Funkcionális elemzés

A funkcionális elemzés a ága a matematika , hogy foglalkozik a tanulmány a végtelen dimenziós topológiai vektor terek részt és illusztrációk ilyen. Itt az elemzés , a topológia és az algebra kapcsolódik egymáshoz. A vizsgálatok célja absztrakt állítások megtalálása, amelyek különféle konkrét problémákra alkalmazhatók. A funkcionális elemzés a megfelelő keretrendszer a kvantummechanika matematikai megfogalmazásához és a parciális differenciálegyenletek vizsgálatához .

Alapfogalmak

A kifejezések központi jelentőségűek

• Funkcionális vektorok (pl. Függvények ) leképezéséhez skalárméretekhez és
• Operátor vektorok leképezéséhez vektorokhoz. Az operátor fogalma valójában sokkal általánosabb. Van azonban értelme algebrailag és topológiailag felépített terekben nézni őket, mint pl B. mindenféle topológiai, metrikus vagy szabványosított vektortér .

Funkcionális példák a szekvencia határérték , a norma , a határozott integrál vagy az eloszlás kifejezések , az operátorok példái a differenciálás , a határozatlan integrál , a kvantummechanikai megfigyelés vagy a szekvenciák eltolási operátorai .

Az elemzés alapfogalmait, például a folytonosságot , a derivatívákat stb., A funkcionális elemzés kiterjeszti a funkcionálisokra és az operátorokra. Ugyanakkor a lineáris algebra eredményei (például a spektrális tétel ) kibővülnek topológiailag lineáris terekkel (például Hilbert-terekkel ), ami nagyon jelentős eredményekkel jár.

A funkcionális elemzés történeti gyökerei a Fourier-transzformáció és hasonló transzformációk tanulmányozásában, valamint a differenciál- és integrálegyenletek vizsgálatában rejlenek . A „funkcionális” szóösszetevő a változatok számításáig vezet vissza . Stefan Banach , Riesz Frigyes és Maurice René Fréchet a modern funkcionális elemzés alapítóinak számítanak .

Topológiai vektorterek

A funkcionális elemzés a valós vagy komplex számok feletti vektortereken alapul . Az alapkoncepció itt a topológiai vektortér, amelyet az jellemez, hogy a vektortér-kapcsolatok folyamatosak, lokálisan konvex topológiai vektortéreket és Fréchet-tereket is részletesebben vizsgálnak. Fontos állítások a Hahn-Banach- tétel , a Baire-tétel és a Banach-Steinhaus-tétel . Különösen a részleges differenciálegyenletek megoldáselméletében ezek fontos szerepet játszanak, ráadásul a Fredholm-elméletben .

Szabványosított terek, Banach terek

A lokálisan konvex topológiai vektorterek legfontosabb speciális esete a normalizált vektorterek . Ha ezek is teljesek , akkor Banach szóközöknek hívják őket . A Hilbert-tereket még konkrétabban vesszük figyelembe , amelyekben a normát egy skaláris szorzat generálja. Ezek a terek alapvetőek a kvantummechanika matematikai megfogalmazásában . Fontos vizsgálati tárgy a folyamatos lineáris operátorok a Banach vagy Hilbert tereken.

Hilbert-terek teljes mértékben besorolni: minden vastagsága egy ortonormált bázis van pontosan egy Hilbert tér egy test (kivéve izomorfizmus ) . Mivel véges dimenziós Hilbert-terek fedezi a lineáris algebra és minden morfizmus között Hilbert lehet bontani a morfizmusok Hilbert terek egy megszámlálható ortonormált bázis, egy főleg úgy véli, Hilbert terek megszámlálható ortonormált bázis és morfizmusok funkcionális elemzés. Ezek izomorfak az összes szekvencia szekvenciaterével szemben, azzal a tulajdonsággal, hogy az összes szekvencia tag négyzetének összege véges. ${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

A Banach-terek viszont sokkal összetettebbek. Például a bázisnak nincs általános meghatározása, amelyet a gyakorlatban is lehetne használni, ezért a bázis alatt leírt típusú bázisok (vektortér) (más néven Hamel-bázis ) a végtelen dimenziós esetben nem határozhatók meg konstruktívan, és mindig megszámlálhatatlanok (lásd Baire tételét ). Általánosítások Hilbert-tér ortonormált bázis vezet a koncepció a borzongás bázis , de nem minden Banach tér egy.

