Lineáris algebra

A lineáris algebra (beleértve a vektor algebrát is ) a matematika olyan ága, amely vektortérekkel foglalkozik, és lineáris térképeket alkalmaz közöttük. Ez magában foglalja különösen a lineáris egyenletrendszerek és mátrixok figyelembevételét .

A vektorterek és azok lineáris leképezése fontos eszköz a matematika számos területén. A tiszta matematikán kívül az alkalmazások megtalálhatók a természettudományokban , az informatikában és a közgazdaságtanban (például az optimalizálásban ).

A lineáris algebra két konkrét követelményből merült fel: egyrészt a lineáris egyenletrendszerek megoldása, másrészt a geometriai objektumok matematikai leírása, az úgynevezett analitikai geometria ( ezért nevezik egyes szerzők a lineáris algebrát lineáris geometria ).

történelem

Az algebra kezdetei és így maga a kifejezés is a lehető legmesszebbmenőkig nyúlik vissza a perzsa korezmás matematikushoz , csillagászhoz , geográfushoz és Al-Khwarizmi polihisztorhoz , akinek műveit arab nyelvre kellett fordítania az iráni iszlamizáció és így tovább név „al-jabr” jött. Az algebra kifejezés ebből származik.

Míg az algebra kifejlesztése az ókori Egyiptomban kezdődött, a lineáris algebra mint önálló részterület fejlesztése csak a 17. században kezdődött a determináns elméletével . Ennek az elméletnek a kidolgozását Gottfried Wilhelm Leibniz és Seki Takakazu önállóan kezdték meg . 1750-ben Gabriel Cramer közzétette a róla elnevezett Cramer- szabályt . Ez volt az első alkalom, hogy sok lineáris egyenletrendszer megoldási képlete volt birtokában.

A modern lineáris algebra története 1843 és 1844 évekre nyúlik vissza. 1843-ban William Rowan Hamilton (akitől a vektor kifejezés származik) komplex számok bővítését tervezte meg a kvaternerekkel . 1844-ben Hermann Graßmann kiadta Die lineale expansion theory című könyvét . Arthur Cayley ezután az egyik legalapvetőbb algebrai ötletet mutatta be 1857-ben a mátrixokkal. ${\ displaystyle (2 \ alkalommal 2)}$

A 20. századtól kezdve az emberek többsége a vektortér fogalmával foglalkozott . Különösen August Ferdinand Möbius , Constantin Carathéodory és Hermann Weyl matematikusok végezték ennek előkészítését. Például azt találták, hogy a végesdimenziós vektorterek közötti lineáris leképezéseket mátrixokkal lehet leírni. Ezen ismeretek alapján Stefan Banach volt az első, aki axiomatikus definíciót adott a valós vektorterek számára.

Lineáris egyenletrendszerek

A lineáris egyenletrendszer a típusú egyenletek kombinációja

${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = 1}$

${\ displaystyle 3x_ {1} + 6x_ {2} = 4}$

Az ilyen egyenletrendszereket sok mindennapi kérdés kapja meg, például:

Milyen arányban kell összekevernie egy 30% -os oldatot (megfelel ) és egy 60% -os oldatot (megfelel ), hogy 40% -os oldatot kapjon?${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

A lineáris algebra alapvető absztrakciós lépése a bal oldal megértése az ismeretlenek függvényében (ebben az esetben a megfelelő megoldások halmaza): ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2})}$

${\ displaystyle A (x) = {\ kezdete {pmatrix} x_ {1} + x_ {2} \\ 3x_ {1} + 6x_ {2} \ end {pmatrix}}}$

Ezután az oldatot az egyenletrendszert válik a probléma: Keress egy ilyen , hogy ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle A (x) = {\ kezdete {pmatrix} 1 \\ 4 \ end {pmatrix}}}$

vonatkozik. Az felülírás csak formalizmus annak érdekében, hogy egyszerre több számmal is foglalkozni lehessen.

