Felírt kör

A beírt körének a sokszög (poligon) az euklideszi síkban van a kör , amely érinti mind a sokszög oldalainak a belsejében (azaz, hogy megérinti a sorok között a sarokpontokat , és nem a kiterjesztések). Ez egyben a legnagyobb kör, amely teljesen az adott sokszögben fekszik.

Csak azok a poligonok, amelyben az összes szögfelezői a belső szöge a poligonok metszi egy ponton van egy beírt kör. Ebben az esetben a metszéspont a beírt kör középpontja.

Ha a beírt kör egy sokszög létezik területe és kerülete , a beírt sugár értéke ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle r = {\ frac {2A} {u}}}$.

Egy háromszög beírt köre

A beírt kör a háromszög geometriában különösen fontos . Minden háromszögnek van egy beírt köre, középpontja a három felező metszéspontjában fekszik. Ha körvonalat rajzol a kereszteződés ezen pontja köré, amely a háromszög egyik oldalát érinti (az oldal a felírt kör érintőjévé válik ), akkor ez a kör érinti a másik két oldalt is.

A belső szög felezőjének minden pontja azonos távolsággal rendelkezik az oldalaktól és . Ennek megfelelően a felezővonalak pontjainak távolsága és távolsága azonos . Ennek a két felezőnek a metszéspontja azonos távolsággal rendelkezik a háromszög mindhárom oldalától ( , és ). Tehát a harmadik felezőn is kell lennie. ${\ displaystyle \ alpha = \ szög BAC}$${\ displaystyle [AB]}$${\ displaystyle [CA]}$${\ displaystyle \ beta = \ szög CBA}$${\ displaystyle [BC]}$${\ displaystyle [AB]}$${\ displaystyle [AB]}$${\ displaystyle [BC]}$${\ displaystyle [CA]}$

A beírt kör mindhárom oldalt belülről érinti - ellentétben a három körrel , amelyek az egyik oldalt kívülről, a másik két oldal meghosszabbítását érik.

A felírt középpont, vagyis a felező metszéspontja a háromszög egyik legkiemelkedőbb pontja . Ő viseli a Kimberling számot . ${\ displaystyle X_ {1}}$

sugár

Ha a terület a háromszög oldalai van , és , majd a sugara a beírt kör számítjuk szerint: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle r = {\ frac {2A} {a + b + c}} = {\ sqrt {\ frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}}}$

Val vel

${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}} = {\ frac {u} {2}}}$

A háromszög területének kiszámításához a Heron-tétel képletét használtuk. ${\ displaystyle A}$

A háromszög megadott paramétereitől függően a következő összefüggés érdekes:

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {\ cot \ left ({\ frac {\ beta} {2}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {\ gamma} {2}} \ jobb )}} = {\ frac {b} {\ cot \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {\ gamma} {2}} \ right) }} = {\ frac {c} {\ cot \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) + \ cot \ left ({\ frac {\ beta} {2}} \ right)} }}$

Koordináták

A beírt középpont derékszögű koordinátáit az ellentétes oldalak hosszával súlyozott sarokkoordináták átlagaként számoljuk ki. Ha a három pontját vannak , és , és az oldalán, szemben a sarokpontok van hosszúságú , és , akkor az in-kör középpont itt${\ displaystyle (x_ {A} / y_ {A})}$${\ displaystyle (x_ {B} / y_ {B})}$${\ displaystyle (x_ {C} / y_ {C})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle I (x_ {I} / y_ {I})}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {ax_ {A} + bx_ {B} + cx_ {C}} {a + b + c}} / {\ frac {ay_ {A} + by_ {B} + cy_ { C}} {a + b + c}} \ jobbra)}$

Koordinátákat baricentrikus koordináták : , ${\ displaystyle (a: b: c)}$

Koordinátákat trilinear koordináták : . ${\ displaystyle (1: 1: 1)}$

Egyéb tulajdonságok

• A távolság a sarokban A és az egyik szomszédos kapcsolattartó pontok a beírt kör ugyanaz ; itt a kerület felét jelenti, mint fent. Ugyanez vonatkozik a B és C csúcsokra is .${\ displaystyle sa}$${\ displaystyle s}$
• A háromszög sarkait a beírt kör ellentétes érintkezési pontjaival összekötő egyenesek egy pontban, a Gergonne-pontban keresztezik egymást .
• A trident elve kapcsolatot teremt a kerület és a beírt kör között.

Egy derékszögű háromszög beírt köre

Ha van egy derékszögű háromszög az euklideszi síkban, részletesebb információt lehet adni egy ilyen háromszög beírt köréről.

A beírt kör sugara

Abban az esetben, egy derékszögű háromszög oldalsó hosszúságú , és , amennyiben a hossza átfogója legyen, két egyszerű egyenletek adható a beírt sugara , melyek a következők: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle r = {\ frac {a \ cdot b} {a + b + c}} = {\ frac {a + bc} {2}}}$.

Terület képlet

A tangenciális pont , amelynél a átfogója érinti a beírt kör osztja ezt a szakaszok a hosszúságok

${\ displaystyle x = ar}$

és

${\ displaystyle y = br}$.

Ez akkor vonatkozik a derékszögű háromszög területére ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = {\ frac {a \ cdot b} {2}} = (ar) \ cdot (br) = x \ cdot y}$.

Egyéb sokszögek körvonalai

Bár mindig van háromszögekkel ellátott felírt kör, ez csak különleges esetekben vonatkozik a háromnál több sarokkal rendelkező sokszögekre.

A beírt körrel rendelkező négyszögeket tangens négyszögeknek nevezzük . Ezek közé tartozik az összes domború sárkánymező , különösen az összes rombusz és négyzet .

A szabályos sokszögeknek mindig van egy beírt körük, függetlenül a sarkok számától. Az alábbiak vonatkoznak az oldalhosszú szabályos sarok behatolási sugarára : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {2}} \ cot {\ tfrac {180 ^ {\ circ}} {n}} = {\ frac {a} {2 \ tan {\ frac {180 ^ { \ circ}} {n}}}}}$

Lásd még

• Sugár
• Kör
• Körök a háromszögön
• Incugel

irodalom

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Varázslatos bizonyítékok: Utazás a matematika eleganciáján keresztül . Springer Spectrum, Berlin (többek között) 2013, ISBN 978-3-642-34792-4 . 
• HSM Coxeter , SL Greitzer: Időtlen geometria. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0 .
• Max Koecher , Aloys Krieg : szint geometria. 3., átdolgozott és kibővített kiadás. Springer-Verlag, Berlin a. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3 .

web Linkek

• Walter Fendt: A háromszög beírt körét lépésről lépésre rajzoljuk meg
• Eric W. Weisstein : Inkreis . In: MathWorld (angol).
• Flash animáció a háromszög bejárati felépítéséhez (dwu tananyagok)

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Varázslatos bizonyítékok: Utazás a matematika eleganciáján keresztül. 2013, 89–90