Differenciálgeometria

A differenciális geometria a matematika egyik ágaként az elemzés és a geometria szintézisét jelenti .

Történeti fejlődés és jelenlegi alkalmazási területek

Számos alapvető munka a differenciálgeometriával kapcsolatban Carl Friedrich Gauß-tól származik . Abban az időben a matematika még mindig szorosan kapcsolódott az alkalmazási területekhez. Ez az elmélet fontos eredményeket hozott a térképészet , a navigáció és a geodézia területén . A térképi vetítés elmélete többek között kialakult, amelyből a geodéziai vonal és a Gauss-görbület kifejezések származnak. Ezenkívül CF Gauß már feltette magának a kérdést, hogy a nagyon nagy háromszög csapágyakkal mért szögeinek összege pontosan 180 fokot jelent-e, és így a modern differenciálgeometria úttörőjének bizonyul-e.

A modern differenciálgeometriát elsősorban az általános relativitáselméletben és a műholdas navigációban használják . Ez lehetővé teszi a leírását jelenségek, mint a csillagászati lehajlás a fény vagy a forgását a perihelion a Mercury , amely lehet megerősíteni a kísérletek vagy megfigyelés . A relativitáselméletben a koordináta transzformációk megfelelnek azoknak a referenciarendszereknek a változásának, amelyekből egy jelenség megfigyelhető. Ez megfelel a mérőberendezés vagy a megfigyelő különböző mozgási állapotainak.

Egy másik fontos alkalmazási területe van anyagtudományi az elmélet hibák és plaszticitás .

Részterületek

Elemi differenciálgeometria

A differenciálgeometriával foglalkozó első munka a görbékkel , valamint a kétdimenziós ívelt felületekkel foglalkozik a háromdimenziós valós vizuális térben . Történelmi szempontból Gauss munkája először tette lehetővé például a gömb kétdimenziós felületének görbületének kvantitatív rögzítését.

Az elemi differenciálgeometria fejlesztésének másik motivációja a minimális felületek matematikai problémája volt . A természetben előforduló szappanbőr minimális területeknek nevezhető. Ezeknek a felületeknek az alakja vagy matematikai ábrázolása a variációk számításából származó módszerekkel fejleszthető . Ezeknek a felületeknek a geometriai tulajdonságait, például a görbületet vagy a minimális felület bármely pontjának távolságát viszont nagyobb valószínűséggel a differenciálgeometria módszereivel számítják ki.

Differenciál topológia

A differenciál topológia az alapja a differenciálgeometria legmodernebb területeinek. Az elemi differenciálgeometriával ellentétben a geometriai objektumokat a differenciál topológiában lényegében leírják, vagyis az objektumokat a környező tér igénybevétele nélkül definiálják. A központi koncepció a differenciálható sokaság fogalma : Az A- dimenziós sokaság egy geometriai objektum (pontosabban: topológiai tér ), amely lokálisan hasonlít a -dimenziós valós térre. A klasszikus példa, amely a terminológiát is motiválja, a föld felszíne. Kis részletekben leírható térképek segítségével , vagyis apró részek „kinéznek” a síkra. A föld teljes felületét azonban nem lehet azonosítani a síkkal. Ezenkívül a differenciálható sokaságoknak olyan szerkezete van, amely lehetővé teszi számunkra, hogy differenciálható funkciókról beszéljünk. Ez a differenciálható szerkezet lehetővé teszi a helyi analitikai módszerek alkalmazását a térképeken. Ezen felül globálisan topologikus térként vizsgálhatjuk a sokaságot. A differenciál topológia összefüggéseket próbál létrehozni a lokális analitikai és a globális topológiai tulajdonságok között. Ilyen összefüggésre példa de Rham tétele . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Riemann-geometria

Differenciálható elosztón nincs előre meghatározott hosszmérés. Ha kiegészítő szerkezetként adjuk meg, akkor a Riemann-féle elosztókról beszélünk . Ezek a sokaságok a Riemann-geometria tárgyát képezik, amely a görbület , a kovariáns származék és a párhuzamos transzport kapcsolódó fogalmait is megvizsgálja ezeken a halmazokon. Ezek a kifejezések lehet, azonban szintén definiálható a „nem-Riemann” vagy „nem-pseudoriemannian” terek, és csak feltételezik általános differeciálgeometriai koncepció a kapcsolatot (pontosabban: általános affin differenciál geometria ellentétben metrikus differenciál geometria, lásd lent).

