Banach tér

A Banach-tér (egyúttal a Banach-tér , a Banach-tér is ) egy teljes normalizált vektortér a matematikában . A Banach-terek a funkcionális elemzés központi tanulmányi objektumai közé tartoznak . Különösen sok végtelen dimenziós függvénytér Banach tér. Stefan Banach matematikusról kapta a nevét , aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel együtt mutatta be őket .

meghatározás

A Banach tér egy teljesen normalizált tér

${\ displaystyle (X, \ | \ cdot \ |)}$,

azaz az vektortér feletti területén a valós vagy komplex számok egy norma , amelyben minden Cauchy-sorozat elemeinek konvergál a metrikus által indukált a norma . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$

Magyarázatok

A metrikus tereknél a teljesség a mutató tulajdonsága, nem pedig maga a topológiai tér. Egy ekvivalens metrikára (azaz egy ugyanazt a topológiát létrehozó mutatóra) való elmozdulás elveszítheti a teljességet. Két egyenértékű norma esetében egy szabványosított térben viszont az egyik akkor és akkor teljes, ha a másik az. A standardizált terek esetében a teljesség tehát a standard topológia olyan tulajdonsága , amely nem függ az adott szabványtól.

Mondatok és tulajdonságok

• A normalizált tér akkor és csak akkor Banach-tér, ha minden abszolút konvergens sorozat összefog benne.

• Minden normalizált tér kitölthető , ezáltal olyan Banach-teret kapunk, amely az eredeti teret sűrű altérként tartalmazza .

• Ha két normalizált tér közötti lineáris leképezés izomorfizmus , akkor a teljesség következik a teljességéből .${\ displaystyle T \ kettőspont X \ jobbra nyíl Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T (X)}$

• Minden véges dimenziójú normált tér egy Banach-tér. Ezzel szemben egy Banach-tér, egy maximálisan megszámlálható Hamel-bázis véges. Ez utóbbi a teljes metrikus terek bairei tulajdonságának következménye .

• Ha egy zárt altér egy Banach tér , akkor ez ismét egy Banach tér. A tényezőtér a normával ekkor szintén egy Banach-tér.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X / M}$${\ displaystyle \ | x + M \ | = \ inf \ limit _ {m \ M-ben} \ | x + m \ |}$

• Az első izomorfizmus- tétel a Banach-terekről: Ha a két Banach-tér közötti korlátolt lineáris leképezés képe zárva van , akkor . Ez a topológiai izomorfizmus fogalma, azaz. vagyis van egy bijektív lineáris leképezés ettől az , hogy mindkét , és folyamatos.${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X / \ operátornév {ker} (T) \ cong T (X)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X / \ operátornév {ker} (T)}$${\ displaystyle T (X)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L ^ {- 1}}$

• A normalizált terek közvetlen összege akkor és csak akkor Banach-tér, ha az egyes terek mindegyike Banach-tér.${\ displaystyle X_ {1} \ oplus \ cdots \ oplus X_ {n}}$${\ displaystyle X_ {j}}$

• Banach-Steinhaus tétele : Ha a folytonos, lineáris operátorok családja a Banach-térből a normalizált térbe következik a pontszerű korlátozásból, az egységes korlátozás következik .${\ displaystyle (T_ {i}) _ {i \ I}} -ban$

• A nyitott leképezés tétele : A két Banach-tér közötti folyamatos lineáris leképezés akkor és csak akkor szurjektív, ha nyitva van. Ha bijektív és folyamatos, akkor az inverz leképezés is folyamatos. Ebből következik, hogy a Banach-terek között minden bijektívan korlátozott lineáris operátor izomorfizmus .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T ^ {- 1}}$

• A zárt gráf tétele : A két Banach tér közötti lineáris leképezés grafikonja csak akkor záródik le a termékben, ha a leképezés folyamatos.${\ displaystyle T \ kettőspont X \ - Y}$${\ displaystyle X \ szor Y}$

• Banach-tétel Alaoglu : A zárt egység gömb a kettős térben egy Banach tér gyenge - * - kompakt .

