlenül egyik formája ( piros vektor) írja: . Hasonlóképpen, az operátort arra használják, hogy a fent megfogalmazott Stokes-tételt vektoranalízissé "fordítsa". ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle d \ wedge \ alpha}$${\ displaystyle *}$${\ displaystyle * (d \ wedge \ alfa)}$${\ displaystyle *}$

De Rham kohomológia

A fokozatos algebrából a külső származékkal együtt kialakítható egy kokett komplex . Ehhez ezt követően összehasonlítjuk a homológiai algebra szokásos módszereivel, amelyet egy kohomológia határoz meg. Georges de Rham be tudta mutatni, hogy ez a róla elnevezett kohomológiai elmélet egyetért az egyedüli kohomológiával . A De Rham-kohomológia meghatározásához először a pontos és a zárt differenciálforma fogalmát határozzuk meg: ${\ displaystyle \ Omega (U)}$

Pontos és zárt formák

Az A formát zártnak nevezzük, ha tart; pontosnak nevezzük, ha van olyan -forma , amelyik megtartja. A képlet miatt minden pontos alakzat zárva van. Megjegyezzük, hogy a közelség, szemben a pontosság, a helyi ingatlan: Ha van egy nyitott fedél a majd egy -formájú zárt akkor, ha a korlátozás a vonatkozó van zárva minden . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}$${\ displaystyle (k-1)}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ omega = \ mathrm {d} \ eta}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathrm {d} \ eta = 0}$${\ displaystyle \ {V _ {\ alpha} \}}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$

A De Rham kohomológiai csoportok

A faktor tér

(Az összes zárt űrlap beállítása be van kapcsolva ) (az összes pontos űrlap beállítása be van kapcsolva )${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ big /}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$

-es De Rham kohomológiai csoportnak hívják. Információt tartalmaz a${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ mathrm {H} _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (U).}$${\ displaystyle U.}$

Poincaré lemma

Poincaré-lemma azt mondja, hogy az , és csillag régiók . Általánosabban, a nyilatkozat e lemma vonatkozik összehúzódó nyílt részhalmaza az A bizonyítás konstruktív, i. Vagyis kifejezett példák készülnek, ami nagyon fontos az alkalmazások számára. Ne feledje, hogy a lokálisan konstans függvényekből áll , mivel definíció szerint nincsenek pontos 0-alakok. Tehát mindenkinek szól${\ displaystyle \ mathrm {H} _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (U) = 0}$${\ displaystyle k> 0}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$${\ displaystyle \ mathrm {H} _ {\ mathrm {dR}} ^ {0} (U)}$${\ displaystyle \ mathrm {H} _ {\ mathrm {dR}} ^ {0} (U) \ not = 0}$${\ displaystyle U \ neq \ lakkozás.}$

Ha zárt és pontos, akkor következik ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ eta = \ mathrm {d} \ eta '}$

${\ displaystyle \ omega \ wedge \ eta = \ omega \ wedge \ mathrm {d} \ eta '= (- 1) ^ {\ deg \ omega} \ mathrm {d} (\ omega \ wedge \ eta') \, .}$

Ugyanez vonatkozik, ha pontos és zárt. Tehát vannak indukált leképezések ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle \ mathrm {H} _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (U) \ szor H _ {\ mathrm {dR}} ^ {m} (U) \ longrightarrow \ mathrm {H} _ { \ mathrm {dR}} ^ {k + m} (U).}$

Egy példa az elektrodinamikából

A elektrodinamikai ami azt jelenti, Lemma Poincaré , hogy a minden egyes pár elektromágneses mezők, hogy egy kétlépéses váltakozó differenciális formában egy négydimenziós Minkowski-térben lehet összefoglalni, egyfokozatú vektor potenciál formájában együtt létezik, egy úgynevezett „négy -potential”, lásd még négy vektor . Az áramerősség és a töltéssűrűség kombinálható egy négyvektor vagy egy megfelelő 3-forma kialakításához . ${\ displaystyle {\ vec {E}}, {\ vec {B}}}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathrm {d} \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {j}}$