Fél-Riemann-féle differenciálgeometria

Ha a Riemann-sokaság pozitív-meghatározott metrikája helyett nem határozott metrikát feltételezünk (nem határozott hermita vagy szimmetrikusan nem határozott, nem- degenerált bilinear alakban adjuk meg ), akkor fél- vagy ál-Riemann-sokaságot kapunk . A Lorentz-féle házakat az általános relativitáselmélet egy különleges eset .

Finsler geometriája

Finsler geometriájának tárgya a Finsler- féle elosztócsatorna , vagyis olyan elosztócsatorna, amelynek érintőtere Banach-normával van felszerelve, azaz a következő tulajdonságokkal rendelkező térképezés : ${\ displaystyle F \ kettőspont TM \ - [0, \ infty)}$

1. ${\ displaystyle F (rX) = | r | F (X) \,}$, A és ,${\ displaystyle X \ in TM}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$
2. ${\ displaystyle F (X + Y) \ leq F (X) + F (Y),}$
3. ${\ displaystyle F}$simán ,${\ displaystyle TM \ setminus 0}$
4. a függőleges Hesszeni mátrix van pozitív határozott .

Finsler sokaságai az elméleti fizikában is szerepet játszanak, mint általánosabb jelöltek a téridő szerkezeti leírására.

Szimptikus geometria

Ahelyett, hogy egy szimmetrikus bilineáris nem degenerált formában, egy antiszimmetrikus nem degenerált bilineáris forma ω van adni. Ha ez is zárt, azaz d ω = 0, akkor egy szimplektikus sokaságról beszélünk. Mivel egy szimplektikus vektortérnek szükségképpen egyenletes dimenziója van, a szimplektikus sokaságoknak is egyenletes dimenziója van. Az első fontos megállapítás a Darboux-tétel , amely szerint a szimplektikus sokaságok lokálisan izomorfak a T ^* R ^{n-vel szemben} . A fél-Riemann-sokaságokkal ellentétben nincsenek (nemtriviális) lokális szimplektikus invariánsok (a dimenziótól eltekintve), csak globális szimplektikus invariánsok vannak. A Poisson-osztók , amelyeknek nincs bilináris formájuk, csak antiszimmetrikus bivektoruk , szintén általánosításnak számítanak . Ez Lie függvényt indukál a funkciók között. A szimplektikus geometriát a Hamilton-mechanikában használják , az elméleti mechanika egyik ágában .

Kontakt geometria

A páratlan dimenziójú elosztók szimplektikus geometriájának analógja a kontaktgeometria. A -dimenziós elosztó érintkezőszerkezete a tangenciális köteg hipersíkjainak családja , amelyek maximálisan nem integrálhatók. Helyileg ezek a hipersíkok egy 1-alak magjaként ábrázolhatók , azaz H. ${\ displaystyle (2n + 1)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle H_ {p} = \ ker \ alpha _ {p} \ T_halmaz T_ {p} M}$.

Ezzel szemben a kapcsolat egyik formáját a család egyedülállóan határozza meg , egy nem eltűnő tényező kivételével. Az integrálhatatlanság azt jelenti, hogy a dα nem degenerált, és csak a hipersíkra korlátozódik. Ha a család globálisan leírható egy 1-űrlappal , akkor a kapcsolatfelvételi űrlap akkor és csak akkor van ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha \ wedge (d \ alpha) ^ {n}}$kötet alakú .${\ displaystyle M}$

A Darboux szimplektikus sokaságokra vonatkozó tételéhez hasonló tétel érvényes, nevezetesen, hogy a dimenzió összes érintkező sokasága lokálisan izomorf. Ez azt jelenti, hogy a kontaktgeometriában csak globális invariánsok vannak. ${\ displaystyle 2n + 1}$