Ahelyett, hogy egyszerűen felírná a releváns számokat téglalap alakban, és az objektumot mátrixnak nevezné : ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = {\ elején {pmatrix} 1 és 1 \\ 3 és 6 \ vége {pmatrix}}}$

Láthatja, hogy a függvény speciális tulajdonságokkal rendelkezik, ez egy lineáris leképezés . Ha van megoldás az egyenletrendszerre és megoldás az egyenletrendszerre , akkor az van ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A (x) = b}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle A (y) = c}$

${\ displaystyle z = x + y = {\ begin {pmatrix} x_ {1} + y_ {1} \\ x_ {2} + y_ {2} \ end {pmatrix}}}$

megoldása . Azt is megírhatja a formában . Ha tovább is minden valós szám , akkor van ; van ${\ displaystyle A (z) = b + c}$${\ displaystyle A (x + y) = A (x) + A (y)}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A (\ lambda x) = \ lambda \ cdot A (x)}$

${\ displaystyle \ lambda x = {\ begin {pmatrix} \ lambda x_ {1} \\\ lambda x_ {2} \ end {pmatrix}}}$.

Analitikai geometria

A lineáris algebra másik eredete a 2- és 3-dimenziós (euklideszi) tér aritmetikai leírásában található, más néven "vizuális tér". Koordináta-rendszer segítségével a tér pontjai számhármasokkal írhatók le. Az elmozdulás leképezési típusa a vektor fogalmához vezet , amely jelzi az elmozdulás irányát és nagyságát. Számos fizikai mennyiségnek , például erőknek mindig van ilyen irányú aspektusa. ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

Mivel vektorok is leírható a tripletek a számok , az elválasztás közötti vektorok és pontok elmosódott: egy pont pozíciójának megfelelő vektorba , amely pontokat az eredetét a koordináták . ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$

A klasszikus geometriában figyelembe vett térképezési típusok közül sok, például a tengelyek körüli forgások az origón keresztül vagy a reflexiók a origón keresztüli síkon, a lineáris leképezés osztályába tartoznak , amelyet már fentebb említettünk.

Vektorterek és lineáris algebra

A vektortér fogalma a fenti példák absztrakciójaként merül fel: A vektortér egy halmaz, amelynek elemeit vektoroknak nevezzük, a

• vektorok összeadása
• a vektorok szorzata egy rögzített test elemeivel , az úgynevezett skaláris szorzás (külső szorzás).

Ennek az összeadásnak és a skaláris szorzásnak még teljesítenie kell néhány egyszerű tulajdonságot, amelyek a vizuális tér vektoraira is vonatkoznak.

Mondhatnánk, hogy a vektorterek pontosan definiáltak, így lineáris leképezésekről lehet beszélni közöttük.

Bizonyos szempontból a vektortér fogalma már túl általános a lineáris algebra számára. Minden vektortérhez dimenzió rendelhető, például a síknak van dimenziója , a vizuális térnek pedig dimenziója van . De vannak olyan vektorterek, amelyek méretei nem végesek, ami azt jelenti, hogy az ismert tulajdonságok közül sok elvész. Nagyon sikeresnek bizonyult azonban a végtelen dimenziós vektorterek további topológiai struktúrával való felszerelése ; a topológiai vektorterek vizsgálata a funkcionális elemzés tárgya . ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 3}$

(A cikk további része a véges dimenziók esetével foglalkozik.)

Fontos mondatok és eredmények

Minden vektortérnek van legalább egy alapja . A vektortér minden két bázisának azonos számú eleme van; csak ezért van értelme egy vektortér dimenziójáról beszélni. Az alterek összesítése és átlaga esetén a valódi dimenzióképlet és a tényezőterek dimenziói képlet . ${\ displaystyle \ dim V / U = \ dim V- \ dim U}$

Minden lineáris leképezést egyedileg definiálunk a képek alapján történő megadásával . A homomorfizmus-tétel és a rang- tétel a lineáris leképezésekre vonatkozik . A lineáris leképezéseket mátrixokkal lehet ábrázolni a rögzített alapokhoz viszonyítva . A lineáris képek egymás utáni végrehajtása megfelel reprezentációs mátrixuk szorzásának . ${\ displaystyle f \ kettőspont V \ - W}$${\ displaystyle V}$

Egy lineáris egyenletrendszer a , és megoldható, ha, és csak akkor, ha a helyezés az a mátrix megegyezik a rangot a kiterjesztett együttható mátrix . Ebben az esetben a megoldás halmaza a rendszer egy affin altér az a dimenzió . A nem túl nagy egyenletrendszerek esetében a rangsorolás és a megoldási tér kiszámítása elvégezhető a Gauss-eliminációs módszerrel. ${\ displaystyle A \ cdot x = b}$${\ displaystyle A \ in \ mathbb {K} ^ {{m} \ szor {n}}}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {K} ^ {m}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A & b \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$${\ displaystyle n- \ mathrm {rank} (A)}$

