Vektorelemzés

Vector elemzés egyik ága a matematika , hogy főként foglalkozik vektorral területeken két vagy több méretei , és ezáltal lényegében általánosítja a területek differenciál és integrálszámítás már tárgyalt, iskolai matematika . A szakterület képletekből és problémamegoldási technikákból áll, amelyek a mérnökök és fizikusok fegyverzetének részét képezik , de általában csak a második vagy a harmadik félévben tanulják meg az érintett egyetemeket. A vektoranalízis a tenzoranalízis egyik ága .

Figyelembe vesszük a vektor mezőket, amelyek a tér minden pontjához vektort rendelnek, és a skaláris mezőket , amelyek a tér minden pontjához skalárt rendelnek. Az úszómedence hőmérséklete skaláris mező: hőmérsékletének skaláris értékét minden ponthoz hozzárendelik. A víz mozgása viszont egy vektormezőnek felel meg, mivel minden ponthoz egy sebességvektor tartozik, amelynek nagysága és iránya van.

A vektoranalízis eredményei általánosíthatók és elvonatkoztathatók a differenciálgeometria , egy matematikai részterület segítségével, amely magában foglalja a vektorelemzést. A fő fizikai alkalmazások az elektrodinamikában vannak .

A három kovariáns differenciálműködtető

Három számtani művelet különös jelentőséggel bír a vektorelemzésben, mert olyan mezőket hoznak létre, amelyek az eredeti mező térbeli forgásával együtt forognak . Működési szempontból: gradienssel , forgatással és divergenciával nem mindegy, hogy a forgatás előtt vagy után alkalmazzák-e őket. Ez a tulajdonság a koordinátától független definíciókból következik (lásd a megfelelő fő cikket), és nem magától értetődő. Például az x vonatkozásában egy részleges derivált részleges származékká válik y vonatkozásában 90 fokos forgatással. A következőkben, a kezelő a parciális derivált és a nabla üzemeltető . ${\ displaystyle \ részleges}$${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}$

• Skalármező gradiens : A skalármező legmeredekebb emelkedésének irányát és erősségét jelzi. A skaláris mező gradiense vektormező.

${\ displaystyle \ kezelőnév {grad} \, \ phi: = {\ vec {\ nabla}} \ phi = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ részben \ phi} {\ részleges x}} \\ [0,2 cm] {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges y}} \\ [0,2 cm] {\ frac {\ részleges \ phi} {\ részleges z}} \ vég {pmatrix}}}$

• Vektormező divergenciája : Jelzi a vektormező tendenciáját a pontoktól való elfolyásra (ez pozitív jelre vonatkozik ; negatív előjel azt a tendenciát jelenti, hogy a pontok felé áramoljon). A vektormező divergenciája skaláris mező. A Gauss-integrál tételből (lásd alább) következik, hogy a divergencia leírja egy vektormező helyi forrássűrűségét.

${\ displaystyle \ kezelőnév {div} ~ {\ vec {F}}: = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {F}} = {\ frac {\ részleges F_ {x}} {\ részleges x}} + {\ frac {\ részleges F_ {y}} {\ részleges y}} + {\ frac {\ részleges F_ {z}} {\ részleges z}}}$

Az említett két definíció és a dimenziók között könnyen általánosítható. Az alábbiakban tárgyalt forgatás esetén ez azonban nem lehetséges, mert a lineárisan független komponensek száma ${\ displaystyle \ kezelőnév {grad}}$${\ displaystyle \ kezelőnév {div}}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges F_ {i}} {\ részleges x_ {k}}} - {\ frac {\ részleges F_ {k}} {\ részleges x_ {i}}},}$amelyek a definícióban megjelennek, túl nagyok lennének. De meghatározhatja:${\ displaystyle n = 3}$

• Vektormező forgása : jelzi a vektormező hajlamát a pontok körül forogni; a forgatás egy vektor mező vektor mező a pszeudo vektorok . Ebből következik, Stokes integrál tétel (lásd alább), hogy a forgatás leírja a helyi örvény sűrűsége vektor területen.

