Skaláris termék

A skaláris szorzat (szintén belső szorzat vagy ponttermék ) egy matematikai kombináció , amely két vektorhoz számot ( skalárt ) rendel. Ez az elemző geometria és a lineáris algebra tárgya . Történelmileg először az euklideszi térben vezették be . Két vektor skaláris szorzatának geometriai kiszámítása és a képlet szerint ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = | {\ vec {a}} | \, | {\ vec {b}} | \, \ cos \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}).}$

És jelöli a hosszak (összegek) a vektorok. Az a koszinusza a szög által bezárt két vektor . Két adott hosszúságú vektor skaláris szorzata nulla, ha egymásra merőlegesek , és maximális, ha azonos irányúak. ${\ displaystyle | {\ vec {a}} |}$${\ displaystyle | {\ vec {b}} |}$${\ displaystyle \ cos \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}) = \ cos \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Egy derékszögű koordináta -rendszerben két vektor skaláris szorzatát és úgy számoljuk ki ${\ displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$${\ displaystyle {\ vec {b}} = (b_ {1}, b_ {2}, b_ {3})}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = a_ {1} \, b_ {1} + a_ {2} \, b_ {2} + a_ {3} \, b_ { 3}.}$

Ha ismeri a vektorok derékszögű koordinátáit, akkor ennek a képletnek a segítségével kiszámíthatja a skaláris szorzatot, majd az előző bekezdés képletével kiszámíthatja a két vektor közötti szöget úgy, hogy megoldja : ${\ displaystyle \ varphi = \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}})}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ varphi = \ arccos {\ frac {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}} {| {\ vec {a}} || {\ vec {b}} |}} }$

A lineáris algebrában ezt a fogalmat általánosítják. A skaláris szorzat olyan függvény, amely egy valós vagy összetett vektortér két eleméhez , pontosabban egy ( pozitívan határozott ) hermita szeszkvinális alakhoz , pontosabban a valódi vektorterekben egy (pozitívan határozott) szimmetrikus bilineáris alakhoz rendel skalárt . Általában véve nincs meghatározva skaláris szorzat a vektor térben. A skaláris szorzattal együtt lévő teret belső terméktérnek vagy prehilbert térnek nevezzük . Ezek a vektorterek általánosítják az euklideszi teret, és így lehetővé teszik a geometriai módszerek alkalmazását az absztrakt struktúrákra.

Az euklideszi térben

Geometriai meghatározás és jelölés

A háromdimenziós euklideszi térben vagy a kétdimenziós euklideszi síkban lévő vektorok nyilakként ábrázolhatók. Ebben az esetben, a szűrők nyilak párhuzamos azonos hosszúságú orientált, és egyenlő a, ugyanaz a vektor. A dot termék a két vektor , és egy skalár, hogy egy valós szám. Geometriailag a következőképpen határozható meg: ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

És jelölik a hossza a vektorok és a és jelöli a szöget zárt által , és , így ${\ displaystyle a = | {\ vec {a}} |}$${\ displaystyle b = | {\ vec {b}} |}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle \ varphi = \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}})}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = | {\ vec {a}} | \, | {\ vec {b}} | \, \ cos \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}) = a \, b \, \ cos \ varphi.}$

A normál szorzáshoz hasonlóan (de ritkábban, mint ott), amikor világos, hogy mit értünk, a szorzótáblát néha kihagyjuk:

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = {\ vec {a}} \, {\ vec {b}}}$

Ahelyett, hogy ebben az esetben időnként írna${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}} \, ^ {2}.}$

Más gyakori jelölések az és${\ displaystyle {\ vec {a}} \ circ {\ vec {b}}, \ {\ vec {a}} \ bullet {\ vec {b}}}$${\ displaystyle \ langle {\ vec {a}}, {\ vec {b}} \ rangle.}$

ábra

Annak illusztrálására, a meghatározás, úgy a merőleges vetülete a vektor az irányban, amit az és készlet ${\ displaystyle {\ vec {b}} _ {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

${\ displaystyle b_ {a} = {\ begin {case} | {\ vec {b}} _ {\ vec {a}} | & {\ text {falls}} {\ vec {a}}, {\ vec {b}} _ {\ vec {a}} {\ text {egyformán orientált}} \\ - | {\ vec {b}} _ {\ vec {a}} | & {\ text {if}} {\ vec {a}}, {\ vec {b}} _ {\ vec {a}} {\ text {ellentétesen orientált}} \ end {case}}}$

Akkor és a skaláris termékhez, és rendelkezünk: ${\ displaystyle b_ {a} = b \ cos \ varphi}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = ab_ {a}}$

Ezt az összefüggést néha a skaláris szorzat meghatározására használják.