A véges dimenziós vektortér lineáris leképezése (azaz endomorfizmusa ) már megfordítható, ha az injektív vagy surjektív. Ismét ez a helyzet akkor és csak akkor, ha annak meghatározója nem egyenlő nullával. Ebből következik, hogy az endomorfizmus sajátértékei pontosan a jellegzetes polinom nullái . Egy másik fontos megállapítás a jellegzetes polinomról a Cayley-Hamilton tétel . ${\ displaystyle f \ kettőspont V \ - V}$${\ displaystyle V}$

Az endomorfizmus (vagy egy négyzetmátrix) akkor és csak akkor lehet diagonalizálható, ha a jellegzetes polinom lineáris tényezőkre bomlik, és mindegyik sajátérték esetén algebrai sokszorossága megegyezik a geometriai sokasággal, azaz a sajátérték nulla sorrendjével a jellegzetes polinomban egyenlő a kapcsolódó eigenspace dimenziójával . Ezzel egyenértékű a vektortér alapja, amely a lineáris leképezés sajátvektoraiból áll. Az entomorfizmusok, amelyeknek jellegzetes polinomját lineáris tényezőkre bontjuk, továbbra is trigonalizálhatók , így háromszög mátrix képviselhetik őket . Valamivel mélyebb eredmény, hogy az ábrázoló mátrix akár jordán normál formába is hozható .

A vektor terek, amelyen van is egy skalár termék , a norma használják meghatározásához. Ezekben a skaláris termékterekben mindig léteznek ortonormális bázisok , amelyeket például a Gram-Schmidt ortonormalizációs módszerrel lehet felépíteni. A vetítési tétel szerint ezekben a terekben a legjobb közelítést ortogonális vetítéssel lehet meghatározni egy alvektor-térből . ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle \ | x \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$

A skaláris termékterekben az endomorfizmusok átlósíthatóságát illetően felmerül a kérdés, hogy létezik- e sajátvektorokból származó ortonormális alap . Ennek központi eredménye a spektrumtétel . Különösen a következő áll fenn valós esetben: Minden szimmetrikus mátrixhoz tartozik egy ortogonális mátrix , tehát egy átlós mátrix. Ezt az eredményt másodfokú alakokra alkalmazva megkapjuk a főtengely-transzformáció elvét . ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} ^ {{n} \ szor {n}}}$ ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q ^ {T} AQ}$

A bilinear és sesquilinear ábrázolhatók rögzített választott bázisok mátrixaival is. A bilináris forma szimmetrikus és pozitív határozott , azaz skaláris szorzat, csak akkor, ha az ábrázoló mátrixa szimmetrikus és pozitív határozott. Egy szimmetrikus mátrix akkor és akkor pozitív, ha összes sajátértéke pozitív. Általában Sylvester törvénye a tehetetlenség vonatkozik szimmetrikus bilineáris formák és Hermitian sesquilinear formák , amely kimondja, hogy a számos pozitív és negatív sajátértékei a képviselő mátrixok nem függ a választott alapján.

Vektorok és mátrixok

A végesdimenziós terek vektorait komponenseikkel leírhatjuk, amelyek (az alkalmazástól függően) oszlopvektorként

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \ end {pmatrix}}}$

vagy vonal vektor

${\ displaystyle \ mathbf {b} = {\ kezdés {pmatrix} 4 & 6 & 3 & 7 \ end {pmatrix}}}$

írandó. Gyakran a vonalvektorokat T felső indexgel jelölik átültetni , mint pl . ${\ displaystyle b ^ {T}}$

Az irodalomban a vektorokat különböző módon különböztetik meg a többi mennyiségtől: kisbetűket, félkövéren kisbetűket, aláhúzott kisbetűket, fölött nyíllal ellátott kisbetűket vagy kis Fraktur betűket használnak. Ez a cikk kisbetűket használ.

A mátrixot számok „rács” jelöli. Itt egy négy sorból és három oszlopból álló mátrix:

${\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ begin {pmatrix} 8 & 2 & 9 \\ 4 & 8 & 2 \\ 8 & 3 & 7 \\ 5 & 9 & 1 \ end {pmatrix}}}$

A mátrixokat többnyire nagybetűvel jelöljük.