A relativisztikus Maxwell egyenletek elektrodinamikai egy négy-dimenziós térben-idő sokaság (metrikus és meghatározó a metrikus , miáltal itt természetesen az aláírás egy Minkowski tér van jelen, például a definíciója szerint a vonal elem ) vannak például ezzel a szimbolikával: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g _ {\ alfa, \ beta}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathrm {diag} (+ 1, -1, -1, -1)}$${\ displaystyle \ alpha = 0,1,2,3,}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ds}}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {F} = 2 (\ részleges _ {\ gamma} F _ {\ alfa \ béta} + \ részleges _ {\ béta} F _ {\ gamma \ alfa} + \ részleges _ {\ alpha} F _ {\ beta \ gamma}) \ mathrm {d} \, x ^ {\ alpha} \ wedge \ mathrm {d} \, x ^ {\ beta} \ wedge \ mathrm {d} \ , x ^ {\ gamma} = 0}$

(az úgynevezett Bianchi-identitás ) és

${\ displaystyle \ mathrm {d} (* \ mathbf {F}) = {F ^ {\ alpha \ beta}} _ {; \ alpha} {\ sqrt {-g}} \, \ epsilon _ {\ beta \ gamma \ delta \ eta} \ mathrm {d} \, x ^ {\ gamma} \ ék \ mathrm {d} \, x ^ {\ delta} \ ék \ mathrm {d} \, x ^ {\ eta} = \ mathbf {j}}$

2-alakban kifejezett elektromágneses tér-tenzorral

${\ displaystyle \ mathbf {F} = F _ {\ alpha \ beta} \, \ mathrm {d} \, x ^ {\ alpha} \ wedge \ mathrm {d} \, x ^ {\ beta} \ ,, }$

z. B. a mágneses indukció vektorának komponensével és az árammal (3-alakban írva) ${\ displaystyle F_ {1,2} = B_ {z}}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ mathbf {j} = j ^ {\ alpha} {\ sqrt {-g}} \, \ epsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \ mathrm {d} \, x ^ {\ beta } \ wedge \ mathrm {d} \, x ^ {\ gamma} \ wedge \ mathrm {d} \, x ^ {\ delta}.}$

Itt van az anti-szimmetrizáció szimbólum ( Levi-Civita szimbólum ), a pontosvessző pedig a kovariáns származékot jelenti . Szokás szerint kétszer előforduló indexeket adunk hozzá ( Einstein összegyezménye ) és természetes egységeket használunk (a fénysebességet helyettesítjük ). Az operátor használatával a négy Maxwell-egyenlet második halmaza alternatív módon felírható az áram 1 formájával. A Maxwell-egyenletekből ezt láthatja, és az elektrodinamikában nagyon különböző egyenleteknek engedelmeskedhet, tehát a kettősség nem ennek az elméletnek a szimmetriája. Ennek oka, hogy a kettősség kicseréli az elektromos és a mágneses mezőket, de az elektrodinamikában nem ismertek mágneses monopólusok. Az eredményt adó Maxwell-egyenletek viszont kettős szimmetriával rendelkeznek. ${\ displaystyle \ epsilon _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle *}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle * \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathbf {j} \ equiv 0}$

A potenciális forma csak egyértelmű , kivéve egy adalékanyag mellett : és eredményeként az azonos egy kalibrációs formában , amely teljesül, de egyébként tetszőleges. Ez a további, úgynevezett kalibrálási szabadság bizonyos pontokon további korlátozások teljesítésére használható. Az elektrodinamikában például meg kell követelni, hogy a kiegészítő, úgynevezett Lorenz-feltétel ( Lorenz-kalibráció ) mindenhol érvényes legyen, ez a feltétel a négy komponensben egyszerű . Ez a "kalibrációs rögzítés" végül egy úgynevezett "retardált potenciált" eredményez, amely mind a négy Maxwell-egyenlet egyedülálló megoldása: ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ chi}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} + \ mathrm {d} \ chi}$${\ displaystyle \ mathbf {F},}$ ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ mathrm {d} (\ mathrm {d} \ chi) \ equiv 0}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} (* \ mathbf {A}) = 0}$${\ displaystyle \ részleges _ {\ nu} A ^ {\ nu} = 0}$

${\ displaystyle A ^ {\ nu} (\ mathbf {r}, t) = \ int \, {\ frac {j ^ {\ nu} (\ mathbf {r '}, t - {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r '} |} {c}})} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r'} |}}}, \ mathrm {d} ^ {3} r '}$