Példák

Mindhárom példában, és . A skaláris termékek a különleges koszinuszértékekből származnak , és : ${\ displaystyle | {\ vec {a}} | = 5}$${\ displaystyle | {\ vec {b}} | = 3}$${\ displaystyle \ cos 0 ^ {\ circ} = 1}$${\ displaystyle \ cos 60 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ cos 90 ^ {{circ} = 0}$

• 

  ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$és kijavították${\ displaystyle {\ vec {b}}}$
  ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = 5 \ cdot 3 \ cdot \ cos 0 ^ {\ circ} = 15}$

• 

  ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$és 60 ° -os szögben${\ displaystyle {\ vec {b}}}$
  ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = 5 \ cdot 3 \ cdot \ cos 60 ^ {\ circ} = 7 {,} 5}$

• 

  ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$és ortogonális${\ displaystyle {\ vec {b}}}$
  ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = 5 \ cdot 3 \ cdot \ cos 90 ^ {\ circ} = 0}$

A derékszögű koordinátákban

Ha derékszögű koordinátákat vezet be az euklideszi síkban vagy az euklideszi térben, akkor minden vektornak van koordináta-ábrázolása 2- vagy 3-sorosként, amelyet általában oszlopként írnak fel.

Az euklideszi síkban azután megkapjuk a vektorok skaláris szorzatát

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {pmatrix}}}$  és  ${\ displaystyle {\ vec {b}} = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {pmatrix}}}$

a képviselet

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {pmatrix}} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2}.}$

A kanonikus egységvektorokra és a következőkre vonatkozik: ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1} \ cdot {\ vec {e}} _ {1} = 1, \ {\ vec {e}} _ {1} \ cdot {\ vec {e} } _ {2} = {\ vec {e}} _ {2} \ cdot {\ vec {e}} _ {1} = 0}$ és ${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2} \ cdot {\ vec {e}} _ {2} = 1}$

Ebből következik (a skaláris termék alább ismertetett tulajdonságainak előrejelzése):

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} & = (a_ {1} \, {\ vec {e}} _ {1} + a_ {2} \, {\ vec {e}} _ {2}) \ cdot (b_ {1} \, {\ vec {e}} _ {1} + b_ {2} \, {\ vec {e}} _ { 2}) \\ & = a_ {1} b_ {1} \, {\ vec {e}} _ {1} \ cdot {\ vec {e}} _ {1} + a_ {1} b_ {2} \, {\ vec {e}} _ {1} \ cdot {\ vec {e}} _ {2} + a_ {2} b_ {1} \, {\ vec {e}} _ {2} \ cdot {\ vec {e}} _ {1} + a_ {2} b_ {2} \, {\ vec {e}} _ {2} \ cdot {\ vec {e}} _ {2} \\ & = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} \ end {aligned}}}$

A háromdimenziós euklideszi térben az vektoroknak megfelelően kapjuk meg

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {pmatrix}}}$  és  ${\ displaystyle {\ vec {b}} = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\ b_ {3} \ end {pmatrix}}}$

a képviselet

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\ b_ {3} \ end {pmatrix}} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3 } b_ {3}.}$

Például kiszámítják a két vektor skaláris szorzatát

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {pmatrix}}}$  és  ${\ displaystyle {\ vec {b}} = {\ begin {pmatrix} -7 \\ 8 \\ 9 \ end {pmatrix}}}$

alábbiak szerint:

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = 1 \ cdot (-7) +2 \ cdot 8 + 3 \ cdot 9 = 36}$

tulajdonságait

A geometriai meghatározásból közvetlenül következik:

• Ha és párhuzamosak és egyformán orientáltak ( ), akkor érvényes ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle \ varphi = 0 ^ {\ circ}}$

  ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = from.}$

• Különösen a vektor skaláris szorzata önmagával a hosszának négyzete:

  ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} = a ^ {2}}$

• Ha és párhuzamos és ellentétes irányú ( ), akkor érvényes ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle \ varphi = 180 ^ {\ circ}}$

  ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = - from.}$

• Ha és ortogonálisak ( ), akkor van ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle \ varphi = 90 ^ {\ circ}}$

  ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = 0.}$

• Ha éles szög van, akkor a következőket kell alkalmazni${\ displaystyle \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}})}$${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}> 0.}$
• Van egy tompaszög , a következő érvényes${\ displaystyle \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}})}$${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} <0.}$

