Kategóriaelmélet

A kategóriaelmélet vagy a kategorikus algebra a matematika egyik ága , az 1940-es évek kezdete először a topológia részeként került kidolgozásra; Saunders MacLane az első kifejezetten kategóriaelméleti munkának nevezi "A természetes egyenértékűségek általános elméletét" (in Trans. Amer. Math. Soc. 58, 1945), amelyet 1945-ben Samuel Eilenberggel együttműködve írt. Ennek az elméletnek az alapfogalmai a kategória , a functor és a természetes átalakulás . Az utóbbi kifejezés tisztázása érdekében az első kettőt eredetileg vezették be.

A kategóriaelmélet az univerzális algebrához hasonlóan a matematikai struktúrák általános elméleteként is felfogható (a klasszikus struktúrák például csoportok , gyűrűk , modulok és topológiai terek ). A matematikai struktúrák tulajdonságait nem a hordozóhalmaz (ok) elemei közötti kapcsolatok határozzák meg , hanem a morfizmusok és a functorok használata, mintegy összehasonlítás révén, kategóriákon belül és kategóriák között.

fontosságát

Ez a fajta absztrakció nemcsak az alapvető, elméleteken átívelő kifejezések tisztázásához vezet, hanem lehetővé teszi egy speciális matematikai elmélet sikeres módszereinek és koncepcióinak más területekre és tárgyosztályokba történő átadását is.
Szemléltető példát mutat be a homológiai algebra története , amelynek módszereit először az abeli csoportokra korlátozták , majd a gyűrűkön át modulokra általánosították , végül az abeli kategóriák elméleteként az abeli kévékbe helyezték át .

A kategóriaelmélet az alapkérdéseknél is releváns. Így alkotva Topoi-t , a kategóriaelmélet a halmazok fontos tulajdonságaiban szereplő összegek kategóriáját pusztán elméletileg nyíl (azaz morfizmusokat kell megfogalmazni), a matematika axiomatikus halmazelméleti felépítésének alternatívája . Ezenkívül a kategóriaelmélet szerepet játszik a logikában , az elméleti informatikában ( a programozási nyelvek szemantikájában , a tartományelméletben , a gráfnyelvtanokban ) és a matematikai fizikában ( topológiai kvantumtérelmélet ).

Magas absztrakciós szintje miatt a kategóriaelméletet néha általános hülyeségnek is nevezik , még az azt fejlesztő matematikusok is .

Definíciók

kategória

Egy kategória a következőkből áll: ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

• A osztály a tárgyakat .${\ displaystyle \ kezelőnév {Ob} ({\ mathcal {C}})}$
• Az úgynevezett nyilak vagy morfizmusok osztálya . A morfizmus egy osztályának tagja , amely a minden egyes pár a tárgyak (a , , vagy a jelzett). Ezek az osztályok páronként diszjunkt ; H. a szintén megírt morfizmus nem része a morfizmusok másik osztályának. a forrása a morfizmus és az is, hogy az említett (angol tartomány ), a cél a (az együttes tartomány ).${\ displaystyle \ kezelőnév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, Y),}$${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Hom} _ {\ mathcal {C}} (X, Y)}$${\ displaystyle [X, Y] _ {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (X, Y)}$${\ displaystyle (X, Y) _ {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle f \ in \ operátornév {Mor} (X, Y)}$${\ displaystyle f \ kettőspont X \ - Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f \ in \ operátornév {Mor} (X, Y)}$${\ displaystyle \ kezelőnév {dom} (f)}$ ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ kezelőnév {kód} (f)}$
• Link képek

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatornév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (Y, Z) \ times \ operatorname {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, Y) & \ longrightarrow \ operátornév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, Z) \\ (g, f) & \ longmapsto g \ circ f, \ end {igazítva}}}$

amelyek asszociatívak a nyilvánvaló értelemben:

${\ displaystyle (h \ circ g) \ circ f = h \ circ (g \ circ f),}$feltéve és .${\ displaystyle \ kezelőnév {kód} (f) = \ kezelőnév {dom} (g)}$${\ displaystyle \ kezelőnév {kód} (g) = \ kezelőnév {dom} (h)}$

(Esetenként a kihagyott, és ahogy írták.)${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle h \ circ g}$${\ displaystyle hg}$