Komplex geometria és Kähler-geometria

A komplex geometria összetett sokaságok, vagyis olyan lokális kinézetű sokaságok vizsgálata, amelyek átmeneti funkciói komplexen differenciálhatók (holomorfak). A bonyolultan differenciálható függvények analitikai tulajdonságai miatt gyakran egyedi tulajdonságokkal bír a lokális függvények / vektormezők folytatása. Ezért van az, hogy a globális tanulmányokban leginkább a kévék elméletétől függ. A sima elosztón szinte összetett szerkezet egy olyan térkép, amely . Így az összes szinte összetett sokaság egyenletes méretű. A szinte komplex és a komplex sokaság közötti különbség a majdnem komplex szerkezet integrálhatósága. Ezt a Nijenhuis tenzor méri. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle J \ kettőspont TM \ to TM}$${\ displaystyle J ^ {2} = - 1}$ ${\ displaystyle N_ {J}}$

A hermita sokaság egy összetett elosztó, amely a bonyolult valódi tangens köteg hermetikus mutatójával rendelkezik. Különösen kompatibilisnek kell lennie a komplex szerkezettel , nevezetesen ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle g (X, Y) = g (JX, JY)}$mindenkinek .${\ displaystyle X, Y \ T_-ben {x} M}$

Különösen gazdag szerkezetűnek bizonyultak a hermita sokaságok, amelyek hermita metrikái szintén kompatibilisek egy szimplektikus formával, azaz. H.

${\ displaystyle g (JX, Y) = \ omega (X, Y)}$a .${\ displaystyle d \ omega = 0}$

Ebben az esetben egy Kahler-elosztóról beszélünk .

Végül Cauchy-Riemann geometria foglalkozik határolt területen házakat.

Hazugságcsoport elmélet

Ahogy a csoportok halmazokon alapulnak , a sokaságok is a Lie csoportok alapja . A Sophus Lie-ről elnevezett Lie-csoportok a matematikában és a fizikában sok helyen folyamatos szimmetriai csoportokként jelennek meg, például a tér forgási csoportjaiként. A függvények szimmetriák alatti transzformációs viselkedésének vizsgálata a Lie-csoportok reprezentációs elméletéhez vezet .

Globális elemzés

A globális elemzés a differenciálgeometria egyik ága, amely szorosan kapcsolódik a topológiához. Néha a részterületet sokaságokon történő elemzésnek is nevezik. Ezen a matematikai kutatási területen a közönséges és a részleges differenciálegyenleteket differenciálható sokaságokon vizsgálják. Ebben az elméletben a funkcionális elemzésből , a mikrohelyi elemzésből és a részleges differenciálegyenlet elméletéből, valamint a geometriából és a topológiából származó globális módszereket alkalmazzák . Mivel ez a matematikai részterület számos elemzési módszert alkalmaz, összehasonlítva a differenciálgeometria többi részterületével, részben elemzési részterületként értjük.

A differenciálegyenletekről szóló első munka már tartalmazta a globális elemzés szempontjait. A vizsgálatok George David Birkhoff terén dinamikus rendszerek és az elmélet a geodesics által Harold Calvin Marston Morse a korai példái módszerek globális elemzést. Ennek a matematikai részterületnek a fő eredményei Michael Francis Atiyah , Isadore M. Singer és Raoul Bott munkája . Különösen figyelemre méltó itt az Atiyah-Singer index-tétel és az Atiyah-Bott fixpont-tétel , amely Lefschetz rögzített pont-tételének a topológiából való általánosítása.

Mód

Koordinálja a transzformációkat

A koordináta transzformációk a differenciálgeometria fontos eszközei, amelyek lehetővé teszik a probléma geometriai objektumokhoz való alkalmazkodását. Ha például egy gömb alakú felület távolságait akarjuk vizsgálni, akkor általában gömb alakú koordinátákat használunk. Ha valaki az euklideszi távolságokat nézi az űrben, akkor több derékszögű koordinátát használ. Matematikai szempontból meg kell jegyezni, hogy a koordináta transzformációk mindig bijektívek , amilyen gyakran csak kívánatosak, folyamatosan differenciálható leképezések. A vizsgált koordináta-transzformáció inverze is mindig létezik.