• Minden elkülöníthető Banach tér van egy zárt altér az ilyen , hogy van.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle l ^ {1}}$${\ displaystyle X \ cong l ^ {1} / M}$

• Minden Banach szoba Fréchet szoba .

Lineáris operátorok

Biztos és normált terek felett ugyanaz a szerv , így az összeg minden folyamatos - lineáris leképezések a kijelölt. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle T \ kettőspont X \ jobbra nyíl Y}$${\ displaystyle B (X, Y)}$

A végtelen dimenziós terekben a lineáris leképezések nem feltétlenül folytonosak.

${\ displaystyle B (X, Y)}$egy vektortér és át ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$

${\ displaystyle \ | T \ |: = \ mathrm {sup} \ {\ | Tx \ |: x \ X-ben {\ text {}} \ | x \ | \ leq 1 \}}$

-on meghatározott norma . Van egy Banach-hely is . ${\ displaystyle B (X, Y)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle B (X, Y)}$

Ha egy Banach tér, akkor egy Banach algebra , amelynek azonos operátora van, mint egység ; a szorzási műveletet a lineáris térképek összetétele adja. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B (X) = B (X, X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {id} _ {X}}$

Kettős tér

Ha egy normalizált tér és az alapul szolgáló test az , akkor maga is egy Banach-tér ( normál abszolút értékkel ), és a topológiai kettős tér (szintén folyamatos kettős tér) meghatározható . Általános szabály, hogy az algebrai kettős tér valódi altere . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X '= B (X, \ mathbb {K})}$${\ displaystyle X ^ {*}}$

• Ha egy normalizált tér van, akkor ez egy Banach tér.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$

• Legyen normalizált tér. Van elválasztható így is .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X}$

A kettős topológiai helyet lehet használni , hogy meghatározza a topológia az : a gyenge topológia . A gyenge topológia nem egyenértékű a norm topológiával, ha a tér végtelenül dimenziós. Egy szekvencia konvergenciája a norm topológiában mindig a konvergenciát eredményezi a gyenge topológiában, és fordítva általában nem. Ebben az értelemben a gyenge topológiából adódó konvergenciafeltétel "gyengébb". ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Van egy természetes leképezés ettől az (a bidual tér) határozzák meg: az összes és . Tól Hahn-Banach féle tétel következik, hogy az egyes közülük a leképezés folytonos, és ezért egy eleme . A leképezés mindig injektív és folyamatos (akár izometrikus is). ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '' = (X ')' = B (X ', \ mathbb {K})}$${\ displaystyle F \ kettőspont X \ -től X-ig ", F (x) (f) = f (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle f \ in X '}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F (x) \ kettőspont X '\ to \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X ''}$${\ displaystyle F}$

Reflexivitás

Ha a természetes leképezés is szurjektív (és így izometrikus izomorfizmus), akkor a normalizált teret reflexívnek nevezzük . A következő kapcsolatok érvényesek: ${\ displaystyle F \ kettőspont X \ -től X-ig ''}$${\ displaystyle X}$

• Minden reflexív normált tér egy Banach-tér.

• A Banach tér akkor és csak akkor reflexív, ha reflexív. Ezzel az állítással egyenértékű, hogy a gyenge topológiában az egységgömb kompakt .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X}$

• Ha reflexív normalizált tér egy Banach-tér, és ha van egy korlátos lineáris operátor re a , majd a reflexív.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$

• Van egy reflexív szabványosított helyet. Akkor ha és elválasztható, ha elválasztható.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$

• James tétel a Banach-teret illetően egyenértékűek: ${\ displaystyle X}$
  • ${\ displaystyle X}$ reflexív.
  • ${\ displaystyle \ forall f \ X-ben '\ \ létezik x \ X-ben}$azzal , hogy .${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | \ leq 1}$${\ displaystyle f (x) = \ bal \ | f \ jobb \ |}$