Funkcióként, amely minden rendelt vektorpárhoz hozzárendeli a valós számot , a skaláris szorzat a következő tulajdonságokkal rendelkezik, amelyeket az ember a szorzástól vár: ${\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}})}$${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}$

1. Ez szimmetrikus (kommutatív jog):

   ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {a}}}$minden vektorra és${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

2. Ez homogén minden érv (vegyes asszociatív jog):

   ${\ displaystyle (r {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {b}} = r \, ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}) = {\ vec {a }} \ cdot (r {\ vec {b}})}$minden vektor és minden skalár${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$

3. Ez adalékanyag minden érv (elosztó jog):

   ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} + {\ vec {c}}) = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} + {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {c}}}$ és

   ${\ displaystyle ({\ vec {a}} + {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {c}} = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {c}} + {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}}}$minden vektorra és${\ displaystyle {\ vec {a}},}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}.}$

A 2. és 3. tulajdonságokat is összefoglaljuk: A skaláris szorzat bilineáris .

A 2. tulajdonság „vegyes asszociatív törvény” megnevezése egyértelművé teszi, hogy a skalár és a két vektor oly módon kapcsolódik egymáshoz, hogy a zárójelek cserélhetők, mint az asszociatív törvényben. Mivel a skaláris szorzat nem belső láncszem, három vektor skaláris szorzata nincs meghatározva, így nem merül fel a valódi asszociativitás kérdése. A kifejezésben csak az első szorzás két vektor skaláris szorzata, a második egy vektorral rendelkező skalár szorzata ( S szorzás ). A kifejezés egy vektort jelent, a vektor többszörösét. Másrészt a kifejezés a többszörösét jelenti . Általában akkor ${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}) \, {\ vec {c}}}$${\ displaystyle {\ vec {c}}.}$${\ displaystyle {\ vec {a}} \, ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}})}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}) \, {\ vec {c}} \ neq {\ vec {a}} \, ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c}}).}$

Sem a geometriai meghatározás, sem a derékszögű koordinátákban szereplő meghatározás nem önkényes. Mindkettő abból a geometriai indíttatású követelményből következik, hogy egy vektor skaláris szorzata önmagával a hosszának négyzete, és abból az algebrai indíttatású követelményből, hogy a skaláris szorzat megfelel a fenti 1-3 tulajdonságoknak.

Vektorok száma és szögek

A skaláris szorzat segítségével a koordináta -ábrázolásból kiszámítható egy vektor hossza (mennyisége):

A következő a kétdimenziós tér vektorára vonatkozik ${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle | {\ vec {a}} | = {\ sqrt {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}}}} = {\ sqrt {{a_ {1}} ^ {2} + {a_ {2}} ^ {2}}}.}$

Az ember felismeri itt a Pitagorasz -tételt . Ugyanez vonatkozik a háromdimenziós térre is

${\ displaystyle | {\ vec {a}} | = {\ sqrt {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}}}} = {\ sqrt {{a_ {1}} ^ {2} + {a_ {2}} ^ {2} + {a_ {3}} ^ {2}}}.}$

A geometriai definíció és a koordináta -ábrázolás kombinálásával az általuk bezárt szög két vektor koordinátáiból számítható ki. vége

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = | {\ vec {a}} | \, | {\ vec {b}} | \, \ cos \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}})}$

következik

${\ displaystyle \ cos \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}) = {\ frac {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}} {| {\ vec {a}} | \, | {\ vec {b}} |}}.}$

A két vektor hossza

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {pmatrix}}}$  és  ${\ displaystyle {\ vec {b}} = {\ begin {pmatrix} -7 \\ 8 \\ 9 \ end {pmatrix}}}$

tehát összeget

${\ displaystyle | {\ vec {a}} | = {\ sqrt {1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2}}} = {\ sqrt {14}} \ kb 3 {,} 74}$ és ${\ displaystyle | {\ vec {b}} | = {\ sqrt {(-7) ^ {2} + 8 ^ {2} + 9 ^ {2}}} = {\ sqrt {194}} \ kb 13 {,} 93.}$

A két vektor által bezárt szög koszinuszát úgy számoljuk ki

${\ displaystyle \ cos \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}) = {\ frac {36} {{\ sqrt {14}} \ cdot {\ sqrt {194}}}} \ kb 0 {,} 691.}$

Így is van ${\ displaystyle \ sphericalangle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}}) \ kb 46 {,} 3 ^ {\ circ}.}$

