Kommutatív törvény
A kommutatív törvény ( Latin commutare „hogy swap”), a német jogban a csere, egy szabály matematika . Ha ez érvényes, akkor egy művelet argumentumai felcserélhetők az eredmény megváltoztatása nélkül. A kommutatív törvény hatálya alá tartozó matematikai műveleteket kommutatívnak nevezzük .
A kommutatív törvény alkotja az algebra alapszabályait az asszociatív törvénnyel és a disztributív törvénnyel .
Formális meghatározás
Legyen és mennyiség. A bináris kapcsolatot kommutatívnak nevezzük, ha az egyenlőség mindenkire érvényes.
Példák és ellenpéldák
Valós számok
Mert valós számok mindig tart
és
- ,
az összeadás és szorzás műveletei kommutatívak. Az első képletet az összeadás kommutatív törvényének, a szorzás második kommutatív törvényének is nevezik . A valós számok kivonása és felosztása viszont nem kommutatív műveletek. A hatványozás szintén nem kommutatív ( ellenpélda).
Az összeadás kommutatív törvényének legrégebbi ismert formája az okos farkas és a kilenc hülye farkas sumér meséje .
Scalar termékek
- A valódi vektortér skaláris szorzata kommutatív, tehát mindig tart .
- A skaláris szorzat egy komplex vektortérben viszont nem kommutatív, inkább alkalmazható , az overline jelöli a komplex konjugációt .
Művelet beállítása
A halmazelméletben az unió és a metszéspont kommutatív műveletek; a halmazokra mindig az alábbiak érvényesek:
- (Unió)
- (Vágott)
Ezzel szemben a különbség nem kommutatív. és így néha különböző mennyiségek, pl. B. és mert, mert akkor lenne és .
Mátrixszámítás
A hozzáadott mátrixok több mint egy gyűrűt , vagy test kommutatív. A mátrixszorzás azonban nem kommutatív: Bár a tényezők néha, de nem mindig felcserélhetők.
A mátrixok skalárral való szorzása és a mátrix szorzása az átlós mátrixok algyűrűjében szintén kommutatív .
Csoportelmélet
Általánosságban azt a csoportot , amelyben a csoportelemek kapcsolata kommutatív, Abelinek nevezzük .
Propozíciós logika
A propozíciós logika az összekötőkre vonatkozik :
- ("Vagy") kommutatív.
- („És”) kommutatív.
- (" Logikai egyenértékűség ") kommutatív.
- ("Ha ..., akkor ..."; lásd implikációt ) nem kommutatív.
További példák
A nem kommutatív műveletek további példái a vektorterekben lévő kereszttermék vagy a kvaternerek szorzata .
A kommutativitás a kvantummechanikában is fontos alaptulajdonság , két megfigyelhető kommutálása fizikailag azt jelenti , hogy pontosan egy időben mérhetők . Nem minden megfigyelhető ingázik.
Anti-kommutativitás
Egyes két művelettel rendelkező struktúrákban, például a vektorterek kereszttermékében a kommutatív törvény nem érvényes, hanem egyfajta ellentéte :
- .
Általánosabban, a terméket Lie algebra írásbeli mint kielégíti anti-kommutativitás.
Megjegyzések
A kommutativitás, amely lehetővé teszi az argumentumok cseréjét egy műveletben , hasonló a kapcsolatok szimmetriatulajdonságához, amely lehetővé teszi az összehasonlított elemek cseréjét a reláció tekintetében : csak akkor és csak akkor .
A rugalmassági törvény alternatív lehetőséget kínál a link "zárójelezésére" :
Lásd még
irodalom
- Forster Ottó : egy változó differenciál- és integrálszámítása. (Analysis, 1. kötet). 10. kiadás. Verlag Vieweg & Teubner, Braunschweig 2011, ISBN 978-3-8348-1251-3 .