• minden objektum identitásmorfizmusa , amely semleges eleme a forrással vagy céllal való morfizmusokkal való kapcsolatnak , d. H. akkor érvényes, ha van és ha . Ehelyett az űrlapot is használják .${\ displaystyle \ kezelőnév {id} _ {X} \ kettőspont X \ - X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ kezelőnév {id} _ {X} \ circ f = f}$${\ displaystyle \ kezelőnév {cod} (f) = X}$${\ displaystyle f \ circ \ operátornév {id} _ {X} = f}$${\ displaystyle \ operátornév {dom} (f) = X}$${\ displaystyle \ kezelőnév {id} _ {X}}$${\ displaystyle 1_ {X}}$

Az összes morfizmus osztályát vagy (angol nyílból , francia bölcsőből , német nyílból ) néven is emlegetik . ${\ displaystyle \ operátornév {Ar} ({\ mathcal {C}}), \ operátornév {Fl} ({\ mathcal {C}})}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Pf} ({\ mathcal {C}})}$

Alkategória

A alkategória a kategóriában egy kategória , hogy egy al- osztály található, és egy részhalmaza minden két objektum és a halmaza morfizmusok . Ha a morfizmus halmaza megegyezik a (z) -val , akkor az egy teljes alkategória. Az objektumok megadásával már meghatározunk egy teljes alkategóriát. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Ob} ({\ mathcal {D}})}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Ob} ({\ mathcal {C}})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Mor} _ {\ mathcal {D}} (X, Y)}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, Y)}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

Kettős kategória

A kategória kettős kategóriája a és a gombbal ellátott kategória${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle \ operátornév {Ob} ({\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}) = \ operátornév {Ob} ({\ mathcal {C}})}$

${\ displaystyle \ operátornév {Mor} _ {{\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}} (X, Y) = \ operátornév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (Y, X) }$.

Az összekapcsolási térképek és identitásmorfizmusok megegyeznek a . Leegyszerűsítve: minden nyil a másik irányba mutat. A kategória ugyanaz . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}) ^ {\ mathrm {op}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Termékkategória

A termékkategória két kategóriába , és az a kategória, amelynek tárgyak pontosan párok együtt és , és amelynek morfizmusok adják ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ szorzat {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle (X, Y)}$${\ displaystyle X \ \ az \ operátornévben {Ob} ({\ mathcal {C}})}$${\ displaystyle Y \ a \ operátornévben {Ob} ({\ mathcal {D}})}$

${\ displaystyle \ operátornév {Mor} _ {{\ mathcal {C}} \ szor {\ mathcal {D}}} {\ bigl (} (X, Y), (X ', Y') {\ bigr)} = \ operátornév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, X ') \ szor \ operátornév {Mor} _ {\ mathcal {D}} (Y, Y')}$.

A morfizmusok összekapcsolása komponensenként történik, azaz. H. , és van . ${\ displaystyle (f, g) \ circ (f ', g') = (f \ circ f ', g \ circ g')}$${\ displaystyle \ kezelőnév {id} _ {(X, Y)} = (\ kezelőnév {id} _ {X}, \ kezelőnév {id} _ {Y})}$

Functor

A (kovariáns) funktorhoz egy szerkezetileg kompatibilis leképezés kategóriák között. A kategóriából a kategóriába tartozó functor a következő adatokból áll: ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

• egy megbízás ${\ displaystyle F \ kettőspont \ operátornév {Ob} ({\ mathcal {C}}) \ to \ operátornév {Ob} ({\ mathcal {D}})}$
• Illusztrációk két-két objektumra , innen .${\ displaystyle F \ kettőspont \ operátornév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, Y) \ to \ operátornév {Mor} _ {\ mathcal {D}} (F (X), F (Y)) }$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

A morfizmuskészletek közötti leképezéseknek a következő tulajdonságokkal kell rendelkezniük:

• Kompatibilisek a parancsikonokkal; H. .${\ displaystyle F (f \ circ g) = F (f) \ circ F (g)}$
• Kapsz Identitätsmorphismen: .${\ displaystyle F (\ operátornév {id} _ {X}) = \ operátornév {id} _ {F (X)}}$

Egy ellentmondásos functor (vagy cofunctor ) tól kezdve egy functor . A fenti leírás ekvivalens ezzel, a következő eltérésekkel: ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ operátornév {op}} \ - {\ mathcal {D}}}$