Ortogonalitás és ortogonális vetítés

Két vektor, és akkor és csak akkor merőlegesek, ha skaláris szorzatuk nulla, azaz ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} \ perp {\ vec {b}} \ iff {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} = 0.}$

A merőleges vetülete a rá a irányát adott vektor által az a vektor, a ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}} _ {\ vec {a}} = k {\ vec {a}}}$

${\ displaystyle k = {\ frac {{\ vec {b}} \ cdot {\ vec {a}}} {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}}}} = {\ frac { {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {a}}} {| {\ vec {a}} | ^ {2}}},}$

így

${\ displaystyle {\ vec {b}} _ {\ vec {a}} = {\ frac {{\ vec {b}} \ cdot {\ vec {a}}} {| {\ vec {a}} | ^ {2}}} \, {\ vec {a}} = \ bal ({\ vec {b}} \ cdot {\ frac {\ vec {a}} {| {\ vec {a}} |}} \ jobb) \, {\ frac {\ vec {a}} {| {\ vec {a}} |}}.}$

A vetítés a vektor, amelynek végpontja a függőón a végpontja a egyenes vonal a nulla pont által meghatározott. A vektor függőlegesen áll fel${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}} - {\ vec {b}} _ {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}.}$

Ha egy egységvektor (azaz, IST ), a képlet egyszerűsödik ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle | {\ vec {a}} | = 1}$

${\ displaystyle {\ vec {b}} _ {\ vec {a}} = ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {a}}) \, {\ vec {a}}.}$

Kapcsolat a kereszttermékkel

Két vektor kombinálásának és háromdimenziós térben való megszorzásának másik módja a külső szorzat vagy kereszttermék , a skaláris szorzattal ellentétben a kereszttermék eredménye nem skalár, hanem ismét vektor. Ez a vektor merőleges a síkra kifeszített a két vektor és és hossza megegyezik a terület a paralelogramma , amely átível őket. ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}.}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

Az alábbi számítási szabályok vonatkoznak a kereszttermék és a skaláris szorzat összekapcsolására:

• ${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {c}} = {\ vec {a}} \ cdot ({\ vec {b}} \ alkalommal {\ vec {c}})}$
• ${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {c}} = - ({\ vec {b}} \ times {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {c}}}$
• ${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {a}} = ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) \ cdot {\ vec {b}} = 0}$
• ${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) \ cdot ({\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}) = ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}}) ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {b}}) - ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}) ^ {2 }}$

A kereszttermék és az első két szabály skaláris szorzatának kombinációját késői terméknek is nevezik ; a három vektor által átfogott párhuzamos csövek orientált térfogatát adja . ${\ displaystyle {\ vec {a}}, {\ vec {b}}, {\ vec {c}}}$

Alkalmazások

A geometriában

A skaláris termék lehetővé teszi a szögekről beszélő bonyolult tételek egyszerű bizonyítását.

Állítás: ( koszinusz törvény )

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2 \, a \, b \, \ cos \ gamma.}$

Bizonyítás: A rajzolt vektorok segítségével ez következik (Az irány irreleváns.) Az összeg négyzetbe adása ${\ displaystyle {\ vec {c}} = - {\ vec {b}} + {\ vec {a}}.}$${\ displaystyle {\ vec {c}}}$

${\ displaystyle | {\ vec {c}} | ^ {2} = {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {c}} = ({\ vec {a}} - {\ vec {b}} ) \ cdot ({\ vec {a}} - {\ vec {b}}) = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {a}} - 2 \, {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} + {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {b}} = | {\ vec {a}} | ^ {2} + | {\ vec {b}} | ^ { 2} -2 \, {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}}$

és így

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2 \, a \, b \, \ cos \ gamma.}$

A fizikában

A fizikában sok mennyiséget , például a munkát , a skaláris termékek határozzák meg: ${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle W = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {s}} = | {\ vec {F}} || {\ vec {s}} | \ cos \ varphi = F_ {s} \ cdot s = F \ cdot h}$

a vektormennyiségek erejével és útjával . Az erő iránya és az út iránya közötti szöget jelöli . A vonal az erő összetevője az út irányában, a pálya összetevője az erő irányában. ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle {\ vec {s}}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle F_ {s}}$${\ displaystyle h}$

