Első alapvető forma

Az első alapvető formája vagy metrikus alapvető formája van a matematika egy funkciót az elmélet felületek a háromdimenziós euklideszi térben , egy részterülete klasszikus differenciál geometria . Az első alapvető forma lehetővé teszi többek között a következő feladatok kezelését:

• A görbe hosszának kiszámítása az adott felületen
• Annak a szögnek a kiszámítása, amelynél két görbe metszi az adott felületet
• Az adott terület egy tapasz területének kiszámítása

Ezenkívül a Gauss-görbület (Brioschi-képlet) és a második típusú Christoffel-szimbólumok meghatározhatók az első alapforma együtthatói és részleges származékaik alapján .

A felület azon tulajdonságait, amelyek az első alapforma segítségével vizsgálhatók, a belső geometria megjelölés foglalja össze .

Meghatározás és jellemzők

Hadd határozzon meg egy felületet egy nyitott részhalmaz leképezésével ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle X \ kettőspont U \ to \ mathbb {R} ^ {3}, \ quad (u, v) \ mapsto X (u, v)}$

adott, azaz keresztül és paraméterezve. A felületen a paraméterértékek által meghatározott pont és az első alapforma együtthatói a következőképpen vannak meghatározva: ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle E (u, v) = X_ {u} (u, v) \ cdot X_ {u} (u, v) = | X_ {u} (u, v) | ^ {2}}$

${\ displaystyle F (u, v) = X_ {u} (u, v) \ cdot X_ {v} (u, v)}$

${\ displaystyle G (u, v) = X_ {v} (u, v) \ cdot X_ {v} (u, v) = | X_ {v} (u, v) | ^ {2}}$

Itt vannak a vektorok

${\ displaystyle X_ {u} (u, v) = {\ frac {\ részleges X} {\ részleges u}} (u, v) \ quad {\ text {és}} \ quad X_ {v} (u, v) = {\ frac {\ részleges X} {\ részleges v}} (u, v)}$

az első részleges származékok a paraméterek szerint ill . A festési pontok a vektorok skaláris szorzatát jelzik . ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

A dolgok egyszerűsítése érdekében az ember gyakran elhagyja az érveket, és csak ír , és az együtthatókra. Az első alapvető forma ezután a másodfokú forma${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle I \ kettőspont \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}, \ (w_ {1}, w_ {2}) \ mapsto E \, w_ {1} ^ {2} + 2F \, w_ {1} w_ {2} + G \, w_ {2} ^ {2}}$,

Időnként a differenciálok jelölését is használják:

${\ displaystyle ds ^ {2} = E \, du ^ {2} + 2F \, du \, dv + G \, dv ^ {2}}$

Egy másik (korszerűbb) jelölés a következő:

${\ displaystyle g_ {11} = E; \ quad g_ {12} = g_ {21} = F; \ quad g_ {22} = G}$

Ha az egyik beállítja és , akkor érvényes ${\ displaystyle X_ {1} = X_ {u}}$${\ displaystyle X_ {2} = X_ {v}}$

${\ displaystyle g_ {ij} = X_ {i} \ cdot X_ {j}}$mert .${\ displaystyle i, j = 1,2}$

A számok a kovariáns metrikus tenzor együtthatói . Tehát ennek megvan a mátrixábrázolása ${\ displaystyle g_ {ij}}$

${\ displaystyle (g_ {ij}) = {\ kezdete {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}}}$.

Ezt a tenzort , vagyis az e mátrix által képviselt bilináris formát gyakran az első alapvető formának nevezik${\ displaystyle g}$

Az első az alapforma együtthatóira vonatkozik:

${\ displaystyle E \ geq 0; \ quad G \ geq 0; \ quad EG-F ^ {2} \ geq 0}$.

Ez a diszkrimináns (azaz, a meghatározó a mátrix reprezentációját) az első alapvető formáját. Ha ez is érvényes, akkor ez is következik , és az első alapvető forma pozitív határozott . Ez a helyzet akkor és csak akkor és csak akkor lineárisan független. A pozitív, határozott első alapformával rendelkező felületet reguláris differenciál geometriának vagy regulárisan differenciált geometriának nevezzük . ${\ displaystyle EG-F ^ {2}}$${\ displaystyle EG-F ^ {2}> 0}$${\ displaystyle E> 0}$${\ displaystyle G> 0}$${\ displaystyle X_ {u}}$${\ displaystyle X_ {v}}$

