számítás

Az infinitezimális számítás egy olyan technika, amelyet Gottfried Wilhelm Leibniz és Isaac Newton önállóan fejlesztett ki a differenciál- és az integrálszámítás működtetésére. Ez biztosítja a módszer leírására funkciót következetesen a tetszőlegesen kicsi (azaz infinitezimális ) szakaszok . A végtelenül kis intervallumok számszerűsítésére tett korai kísérletek kudarcot vallottak az ellentmondások és a megosztottság paradoxonjai miatt.

A mai elemzéshez , amely határértékekkel és nem végtelenül kis számokkal működik , a kifejezést általában nem használják - az úgynevezett nem szabványos elemzésnél azonban az 1960-as évek óta következetes végtelen kis számítás létezik .

történelem

René Descartes és Bonaventura Cavalieri a végtelenül kis számítás fontos úttörői voltak . Descartes először algebra vagy aritmetikai műveletek alkalmazásával dolgozott ki módszereket geometriai problémák megoldására. Cavalieri felismerte, hogy a geometriai ábrák végtelenül kis elemekből állnak.

Gottfried Wilhelm Leibniz a 17. század hetvenes éveiben dolgozta ki a különbségek módszerét. A görbét végtelen sarokként értette, így egy érintőnek végtelenül kis távolságban kellett kereszteznie a görbét. Ezen a végtelenül kis tangens szakasz alatt egy végtelenül kis meredekségű háromszög található, amelyben a függvényértékek különbségei határozzák meg az érintő meredekségét.

Leibniz azt is felismerte, hogy a görbe alatti terület kiszámítása az inverz művelet a különbség kialakításához - más szavakkal: az integrálszámítás a differenciálszámítás inverze (például mínusz és plusz), vagy a terület kiszámításának problémája az inverz érintő probléma. Itt Leibniz a görbe alatti területet végtelenül keskeny téglalapok összegeként határozta meg.

Sir Isaac Newton angol tudós Leibnizzel nagyjából egy időben kidolgozta a végtelenül kis számítás elvét. A görbéket és vonalakat azonban Cavalieri értelmében nem végtelen számú pont sorozatának, hanem az állandó mozgás eredményének tekintette. A megnövelt vagy áramló mennyiséget folyékonynak , a nagyítás vagy a mozgás sebességét fluxusnak és így végtelenül kis időintervallumnak nevezte. Ez lehetővé tette számára, hogy meghatározza a mozgás sebességét a megtett út hossza alapján (azaz kiszámítsa a deriváltat), és fordítva, kiszámolja az út hosszát egy adott sebességtől (azaz létrehozza az antidivatívot).

Newton esetében a területeket nem a végtelenül kis részterületek összegeként határozták meg, hanem a levezetés fogalmát helyezték a középpontba. Így nagyon világos szabályokat tudott levezetni a mindennapi használatra. Leibnizhez képest koncepciójában azonban voltak fogalmi pontatlanságok.

Leibniz egy görbét nézett úgy, hogy létrehozta a lejtő háromszöget, és így megérkezett az érintőhöz. Newton viszont egy időpont mozgását nézte, végtelenül kicsivé tette az időintervallumot, így a mozgásnövekedés is eltűnik, és így lehetősége volt kiszámítani a deriváltat, vagyis a meredekséget egy ponton.

Leibniz 1684-ben tette közzé számítását, majd 1687-ben Newton követte, de Leibniz szimbólumrendszere érvényesült az elegáns írásmód és az egyszerűbb számítások miatt. Később Newton hívei megtámadták Leibnizet, mert ellopta Newton ötleteit kettejük 1676-os levelezéséből. Ez plágiumperhez vezetett, amelyet a Londoni Királyi Társaság bizottsága vizsgált 1712-ben . A Newton által befolyásolt bizottság hamisan bűnösnek találta Leibnizet. Ez a vita aztán évtizedekig feszítette az angol és a kontinentális matematikusok kapcsolatát. Manapság úgy Newton, mint Leibniz módszereit egymástól függetlenül fejlesztették ki.

A matematikai végtelenség filozófiai-matematikai vizsgálataival Nikolaus von Kues- t a végtelenül kis számítás úttörőjének tartják.

Kalkulus ma

Gödel teljességi tételéből és az abból eredő, „végtelen nagy„ természetes ”számokat ismerő „ nem standard modellből ” ihletve - Abraham Robinson az 1960-as évek elején kifejlesztett egy következetes végtelen kis számítást, amelyet ma többnyire nem szabványos elemzésnek neveznek. és amely Leibniz „Ötleteket épít.

Ma az infinitezimális elemzést alkalmazzák az alkalmazott matematika, a sztochasztika, a fizika és a közgazdaságtan egyes részein, például olyan matematikai modellek felépítéséhez, amelyek rendkívüli méretbeli különbségekkel képesek működni. Az atomfizika (gyakran intuitív) használatára példa az a megállapodás, miszerint a részecskék „végtelenül távol” vannak egymástól, ezért „szinte nem” befolyásolják egymást. A sztochasztika másik intuitívan helyes példája a tanulók és hallgatók által újra és újra tett kijelentés, miszerint egyes eseményeket "végtelenül kicsi", de valóban pozitív valószínűséggel kell kijelölni. A megfelelő eseménytereket infinitesimals segítségével modellezhetjük.

Lásd még

irodalom

  • S. Albeverio, JE Fenstad, R. Hoegh-Krohn, T. Lindstrom: Nem szabványos módszerek a sztochasztikus elemzésben és a matematikai fizikában . Academic Press, 1986.
  • CB Boyer: A számítás története és fogalmi fejlődése . Dover, New York 1949.
  • O. Deiser: Valós számok. A klasszikus folytonosság és a természetes következmények . Springer, Berlin, 2007.
  • W. Dunham: A kalkulus galéria. Remekművek Newton-tól Lebesgue-ig . Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2005.
  • CH Edwards Jr.: A kalkulus történeti fejlődése . Springer, New York, 1979.
  • Heinz-Jürgen Heß: A végtelenül kis számítás feltalálása . In: Erwin Stein , Albert Heinekamp (szerk.): Gottfried Wilhelm Leibniz - A nagy filozófus és egyetemes tudós munkája matematikusként, fizikusként, technikusként . Gottfried Wilhelm Leibniz Társaság, Hannover 1990, 24–31. ISBN 3-9800978-4-6 .
  • H.-N. Jahnke (szerk.): Elemzés története . Spektrum, Heidelberg, 1999.
  • H. Kaiser / W. Nöbauer: Matematikatörténet . Oldenbourg, 2003, 202–263.
  • H.-H. Körle: Az elemzés fantasztikus története. Problémáik és módszereik Demokritosz és Archimédész óta. Ezen felül a mai alapfogalmak . Oldenbourg, München, 2009.
  • Kordos M.: A matematika történetének áttekintése . 1999.
  • D. Laugwitz: Számok és folytatás . BI, Mannheim 1986.
  • A. Robinson: Nem szabványos elemzés . 1966.
  • K. Volkert: Az elemzés története . BI, Mannheim 1988.
  • W. Walter: 1. elemzés . Springer, Berlin 1997.