Példa: Egy kocsi a súly szállítják fölött egy ferde síkban , hogy . Az emelőmunkát kiszámítják ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} W & = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {s}} = F \ cdot h = F \ cdot s \ cdot \ cos \ varphi \\ & = 5 \ , \ mathrm {N} \ cdot 3 \, \ mathrm {m} \ cdot \ cos 63 ^ {\ circ} = 6 {,} 81 \, \ mathrm {J}. \ end {aligned}}}$

Általában valós és összetett vektoros terek

A fenti tulajdonságokat lehetőségnek tekintjük arra, hogy általánosítsuk a skaláris termék fogalmát bármilyen valós és összetett vektoros térre . A skaláris termék ekkor olyan függvény, amely két vektorhoz test elemet (skalárt) rendel, és teljesíti az említett tulajdonságokat. A komplex esetben a szimmetria és a bilinearitás feltételét módosítják a pozitív definíció mentése érdekében (ami sosem teljesül komplex szimmetrikus bilineáris formák esetén).

Általános elméletben a vektorok változóit, azaz bármely vektor tér elemeit általában nem jelölik nyilak. A skaláris terméket általában nem festési pont jelöli, hanem pár szögletes zárójel. Tehát a vektorok skaláris szorzatára és az egyik ír . Egyéb gyakori jelölések (különösen a kvantummechanika formájában Bra-Ket jelölés), és . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle}$${\ displaystyle \ langle x | y \ rangle}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (x | y)}$

Definíció (axiomatikus)

A skalár termék vagy belső termék egy igazi vektortér egy pozitív határozott szimmetrikus bilineáris forma, azaz a és a következő feltételeknek kell teljesülniük: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ langle {\ cdot}, {\ cdot} \ rangle \ colon V \ times V \ to \ mathbb {R},}$${\ displaystyle x, y, z \ in V}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$

1. lineáris a két érv mindegyikében:
   • ${\ displaystyle \ langle x + y, z \ rangle = \ langle x, z \ rangle + \ langle y, z \ rangle}$
   • ${\ displaystyle \ langle x, y + z \ rangle = \ langle x, y \ rangle + \ langle x, z \ rangle}$
   • ${\ displaystyle \ langle \ lambda x, y \ rangle = \ lambda \ langle x, y \ rangle}$
   • ${\ displaystyle \ langle x, \ lambda y \ rangle = \ lambda \ langle x, y \ rangle}$
2. szimmetrikus: ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle y, x \ rangle}$
3. határozott pozitív:
   • ${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle \ geq 0}$
   • ${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle = 0}$ pontosan mikor ${\ displaystyle x = 0}$

A skaláris szorzat vagy belső termék egy összetett vektortérben egy pozitívan határozott hermita szeszkvinális forma, amely azt jelenti, hogy és a következő feltételek érvényesek: ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ langle {\ cdot}, {\ cdot} \ rangle \ colon V \ times V \ to \ mathbb {C},}$${\ displaystyle x, y, z \ in V}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$

1. sesquilinear:
   • ${\ displaystyle \ langle x + y, z \ rangle = \ langle x, z \ rangle + \ langle y, z \ rangle}$
   • ${\ displaystyle \ langle \ lambda x, y \ rangle = {\ bar {\ lambda}} \ langle x, y \ rangle}$    (félvonalas az első érvben)
   • ${\ displaystyle \ langle x, y + z \ rangle = \ langle x, y \ rangle + \ langle x, z \ rangle}$
   • ${\ displaystyle \ langle x, \ lambda y \ rangle = \ lambda \ langle x, y \ rangle}$    (lineáris a második argumentumban)
2. hermitesch: ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ overline {\ langle y, x \ rangle}}}$
3. határozott pozitív:
   • ${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle \ geq 0}$(Ez a 2. feltételből következik.)${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle}$
   • ${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle = 0}$ pontosan mikor ${\ displaystyle x = 0}$

Egy valós vagy összetett vektoros teret, amelyben skaláris szorzat van definiálva, skaláris szorzatnak vagy Prähilbert -térnek nevezzük . A véges dimenziós valódi vektorteret skaláris szorzattal euklideszi vektortérnek is nevezik , a komplex esetben egységes vektortérről beszélünk . Ennek megfelelően az euklideszi vektortér skaláris szorzatát néha euklideszi skaláris szorzatnak, az egységes vektortérben pedig egységes skaláris szorzatnak nevezik . Az "euklideszi skaláris termék" kifejezés, de kifejezetten a fent leírt geometriai skalárra vagy az alábbiakban leírt szabványos skalárra is . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Megjegyzések

