Univerzális algebra
Az univerzális algebra (beleértve az általános algebrát is ) a matematika egyik ága , pontosabban az algebra , amely az általános algebrai struktúrákkal és azok érintett homomorfizmusaival , valamint bizonyos általánosításokkal foglalkozik.
Míg absztrakt algebra és a megfelelő al-területeken, mint a csoport elmélet , gyűrű elmélet és test elmélet algebrai struktúrák bizonyos rögzített kapcsolatokat rögzített tulajdonságokkal vizsgáljuk, univerzális algebra foglalkozik struktúrák általánosságban, azaz szerkezetek bármilyen kapcsolatok és bármilyen meghatározható tulajdonságokkai. A csoportelmélet például általában a csoportokról beszél , míg az univerzális algebra esetében a csoportok csak egy példa az algebrai struktúra egyik típusára. Az univerzális algebra a modellelmélethez kapcsolódik, a matematikai logika egyik ágához, amely a struktúrák és az azokat leíró logikai képletek kapcsolatával foglalkozik . Az egyenletlogika modellelmélete központi jelentőségű . A rácselméletnek vannak alkalmazásai az univerzális algebrában. A kategóriaelmélet általánosabb megközelítést nyújt az univerzális algebra megtekinthető a. A struktúrák leírása a struktúrát megőrző leképezések összefűzés alatti viselkedésére redukálódik, a homomorfizmusok univerzális algebra esetében.
Alapfogalmak
Az univerzális algebra alapkoncepciója az algebrai struktúra. Egy algebrai szerkezet egy mennyiség úgynevezett hordozó mennyisége , látva egy családi kapcsolatok lehetnek különböző arities , ahol mindegyik egy tetszőleges természetes szám van. Az állandók formálisan 0 számjegyű linkekkel ábrázolhatók. A csoport például egy algebrai struktúra, amelynek két számjegyű kapcsolata van, a megfelelő csoportszorzás. Egy gyűrűnek viszont két kétjegyű kapcsolata van, a megfelelő összeadással és a megfelelő szorzással.
Egy csoport vagy egy gyűrű és sok más struktúra meghatározásakor azt is meg kell követelni, hogy a linkek megfeleljenek bizonyos tulajdonságoknak, például az asszociatív törvénynek . Az algebrai struktúrák olyan osztályai , amelyek megfelelnek a logikai képletek által adott bizonyos tulajdonságoknak, természetes vizsgálati tárgyak . Sok esetben elegendő az egyszerű egyenletlogika. Ebben például megfogalmazhatók a csoport axiómák - egy- vagy nulla számjegyű kapcsolatok hozzáadásával az inverz és a semleges elem kialakításához. Ennek a logikának megvan az a kellemes tulajdonsága, hogy egy algebrai szerkezet minden alstruktúrája, azaz. H. egy részhalmaz, mindaddig, amíg a linkek még mindig jól definiáltak, kielégíti ugyanazokat az egyenlet-logikai képleteket. Ezek az osztályok a klasszikus modellelméletben vizsgált szerkezetek elemi osztályainak speciális esetét alkotják , amelyeket az elsőrendű predikátum-logika képletei axiomatizálnak.
A homomorfizmus két algebrai struktúrák és linkekkel , vagy az azonos argumentumainak száma egy leképezés a tulajdonság, hogy minden és mindenki számára az egyenlet
vonatkozik. Az algebrai szerkezet minden bijektív homomorfizmusa izomorfizmus . A homomorfizmusok morfizmusaként az algebrai struktúrák egy kategóriát alkotnak , így a szokásos általános kategóriaelméleti kifejezések használhatók.
Általánosítások
Az egyszerű algebrai struktúrák mellett különféle általánosításokat is figyelembe vesznek, amelyekbe egyes mondatok néha átvihetők, például:
- A részleges algebrai struktúrákat , a linkeket nem kell meghatározni a paraméterek összes kombinációjára.
- Heterogén algebrák és részleges heterogén algebrák egy vivőhalmaz helyett több vivőhalmaz létezik, amelyeken a kapcsolatok meg vannak határozva.