• A képeket a morfizmus készletek megy az .${\ displaystyle \ kezelőnév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, Y)}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Mor} _ {\ mathcal {D}} (F (Y), F (X))}$
• A parancsikonokkal való kompatibilitás .${\ displaystyle F (f \ circ g) = F (g) \ circ F (f)}$

A kategóriából önmagába tartozó functort endofunctornak nevezzük . ${\ displaystyle F \ kettőspont {\ mathcal {C}} \ - {\ mathcal {C}}}$

Ha kategóriák , valamint társ- vagy ellentmondásos funkciók vannak, akkor a (szintén írott) összefűzést a ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}, {\ mathcal {D}}, {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle F \ kettősponc {\ mathcal {C}} \ - {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle G \ kettőspont {\ mathcal {D}} \ - {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle G \ circ F}$${\ displaystyle GF}$

${\ displaystyle (G \ kör F) (X) = G (F (X)), \ quad (G \ kör F) (f) = G (F (f))}$

mert a tárgyak és a morfizmusok egy functor . akkor és akkor csak akkor változó, ha mindkettő együtt-, vagy mindkettő ellentmondásos, egyébként ellentmondásos. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ - {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle G \ circ F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$

Természetes átalakulás

A természetes átalakulások egyfajta leképezést jelentenek a "párhuzamos" functorok között. Feltételezzük, hogy functorok vannak, és mindkettő ugyanabból a kategóriából ugyanabba a kategóriába tartozik . Minden tárgy az, egy természetes átalakulás a , hogy tartalmaz egy morfizmus úgynevezett komponense a . A következő diagramnak ingáznia kell minden objektum közötti morfizmus esetén : ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle t_ {X} \ F (X) \ - G (X)} kettőspont$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f \ kettőspont X \ - Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} F (X) & {\ xrightarrow [{}] {F (f)}} & F (Y) \\ t_ {X} \! \ downarrow && \ downarrow \ ! t_ {Y} \\ G (X) és {\ xjobboldali [{G (f)}] {}} és G (Y) \\\ end {tömb}}}$

Ennek általános képletű, a következőket jelenti: . ${\ displaystyle t_ {Y} \ circ F (f) = G (f) \ circ t_ {X}}$

Természetesen két functor és a to- tól ekvivalens, ha vannak természetes átalakulások és olyanok, amelyek mindegyike azonos. Más szavakkal: A természetes ekvivalencia az izomorfizmus fogalma a functor kategóriában . A természetes átalakulás természetes ekvivalencia akkor és csak akkor, ha minden komponens izomorfizmus, ezért természetes izomorfizmusnak is nevezik . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle t \ kettőspont F \ -től G-ig}$${\ displaystyle u \ kettőspont G \ -től F-ig}$${\ displaystyle tu}$${\ displaystyle ut}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t_ {X}}$${\ displaystyle t}$

Egyenértékűsége kategória : A funktorhoz nevezzük egyenértékűségét kategória , ha van egy funktorhoz olyan, hogy , és minden természetesen megegyezik a személyazonosságát vagy . Meg lehet mutatni, hogy a kategóriák egyenértékűsége pontosan a teljesen hűséges , lényegében szurjektív függvények. ${\ displaystyle F \ kettősponc {\ mathcal {C}} \ - {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle G \ kettőspont {\ mathcal {D}} \ - {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle FG}$${\ displaystyle GF}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Példák

Kategóriák

Megjegyzés: A speciális kategóriák neve rendkívül következetlen az irodalomban. Gyakran a kategória leírása kerek vagy göndör zárójelbe kerül, pl. B. (Csoportok), vagy aláhúzva.

• A Set , Ens vagy Me kategória (angol halmazból , francia együttes , német mennyiség ) a mennyiségek kategóriája . A kategória az összes halmazt tartalmazó osztályból áll , és a morfizmusok halmaza pontosan tartalmazza a -tól való leképezéseket , vagyis a két morfizmus közötti kapcsolat a leképezések összefűzése .${\ displaystyle \ operátornév {Ob} (\ mathbf {Set})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Mor} _ {\ mathbf {Set}} (X, Y) = Y ^ {X}.}$

• A PoSet vagy Pos nevet félig rendezett halmazok (objektumok) és monoton leképezések (morfizmusok) kategóriájának nevezik .