Oszlopvektorok esetén a vektor egyes elemeit általában index jelöli: A vektor fent megadott második eleme ez lenne . A sorvektorokban időnként egy kitevőt használnak, amikor arra kell vigyázni, hogy van-e vektor indexelés vagy kitevő : A fenti példánál kb . A mátrix elemeket két index jelzi. Az elemeket kisbetűvel ábrázoljuk: a harmadik oszlop második sorában található elem (a „második sor harmadik oszlopában” helyett, mert ez megkönnyíti az olvasást). ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a_ {2} = 7}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b ^ {4} = 7}$${\ displaystyle m_ {2,3} = 2}$${\ displaystyle m_ {2,3}}$

Ezeknek a szerkezeteknek az általánosított fogalma a tenzor , a skalárok nulladik rendű tenzorok, a vektorok első rendű tenzorok, a mátrixok másodrendű tenzorok. Az -rendû tenzort egy -dimenziós számkocka képviselheti . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Gyakran szükség van a mátrixok speciális alakra hozatalára elemi vonaltranszformációk vagy alapváltozások segítségével . Különösen fontos a háromszög alakú , az átlós és a jordániai normál alak .

Endomorfizmusok és négyzetmátrixok

Lineáris leképezés megjelenítésekor - a Mátrix alatt leírtak szerint - a véges dimenziós vektortér saját magára történő lineáris leképezésének speciális esete van (úgynevezett endomorfizmus ). Ugyanez az alap használható az eredeti kép- és képkoordinátákhoz, és négyzetmátrixot kapunk úgy, hogy a lineáris leképezés alkalmazása megfeleljen a bal szorzásnak . A és függőség kifejezésére a helyesírást, például vagy használják . Ennek a leképezésnek a kétszeri egymás utáni végrehajtása megfelel az stb. Szorzásnak, és az összes polinomiális kifejezés (a hatványok többszörösének összegével ) a vektortér lineáris leképezésének tekinthető. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle A = M_ {v} (f)}$${\ displaystyle A = {} _ {v} f_ {v}}$${\ displaystyle A ^ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Megfordíthatatlanság

A számok számítási szabályához hasonlóan a négyzetmátrix zeroth ereje az átlós mátrix ( egységmátrix ), az átlón lévőkkel és amelyben az összes fennmaradó elem nulla, megfelel az egyes vektorok önmagának feltérképezésének A négyzetmátrix negatív teljesítményeit csak akkor lehet kiszámítani, ha az által megadott lineáris leképezés invertálható, vagyis nincs két különböző vektor és egyazon vektorhoz leképezve . Más szavakkal, van egy invertálható mátrixod, amely mindig követi a lineáris rendszert, így csak a megoldás lehet. Egy invertálható mátrix van egy inverz mátrixot a . ${\ displaystyle x ^ {0} = 1}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle Au_ {1} = Au_ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle u_ {1} -u_ {2} \ neq 0}$${\ displaystyle A (u_ {1} -u_ {2}) \ neq 0}$${\ displaystyle Au = 0}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$${\ displaystyle A ^ {- 1} A = AA ^ {- 1} = E}$

Meghatározó tényezők

A determináns egy olyan speciális függvény, amely számot rendel egy négyzetmátrixhoz. Ez a szám információt ad a mátrix egyes tulajdonságairól. Például fel lehet használni annak azonosítására, hogy egy mátrix megfordítható-e. Egy másik fontos alkalmazás a jellegzetes polinom és így a mátrix sajátértékeinek kiszámítása .

A determinánsok kiszámításához vannak zárt képletek, például Laplace tágulási tétele vagy Leibniz képlete . Ezek a képletek azonban inkább elméleti értéket képviselnek, mivel erőfeszítéseik erőteljesen nőnek nagyobb mátrixokkal. A gyakorlatban a determinánsok kiszámításának legegyszerűbb módja a Gauss-algoritmus használata a mátrix átalakítására felső vagy alsó háromszög alakúra; a determináns ekkor egyszerűen a fő átlós elemek szorzata .

példa

A fenti kifejezéseket a Fibonacci-szekvencia által motivált példával kell tisztázni.