Tenzor termék

A tenzortermék univerzális tulajdonsága

Be és két vektortér. A tenzor termék a és egy , vektor tér , látva egy bilineáris leképezés , amely a következő általános tulajdonság : Ha van bármilyen bilineáris leképezés egy , vektor tér , akkor van pontosan egy lineáris leképezés az . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X \ otimes Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle T \ kettőspont X \ -szer Y \ jobbra nyíl Z}$${\ displaystyle T '\ kettőspont X \ -szer Y \ jobbra nyíl Z'}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle Z '}$${\ displaystyle f \ kettőspont Z \ jobbra nyíl Z '}$${\ displaystyle T '= f \ circ T}$

Különböző módon lehet meghatározni egy normát az alapul szolgáló vektorterek tenzortermékén , ideértve a projektív tenzor szorzatot és az injektív tenzor szorzatot . A teljes terek tenzor szorzata általában nem teljes. Ezért a Banach-terek elméletében egy tenzortermékként gyakran annak befejezését értik, ami természetesen a norma megválasztásától függ.

Példák

A következőkben a test vagy , van egy kompakt Hausdorff teret és egy zárt intervallum. és valós számok és . Ezután egy σ-algebra , egy beállított algebra és egy mérték . ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle I = [a, b]}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle 1 <p, q <\ infty}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {q}} + {\ tfrac {1} {p}} = 1}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Xi}$${\ displaystyle \ mu}$

kijelölés	Kettős tér	visszaható	gyenge teljes	alapértelmezett	Vezetéknév
${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$	${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$	Igen	Igen	${\ displaystyle \ | x \ | _ {2} = \ balra (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2} \ jobbra) ^ {1/2}}$	Euklideszi tér
${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {p}}$	${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {q}}$	Igen	Igen	${\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ balra (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} \ jobbra) ^ {1 / p}}$	A végesdimenziós vektorok tere a p- normával
${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {\ infty}}$	${\ displaystyle \ ell _ {n} ^ {1}}$	Igen	Igen	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} | x_ {i} |}$	A véges dimenziójú vektorok tere a maximális normával
${\ displaystyle \ ell ^ {p}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {q}}$	Igen	Igen	${\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ balra (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} | ^ {p} \ jobbra) ^ {1 / p}}$	A következmények tere a p- edik hatalomban összefoglalható
${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | x \ | _ {1} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i} |}$	Tér a következményekhez, amelyek összegezhetők összegben
${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$	${\ displaystyle ba (2 ^ {\ mathbb {N}})}$	Nem	Nem	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Térben korlátozott következményei
${\ displaystyle c}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Nem	Nem	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Tere konvergens következményei