• A Top a topológiai terek (objektumok) és a folyamatos leképezések (morfizmusok) kategóriáját jelöli . Érdekes alkategória például a kompakt Hausdorff szobák teljes KHaus alkategóriája .

• azoknak a csoportoknak a Grp vagy Gr kategóriája, amelyeknél a homomorfizmusok morfizmusok; További teljes alkategória AbGrp az az Abel-csoport , ami nagyon következetesen nevezik Ab .

• a normalizált lineáris terek NLinSp kategóriája a folyamatos (= korlátozott) lineáris leképezésekkel. Alkategóriák pl. B. a Banach terek folyamatos lineáris leképezéssel ( BanSp ₁ ), a Banach terek folyamatos normacsökkentő térképekkel ( BanSp ₂ ), vagy kommutatív komplex Banach algebrák egységgel és normacsökkentő algebra homomorfizmusokkal ( CBanAlg ).

• A Cat vagy Kat kategóriák kategóriája: A kategóriát akkor nevezzük kicsinek, ha morfizmusainak osztálya sok. A macska tárgyai a kis kategóriák, a morfizmusok pedig a functorok. (A halmazelméleti okokból szükséges a kis kategóriákra történő korlátozás .)

• A részleges sorrendű halmaz meghatároz egy kategóriát: Az objektumok a halmaz elemei, és pontosan egy elemük van (pl. A rendezett pár ), ha különben üresek.${\ displaystyle (X, \ leq)}$${\ displaystyle \ kezelőnév {Mor} (a, b)}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle a \ leq b}$

• Ha ez üres, akkor az eredmény egy kategória, objektumok és morfizmusok nélkül. Kezdeti vagy üres kategóriának van címkézve. A névadás abból adódik, hogy a kezdeti objektum a Cat .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {0}}$

• Ha viszont van egy elem, akkor egy kategória jön létre , amely pontosan egy objektumból és azonosságmorfizmusából áll. Végső vagy terminál kategóriának hívják, amelyet az motivál, hogy a végső objektum a Cat .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$

• Vannak és kategóriák, így láthatja a functor formát: az objektumok az utáni funktorok , a morfizmusok természetes átalakulások.${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ displaystyle \ kezelőnév {Mor} ({\ mathcal {C}}, {\ mathcal {D}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

• Van egy kategóriát, és tárgya , a kategória a tárgyak a következők szerint határozták meg: tárgyak vannak morfizmusok a target és morfizmusok vannak morfizmusok az , ami a „ Strukturmorphismen ”, hogy kompatibilisek legyenek, i. H. vannak , és a két tárgyat , így a morfizmusok az után az a morfizmusok az , hogy melyek vonatkozik.${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / S}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / S}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / S}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f \ kettőspont X \ - S}$${\ displaystyle g \ kettőspont Y \ - S}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / S}$${\ displaystyle (X, f)}$${\ displaystyle (Y, g)}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / S}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle gh = f}$

• Fordítva, legyen * egy fix egypontos topológiai tér. Ezután a * alatti topológiai terek kategóriája izomorf a pontozott topológiai terek Top ^* kategóriájával .

A fent említett példák többsége olyan természetű (vagy könnyen adaptálható), hogy az objektumok halmaza egy további struktúrával együtt, a morfizmusok képek, amelyek kompatibilisek ezzel a szerkezettel, és a morfizmusok összekapcsolása a képek. Ebben az esetben egy adott kategóriáról beszélünk . Azonban nem minden kategória konkrét vagy akár egyenértékű egy konkrét kategóriával (azaz betonozható ). Például a következőket nem lehet megadni (igazolás nélkül):

• A HoTop vagy hTop homotópiai kategória , topológikus terekkel mint tárgyakkal, és a folyamatos leképezések homotópia osztályaival, mint morfizmusokkal.

• A kis kategóriák kategóriája, de a functorok természetes ekvivalencia osztályai , mint morfizmusok.

Functorok

Rendszerint csak akkor adják meg az objektumok kiosztását a functorok számára, ha a morfizmuskészletek leképezései könnyen láthatók belőle.

• Egy kategória objektumához tartozik a hozzárendelés${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle X \ mapsto \ operátornév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (T, X)}$

egy (kovariáns) functor . A functor ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Set}}$

${\ displaystyle X \ mapsto \ operátornév {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, T)}$

ellentmondásos. Lásd még Hom functor .