${\ displaystyle \ kezelőnév {rot} ~ {\ vec {F}}: = {\ vec {\ nabla}} \ szer {\ vec {F}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ részleges F_ { z}} {\ részleges y}} - {\ frac {\ részleges F_ {y}} {\ részleges z}} \\ [0,2 cm] {\ frac {\ részleges F_ {x}} {\ részleges z}} - {\ frac {\ részleges F_ {z}} {\ részleges x}} \\ [0,2 cm] {\ frac {\ részleges F_ {y}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ részleges F_ { x}} {\ részleges y}} \ vég {pmatrix}}}$

Integrált mondatok

Gauss integrál tétele

A következőkben az „integrációs kötet” -dimenziós. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle n}$

A skaláris mennyiség gradiensének térfogatintegrálja ezt követően a térfogat szélén felületi integrálissá (vagy hiperfelületi integrálissá ) alakítható : ${\ displaystyle \ phi \,}$

${\ displaystyle \ int \ limits _ {V} \ kezelőnév {grad} \, \ phi ({\ vec {x}}) \ mathrm {d} V = \ ken \ korlátok _ {\ részleges V} \ phi \, \ mathrm {d} {\ vec {A}}.}$

A jobb oldalon az integrál közepén található szimbólum emlékeztet arra, hogy zárt felülettel (vagy zárt hiperfelülettel ) van dolgod az él kialakulása miatt .

Felületi integrálissá történő átalakítás lehetséges egy vektormennyiség divergenciája szempontjából is: A divergencia teljes térfogatú integrálja egyenlő a felületről érkező áramlás integráljával,

${\ displaystyle \ int \ limits _ {V} \ kezelőnév {div} \, {\ vec {F}} ({\ vec {x}}) \ mathrm {d} V = \ ken \ korlátok _ {\ részleges V } {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}}.}$

Ez a tényleges Gauss-integrál tétel. Mint mondtam, ez nem csak a következőkre vonatkozik .${\ displaystyle n = 3}$

Stokes-tétel

A következőkben a több integrállal ellátott jelölést használjuk. ${\ displaystyle n = 3}$

A vektormennyiség zárt görbe-integrálja (jobb oldal) a forgatás révén felületi integrálissá alakítható egy feleslegesen sík felületen, amelyet a zárt integrációs útvonal határol (bal oldal). Gauss tételéhez hasonlóan a szokásos orientációs tulajdonságokat is feltételezzük. Az alábbiak érvényesek: ${\ displaystyle \ Gamma = \ részleges A}$

${\ displaystyle \ iint \ limits _ {A} \ kezelőnév {red} \, {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {A}} = \ ken \ korlátok _ {\ Gamma = \ részleges A} {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}}.}$

A vektor megegyezik a megfigyelt terület nagyságával, vagy a végtelenül kicsi felületi elemek tagjaival szorozva a megfelelő normál vektorral. A jobb oldalon a kör szimbólum az integrál szimbólumban arra emlékeztet, hogy az integráció zárt görbén megy végbe. ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ részleges V}$

Alapvető bomlás

A vektorelemzés alapvető tétele , amelyet Helmholtz bontási tételének is neveznek , leírja az általános esetet. Megállapítja, hogy minden vektormező leírható a forráskomponens és az örvénykomponens szuperpozíciójaként . Az előbbi a skaláris Coulomb-szerű potenciálok szuperpozíciójának negatív gradiense, amelyet a forrássűrűség formális „töltéssűrűségként” határoz meg , akárcsak a statikus elektromos mezőknél; az utóbbi a forgatás egy vektor potenciál , mint a Biot-Savart törvény a magnetosztatika , meghatározva az örvény sűrűsége, mint egy formális „áramsűrűség”${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {Q}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {W}}$${\ displaystyle \ rho ': = \ kezelőnév {div}' {\ vec {F}} ({\ vec {r}} ^ {\, '})}$${\ displaystyle {\ vec {j}} ^ {\, '}: = \ operátornév {red}' {\ vec {F}} ({\ vec {r}} ^ {\, '}):}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} \ equiv {\ vec {F}} _ {Q} + {\ vec {F}} _ {W}.}$

Az ilyen bontás érvényessége jól látható a patak menetén: Meredek lejtővel és egyenes pályával rendelkező helyeken az áramlást a gradiens komponens uralja, míg a sík helyeken, különösen, ha a patak "sarkon" vagy egy kis szigeten van körbe áramlik, az örvénykomponens túlsúlyban van.