- A relációs struktúrák a függvények helyett bármilyen kapcsolat megengedettek, ilyenek a modellelmélet tipikus vizsgálati tárgyai.
- Végtelen struktúrák , a kapcsolatok végtelen aritussal bírhatnak .
- A topológiai algebrai struktúrák , a struktúrák emellett topológiai struktúrával vannak ellátva , amelyhez képest a műveletek folyamatosak.
sztori
Alfred North Whitehead brit matematikus 1898-ban publikálta az Universal Algebra című értekezését . Ebben a munkában a műveletek és az egyenletek általános módján beszélt , univerzális algebra segítségével, de az univerzális algebra segítségével csak két belső kapcsolattal ( azaz két magma struktúrával , összeadásnak és szorzásnak nevezett) felépítésének tanulmányozását értette , különböző lehetségesekkel. további tulajdonságok, esetleg egyfajta általánosított érettségi . Ezzel szemben az univerzális algebrában nem ért el általános eredményeket. Garrett Birkhoff ezeket először 1935-ben adta át . 1941-től kezdve Anatolij Ivanovics Malzew először alkalmazta a korai elméleti modell eredményeit, amelyeket általános, modern formába hozott, az egyetemes algebrára.
irodalom
- Garrett Birkhoff : Rácselmélet . 3. Kiadás. Amerikai Matematikai Társaság, Providence, Rhode Island 1979.
- Stanley Burris, HP Sankappanavar: Tanfolyam az univerzális algebrában . Kiadó: Természettudományi és Műszaki Kutatási Tanács, Kanada (= matematikai diplomaszövegek . Nem. 78 ). Ottawa, Ontario, Kanada 2000 ( math.uwaterloo.ca [PDF; 15.5 MB ]).
- Grätzer György: Univerzális algebra . Van Nostrand, Princeton (NJ) 1968, ISBN 978-0-387-77486-2 , doi : 10.1007 / 978-0-387-77487-9 .
- Thomas Ihringer: Algebra tábornok . A HP Gumm (= berlini matematikai tanulmánysorozat . Kötet , Universal Coalgebra) mellékletével 10. ) Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9 .
- Anatolij Ivanovič Mal'cev: Az algebrai rendszerek metamatematikája . Összegyűjtött dolgozatok: 1936–1967 (= Logikai tanulmányok és a matematika alapjai . Kötet 66 ). Észak-Hollandia, Amszterdam, 1971 (oroszból fordította: Benjamin Franklin Wells).
- Heinrich Werner: Bevezetés az általános algebra (= BI egyetemi zsebkönyvek . Kötet 120 ). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00120-8 .
web Linkek
- Lev Alekszandrovics Szkornyakov: Univerzális algebra . In: Michiel Hazewinkel (Szerk.): Matematika enciklopédiája . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (angol, online ).
- Alex Saharov, Matt Insall: Univerzális algebra . In: MathWorld (angol).
- univerzális algebra , bejegyzés az nLab-ba . (Angol)
Egyéni bizonyíték
- ^ Heinrich Werner: Az Equational logic könyv áttekintése, Walter Taylor . In: The Journal of Symbolic Logic . szalag 47 , no. 2 , 1982, p. 450 , doi : 10.2307 / 2273161 , JSTOR : 2273161 .
- ^ North Whitehead Alfred : traktátum az univerzális algebráról . az Alkalmazásokkal. Cambridge University Press, Cambridge 1898 ( projecteuclid.org ).
- B a b Grätzer György: Univerzális algebra. P. Vii.
- ^ Lev Alekszandrovics Szkornyakov: Univerzális algebra.
- ↑ A Löwenheim-Skolem- tétel, a tömörségtétel és a teljességi tétel általános variánsai , amelyek megszámlálhatatlan aláírást tesznek lehetővé, visszatérnek hozzá, lásd Juliette Kennedy: Kurt Gödel. In: Edward N. Zalta (Szerk.): Stanford Encyclopedia of Philosophy . .
- ↑ Grätzer György: Univerzális algebra. S. viii.