• Ez a test és a kategóriába vektorterekben át a - lineáris leképezések mint morfizmusok. Legyen ez egy ellentmondásos funkció${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathrm {vector} _ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle D \ kettőspont \ mathrm {vector} _ {K} \ to \ mathrm {vector} _ {K}}$

az alábbiak szerint definiálva:

• Egy objektum van a duális tér a${\ displaystyle V}$${\ displaystyle D (V) = V ^ {*} = \ mathrm {Hom} _ {K} (V, K)}$${\ displaystyle V.}$
• Egy lineáris leképezés van${\ displaystyle f \ kettőspont V \ - W}$

${\ displaystyle D (f) \ kettőspont W ^ {*} \ - V ^ {*}, \ quad \ lambda \ mapsto \ lambda \ circ f.}$

Ezt könnyű ellenőrizni és alkalmazni.${\ displaystyle D (f \ circ g) = D (g) \ circ D (f)}$${\ displaystyle D (\ mathrm {id} _ {V}) = \ mathrm {id} _ {V ^ {*}}}$

• ${\ displaystyle \ mathrm {G} _ {m} \ kettőspont \ mathrm {(cseng)} \ to \ mathrm {(csoportok)}}$: egységcsoportját hozzárendeli egy egységes gyűrűhöz . Általánosabban : az invertálható mátrixok csoportját hozzárendeli egy gyűrűhöz .${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} \ kettőspont \ mathrm {(cseng)} \ to \ mathrm {(csoportok)}}$${\ displaystyle (n \ alkalommal n)}$
• Az alapcsoport egy functor , a pontozott topológiai terek kategóriájától (a pontozás az alappontot jelöli) a csoportok kategóriájáig; a magasabb homotópiás csoportok functorok ; a homológiai csoportok functorok ; a kohomológiai csoportok ellentmondásos funkciók .${\ displaystyle \ mathbf {Felső} ^ {*} \ to \ mathbf {Grp}}$${\ displaystyle \ mathbf {Felső} ^ {*} \ to \ mathbf {Ab}}$${\ displaystyle \ mathbf {Felső} \ to \ mathbf {Ab}}$${\ displaystyle \ mathbf {Felső} \ to \ mathbf {Ab}}$
• Felejtsd funktorok : Vannak nyilvánvaló funktorok , , stb, egyszerűen „elfelejtette” része a szerkezet egy Abel-csoport, amely az alapul vett összeg egy Abel-csoport is (de nem az információ, hogy Abel), egy topologikus tér hozzárendelése mögöttes mennyiség stb.${\ displaystyle \ mathbf {Ab} \ to \ mathbf {Set}}$${\ displaystyle \ mathbf {Ab} \ to \ mathbf {Grp}}$${\ displaystyle \ mathbf {Top} \ to \ mathbf {Set}}$
• " Ingyenes " konstrukciók, itt szabad abeli csoport : Az abeli csoport hozzárendelhető minden halmazhoz (pontszerű összeadással). Nyilvánvaló leképezésekkel, nevezetesen az eredmények működésével . Ekkor van egy kanonikus izomorfizmus , ahol az elfelejtett funkció van. Azt mondják, hogy a (bal) mellékfunkció zárva van . Hasonló szerkezetek léteznek sok feledékeny funtor számára.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle F (S): = \ {a \ kettőspont S \ to \ mathbb {Z} ~ | ~ a (s) \ neq 0 ~ {\ text {legfeljebb végesen sokhoz}} ~ s \ in S \ }}$${\ displaystyle F (f) \ kettőspont a \ mapsto t \ mapsto \ sum _ {s \ in f ^ {- 1} (t)} a (s)}$${\ displaystyle \ mathbf {Beállítás}}$${\ displaystyle \ mathbf {Ab}}$${\ displaystyle \ operátornév {Mor} _ {\ mathbf {Set}} (S, V (A)) \ cong \ operatorname {Mor} _ {\ mathbf {Ab}} (F (S), A)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle V}$
• A kategóriák közötti, félig rendezett halmazok által meghatározott függvények (lásd fent) pontosan monoton leképezések .