Hatásszámítás átlósítással

A Fibonacci rekurzívan leíró egyenletek , valamint a , ami egyet jelent a ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f_ {0} = 0}$${\ displaystyle f_ {1} = 1}$${\ displaystyle f_ {n + 1} = f_ {n} + f_ {n-1}}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle {f_ {1} \ select f_ {0}} = {1 \ select 0}}$

és

${\ displaystyle {f_ {n + 1} \ select f_ {n}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {f_ {n} \ select f_ {n -1}} \ quad {\ text {for}} \ quad n \ geq 1}$,

amelyből iterációval a nem rekurzív képletet

${\ displaystyle {f_ {n + 1} \ select f_ {n}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ^ {n} \ cdot {1 \ select 0} \ quad {\ text {for}} \ quad n \ geq 0}$

következik, amelyben egy mátrix hetedik ereje következik be. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$

Egy ilyen mátrix magatartását hatványozáskor nem könnyű meglátni; másrészt a diagonális mátrix hetedik teljesítményét egyszerűen úgy számolják, hogy az egyes átlós bejegyzéseket a hatványra emelik. Ha van invertálható mátrix , így annak átlós formája van, akkor a hatványozása az egyenlet szerint átlós mátrix hatványozására redukálható ( ennek az egyenletnek a bal oldala ekkor az átlós mátrix -nak a hatványa). Általában, a viselkedését (a hatványozást, hanem más műveletek) lehet több könnyen felismerhető által diagonalizing mátrix. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T ^ {- 1} AT}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (T ^ {- 1} AT) ^ {n} = T ^ {- 1} A ^ {n} T}$${\ displaystyle n}$

Ha az ember megérti a lineáris leképezés mátrixát , akkor az átalakulási mátrix az alapváltoztatási mátrix egy másik bázishoz , vagyis (amikor az identitás- leképezés minden vektort magához térképez). Akkor mégpedig . ${\ displaystyle A = {} _ {v} f_ {v}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle v '}$${\ displaystyle T = {} _ {v} e_ {v '}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle T ^ {- 1} AT = {} _ {v '} f_ {v'}}$

A fenti példában olyan transzformációs mátrix található, amely ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T ^ {- 1} \ cdot A \ cdot T = {\ begin {pmatrix} \ phi & 0 \\ 0 & 1- \ phi \ end {pmatrix}}}$

egy átlós mátrix, amelyben az aranyarány bekövetkezik. Ebből végül megkapjuk Binet képletét : ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

${\ displaystyle f_ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ left [\ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right ) ^ {n} - \ balra ({\ frac {1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ jobbra) ^ {n} \ jobbra]}$

Sajátértékek

Hogyan juthat el a mátrixtól a számig ? Az ember azonnal felismeri az átlós mátrixból ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ phi & 0 \\ 0 & 1- \ phi \ end {pmatrix}} \ cdot {1 \ select 0} = {\ phi \ select 0}}$,

ami azt jelenti, hogy egy vektor egyenlő a nullával, ha az átlós mátrixot szorozzuk komponensenként szorozva: (pontosabban összehasonlítható a -facht) . Ezen tulajdonság miatt a számot a mátrix sajátértékének nevezzük ( sajátvektorral ). Átlós mátrixok esetén a sajátértékek megegyeznek az átlós bejegyzésekkel. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle (T ^ {- 1} AT) u = \ phi u}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle T ^ {- 1} AT}$ ${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ phi}$de az eredeti mátrix sajátértéke is (sajátvektorral , mert ), a sajátértékek változatlanok maradnak, amikor a mátrix átalakul. A mátrix átlós alakja a sajátértékekből adódik, és a sajátértékek megtalálásához meg kell vizsgálni, hogy a lineáris egyenletrendszer mely számokra rendelkezik nullától eltérő megoldással (vagy más szavakkal, a mátrix nem megfordítható). ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle Tu}$${\ displaystyle A (Tu) = \ phi (Tu)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Au = xu}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle xE-A}$

A keresett számok pontosan azok, amelyek nullává teszik a mátrix determinánsát . Ez determináns egy polinomiális expressziót (az úgynevezett karakterisztikus polinomja a ); a fent említett 2 × 2 mátrix esetében ez adja meg a másodfokú egyenletet a két megoldással és . A kapcsolódó sajátvektorok a lineáris egyenletrendszerek megoldásai, vagy ezek alkotják az átalakulási mátrix oszlopait . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle xE-A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0}$${\ displaystyle x = \ phi}$${\ displaystyle x = 1- \ phi}$${\ displaystyle Au = \ phi u}$${\ displaystyle Au = (1- \ phi) u}$${\ displaystyle T}$