Minden valós számhoz tartozik az összes Lebesgue-féle mérhető függvény Banach-tere, amelynek az összeg -edik hatványának véges integrálja van (lásd L ^p -tér ), ez pontosan egy Hilbert-térre vonatkozik. ${\ displaystyle p \ geq 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 2}$

A szabványosított terek tanulmányozása során fontos a kettős tér vizsgálata . A kettős tér a folytonos lineáris függvényekből áll, a normalizált térből a skaláris testébe , vagyis a valós vagy komplex számokba. A kettősnek , vagyis a kettős tér kettős terének nem kell izomorfnak lennie az eredeti térrel szemben, de a kettősében mindig van egy tér természetes monomorfizmusa . Ha ez a különleges monomorfizmus is szurjektív , akkor egy reflexív Banach-térről beszélünk .

A deriválás kifejezés általánosítható a Banach-szóközök közötti függvényekre az úgynevezett Fréchet-származtatásra , így az egy pontban levezetés folyamatos lineáris leképezés.

Operátorok, Banach algebrák

Míg a Banach-terek vagy a Hilbert-terek a lineáris algebra végesdimenziós vektortereinek általánosításait képviselik, a közöttük lévő folytonos, lineáris operátorok általánosítják a lineáris algebra mátrixait . A mátrixok átlósítása, amelyet egy mátrix az úgynevezett sajátvektorok nyújtásának közvetlen összegeként próbál ábrázolni , a Hilbert-terek önadduktív vagy normál operátorainak spektrális tételéig terjed , ami a kvantummechanika matematikai megfogalmazásához vezet . A sajátvektorok alkotják a kvantummechanikai állapotokat, az operátorok a kvantummechanikai megfigyelhetőségeket .

Mivel termékei szereplők újra, közülük az egyik szerez algebrák szereplők, hogy a Banach-terek a operátornorma úgy, hogy a multiplikatív háromszög egyenlőtlenség tart két szolgáltatóval és szintén . Ez a Banach algebra kifejezéshez vezet , amelynek legkönnyebben hozzáférhető képviselői a C * és Von Neumann algebrák . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ | A \ circ B \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |}$

A vizsgálat a lokálisan kompakt csoport egyik használja a Banach-tér az a funkciója integrálható tekintetében a haj intézkedés , amely válik Banach-algebra a konvolúciós a szorzás. Ez indokolja a harmonikus elemzést, mint funkcionálisan analitikus megközelítést a lokálisan kompakt csoportok elméletéhez; A Fourier-transzformáció ebből a szempontból a Banelf-algebra elméletben vizsgált Gelfand-transzformáció speciális esete . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle L ^ {1} (G)}$

Részleges differenciálegyenletek

A funkcionális elemzés megfelelő keretet kínál a részleges differenciálegyenletek megoldáselméletéhez. Az ilyen egyenleteknek gyakran az a formája van, ahol a keresett függvény és a jobb oldal egy tartomány függvénye, és differenciális kifejezés. Ezen kívül vannak úgynevezett peremfeltételek, hogy előírják a viselkedését a funkciót kért a határ az . Ilyen differenciális kifejezésre példa a Laplace operátor , más fontos példa a hullámegyenletből vagy a hővezetési egyenletből származik . ${\ displaystyle you \, = f}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ részleges \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle D = {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges x_ {1} ^ {2}}} + \ dotsb + {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges x_ {n } ^ {2}}}}$