Természetes átalakulások

• A megjelölések olyanok, mint a fenti functor „kettős tér” példájában. Az illusztrációk

${\ displaystyle \ tau _ {V} \ kettőspont V \ - V ^ {**}, \ quad v \ mapsto (\ lambda \ mapsto \ lambda (v))}$

egy vektortér kettős térébe természetes átalakulást képez

${\ displaystyle \ tau \ kettős \ mathrm {id} _ {\ mathrm {vektorok} _ {K}} \ - D \ kör D.}$

A végesdimenziós vektorterek teljes alkategóriáján természetes egyenértékűség figyelhető meg.${\ displaystyle \ tau}$

• ${\ displaystyle \ det \ colon \ mathrm {GL} _ {n} \ to \ mathrm {G} _ {m}}$: Egy gyűrű esetében a csoport homomorfizmusa a meghatározó .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ det _ {R}}$${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (R) \ - R ^ {\ szor}}$
• A Hurewicz- alak

${\ displaystyle \ pi _ {k} (X) \ - H_ {k} (X, \ mathbb {Z})}$

• A csésze terméket a cohomology .
• A abelization az egy csoport

${\ displaystyle G \ - G ^ {\ mathrm {a} b}: = G / [G, G]}$

Yoneda lemma és univerzális konstrukciók

Az univerzális konstrukciók egyszerű kifejezéseket visznek át a mennyiségek kategóriájából bármely kategóriába.

A Yoneda lemma

Ez egy kategória. A functor ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle h \ kettőspont {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Mor} ({\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}, \ mathbf {Set}),}$

egy tárgy funkciója ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle h_ {X} \ kettőspont T \ mapsto \ mathrm {Mor} _ {\ mathcal {C}} (T, X)}$

kijelölünk a teljesen hű . Általánosabban olyan objektumokra által és honnan : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathrm {Mor} ({\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}, \ mathrm {Beállítás})}$

${\ displaystyle \ mathrm {Mor} _ {\ mathbf {Mor} ({\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}, \ mathbf {Set})} (h_ {X}, F) = F ( X)}$;

természetes átalakulás van hozzárendelve (megjegyzés ). ${\ displaystyle t \ kettőspont h_ {X} \ mapsto F}$${\ displaystyle t_ {X} (\ operátornév {id} _ {X})}$${\ displaystyle h_ {X} (X) = \ mathrm {Mor} _ {\ mathcal {C}} (X, X)}$

Szerkezetátadás

A Yoneda lemma lehetővé teszi, hogy a halmazok kategóriájából ismerős kifejezéseket bármely kategóriába átvigyék. Például az objektumok szorzata definiálható olyan objektumként , amelynek objektív értelme a derékszögű szorzat , vagyis ${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle h (P)}$${\ displaystyle h (X_ {i})}$

${\ displaystyle \ mathrm {Mor} (T, P) \ cong \ prod \ mathrm {Mor} (T, X_ {i})}$

vonatkozik; itt a functorok természetes egyenértékűségét jelenti . Ez az egyenértékűség a morfizmusokat is biztosítja a megfelelőjével . A Yoneda lemma ezután azt mutatja, hogy kivéve a kanonikus izomorfizmus ez egyértelműen meghatározzák: vannak , és keresztül vannak természetesen egyenértékű funktorok, így és keresztül vannak izomorfak. ${\ displaystyle \ cong}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T = P}$${\ displaystyle \ kezelőnév {id} _ {P}}$${\ displaystyle \ kezelőnév {pr} _ {i} \ kettőspont P \ - X_ {i}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ mathrm {Mor} (\ _, P)}$${\ displaystyle \ mathrm {Mor} (\ _, Q)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle t_ {P} (\ operátornév {id} _ {P})}$

Ez a kategorikus termék a következő értelemben „univerzális”: valahányszor valaki képeket adott, ezek az univerzális képekből származnak , vagyis van kép , tehát ez érvényes. ${\ displaystyle f_ {i} \ kettőspont T \ - X_ {i}}$${\ displaystyle \ kezelőnév {pr} _ {i} \ kettőspont P \ - X_ {i}}$${\ displaystyle c \ kettőspont T \ - P}$${\ displaystyle f_ {i} = \ kezelőnév {pr} _ {i} ~ c}$

Ezenkívül minden így megszerzett konstrukció esetében kialakítható a kettős konstrukció (általában „Ko” előtaggal azonosítva) a kettős kategóriába lépés. Például a társ- termék tárgyak egy kategóriában az ugyanaz, mint a termék ugyanazon tárgyak a duális kategóriában . ${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathrm {op}}}$