• Gyakran minden szimmetrikus bilineáris alakot vagy minden hermitikus sesquilinear formát skaláris terméknek neveznek; Ezzel a használattal a fenti definíciók pozitívan határozott skaláris termékeket írnak le .
• A megadott két axiómarendszer nem minimális. Valójában a szimmetria miatt az első argumentum linearitása a második argumentum linearitásából következik (és fordítva). Hasonlóképpen, a bonyolult esetben a remeteség miatt az első érvben a félvonalasság a második érvben szereplő linearitásból következik (és fordítva).
• A komplex esetben a skaláris szorzatot néha alternatívaként határozzák meg, nevezetesen az elsőben lineárisnak, a második argumentumban félvonalasnak. Ezt a verziót preferálják a matematikában és különösen az elemzésben , míg a fenti verziót túlnyomórészt a fizikában használják (lásd Bra és Ket vektorok ). A két változat közötti különbség a skaláris szorzás homogenitás szempontjából kifejtett hatásaiban rejlik . Miután az alternatív változat érvényes és és . Az additivitás mindkét változatban azonos módon értendő. A skaláris termékből kapott normák mindkét változat szerint szintén azonosak.${\ displaystyle x, y \ in V}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$   ${\ displaystyle \ langle \ lambda x, y \ rangle = \ lambda \ langle x, y \ rangle}$${\ displaystyle \ langle x, \ lambda y \ rangle = {\ bar {\ lambda}} \ langle x, y \ rangle}$
• A Hilbert előtti teret, amelyet teljes mértékben a skaláris standard indukciójára tekintettel, Hilbert térnek nevezünk .
• A skaláris szorzat meghatározásakor nem feltétlenül szükséges megkülönböztetni a valós és a komplex vektorteret, mivel egy hermita szeszkvinális forma valósan megfelel egy szimmetrikus bilineáris alaknak.

Példák

Standard skaláris termék R ⁿ -ben és C ⁿ -ben

Ennek alapján a képviselet az euklideszi skalárszorzat derékszögű koordináta, az egyik határozza standard skalár termék a dimenziós koordinátarendszerben az átmenő a lineáris algebra${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} {y_ {1}} + x_ {2} {y_ { 2}} + \ dotb + x_ {n} {y_ {n}}.}$

A „geometriai” skaláris szorzata az euklideszi térben kezelt fent említettük, megfelel a speciális esetben. Abban az esetben, a dimenziós komplex vektortér , a standard skalár termék számára van meghatározott ${\ displaystyle n = 3.}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {x}} _ {i} y_ {i} = {\ bar {x}} _ {1} {y_ {1}} + {\ bar {x}} _ {2} {y_ {2}} + \ dotb + {\ bar {x}} _ {n} {y_ {n}},}$

ahol a felülvonal a komplex ragozást jelöli. A matematikában gyakran használják az alternatív verziót, amelyben a második argumentum konjugálódik az első helyett.

A szabványos skaláris szorzat mátrixtermékként , vagy mátrixtermékként is felírható, a vektort mátrixként ( oszlopvektor ) értelmezve: Valódi esetben a következők érvényesek ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle n \ alkalommal 1}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = x ^ {T} y = y ^ {T} x,}$

hol van a sorvektor , amely eredményezi az oszlopról vektor által átültető . Komplex esetben (a bal félvonalas, jobb lineáris eset esetén) ${\ displaystyle {x} ^ {T}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = x ^ {H} y,}$

hol van a Hermitianushoz tartozó sorvektor. ${\ displaystyle x ^ {H}}$${\ displaystyle x}$

Általános skaláris termékek R ⁿ -ben és C ⁿ -ben

Általánosabban, a valós esetben minden szimmetrikus és pozitívan meghatározott mátrixot a ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {A} = x ^ {T} Ay = \ langle x, Ay \ rangle}$

skaláris termék; Hasonlóképpen, a komplex helyzet minden pozitívan határozott Hermitian mátrix felett ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {A} = x ^ {H} Ay = \ langle x, Ay \ rangle}$

skaláris terméket határoz meg. Itt a jobb oldali szögletes zárójelek a szabványos skaláris szorzatot , a bal oldali indexű szögletes zárójelek a mátrix által meghatározott skaláris szorzatot jelölik . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Minden skaláris szorzat, vagy ilyen módon ábrázolható egy pozitívan meghatározott szimmetrikus mátrix (vagy pozitívan határozott Hermit mátrix) segítségével. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

L ² skaláris termék funkciókhoz

A végtelen dimenziós vektortér a folyamatos , valós értékű függvények az intervallum a -scalar termék révén ${\ displaystyle C ^ {0} ([a, b], \ mathbb {R})}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, \ mathrm {d} x}$

mindenki számára meghatározott. ${\ displaystyle f, g \ C ^ {0} ([a, b], \ mathbb {R})}$

A példa általánosításait lásd Prähilbertraum és Hilbertraum .