A differenciális kifejezést most a differenciálható funkciójú terek közötti operátorként tekintik, a Laplace operátor példáján például operátorként a kétszer folyamatosan differenciálható függvények terét és a folyamatos függvények terét . A függvénytér klasszikus értelemben megkülönböztethető terei alkalmatlannak bizonyulnak a kimerítő megoldáselmélet számára. A differenciálhatóság általánosabb koncepciójához ( gyenge derivált , eloszláselmélet ) áttérve a differenciál kifejezést operátorként tekinthetjük meg a Hilbert-terek, az úgynevezett Sobolew-terek között , amelyek megfelelő L ² függvényekből állnak. Ennek keretében fontos esetekben kielégítő állítások bizonyíthatók a megoldások létezéséről és egyediségéről. Ebből a célból funkcionális analitikai módszerekkel vizsgálják az olyan kérdéseket, mint a jobb oldali függőség , valamint a szabályosság, vagyis a megoldás simaság tulajdonságai, a jobb oldali simaság tulajdonságaitól függően . Ez tovább általánosítható általánosabb teremosztályokra, például terjesztési helyiségekre. Ha a jobb oldali oldal megegyezik a delta eloszlással, és erre az esetre megoldást találtak, úgynevezett fundamentális megoldást, egyes esetekben bármelyik jobb oldali megoldást konvolúcióval lehet elkészíteni. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

A gyakorlatban numerikus módszereket alkalmaznak az ilyen differenciálegyenletek megoldásainak közelítésére, például a végeselemes módszerre , különösen akkor, ha zárt formában nem adható megoldás. A funkcionális analitikai módszerek szintén alapvető szerepet játszanak az ilyen közelítések felépítésében és a közelítés minőségének meghatározásában .

irodalom

• Hans Wilhelm Alt : Lineáris funkcionális elemzés: alkalmazás-orientált bevezetés . 5. kiadás. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2 , doi: 10.1007 / 3-540-34187-0 .
• Haïm Brézis : Analysis fonctionnelle: théorie et applications . In: Mathématiques appliquées pour la maîtrise . Dunod, 2005, ISBN 2-10-049336-1
• Nelson Dunford , Jacob T. Schwartz és mtsai. a.: A lineáris operátorok, az általános elmélet és más 3 kötet vizualizációs diagramokat tartalmaz . In: Tiszta és alkalmazott matematika; 7 . Wiley-Interscience, 1988, ISBN 0-470-22605-6
• Harro Heuser : Funkcionális elemzés: elmélet és alkalmazás . 3. Kiadás. Teubner-Verlag, 1992, ISBN 3-519-22206-X
• Friedrich Hirzebruch , Winfried Scharlau : Bevezetés a funkcionális elemzésbe , BI, Mannheim 1971, ISBN 978-3-411-00296-2 , online a Hirzebruch-gyűjteményben .
• Vivien Hutson, John S. Pym, Michael J. Cloud: A funkcionális elemzés és az operátorelmélet alkalmazásai . 2. kiadás. Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
• Leonid P. Lebedev, Iosif I. Vorovič: Funkcionális elemzés a mechanikában . Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-95519-4
• R. Meise, D. Vogt: Bevezetés a funkcionális elemzésbe , Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8 , doi: 10.1007 / 978-3-322-80310-8
• Martin Schechter : A funkcionális elemzés alapelvei . 2. kiadás. Academic Press, 2001, ISBN 0-8218-2895-9
• Sergei Lwowitsch Sobolew : A funkcionális elemzés néhány alkalmazása a matematikai fizikában , Providence (RI) , American Mathematical Soc., 1991, ISBN 0-8218-4549-7
• Dirk Werner : Funkcionális elemzés . 7. kiadás. Springer , 2011, ISBN 978-3-642-21016-7 , doi : 10.1007 / 978-3-642-21017-4 . 
• Kôsaku Yosida : Funkcionális elemzés . 6. kiadás. Springer-Verlag, 1980, ISBN 3-540-10210-8

Az Alt (2006) és Heuser (1992) könyvek bevezetést és első áttekintést nyújtanak a funkcionális elemzés „klasszikus” mondatairól. A fizikai alkalmazásokat mindig közös szálként vitatják meg. Heuser minden fejezethez rendelkezik gyakorlatokkal, amelyek többségét a függelék vázolja fel. Az utolsó fejezet: „Egy pillantás a kialakuló elemzésre” leírja a történeti fejlődés legfontosabb lépéseit a mai funkcionális elemzés felé.

web Linkek