Forradalmi test
Forgástest van a geometriája a test úgynevezett felülete által forgása egy generáló görbe körül forgástengelye van kialakítva (lásd a forgásfelület ). A forgástengelyt ábra tengelynek is nevezik . A görbe egy síkban fekszik, a tengely pedig ugyanabban a síkban fekszik. A forradalom jól ismert szilárdja a tórusz . Kör forgatásával jön létre . A kúpok és a hengerek is forognak.
A térfogat és a felület kiszámítása az úgynevezett Guldin-szabályok alapján ( Paul Guldin matematikusról és csillagászról kapta a nevét ). Már az ókorban ezeket baricentrikus szabályoknak vagy centrobár szabályoknak nevezték, és ezeket az alexandriai Pappos görög matematikus írta le .
A forradalom szilárd anyagának térfogatának kiszámítása
Ha a generáló görbe metszi a forgástengelyt, akkor fontolóra kell venni, hogy a megfelelő résztérfogatokat pozitív vagy negatív hozzájárulásokként kell-e számítani a teljes térfogathoz.
Forgatás a x -tengely
A függvény grafikonja által az intervallumban , az -tengelyen és a két egyenesen, valamint az -tengely körüli kör által határolt terület forgatásából származó szilárd forradalom esetén a térfogat kiszámításának képlete a következő:
Forgatás az y tengely körül
1. eset: "lemezintegráció"
A terület forgatásakor (az -tengely körül ), amelyet az intervallum függvényének grafikonja korlátoz , a -tengely és a két egyenes, és az egyiknek inverz függvényre kell átalakulnia . Ez akkor áll fenn, amikor folyamatos és szigorúan monoton . Ha nem (mint például a jobb oldali képen), akkor szakaszokra bontható, amelyek mindegyike folyamatos és szigorúan monoton. Ezután az e szakaszokhoz tartozó térfogatokat ki kell számolni és külön kell hozzáadni.
Ha itt helyettesít, akkor az -tengely körüli hangerőt kapja
- .
Az integrálhatárok abszolút értéke és a min / max függvények biztosítják a pozitív integrált.
2. eset: "héjintegráció" (henger módszer)
A terület forgatására (az -tengely körül ), amelyet az intervallum függvényének grafikonja korlátoz , az -tengely és a két egyenes, és a következő képlet érvényes:
Guldinian uralkodik
A Paul Guldin svájci matematikustól elnevezett két guldini szabály hatalmas mértékben lerövidíti a forradalmi tárgyak felületének és térfogatának kiszámítását, ha a forgó tárgyak vonalainak vagy területeinek súlypontja könnyen felismerhető az adott feladat szimmetriáinak felhasználásával. (lásd az alábbi példákat).
Megnevezések:
- = Felület
- = Kötet
- = A generáló vonal hossza (profilvonal)
- = A termelő terület területe
- = A súlypont kör sugara
- = A forgó kör sugara (tórusz példák)
Első szabály
A forgástömör olyan oldalsó felületének területe, amelynek forgástengelye nem metszik a generáló vonalat, megegyezik a generáló vonal hosszának (profilvonal) és a kör kerületének (a súlypont középpontjának) szorzatával, amelyet a profilvonal súlypontjának forgása generál:
A terület a generáló vonal függvényének függvényében kifejezve :
Amikor az x tengely körül forog
A mint -coordinate a sor súlypont a vonal és vonal elem megtalálható
- ,
amit a fenti eredmény képvisel, ha az intervallumhatárokat továbbra is alkalmazzák.
Ha az y tengely körül forog
A fenti térfogatszámításhoz hasonlóan a folytonos és szigorúan monoton szakaszok számítását is külön kell elvégezni, amelyekben az inverz függvény létezik.
Példa: Forgó tórus felülete :
Lásd még: oldalfelület
Második szabály
A forgási szilárd anyag térfogata megegyezik a generáló felület területének és a kör kerületének szorzatával, amelyet e felület súlypontjának forgása generál:
A következőkben a felület tengely körüli elfordulását vesszük figyelembe, a megdöntött forgástengely esete koordináta transzformációval érhető el. Abban az esetben, ha a felület tengelye körül a -tengely körül forog , a -tengely és a határértékek, és a centroidként történő használatkor kifejezett térfogatot eredményezik.
A és .
Példa: Forgó tórusz térfogata:
Paraméteres forma
Ha egy görbét által meghatározott parametrikus alakja egy intervallumot , a térfogat a szervek által létrehozott forgatásával a görbe az x-tengely vagy Y tengely által adott
Kepler hordószabálya
A Kepler hordószabály megadja
egy olyan test térfogatának közelítésére, amelynek keresztmetszeti területe három helyen ismert . Ha a test egy forradalmi test, a tengely körüli forgatásra a következők vonatkoznak :
Bizonyos forgástesteknél, mint a gömb , a kúp , a csonka kúp , a henger , a paraboloid , a fordulat hiperboloidja és a gömböcske, ezek a képlet , a pontos térfogata .
Lásd még
- A forradalom felülete
- Golyó
- kúp
- Csonka kúp
- henger
- A forradalom paraboloidja
- Rotációs hiperboloid
- A forradalom ellipszoidja
Egyéni bizonyíték
- Urt Kurt Magnus: Fonó . Elmélet és alkalmazások. Springer, Berlin, Heidelberg 1971, ISBN 978-3-642-52163-8 , pp. 44 .
- ^ Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjaew: Taschenbuch der Mathematik . 20. kiadás. Teubner; Nauka, Lipcse; Moszkva 1981, p. 369 f . (XII, 860).
- ↑ A. K. Sharma: Az integrálszámítás alkalmazása . Discovery Kiadó, 2005, ISBN 81-7141-967-4 , 168. o.
- ^ Ravish R. Singh: Mérnöki matematika , 6. sz. Kiadás, Tata McGraw-Hill, 1993, ISBN 0-07-014615-2 , 6.90.
web Linkek
- A forradalom szilárd anyagáról szóló irodalom a Német Nemzeti Könyvtár katalógusában
- Ronny Harbich: forradalom teste . ( Memento 2011. március 15-től az Internetes Archívumban ). Cím : Uni-Magdeburg.de. 2003 (PDF; 948 kB).