Frobenius dot termék mátrixokhoz

A mátrix terébe az igazi - mátrixok van az a ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m \ times n}}$${\ displaystyle (m \ n -szer)}$${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n}}$

${\ displaystyle \ langle A, B \ rangle = \ operatorname {spur} \ left (A ^ {T} B \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} \, b_ {ij}}$

skaláris terméket határoz meg. Ennek megfelelően, a tér komplex mátrixok által ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m \ times n}}$${\ displaystyle (m \ n -szer)}$${\ displaystyle A, B \ in \ mathbb {C} ^ {m \ times n}}$

${\ displaystyle \ langle A, B \ rangle = \ operatorname {spur} \ left (A ^ {H} B \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ bar {a}} _ {ij} \, b_ {ij}}$

skaláris terméket határoz meg. Ezt a skaláris terméket Frobenius skaláris terméknek, a hozzá tartozó normát pedig Frobenius normának nevezik .

Normál, szög és ortogonalitás

A vektor hossza az euklideszi térben általában megfelel a skaláris szorzatnak a skaláris szorzat által indukált normának . Ezt a normát úgy határozzuk meg, hogy a hosszúság képletét az euklideszi térből átvisszük a vektor skaláris szorzatának gyökereként önmagával:

${\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$

Ez azért lehetséges, mert a pozitív határozottság miatt nem negatív. A normál axiómaként előírt háromszög-egyenlőtlenség a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenségből következik${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle}$

${\ displaystyle \ left | \ langle x, y \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle.}$

Biztos így lehet ezt az egyenlőtlenséget is ${\ displaystyle x, y \ neq 0,}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {\ langle x, y \ rangle} {{\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}} \ cdot {\ sqrt {\ langle y, y \ rangle}}}} \ jobbra | \ leq 1}$

alakítsák át. Ezért általában valós vektor terekben is használható

${\ displaystyle \ varphi = \ arccos {\ frac {\ langle x, y \ rangle} {{\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}} \ cdot {\ sqrt {\ langle y, y \ rangle}}} }}$

határozza meg két vektor szögét . Az így meghatározott szög 0 ° és 180 ° között van, azaz 0 és között. Számos különböző definíció létezik a komplex vektorok közötti szögekre.${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ pi.}$

Általános esetben is azokat a vektorokat nevezzük ortogonálisnak, amelyek skaláris szorzata nulla:

${\ displaystyle x \ perp y \ Longleftrightarrow \ langle x, y \ rangle = 0}$

Mátrix kijelző

Van egy n-dimenziós vektor tér és egy bázis az ilyen, egyes pontok a egy ( ) - mátrix , a Gram mátrix , vannak leírva a skaláris szorzata. A bejegyzések az alapvektorok skaláris termékei: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle B = (b_ {1}, \ dotsc, b_ {n})}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle \ langle {\ cdot}, {\ cdot} \ rangle}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n \ alkalommal n}$ ${\ displaystyle G,}$

${\ displaystyle G = (g_ {ij}) _ {i, j = 1, \ dotsc, n}}$   a     számára${\ displaystyle g_ {ij} = \ langle b_ {i}, b_ {j} \ rangle}$${\ displaystyle i, j = 1, \ dotsc, n}$

A skalár terméket ezután képviselők segítségével alapján: Tegye a vektorok képviselete tekintetében alapján${\ displaystyle x, y \ in V}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \, b_ {i}}$   és   ${\ displaystyle y = \ összeg _ {j = 1} ^ {n} y_ {j} \, b_ {j},}$

tehát a valós esetben

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ left \ langle \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \, b_ {i}, \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {n} y_ {j} \, b_ {j} \ right \ rangle = \ összeg \ korlátok _ {i = 1} ^ {n} \ összeg \ határok _ {j = 1} ^ {n} x_ {i } \, y_ {j} \, \ langle b_ {i}, b_ {j} \ rangle = \ sum \ limits _ {i, j = 1} ^ {n} x_ {i} \, y_ {j} \ , g_ {ij}.}$