A duálra való áttéréskor meg kell jegyezni, hogy nem azzal foglalkozik, hanem azzal, aki más metrikát hordoz , mégpedig a Minkowski-metrikát . A vonal elem invariáns a Lorentz transzformációk van , ahol a eltérés a megfelelő időpontban és az összeg konvenció használtuk. A ko- és kontravaráns négyvektoros komponensek most különböznek. Igaz, de és${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4},}$${\ displaystyle \ mathbb {M} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - c ^ {2} \ mathrm {d} \ tau ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} - c ^ {2} dt ^ {2} = - \ mathrm {d} x _ {\ nu} \ mathrm {d} x ^ {\ nu},}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau}$${\ displaystyle + \ mathrm {d} x_ {0} \ equiv + \ mathrm {d} x ^ {0} = c \, dt,}$${\ displaystyle - \ mathrm {d} x_ {1} \ equiv + \ mathrm {d} x ^ {1} = dx,}$ ${\ displaystyle - \ mathrm {d} x_ {2} \ equiv + \ mathrm {d} x ^ {2} = dy}$${\ displaystyle - \ mathrm {d} x_ {3} \ equiv + \ mathrm {d} x ^ {3} = dz.}$

Integrációs elmélet

irányultság

Ha ez a neve a -forma on , amely egyetlen ponton eltűnik, egy orientációs az együtt ilyen formáját nevezzük orientált. Egy tájolás határozza meg a tangenciális és a kotangens terek orientációit: A kotangens tér alapja egy pontban pozitív irányú, ha ${\ displaystyle n = \ dim U,}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle U.}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ eta _ {1}, \ ldots, \ eta _ {n}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ alpha _ {p} = a \ cdot \ eta _ {1} \ wedge \ ldots \ wedge \ eta _ {n}}$

pozitív számmal érvényes. Az érintőtér alapja egy pontban pozitív irányú, ha ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ alpha (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})> 0}$

vonatkozik.

Két orientációt ekvivalensnek mondunk, ha csak egyetemesen pozitív tényező különbözik egymástól; ez a feltétel egyenértékű minden érintő vagy kotangens tér azonos irányának meghatározásával.

Ha csatlakozik , vagy nincs, vagy pontosan két ekvivalenciaosztály van. ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U}$orientálást jelent, ha van iránya . ${\ displaystyle U}$

Differenciálformák integrálása

Legyen újra, és feltételezzük , hogy orientációt választottak. Ezután van egy kanonikus integrál ${\ displaystyle n = \ dim U,}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ int _ {U} \ omega}$

A -izomer formájában létezhet olyan nyílt részhalmaza , a standard hangolják vannak im és ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega.}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ omega = f \, \, \ mathrm {d} x_ {1} \ ék \ ldots \ ék \ mathrm {d} x_ {n},}$

így:

${\ displaystyle \ int _ {U} \ omega = \ int _ {U} f (x_ {1}, \ pontok, x_ {n}) \, \, \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n}}$

A jobb oldali integrál a közönséges Lebesgue-integrál im${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Ha nyitott egy -dimenziós orientált elosztó és egy térkép, akkor az meghatározza ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle U \ M részhalmaz$${\ displaystyle \ phi \ kettőspont U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ int _ {U} \ omega = \ int _ {\ phi (U)} (\ phi ^ {- 1}) ^ {*} \ omega}$

a -form szerves részeként egy térképterületen . A differenciális formában kerül hozta vissza , hogy a nyílt részhalmaza paraméterezésével a , majd integrált szerinti, a fenti definíciónak. A transzformációs tételből az következik, hogy ez a meghatározás invariáns a változások koordinálására. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ phi ^ {- 1} \ kettőspont \ phi (U) \ - U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ phi (U) \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

Ha, általánosabban, az egy mérhető részhalmaza , majd az egyik határozza ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ int _ {B} \ omega = \ int _ {U} \ chi _ {B} \ omega}$

a jellegzetes funkcióval , d. azaz nulla kívül van beállítva . ${\ displaystyle \ chi _ {B}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle B}$

Bontás használható az egész egészének integráljának meghatározására${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M = \ bigcup _ {j = 1} ^ {\ infty} M_ {j}}$

megszámlálható számú páronként diszjunkt mérhető részhalmazban választható ki , így mindegyik teljesen egy térképterületen található. Tehát fogadsz ${\ displaystyle M_ {j}}$${\ displaystyle M_ {j}}$${\ displaystyle U_ {j}}$

${\ displaystyle \ int _ {M} \ omega = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ int _ {M_ {j}} \ omega}$.