Egyszerű példa az átmenet a síkbeli derékszögű koordinátákról a polárkoordinátákra . A kétdimenziós euklideszi tér minden helyzetvektorát ebben az ábrázolásban fejezhetjük ki a koordinátákkal és a következő módon ${\ displaystyle r \ itt: [0, \ infty [}$${\ displaystyle \ phi \ in [0.2 \ pi [}$

${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {r}}} = {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ vec {f}} (r, \ phi) = {\ begin { pmatrix} r \, \ cos \ phi \\ r \, \ sin \ phi \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle x}$és a komponens funkcióinak is nevezik . Kiszámításuk a két koordináta függvényében : ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (r, \ phi)}$

${\ displaystyle x (r, \ phi) = r \, \ cos \ phi \ ,, \, \, \, \, y (r, \ phi) = r \, \ sin \ phi \, \,.}$

Ha általában az új koordinátarendszer összes koordinátája állandó marad, kivéve egy koordinátát, és az egyes koordinátákat megváltoztatjuk a definíciós tartományon belül, akkor az euklideszi térben vonalak jönnek létre, amelyeket koordinátavonalaknak is neveznek . A megadott polárkoordináták esetén állandó koordinátával az euklideszi koordinátarendszer koordinátakezete körül sugarú koncentrikus körök jönnek létre . Állandó koordinátával olyan félvonalak jönnek létre, amelyek az euklideszi koordinátarendszer koordinátakezdésében kezdődnek, majd futnak. Ezen koordinátavonalak segítségével egy új, térben elforgatott és ismét derékszögű koordináta- rendszer határozható meg nyilvánvaló módon az euklideszi tér minden pontjára . Emiatt a sarki koordinátákat derékszögű koordinátáknak is nevezik. Az elforgatott koordináta-rendszer tengelyei pontosan a ponton átfutó koordinátavonalak érintői . Ezen helyzetfüggő és derékszögű koordináta-rendszerek alapvektorai közvetlenül a helyzetvektor részleges deriváltjaiból számíthatók a fent említett ábrázolás szerint a változó koordináták szerint . A pozícióvektor teljes különbségei megadhatók a parciális deriváltakon keresztül is: ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle (x, y) = (0,0)}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (r, \ phi)}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} x = {\ frac {\ részleges x} {\ részleges r}} \ matrm {d} r + {\ frac {\ részleges x} {\ részleges \ phi}} \ matrm {d } \ phi = \ cos \ phi \, \ mathrm {d} rr \ cdot \ sin \ phi \, \ mathrm {d} \ phi}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} y = {\ frac {\ részleges y} {\ részleges r}} \ matrm {d} r + {\ frac {\ részleges y} {\ részleges \ phi}} \ matrm {d } \ phi = \ sin \ phi \, \ mathrm {d} r + r \ cdot \ cos \ phi \, \ mathrm {d} \ phi}$

A különbségeket koordinátadifferenciának is nevezik . Ebben a példában a „ ” differenciálművelővel összekapcsolt végtelen kis mennyiségek nem mindig jelentik a távolság jelentését. Inkább viszonylag könnyű megmutatni, hogy a radiális vagy azimutális irányú távolságokra igaz, hogy     van, de ; azaz csak a prefaktorral " " jön létre az integráció 0-tól a "hosszúság" dimenzió ismert mennyiségéig, nevezetesen a kerület . ${\ displaystyle \ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y, \ mathrm {d} r, \ mathrm {d} \ phi}$${\ displaystyle \ mathrm {d}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} l_ {r} \ ,: = \ mathrm {d} r}$${\ displaystyle \ mathrm {d} l _ {\ phi}: = r \ cdot \ mathrm {d} \ phi}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Phi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle r \ cdot 2 \ pi}$

A polárkoordinátákat vagy azok háromdimenziós általánosítását, a gömbkoordinátákat görbe vonalúnak is nevezik, mert megkönnyítik egy görbe felületen a távolság kiszámítását, pl. B. a gömb alakú felületet, engedje meg. Ez - valamint más szokásos példák, mint például a hengeres koordináták , az ellipszoid koordináták stb. - az ortogonális görbületi koordinátákhoz (lásd még: Görbe vonalú koordináták ).

A klasszikus differenciálgeometria nélkülözhetetlen segítsége a koordináták közötti transzformáció bármely koordináta között a geometriai struktúrák leírása érdekében.