Az egyik a koordinátavektorokkal jelöl${\ displaystyle x_ {B}, y_ {B} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle x_ {B} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}}}$   és   ${\ displaystyle y_ {B} = {\ begin {pmatrix} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {n} \ end {pmatrix}},}$

szóval igaz

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum \ limits _ {i, j = 1} ^ {n} x_ {i} \, g_ {ij} \, y_ {j} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} & \ pontok & x_ {n} \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix} g_ {11} & \ pöttyök & g_ {1n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ g_ {n1} & \ pontok & g_ {nn} \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {n} \ end {pmatrix}} = x_ {B } {} ^ {T} Gy_ {B},}$

ahol a mátrix terméket eredményez egy mátrixot, azaz egy valós szám. Az akarat sorvektorral, amelyet a létrehozott oszlopvektorból transzponálással jelölünk . ${\ displaystyle (1 \ alkalommal 1)}$${\ displaystyle x_ {B} {} ^ {T}}$ ${\ displaystyle x_ {B}}$

Összetett esetben ugyanez vonatkozik

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum \ limits _ {i, j = 1} ^ {n} {\ overline {x}} _ {i} \, g_ {ij} \, y_ {j} = {\ begin {pmatrix} {\ overline {x}} _ {1} & \ pots & {\ overline {x}} _ {n} \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix} g_ {11 } & \ pöttyök & g_ {1n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ g_ {n1} & \ pöttyök & g_ {nn} \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix} y_ {1 } \ \\ vdots \\ y_ {n} \ end {pmatrix}} = x_ {B} {} ^ {H} Gy_ {B},}$

ahol a felülvonal összetett konjugációt jelöl, és az összekötendő vonalvektor . ${\ displaystyle x_ {B} {} ^ {H}}$${\ displaystyle x_ {B}}$

Ha van egy ortonormált bázis , azaz tart minden , és az összes, tehát a személyazonosság mátrix , és az általa birtokolt ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ langle b_ {i}, b_ {i} \ rangle = 1}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ langle b_ {i}, b_ {j} \ rangle = 0}$${\ displaystyle i \ neq j,}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \, y_ {i} = x_ {B} {} ^ {T} \, y_ {B} }$

a valós esetben és

${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {x}} _ {i} \, y_ {i} = x_ {B} {} ^ {H } \, y_ {B}}$

összetett esetben. Ami az ortonormális alapot illeti, a koordinátavektorok skaláris szorzata és így megfelel a szabványos skaláris szorzatnak , ill.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y \ in V}$${\ displaystyle x_ {B}}$${\ displaystyle y_ {B} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Lásd még

• Négy részből álló
• Félig belső termék
• Kettős párosítás

irodalom

• Gerd Fischer : Lineáris algebra. 15. kiadás. Vieweg Verlag, ISBN 3-528-03217-0 .
• Walter Rudin : Valódi és összetett elemzés . 2. továbbfejlesztett kiadás. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6 . 

web Linkek

• Információk és anyagok a skaláris termékről Baden-Württemberg felső szintű állami oktatási szerveréhez
• Joachim Mohr: Bevezetés a skaláris termékbe
• Videó: pont termék . Jörn Loviscach 2010, elérhetővé tette a Műszaki Információs Könyvtár (TIB), doi : 10.5446 / 9742 .
• Videó: pont termék és vektor termék . Jörn Loviscach 2011, elérhetővé tette a Műszaki Információs Könyvtár (TIB), doi : 10.5446 / 9929 .
• Videó: dot termék, 1. rész . Jörn Loviscach 2011, elérhetővé tette a Műszaki Információs Könyvtár (TIB), doi : 10.5446 / 10212 .
• Videó: Pont termék 2. része, ortogonalitás . Jörn Loviscach 2011, elérhetővé tette a Műszaki Információs Könyvtár (TIB), doi : 10.5446 / 10213 .
• Videó: A vektorokról és azok ponttermékéről - vektorszámítás 1. rész . Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, elérhetővé tette a Műszaki Információs Könyvtár (TIB), doi : 10.5446 / 17886 .

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Szinonimája:${\ displaystyle \ cos (\ varphi) = {\ frac {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}} {| {\ vec {a}} || {\ vec {b}} | }}}$
2. ^ Liesen, Mehrmann: Lineáris algebra . S. 168 . 
3. ^ Walter Rudin : Valódi és összetett elemzés . 2. továbbfejlesztett kiadás. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2009, ISBN 978-3-486-59186-6 , p. 91 . 
4. ^ Klaus Scharnhorst: Szögek összetett vektoros terekben . In: Acta Applicandae Math. Volume 69 , 2001, p. 95-103 .