A differenciális formák integráljaira a következő transzformációs tétel vonatkozik: Ha van orientációmegőrző diffeomorfizmus , akkor a${\ displaystyle f \ kettőspont M \ - N}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {n} (N)}$

${\ displaystyle \ int _ {N} \ omega = \ int _ {M} f ^ {*} \ omega}$

a visszakeresett űrlappal . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f ^ {*} \ omega}$

Stokes-tétel

Ha egy kompakt, orientált dimenziójú differenciálható sokszorosító határral rendelkezik és az indukált orientációval van ellátva , akkor minden -formára érvényes${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ részleges M}$${\ displaystyle \ részleges M}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ int _ {M} \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {\ részleges M} \ omega.}$

Ez a tétel a differenciál- és az integrálszámítás fő tételének messzemenő általánosítása . Különleges esetekként tartalmazza a Gauss-integrál tételt és a Stokes klasszikus integrál-tételét .

Ha zárt , vagyis minden pontos -form d-re következik. H. A kapcsolat ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ részleges M = \ emptyyset,}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ omega ^ {\ text {pontos}},}$${\ displaystyle \ omega \ equiv \ omega ^ {\ text {pontos}} = \ mathrm {d} \ varphi,}$

${\ displaystyle \ int _ {M} \ omega ^ {\ text {tarkka}} = \ int _ {M} \ mathrm {d} \ varphi = \ int _ {\ részleges M = \ emptyyset} \ varphi = 0. }$

Az egyik említett tulajdonságának tisztázása gyakran egy kör integrállal rendelkező formulát használ: ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ ken _ {M} \ omega ^ {\ text {pontos}} = 0}$

Az integrál térképet ad

${\ displaystyle \ mathrm {H} _ {\ mathrm {dR}} ^ {n} (M) \ to \ mathbb {R}.}$

Ha kapcsolódik , akkor ez a leképezés izomorfizmus . Ezzel visszatér a De Rham kohomológiához (lásd fent). ${\ displaystyle M}$

Minta számítások

On A derékszögű koordináták az 1-formában ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ displaystyle \ omega = z ^ {2} \, \ mathrm {d} x + 2y \, \ mathrm {d} y + xz \, \ mathrm {d} z}$

és a 2-forma

${\ displaystyle \ nu = z \, \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x}$

adott.

A külső termékre az alábbiak vonatkoznak:

${\ displaystyle \ omega \ wedge \ nu = z ^ {3} \, \ underbrace {\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x} _ {= \, 0} + 2yz \, \ underbrace {\ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x} _ {= \, \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z} + xz ^ {2} \, \ underbrace {\ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x} _ {= \, 0} = 2yz \, \ mathrm {d} x \ ék \ mathrm {d} y \ ék \ mathrm {d} z}$

Az ad külső származtatása${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 2z \, \ mathrm {d} z \ ék \ mathrm {d} x + 2 \, \ mathrm {d} y \ ék \ mathrm {d} y + (z \ , \ mathrm {d} x + x \, \ mathrm {d} z) \ ék \ mathrm {d} z = 2z \, \ mathrm {d} z \ ék \ mathrm {d} xz \, \ mathrm {d } z \ wedge \ mathrm {d} x = z \, \ mathrm {d} z \ wedge \ mathrm {d} x}$,

szóval . Különösen pontos és következésképpen zárt, azaz. H. . Ezt igazolni lehet közvetlen számítása: . ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = \ nu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ nu = 0}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ nu = \ mathrm {d} z \ ék \ mathrm {d} z \ ék \ mathrm {d} x = 0}$