A differenciál operátorok képződött a nagysága , ismert elemzés, viszonylag könnyen kiterjeszthető ortogonális görbe vonalú eltérés üzemeltetők. Például általában ortogonális görbületi koordinátákban, amikor három paramétert és a hozzájuk tartozó egységvektort használunk az irányba, a következő összefüggések vonatkoznak azokra a mennyiségekre , amelyek nem feltétlenül állandóak, de függhetnek , és : ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle u_ {i}, \, \, i = 1, \ pont, 3}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ részleges \ mathbf {r}} {\ részleges u_ {i}}}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle u_ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathrm {d} \ mathbf {r} & = \ összeg \ korlátozza _ {i = 1} ^ {3} {\ rm {d}} l_ {i} \ mathbf {e } _ {i} = \ összeg \ korlátozza _ {i = 1} ^ {3} \, a_ {i} \, \ mathrm {d} u_ {i} \, \ mathbf {e} _ {i} \\ {\ rm {d}} V & = a_ {1} \ mathrm {d} u_ {1} \ cdot a_ {2} \ mathrm {d} u_ {2} \ cdot a_ {3} \ mathrm {d} u_ {3} \\\ nabla ^ {2} f & = {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2} a_ {3}}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges u_ {1}} } \ bal ({\ frac {a_ {2} a_ {3}} {a_ {1}}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges u_ {1}}} \ jobbra) + \ cdots + \ cdots \ end {igazítva}}}$

Az első tag két további, pontokkal jelölt fogalma az indexek ciklikus felcserélésével jön létre . a Laplace operátort jelöli . Össze lehet állítani a skalárértékű div operátorból és a vektor szerint értékelt grad operátorból${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = \ operátor neve {div} (\ operátor neve {grad} f)}$

amiben

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operátor neve {div} \ mathbf {v} \, & = \, {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2} a_ {3}}} {\ frac { \ részleges (a_ {2} a_ {3} v_ {1})} {\ részleges u_ {1}}} + \ cdots + \ cdots \\\ operátornév {grad} f & = \ summa \ korlátozza _ {i = 1} ^ {3} \, {\ frac {1} {a_ {i}}} {\ frac {\ részleges f} {\ részleges u_ {i}}} \, \ mathbf {e} _ {i} \ vége {igazítva}}}$

A divergencia képlete a koordinátától független ábrázoláson alapul

${\ displaystyle \ kezelőnév {div} \ mathbf {v} = \ lim _ {\ Delta V \ to 0} \, {\ Big \ {} {\ frac {1} {| \ Delta V |}} \, \ iint \ limits _ {\ részleges (\ Delta V)} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {n} {\ rm {d}} ^ {(2)} A {\ Big \}} \, \ ,, }$

a zárt, határos felületen integrálódva . a hozzá tartozó külső normálvektort, a megfelelő végtelenül kicsi felületi elemet jelöli . A legáltalánosabb esetben - azaz nem ortogonális, görbe vonalú koordináták esetében - ez a képlet is használható. ${\ displaystyle \ Delta V}$${\ displaystyle \ mathbf {n}}$${\ displaystyle {\ rm {d}} ^ {(2)} A}$${\ displaystyle \ Delta V \ - {\ rm {d}} V}$

Kovariáns származék

A nem feltétlenül ortogonális görbe vonalú koordinátákon alapuló általános derivált operátorok pl. B. a kovariáns származékok , amelyek többek között. használható Riemann terek , ahol azok kapcsolódnak egy bizonyos módon, hogy a „belső termék”, azaz a H. a szoba úgynevezett " metrikus alapformáján ". Más esetekben azonban függetlenek egy helyi mutató létezésétől, vagy akár külsőleg is megadhatók, pl. B. sokaságokban "csatlakozással".

Többek között lehetővé teszik az összekötő vonalak meghatározása görbe terekben, pl. B. a geodézia meghatározása a Riemann-térben. A geodéziai vonalak a lokálisan legrövidebb kapcsolatok ezeken a tereken két pont között. A gömb hosszúságai példák a geodéziai vonalakra, de nem a szélességek (kivétel: Egyenlítő).

Általános koordináta-transzformációk segítségével a Christoffels-szimbólumokat a Riemann-térben definiáljuk (és általánosabban a differenciális geometriákban „adott kontextusban ”) . Az alábbiakban megadott alapdefiníció szerint ezeket kifejezetten beleszámítják egy vektormező kovariáns származékának kiszámításába . ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu}}$

A kovariáns származék a lapos (euklideszi) tér parciális deriváltjának általánosítása az ívelt terek számára. Ezzel szemben a parciális derivált , azt a tenzor tulajdonság; az euklideszi térben részleges származékká redukálódik. Az ívelt térben a vektormező kovariáns származékai általában nem cserélhetők fel egymással, nem felcserélhetőségükkel definiálják a Riemann-görbületi tenzort .