Valójában, ha a vektor komponensei mindenhol kétszer folyamatosan differenciálhatók (különben a térfogatintegrálokat felületi integrálokkal kell helyettesíteni az interfészeken ), és a végtelenségnél elég gyorsan eltűnnek, akkor a következő képlet érvényes, amely pontosan megfelel az elektrodinamika és az összes fent említett kombinációjának Az üzemeltetők a következőket tartalmazzák: ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ iiint \ mathrm {d} V \ nabla \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle \ iint \ mathrm {d} ^ {(2)} A {\ vec {n}} \ pontok}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} ({\ vec {r}}) \ equiv - \ operátornév {grad} \ left \ {\ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \, \ mathrm { d} V '\, {\ frac {\ mathrm {div}' {\ vec {F}} ({\ vec {r}} ^ {\, '})} {4 \ pi | {\ vec {r} } - {\ vec {r}} ^ {\, '} |}} \ right \} + \ operátornév {red} \ left \ {\ iiint _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \, \ mathrm {d} V '\, {\ frac {\ operátornév {rot}' {\ vec {F}} ({\ vec {r}} ^ {\, '})} {4 \ pi | {\ vec {r }} - {\ vec {r}} ^ {\, '} |}} \ right \}.}$

Ezért egy általános vektormező fizikai jelentését tekintve csak akkor van egyértelműen meghatározva, ha rendelkezésre állnak a forrás- és örvénysűrűségre vonatkozó állítások, és adott esetben a szükséges határértékek.

Identitás

Ezek az identitások gyakran hasznosak az átalakulások során:

• ${\ displaystyle \ nabla \, {\ frac {1} {r}} = \ kezelőnév {grad} \, {\ frac {1} {r}} = - {\ frac {\ vec {r}} {r ^ {3}}}}$ Mert ${\ displaystyle r \ neq 0.}$

Ez a kapcsolat hasznos a pont töltés mezőjében rejlő potenciál levezetésében ( Coulomb-törvény ).

Ez a vektor, amely tartalmazza a derékszögű komponensei vagy rendre ; tehát leegyszerűsítve: továbbá${\ displaystyle {\ vec {r}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ vec {r}} = (x, y, z).}$${\ displaystyle r = | {\ vec {r}} | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}$

• ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ nagy (} {\ vec {\ nabla}} \ szer {\ vec {F}} {\ big)} = {\ vec {\ nabla}} { \ big (} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {F}} {\ big)} - \ nabla ^ {2} {\ vec {F}}}$ vagy.
  ${\ displaystyle \ kezelőnév {piros} (\ kezelőnév {piros} \, {\ vec {F}}) = \ kezelőnév {grad} (\ kezelőnév {div} \, {\ vec {F}}) - \ nabla ^ {2} {\ vec {F}}}$

Ezt a kapcsolatot gyakran használják a hullámegyenlet levezetésére az elektrodinamikában.

• ${\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ phi) = \ operátornév {piros} \, \ operátornév {grad} \, \ phi \ equiv 0}$minden skaláris mezőre .${\ displaystyle \ phi \! \,}$
• ${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {F}}) = \ operátornév {div} \, \ operátornév {red} \, {\ vec {F}} \ equiv 0}$minden vektormezőhöz .${\ displaystyle {\ vec {F}}}$
• ${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ phi _ {1} \ times \ nabla \ phi _ {2}) = \ operátor neve {div} \, (\ operátor neve {grad} \, \ phi _ {1} \ times \ kezelőnév {grad} \, \ phi _ {2}) \ equiv 0}$minden skaláris mezőre .${\ displaystyle \ phi _ {1}, ~ \! \, \ phi _ {2}}$

A következő két szakaszban a szokásos kifejezéseket vagy más összefüggésben (elektrodinamika) használjuk: ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {E}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

Következtetés a forgás eltűnéséről

Ha igen , akkor skaláris potenciállal követi . Ezt a fenti alapvető lebontás első része adja, és megegyezik a megfelelő hármas integrállal, azaz a forrássűrűség határozza meg. ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {E}} = \ kezelőnév {red} \, {\ vec {E}} \ equiv 0}$${\ displaystyle {\ vec {E}} \ equiv - {\ vec {\ nabla}} \ phi = - \ operátornév {grad} \, \ phi}$${\ displaystyle \ phi \,}$