Továbbá adott , majd , , és , , mert a letöltött formában: ${\ displaystyle c \ kettőspont [0,1] \ - \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle c (t) = (t ^ {2}, 2t, 1)}$${\ displaystyle x = t ^ {2}}$${\ displaystyle y = 2t}$${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x = 2t \, \ mathrm {d} t}$${\ displaystyle \ mathrm {d} y = 2 \, \ mathrm {d} t}$${\ displaystyle \ mathrm {d} z = 0}$${\ displaystyle [0,1]}$

${\ displaystyle c ^ {*} \ omega = 2t \, \ mathrm {d} t + 8t \, \ mathrm {d} t = 10t \, \ mathrm {d} t}$

A görbe fölötti integrálra az im által kapott eredmények ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ Gamma = c ([0,1])}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Gamma} \ omega = \ int _ {[0,1]} c ^ {*} \ omega = \ int _ {0} ^ {1} 10t \, \ mathrm {d} t = 5}$.

Ha a készülék gömb a , majd a szélén a készülék gömb , tehát . Stokes tétele szerint azért van${\ displaystyle S ^ {2} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ {\ big |} \ \ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = 1 \ }}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$ ${\ displaystyle B ^ {3} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ {\ big |} \ \ | \ mathbf {x} \ | _ {2} <1 \ }}$${\ displaystyle S ^ {2} = \ részleges B ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ nu = 0}$

${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} \ nu = \ int _ {B ^ {3}} \ mathrm {d} \ nu = 0}$.

Például a 3 alakzat integrálható az egységkocka segítségével . Integrálja megegyezik az együttható függvényének Lebesgue-integráljával : ${\ displaystyle \ omega \ wedge \ nu}$${\ displaystyle W = [0,1] ^ {3}}$${\ displaystyle (x, y, z) \ mapsto 2yz}$

${\ displaystyle \ int _ {W} \ omega \ wedge \ nu = \ int _ {W} 2yz \, \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} 2yz \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm { d} z = 2 \ cdot \ int _ {0} ^ {1} y \, \ mathrm {d} y \ cdot \ int _ {0} ^ {1} z \, \ mathrm {d} z = {\ frac {1} {2}}}$.

Komplex differenciálformák

A komplex differenciálformák elméletében az itt bevezetett számítás átkerül komplex sokaságokba . Ez többnyire az itt leírt formák meghatározásával analóg módon működik. A komplex számokhoz hasonlóan azonban a komplex differenciálformák terei (valós) differenciálformák két terévé alakulnak

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {r} (M) \ cong \ Omega ^ {r, r} (M) = \ Omega ^ {r} (M) \ oplus i \ Omega ^ {r} ( M)}$

szétszerelve. A teret ekkor a formák térének nevezik . A külső származékhoz hasonlóan ezeken a tereken két új származék is meghatározható. Ezek Dolbeault nevű és Dolbeault keresztoperátorok, és hasonlóak a De Rham kohomológiához a kereszt Dolbeault operátor ismét kohomológiai formájával. Ezt Dolbeault kohomológiának hívják . ${\ displaystyle \ Omega ^ {p, q}}$${\ displaystyle (p, q)}$

Lásd még

Vektor értékelt differenciálformák

irodalom

• Herbert Amann, Joachim Escher : Elemzés III. 2. kiadás. Birkhäuser, Bázel, 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6 , XI. És XII.
• Henri Cartan : Differenciálformák. Bibliographisches Institut, Mannheim 1974, ISBN 3-411-01443-1 .
• Klaus Jänich : Vektorelemzés . 5. kiadás. Springer, Berlin / Heidelberg 2005, ISBN 978-3-540-27338-7 .
• Shigeyuki Morita: Differenciálformák geometriája. American Mathematical Society 2001, ISBN 0821810456 .
• Harley Flanders : Differenciálformák a fizikai tudományok alkalmazásával. Academic Press, 1963.
• Harold Edwards : Advanced Calculus - differenciálforma megközelítés. Birkhäuser, 1994 (először 1969-ben).
• Steven H. Weintraub : Differenciálformák - a vektorszámítás kiegészítése. Akadémiai Kiadó, 1997.

web Linkek

• Gunnar Fløystad: A külső algebra és a központi fogalmak a matematikában. (PDF; 182 kB). Értesítések AMS, 2015. évi 62. évfolyam, 4. sz.
• Differenciál forma az nLab-ban.