Egy másik fontos kifejezés az ívelt terekkel kapcsolatban a párhuzamos elmozdulás . A vektor komponenseinek kovariáns származéka párhuzamos eltolás esetén nulla. Mindazonáltal a vektor párhuzamos elmozdulása zárt görbe mentén az ívelt térben ahhoz vezethet, hogy az elmozdult vektor nem esik egybe a kiindulási vektorával.

A megfelelő formalizmus azon a követelményen alapul, hogy vektorok legyenek, ahogy az összeg írja, és az U U. (nevezetesen csak a fenti "párhuzamos szállításban") nem az alkotóelemek. , De csak a változás alapvető elemei , bár fokozatosan a nyilvánvaló szabály .  A kovariáns   és a   részleges   származék, általában pontosvesszővel vagy vesszővel írva, különböznek egymástól, nevezetesen: ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle v ^ {\ alpha} \ mathbf {e} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \, v ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle d \ mathbf {e} _ {\ alpha} = \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} dx ^ {\ beta} \ mathbf {e} _ {\ mu}}$

${\ displaystyle v _ {\ ,; \ beta} ^ {\ mu} \, dx ^ {\ beta} = v _ {\ ,, \ beta} ^ {\ mu} \, dx ^ {\ beta} + \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} v ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta} \ ,,}$  így     vagy szintén${\ displaystyle v _ {\ ,; \ beta} ^ {\ mu} \ ,: = \, v _ {\ ,, \ beta} ^ {\ mu} + \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mu} v ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\, \ beta} v ^ {\ mu} \ ,: = \, \ részleges _ {\, \ beta} v ^ {\ mu} + \ Gamma _ {\ alfa \ beta} ^ {\ mu} v ^ {\ alpha} \,.}$

Kiegészítő szerkezetű elosztókban (pl. Riemann-féle elosztókban vagy az úgynevezett nyomtávelméletekben ) ennek a szerkezetnek természetesen kompatibilisnek kell lennie az átadással. Ez további kapcsolatokat eredményez a Christoffel szimbólumok számára. Például a Riemann-terekben a két vektor távolság- és szögkapcsolata párhuzamos eltolódás esetén nem változhat, ezért a Christoffel-szimbólumokat csak a metrikus szerkezetből számítják ki bizonyos módon.

Görbületfeszítő

A fent említett tér görbületét eredmények analóg: Ha mozog a bázis vektor a matematikailag pozitív értelemben (az óramutató járásával ellentétesen) első parányi sorban a jelű egészségügyi betétet viselő, majd egy végtelenül vonal a jelű egészségügyi betétet viselő, akkor kap egy eredményt, hogy mi lehet írni a forma . Ha a sorrend megfordul, vagyis ha a forgásirány ellentétes, akkor az eredmény ellentétes. A különbség a következő formában írható fel olyan mennyiséggel, amely a Christoffel szimbólumokból származik: ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ rm {d}} x ^ {\ beta}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle {\ rm {d}} x ^ {\ gamma}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ Delta ^ {(2)} K _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \, \ Delta ^ {(2)} K _ {\ alpha}}$${\ displaystyle R _ {\; \; \ alfa \ beta \ gamma} ^ {\ lambda}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta ^ {(2)} K _ {\ alpha} & = R _ {\; \; \ alpha \ beta \ gamma} ^ {\ lambda} {\ rm {d} } x ^ {\ beta} \, {\ rm {d}} x ^ {\ gamma \,} \ mathbf {e} _ {\ lambda} \\ & \ equiv \, (\ Gamma _ {\ alfa \ beta } ^ {\ mu} \, \ Gamma _ {\ mu \ gamma} ^ {\ lambda} - \ Gamma _ {\ alpha \ gamma} ^ {\ mu} \ Gamma _ {\ mu \ beta} ^ {\ lambda } + \ részleges _ {\ gamma} \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ lambda} - \ részleges _ {\ beta} \ Gamma _ {\ gamma \ alpha} ^ {\ lambda} \,) \, {\ rm {d}} x ^ {\ beta} \, {\ rm {d}} x ^ {\ gamma \,} \, \ mathbf {e} _ {\ lambda} \ end {igazítva}}}$