${\ displaystyle {\ vec {E}}}$vagy az elektrosztatikában az elektromos mezőre és annak potenciáljára szokásos kifejezések. A megadott követelmény ott teljesül. ${\ displaystyle \ phi \,}$

Következtetés a divergencia eltűnéséről

Ha van, úgynevezett vektorpotenciállal következik . Ezt a fenti alapvető lebontás második része adja, és megegyezik a megfelelő hármas integrállal, vagyis az örvénysűrűség határozza meg. ${\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = \ operátornév {div} \, {\ vec {B}} \ equiv 0}$${\ displaystyle {\ vec {B}} \ equiv {\ vec {\ nabla}} \ szor {\ vec {A}} = \ kezelőnév {red} \, {\ vec {A}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

${\ displaystyle {\ vec {B}}}$vagy a magnetosztatikában szokásos kifejezések a mágneses indukcióra vagy annak vektorpotenciáljára. Ott ismét teljesül a követelmény. ${\ displaystyle {\ vec {A}}}$

Következtetés a rotáció és a divergencia eltűnéséről

Ha

${\ displaystyle \ kezelőnév {rot} \, {\ vec {F}} = \ balra ({\ frac {\ részleges F_ {z}} {\ részleges y}} - {\ frac {\ részleges F_ {y}} {\ részleges z}} \ jobbra) {\ hat {e}} _ {x} + \ balra ({\ frac {\ részleges F_ {x}} {\ részleges z}} - {\ frac {\ részleges F_ { z}} {\ részleges x}} \ jobbra) {\ hat {e}} _ {y} + \ balra ({\ frac {\ részleges F_ {y}} {\ részleges x}} - {\ frac {\ részleges F_ {x}} {\ részleges y}} \ jobbra) {\ hat {e}} _ {z} \ equiv {\ vec {0}}}$

és

${\ displaystyle \ kezelőnév {div} \, {\ vec {F}} = {\ frac {\ részleges F_ {x}} {\ részleges x}} + {\ frac {\ részleges F_ {y}} {\ részleges y}} + {\ frac {\ részleges F_ {z}} {\ részleges z}} \ equiv 0}$

akkor a vektormező harmonikus : ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

${\ displaystyle \ Delta {\ vec {F}} = \ Delta F_ {x} {\ hat {e}} _ {x} + \ Delta F_ {y} {\ hat {e}} _ {y} + \ Delta F_ {z} {\ hat {e}} _ {z} \ equiv {\ vec {0}}}$

Ebben található a Laplace operátor . A következtetés az x, y és z alapján levezetett rotáció és divergencia kombinációjából adódik. Például, ha a gravitáció mentes a forgástól és a divergenciától, akkor a lineárisan rugalmas testben lévő elmozdulások kielégítik a bipotenciális egyenletet , lásd Navier-Cauchy egyenletek . ${\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2}}$${\ displaystyle \ Delta \ Delta {\ vec {F}} \ equiv {\ vec {0}}}$

irodalom

• Klaus Jänich : Vektorelemzés . Springer-Verlag, 4. kiadás, 2003, ISBN 3-540-00392-4 , doi : 10.1007 / 978-3-662-10750-8 .
• Lothar Papula : Matematika mérnököknek és természettudósoknak 3. kötet. Vektorelemzés, valószínűségszámítás [...] . Vieweg Verlag 2001. január, ISBN 3-528-34937-9 .
• M. Schneider: A div ⁻¹ , rot ⁻¹ , grad ⁻¹ operátorok használatáról a mezőelméletben . Elektrotechnikai archívum, Springer Verlag, 1997.
• Donald E. Bourne, Peter C. Kendall: Vektorelemzés . Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02044-0 .
• Adolf J. Schwab : A mezőelmélet fogalmi világa . Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42018-5 .
• H. Klingbeil: Elektromágneses térelmélet . Teubner Verlag, Stuttgart, 2003.

web Linkek

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Három dimenzióban a térfogatintegrálokat gyakran három , a területintegrálokat gyakran két integrál előjellel írják . A zárt felületekhez egy speciális kettős integrált használnak, amelyet egy gömb alakú felület szimbóluma (LaTeX szimbólum \ oiint) borít. Sajnos ez a LaTeX szimbólum nem jelenik meg helyesen a Wikipédiában.