Felületi görbe hossza

A görbe az adott felület lehet kifejezni két valós függvények és : A pont található a felszínen van hozzárendelve minden egyes lehetséges paraméter értékét . Ha az összes érintett funkció folyamatosan megkülönböztethető, akkor az alábbiak vonatkoznak a görbe szegmens hosszára, amelyet az alábbiak határoznak meg : ${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X (\ varphi _ {1} (t), \ varphi _ {2} (t))}$${\ displaystyle t \ itt: [a, b]}$

${\ displaystyle l = \ int \ limits _ {a} ^ {b} {\ sqrt {I ({\ dot {\ varphi}} _ {1} (t), {\ dot {\ varphi}} _ {2 } (t))}}, dt = \ int \ korlátozza _ {a} ^ {b} {\ sqrt {E \ cdot ({\ dot {\ varphi}} _ {1} (t)) ^ {2 } + 2F \ cdot {\ dot {\ varphi}} _ {1} (t) {\ dot {\ varphi}} _ {2} (t) + G \ cdot ({\ dot {\ varphi}} _ { 2} (t)) ^ {2}}} \, dt}$

A path elem segítségével kifejezve: ${\ displaystyle ds = {\ sqrt {ds ^ {2}}}}$

${\ displaystyle l = \ int _ {\ varphi} ds}$

A javítás tartalma

A paraméterterület által megadott terület tartalma a következőképpen számolható: ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A = \ int \ korlátozza _ {B} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, d (u, v)}$.

Példa gömb alakú felületre

A felület egy gömb sugarú lehet paraméterezni a gömbi koordináták${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle X (u, v) = {\ kezdődik {pmatrix} r \ sin u \ cos v \\ r \ sin u \ sin v \\ r \ cos u \ end {pmatrix}}}$.

Az első alapvető forma együtthatóira kapjuk:

${\ displaystyle E = X_ {u} (u, v) \ cdot X_ {u} (u, v) = {\ begin {pmatrix} r \ cos u \ cos v \\ r \ cos u \ sin v \\ -r \ sin u \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} r \ cos u \ cos v \\ r \ cos u \ sin v \\ - r \ sin u \ end {pmatrix}} = r ^ {2}}$

${\ displaystyle F = X_ {u} (u, v) \ cdot X_ {v} (u, v) = {\ begin {pmatrix} r \ cos u \ cos v \\ r \ cos u \ sin v \\ -r \ sin u \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} -r \ sin u \ sin v \\ r \ sin u \ cos v \\ 0 \ end {pmatrix}} = 0}$

${\ displaystyle G = X_ {v} (u, v) \ cdot X_ {v} (u, v) = {\ begin {pmatrix} -r \ sin u \ sin v \\ r \ sin u \ cos v \ \ 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} -r \ sin u \ sin v \\ r \ sin u \ cos v \\ 0 \ end {pmatrix}} = r ^ {2} \ sin ^ {2} u}$

Az első alapvető forma tehát az

${\ displaystyle ds ^ {2} = r ^ {2} \, du ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (u) \, dv ^ {2}}$.

Egy függvény speciális esete grafikonja

Ha a vizsgált terület egy függvény grafikonja a paramétertartomány felett , azaz az összes esetében , akkor:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X (u, v) = (u, v, f (u, v))}$${\ displaystyle (u, v) \ U-ban}$

${\ displaystyle X_ {u} (u, v) = (1,0, f_ {u}), \ quad X_ {v} (u, v) = (0,1, f_ {v})}$

és így

${\ displaystyle E = 1 + f_ {u} ^ {2}, \ quad F = f_ {u} f_ {v}, \ quad G = 1 + f_ {v} ^ {2}}$

és

${\ displaystyle EG-F ^ {2} = (1 + f_ {u} ^ {2}) \, (1 + f_ {v} ^ {2}) - (f_ {u} f_ {v}) ^ { 2} = 1 + f_ {u} ^ {2} + f_ {v} ^ {2}}$.

Itt és jelöli a részleges származékok a vagy . ${\ displaystyle f_ {u}}$${\ displaystyle f_ {v}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

Lásd még

• A második alapvető forma

Egyéni bizonyíték

1. ^ A. Hartmann: Felületek, Gauss-görbület, első és második alapvető forma, theorema egregium. (PDF) 2011. április 12., Hozzáférés: 2016. szeptember 29 .  6. oldal, 3.4. Tétel igazolása.

irodalom

• Manfredo Perdigão do Carmo: A görbék és felületek differenciális geometriája. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7 .