Ennek megfelelően, tulajdonságai beállított leképezések is át bármely kategória: például egy morfizmus van egy monomorphism ha objektum-bölcs injektıv. ${\ displaystyle X \ - Y}$${\ displaystyle h (X) \ - h (Y)}$

Speciális univerzális konstrukciók vagy kifejezések

• Termék és társtermék
• Objektumok indítása és befejezése
• Különbség mag és különbség koksz
• Fiber termék és pushout
• általános korlátok vagy kolimiták
• injekciós és projektív tárgyak
• kapcsolódó functorok
• 2 kategória

Lásd még

• Kategória (filozófia)

irodalom

Bevezetés:

• FW Lawvere , Stephen Schanuel : Fogalmi matematika. A kategóriák első bevezetése. Cambridge 1997, ISBN 0-521-47817-0 .
• Steve Awodey: Kategóriaelmélet. Clarendon Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-856861-4 .
• Michael Arbib , Ernest G. Manes: Nyilak, szerkezetek és funkciók. A kategorikus imperatívum. Academic Press, 1975.
• Martin Brandenburg: Bevezetés a kategóriaelméletbe . Részletes magyarázatokkal és számos példával. Springer Spectrum, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-47067-1 , doi : 10.1007 / 978-3-662-47068-8 . 
• Hartmut Ehrig, Michael Pfender és a matematika és az informatika hallgatói: kategóriák és automaták. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1972, ISBN 3-11-003902-8 . (A könyv 1., 3. és 5. fejezete önálló bevezetést nyújt az általános kategóriaelméletbe, a 2., 4. és 6. fejezet pedig kategorikus módszerekkel fejleszti az automaták elméletét.)
• Samson Abramsky , Nikos Tzevelekos: Bevezetés a kategóriákba és a kategorikus logika.

Klasszikus tankönyvek:

• J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker: Absztrakt és konkrét kategóriák. A macskák öröme. John Wiley, 1990.
• Horst Herrlich, George E. Strecker: Kategóriaelmélet: Bevezetés. Boston 1973.
• Saunders MacLane : Kategóriák: Fogalmi nyelv és matematikai elmélet. Berlin 1972, ISBN 3-540-05634-3 .
• Saunders MacLane: Kategóriák a dolgozó matematikushoz. 2. kiadás. Springer, 1998, ISBN 0-387-98403-8 .
• Bodo Pareigis : Kategóriák és funkciók. BG Teubner, Stuttgart 1969.
• Horst Schubert : I / II kategória. Springer, 1970.

Referencia mű:

• Francis Borceux: A kategorikus algebra kézikönyve. 3 kötet (1: Alapkategória-elmélet; 2: Kategóriák és szerkezetek; 3: A kévék kategóriái). - Cambridge 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52 ) ISBN 0-521-44178-1 , ISBN 0-521-44179-X , ISBN 0-521-44180-3 .

Antológia:

• W. Gähler, G. Preuss: Kategorikus struktúrák és alkalmazásuk. World Scientific, 2004, ISBN 981-256-053-X .

web Linkek

• Bejegyzés : Edward N. Zalta (Szerk.): Stanford Encyclopedia of Philosophy .Sablon: SEP / Karbantartás / 1. paraméter, és sem a 2., sem a 3. paraméter
• PlanetMath áttekintő cikk (angol)
• "Kímélő bevezetés" a kategóriaelmélethez, amely csak algoritmusok példáival működik (angol; 80 p.; PDF)
• nLab , Wiki, sok bejegyzéssel a kategóriaelméletről és a többi tudományághoz való viszonyról
• J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker: Absztrakt és konkrét kategóriák. A macskák öröme. Online szerk. 2004 (PDF; 4,4 MB)
• A kategóriák elmélete és alkalmazásai , folyóirat
• Kategóriák , a kategóriaelmélők moderált listája a kategóriaelméletről

Egyéni bizonyíték

1. ^ Serge Serge : Algebra . Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X , p. 759 . 
2. ^ Theodor Bröcker : Lineáris algebra és analitikai geometria . Springer, 2004, ISBN 3-0348-8962-3 , pp. 212 . 
3. ↑ Bodo Pareigis: kategóriák és funkciók . Teubner, Stuttgart 1969, ISBN 3-663-12190-9 , pp. 8. , doi : 10.1007 / 978-3-663-12190-9 .