Átlósíthatóság

Az, hogy egy mátrix átlósítható-e, az alkalmazott számtartománytól függ. nem lehet átlósítani például a racionális számok fölött , mert a sajátértékek és az irracionális számok. Az átlósíthatóság a számtartománytól függetlenül is kudarcot vallhat, ha nincs „elég” sajátérték; így van a Jordan alakmátrix is ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle 1- \ phi}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

csak a sajátérték (a másodfokú egyenlet megoldásaként ), és nem átlósítható. Kellően nagy számtartomány mellett (például a komplex számok fölött ) azonban minden mátrix átlósítható vagy transzformálható jordán normál alakúra . ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle (x-1) ^ {2} = 0}$

Mivel egy mátrix transzformációja megfelel a lineáris leképezés alapjának változásának, ez az utolsó állítás azt jelenti, hogy egy kellően nagy számtartományú lineáris leképezéshez mindig lehet választani egy "egyszerű módon" leképezett bázist: Átlósodás esetén minden alapvektor többszörösévé válik (ezért sajátvektor); a Jordan forma esetében önmagának többszörösének, plusz esetleg az előző bázisvektornak. A lineáris leképezés ezen elmélete olyan testekre is általánosítható, amelyek nem „elég nagyok”; bennük a jordán forma mellett más normális formákat is figyelembe kell venni (például a Frobenius normális alak ).

irodalom

• Howard Anton: Lineáris algebra. Spectrum Academic Publishing, Heidelberg, ISBN 978-3-827-40324-7 .
• Albrecht Beutelspacher: Lineáris algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 978-3-658-02412-3 .
• Siegfried Bosch: Lineáris algebra. Springer tankönyv, ISBN 978-3-540-76437-3 .
• Egbert Brieskorn: Lineáris algebra és analitikai geometria. 1. kötet, Vieweg-Verlag, 2012, ISBN 978-3-322-83175-0 .
• Egbert Brieskorn: Lineáris algebra és analitikai geometria. 2. kötet, Vieweg-Verlag, 1985, ISBN 978-3-528-08562-9 .
• Theodor Bröcker: Lineáris algebra és analitikai geometria. Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-764-37144-9 .
• Gerd Fischer: Lineáris algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 978-3-658-03944-8 .
• Günter Gramlich: Lineáris algebra. Carl Hanser Verlag, ISBN 978-3-446-44140-8 .
• Günter Gramlich: A lineáris algebra alkalmazásai. Carl Hanser Verlag, ISBN 978-3-446-22655-5 .
• Klaus Jänich: Lineáris algebra. Springer tankönyv, ISBN 978-3-540-75501-2 .
• Hans-Joachim Kowalsky: Lineáris algebra. de Gruyter tankönyv, ISBN 978-3-110-17963-7 .
• Burkhard Lenze: A lineáris algebra alapismeretei. Springer-Vieweg, 2020, ISBN 978-3-658-29968-2 .
• Jörg Liesen és Volker Mehrmann: Lineáris algebra. Springer Spectrum, 2015, ISBN 978-3-658-06610-9
• Falko Lorenz: Lineáris algebra. 2 kötet, BI / Spectrum, 2003, ISBN 3-8274-1406-7 .
• Gilbert Strang: Lineáris algebra. Springer tankönyv, ISBN 978-0-980-23277-6 .
• Shafarevich Igor, Remizov Alexey: Lineáris algebra és geometria. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9 .

web Linkek

• Irodalom a lineáris algebráról a Német Nemzeti Könyvtár katalógusában
• Linkkatalógus az algebra témában a curlie.org (korábban DMOZ ) címen
• MIT OpenCourseWare : 34 video lecke a lineáris algebráról Gilbert Strang professzor által ; 1999-ben rögzítették.
• 17 fejezet lineáris algebra itt: mathproject.de német és angol nyelven.
• Matematika online tanfolyam - rövid órák lineáris algebra témák széles skálájáról.

Egyéni bizonyíték

1. ^ John Stillwell: Matematika és története . Springer, New York, NY 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8 , pp. 88-89 , doi : 10.1007 / 978-1-4419-6053-5_6 . 
2. ^ Heinz-Wilhelm Alten : Az algebra 4000 éve. Történelem, kultúrák, emberek . Springer, Berlin és mtsai. 2003, ISBN 3-540-43554-9 , pp. 335-339 .