${\ displaystyle c_ {0}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Nem	Nem	${\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup _ {i} | x_ {i} |}$	Tér a nulla szekvenciák ; izomorf, de nem isometrikus${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle bv \,}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1} + \ mathbb {K}}$	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bv} = | x_ {1} | + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}$	A korlátozott variációk következményeinek tere
${\ displaystyle bv_ {0}}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bv_ {0}} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}$	Korlátozott variációjú nulla szekvencia tere
${\ displaystyle bs}$	${\ displaystyle ba (2 ^ {\ mathbb {N}})}$	Nem	Nem	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bs} = \ sup _ {n} \ balra | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ jobbra |}$	Korlátozott összegű hely; izometrikus izomorf${\ displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$
${\ displaystyle cs}$	${\ displaystyle \ ell ^ {1}}$	Nem	Nem	${\ displaystyle \ | x \ | _ {bs} = \ sup _ {n} \ balra | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ jobbra |}$	Konvergens összegek helye; zárt altere ; izometrikus izomorf${\ displaystyle bs}$${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle B (X, \ Xi)}$	${\ displaystyle ba (\ Xi)}$	Nem	Nem	${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ X-ben} | f (x) |}$	Korlátozottan mérhető függvények tere${\ displaystyle \ Xi}$${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle C (X)}$	${\ displaystyle rca (\ Sigma)}$	Nem	Nem	${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup _ {x \ X-ben} \ bal | f (x) \ jobb |}$	Folytonos függvények a Borel σ-algebra azon${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle ba (\ Xi)}$	?	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ in \ Sigma} | \ mu | (A)}$	Tér korlátos, véges-adalékanyag aláírt intézkedés a${\ displaystyle \ Xi}$
${\ displaystyle ca (\ Sigma)}$	?	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ in \ Sigma} | \ mu | (A)}$	Tere -additive intézkedések ; zárt altere${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle ba (\ Sigma)}$
${\ displaystyle rca (\ Sigma)}$	?	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | \ mu \ | _ {ba} = \ sup _ {A \ in \ Sigma} | \ mu | (A)}$	A rendszeres Borel-mérések tere ; zárt altere${\ displaystyle ca (\ Sigma)}$
${\ displaystyle L ^ {p} (\ mu)}$	${\ displaystyle L ^ {q} (\ mu)}$	Igen	Igen	${\ displaystyle \ | f \ | _ {L ^ {p}} = \ balra (\ int | f | ^ {p} \, d \ mu \ jobbra) ^ {1 / p}}$	A Lebesgue integrálható függvényeinek tere a p-ben
${\ displaystyle BV (I)}$	?	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = \ lim _ {x \ a ^ {+}} f (x) + V_ {f} (I)}$	Korlátozott teljes variáció függvénytere
${\ displaystyle NBV (I)}$	?	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = V_ {f} (I)}$	Korlátozott teljes variáció függvénytere, amelynek határértéke eltűnik ${\ displaystyle a}$
${\ displaystyle AC (I)}$	${\ displaystyle \ mathbb {K} + L ^ {\ infty} (I)}$	Nem	Igen	${\ displaystyle \ | f \ | _ {BV} = \ lim _ {x \ a ^ {+}} f (x) + V_ {f} (I)}$	Tere abszolút folytonos függvények ; izomorf a Sobolev térhez ${\ displaystyle W ^ {1,1} (I)}$
${\ displaystyle C ^ {n} (I)}$	${\ displaystyle rca (I)}$	Nem	Nem	${\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {n}} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} \ sup _ {x \ I} | f ^ {(i)} (x) | }$	Sima Funkciók Szoba ; izomorf${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus C (I)}$