Ha a vektort párhuzamosan tolják el, akkor a következő eredményt kapjuk :    A komponensek alkotják a görbületi tenzort , egy vektorral értékelt differenciálformát. (Az úgynevezett Yang-Mills elméletekben ezt a kifejezést úgy általánosítják, hogy például a "vektor-értékű" -et Lie algebra- értékűre cseréljük; lásd még Chern-osztályokat .) ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle v ^ {\ lambda} \ to v ^ {\ lambda} \, \ pm {\ tfrac {1} {2}} \, R _ {\; \; \ alfa \ beta \ gamma} ^ {\ lambda} \, v ^ {\ alpha} \, {\ rm {d}} x ^ {\ beta} \, {\ rm {d}} x ^ {\ gamma} \,.}$${\ displaystyle R _ {\; \; \ alfa \ beta \ gamma} ^ {\ lambda}}$

Különösen a görbületi tenzor megléte nem feltételezi, hogy az ember metrikus vagy pszeudometrikus terekkel foglalkozik, mint a fizikában (lásd fent), hanem csak az átvitel struktúrájához feltételezzük az affinitást .

irodalom

Elemi differenciálgeometria

• W. Blaschke , K. Leichtweiß : Elemi differenciálgeometria. (= Előadások a differenciálgeometriáról. 1 = A matematikai tudományok alapvető tanításai az egyes ábrázolásokban. 1). 5., teljesen átdolgozott kiadás. Springer-Verlag, Berlin és mtsai, 1973, ISBN 3-540-05889-3 .
• Manfredo P. do Carmo: A görbék és felületek differenciális geometriája (= Vieweg-tanulmány. Haladó matematika tanfolyam. 55). Vieweg & Sohn, Braunschweig et al., 1983, ISBN 3-528-07255-5 .
• Christian Bär : Elemi differenciálgeometria. de Gruyter, Berlin és mtsai, 2001, ISBN 3-11-015519-2 .
• Wolfgang Kühnel : Differenciálgeometria, görbék - felületek - elosztók. 4., átdolgozott kiadás. Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0411-2 .

Absztrakt elosztók, Riemann-geometria

• Rolf Walter: differenciálgeometria. 2., átdolgozott és kibővített kiadás. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim et al., 1989, ISBN 3-411-03216-2 .
• Sigurdur Helgason : Differenciálgeometria, hazugságcsoportok és szimmetrikus terek (= matematika posztgraduális tanulmányok. 34). American Mathematical Society, Providence RI, 2001, ISBN 0-8218-2848-7 .
• S. Kobayashi , Katsumi Nomizu: A differenciálgeometria alapjai. 1. kötet (= Interscience trakták a tiszta és alkalmazott matematikában. 15, 1). Interscience Publishers, New York NY et al., 1963.
• Pham Mau Quan: Bevezetés à la géométrie des variétés différentiables (= Monographies universitaires de mathématiques. 29). Dunod, Párizs, 1969. ( Tartalom (PDF; 184 kB )).

A hibák differenciálgeometriája

• Hagen Kleinert : Mérőmezők sűrített anyagban. 2. kötet: Stresszek és hibák. Differenciálgeometria, kristályolvadás. World Scientific, Szingapúr és mtsai., 1989, ISBN 9971-5-0210-0, 743-1456. O. ( Online változat ).

web Linkek

• A differenciálgeometriáról szóló irodalom a Német Nemzeti Könyvtár katalógusában
• Roberto Torretti:  Tizenkilencedik századi geometria. In: Edward N. Zalta (Szerk.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Michael F. Atiyah , Raoul Bott : Lefschetz-féle fixpont képlet elliptikus differenciálműveletekhez. In: Az Amerikai Matematikai Társaság Értesítője . 72. évfolyam, 2. szám, 1966, 245–250. O., Doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11483-0 .
2. ^ Richard S. Palais : Szeminárium az Atiyah-Singer index-tételről (= Annals of Mathematics Studies. 57, ISSN  0066-2313 ). Princeton University Press, Princeton NJ 1965.
3. ↑ Stephen Smale : Mi a globális elemzés? In: Az amerikai matematikai havilap . 76. évf., 1969. 1. sz., 4-9. Oldal, JSTOR 2316777 .
4. ↑ 58: Globális elemzés, elemzés a sokaságokon. In: A matematikai atlasz. Az eredetiből 2011. május 4 - én archiválva ; megtekintve 2018. szeptember 4-én .