Osztályozás a matematikai struktúrák hierarchiájában

A matematika absztrakt tereinek áttekintése. A nyíl implikációként értendő, azaz Vagyis a nyíl elején lévő tér egyben a nyíl végén lévő szóköz is.

Minden Hilbert-tér egy Banach-tér, de nem fordítva. Szerint a Jordan-Neumann-tétel, a skalár szorzat összeegyeztethető a norma lehet meghatározni egy Banach-tér pontosan akkor, ha a paralelogramma egyenlet vonatkozik rá.

A funkcionális elemzés néhány fontos tere, például az összes végtelenül differenciálható függvény vagy az összes eloszlás tere teljes, de nem szabványosított vektor-tér, ezért nem a Banach-szóköz. A Fréchet-terekben az embernek továbbra is teljes metrikája van , míg az LF-terek teljesen egységes vektorterek, amelyek a Fréchet-terek határeseteiként jelennek meg. Ezek speciálisan lokálisan konvex terek vagy topológiai vektorterek . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Minden normalizált tér egyedileg kitölthető, kivéve az izometrikus izomorfizmust, vagyis sűrű altérként beágyazva egy Banach-térbe.

Fréchet levezetés

Lehetőség van , hogy meghatározza a származékot egy függvény két Banach terek. Az egyik lát ösztönösen, hogy, ha van egy eleme , a származék a ponton van egy folytonos lineáris leképezés, amely megközelíti közel a sorrendben a távolság . ${\ displaystyle f \ kettőspont V \ - W}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ vert h \ vert}$

Az egyiket (Fréchet) -differenciálhatónak nevezzük , ha folyamatos lineáris leképezés van , amely ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A \ kettőspont V \ - W}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ | f (x + h) -f (x) -A (h) \ | \ over \ | h \ |} = 0}$

vonatkozik. A határérték itt minden olyan szekvencián képződik, amelynek nulla elemei konvergálnak 0-ra. Ha létezik a határ, akkor beírják és az in ( Fréchet ) származékának hívják . A levezetés további általánosításai a végesdimenziós terek elemzéséhez hasonlóan eredményeznek. Azonban minden származtatási kifejezésben közös a lineáris leképezés folytonosságának kérdése${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Df (x) = A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle Df (x)}$

Ez a derivált fogalom a függvények szokásos származékának általánosítása , mivel az a- ig terjedő lineáris leképezések egyszerűen valós számokkal való szorzások. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Ha differenciálható minden pontján az , akkor a másik közötti leképezés Banach terek (általában nem lineáris leképezés!) És esetleg el lehet különböztetni újra, ezért a magasabb származékai meghatározása. A pontban levő –edik derivált tehát sokrétű leképezésnek tekinthető . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Df \ kettőspont V \ - L (V, W)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V_ {n} \ - W}$

A differenciálás lineáris művelet a következő értelemben: Ha és két olyan leképezés van , amelyek megkülönböztethetőek, és vannak, és skalárok , akkor megkülönböztethető és megtartja ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle V \ to W}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle rf + sg}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle D (rf + sg) (x) = rD (f) (x) + sD (g) (x)}$.

A láncszabály ebben az összefüggésben is érvényes. Ha van egy a és egy a differenciálható függvény, akkor a készítmény in differenciálható, és a származék az összetétele a származékok ${\ displaystyle f \ kettőspont V \ - W}$${\ displaystyle x \ in V}$${\ displaystyle g \ kettőspont W \ - X}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle D (g \ circ f) (x) = D (g) (f (x)) \ circ D (f) (x).}$

Az irányvezetések végtelen dimenziós vektorterekre is kiterjeszthetők, ezen a ponton a Gâteaux-differenciálra utalunk .

Banach űrértékű funkciók integrálása

Bizonyos feltételek mellett lehetőség van a Banach térértékelt funkcióinak integrálására. A huszadik században sokféle megközelítést mutattak be a Banach űrértékű funkcióinak integrációs elméletéhez . Ilyen például a Bochner-integrál , a Birkhoff-integrál és a Pettis-integrál . A véges dimenziós Banach-terekben az integrációnak ez a három különböző megközelítése végül ugyanazon integrálhoz vezet. A végtelen dimenziós Banach-terek esetében azonban ez általában már nem így van. Ezenkívül át lehet térni a hétköznapi intézkedésekről a vektoros mérésekre , amelyek értékeiket a Banach-terekben veszik fel, és integrálokat határoznak meg az ilyen intézkedések vonatkozásában.

irodalom

• Stefan Banach: A théorie des opérations linéaires . Warszawa 1932. (Matematyczne monográfia; 1) Zbl 0005.20901 (Kolmogoroff)
• Prof. Dr. A. Deitmar: Funkcionális elemzési szkript WS2011 / 12 < http://www.mathematik.uni-tuebingen.de/~deitmar/LEHRE/frueher/2011-12/FA/FA.pdf >
• Robert E. Megginson: Bevezetés a Banach űrelméletbe . Springer-Verlag (1998), ISBN 0-387-98431-3
• Bernard Beauzamy: Bevezetés a Banach- terekbe és azok geometriájába . Észak-Hollandia. 1986
• Raymond A. Ryan: Bevezetés a Banach Spaces tenzortermékeibe . Springer kiadó. 2000
• Anton Willkomm: Értekezés: A topológiai csoportok reprezentációs elméletéről a nem arkhimédészi Banach-terekben . Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen. 1976
• Joseph Diestel: Szekvenciák és sorozatok a Banach-terekben , Springer-Verlag (1984), ISBN 0-387-90859-5
• Nelson Dunford; Jacob T. Schwartz: Lineáris operátorok, I. rész, Általános elmélet 1958