Exponenciális növekedés
Az exponenciális növekedés (más néven korlátlan vagy szabad növekedés ) egy olyan növekedési folyamat matematikai modelljét írja le , amelyben az állomány nagysága mindig ugyanazzal a tényezővel szorozódik ugyanazon időintervallumokban . A részvény méretének értéke idővel növekedhet (exponenciális növekedés) vagy csökkenhet (exponenciális bomlás vagy exponenciális csökkenés) . Egy ilyen folyamat egyértelműen jelezhető a duplázási idő miatti exponenciális növekedéssel és a felezési idő miatt exponenciális csökkenéssel . A lineáris vagy polinom növekedéssel ellentétben az exponenciális növekedés lényegesen nagyobb változásokat okoz kezdetben csak kicsi változások mellett is, így az exponenciális növekedés egy bizonyos időponttól nagyságrendekkel meghaladja az esetleges lineáris vagy polinomi növekedést . Emiatt az exponenciális növekedés hatása könnyen alábecsülhető.
Az exponenciális növekedés funkciója
Növekedési függvény esetén a populáció nagysága az időtől függ . Formájú
- a hivatkozott duplikációs idővel pl. B. 1 másodperc, és
vagy azzal egyenértékű , hogy . Itt a növekedési tényezőt és a növekedési állandót jelöljük .
Mivel ez az induló állomány abban az időben .
Ha igen , ez exponenciális növekedés . A duplázási idő (amelyet a biológiában kettős értéknek és generációs időnek is neveznek ) ekkor van .
Azzal tehát exponenciális csökkenésről beszélünk . A felezési idő akkor van .
Általában a duplikációs tényező a duplikációs idő . Ezzel szemben kiszámítják a szorzótényezőt .
1. példa: vegyes kamat, évi 8% kamatlábbal
Ez az évek után felhalmozott tőkét jelenti euróban.
100 euró kezdőtőkével . 9 év után a tőke esedékes
199,90 euróra nőtt, így majdnem megduplázódott.
A kamat negyedéves jóváírása esetén az éves kamatfaktort a bank szerint negyedévre kell átalakítani, és a negyedévek számára kell felhasználni . Ennek eredménye a következő példa:
- .
2. példa: járvány
Az egyik országban a fertőzöttek száma 3 naponta megduplázódik. Van egy z. Például 0 időpontban 1000 fertőzött ember, 2000 3 nap után, 6 nap után 4000 fertőzött stb. A fertőzöttek száma tehát (kezdetben) exponenciálisan növekszik, majd a következő funkcióval írható le:
- A és a napok számát
27 nap elteltével több millió fertőzött ember él 2 hónap múlva .
Korlátlan növekedés mellett, de korlátozott populációval, például 80 millióval, az értékeket ((csak kis eltérés az exponenciális növekedéstől)) és milliókként (közel a teljes népességhez) számoljuk .
3. példa: radioaktív bomlás
A cézium-137, a maghasadás terméke, felezési ideje 30 év. Bomlási funkciója tehát
- A és az évek számát
90 év után van, mert
továbbra is a jelen lévő cézium eredeti mennyisége .
Az 1. és 2. példa exponenciális növekedést mutat, a 3. példa pedig exponenciális csökkenést mutat .
tulajdonságait
Modellleírás
A jobb oldali kép példaként mutatja, hogy hosszú távon a pozitív exponenciális folyamat megléte (valamint a növekedési üteme) mindig nagyobb, mint lineáris , köbös növekedés esetén vagy általában az összes olyan növekedési folyamatnál, amely leírható: teljesen racionális funkciók .
Az exponenciális növekedési modell , a változás ( diszkrét eset), vagy ( folyamatos esetben) a készlet mérete arányos az állomány. A diszkrét esetben, az új leltár érték amennyiben pozitív növekedést a régi értéket egy konstans nagyobb, mint 1 megszorozzuk van, és kisebb, negatív növekedés pozitív konstans megszorozzuk, mint az első
Az exponenciális csökkenés , a X-tengely képezi a aszimptotájának a grafikont a növekedési funkció. Az állomány mérete megközelíti a nullát, de nem múlik el. Olyan alkalmazásokban , mint B. a biológiában az állományméretek gyakran egész számok , így a nagyon kicsi értékek végül már nem jelentősek, és az állomány gyakorlatilag kihalt.
Differenciálegyenlet
A differenciálegyenletek (DGL) a folyamatos ( stabil ) növekedési modellek leírására szolgálnak .
Az exponenciális folyamat DGL- je:
Ez egy lineáris homogén differenciálegyenlet , állandó együtthatókkal, és megoldható például a " változó elválasztás " módszerrel.
A növekedési ráta lehet levezetni a DGL: .
Diszkrét növekedési modell
Annak illusztrálására, a diszkrét növekedési modell rekurzív formában származó különbségek következményei . A időeltolódás jelöli egy ekvidisztáns szekvenciája alkalommal számára ; és a megfelelő készletméretet jelenti.
Rekurzív formában diszkrét időbeli exponenciális növekedés (növekedés és csökkenés) érhető el
leírták. A növekedési tényező megegyezik a folyamatos idejű esettel.
A készlet mérete következik képletek folyamatos növekedés a helyettesítések , és a
- .
Oldás az idő szerint
Meg kell határozni azt az időtartamot , amelyben egy exponenciálisan fejlődő készlet változik a tényező szerint. A növekedési egyenletet megadjuk a szorzótényezővel és a szorzási idővel. A következőkből következik
- .
Példa: Az egyik közelében az alábbiak érvényesek . A duplázás ( ) ezért időbe telik .
Példák, általános és részletes
Természettudományok
- A népesség növekedése
- A mikroorganizmusok, például a baktériumok és vírusok , a rákos sejtek és a világ populációjának növekedése elméletileg exponenciálisan növekedhet korlátozó tényezők (pl. Versenytársak , (étkezési) ellenségek vagy kórokozók, véges táplálékforrások) nélkül. Ez azonban általában csak elméleti példa. A növekedés z. A baktériumok B.-ját általában egy logisztikai függvény írja le , amely azonban nagyon hasonlít az elején található exponenciális függvényhez.
- Radioaktív bomlás
- A radioaktív anyag mennyiségében a magbomlások száma az idő múlásával szinte hatványozottan csökken (lásd még a bomlás törvényét ). Az intervallum elején még jelenlévő mennyiség ugyanaz a töredéke mindig ugyanolyan hosszú időintervallumokban bomlik.
- Láncreakció
- A maghasadás során neutronok szabadulnak fel, amelyek viszont további atommagokat pusztulásra ösztönözhetnek. A láncreakció a kritikus mennyiség túllépésekor következik be. Az atomfegyvert úgy tervezték, hogy a lehető leggyorsabban és gyorsabban növelje a reakció sebességét. Az atomreaktor normál működése során a láncreakciót abszorberek segítségével úgy szabályozzák, hogy a reakció sebessége állandó maradjon.
- Lambert-Beer törvény
- Ha egy monokróm (egyszínű) fénysugár egy bizonyos beesési intenzitással egy bizonyos rétegvastagságú abszorbeáló , homogén közegen (például festék) halad keresztül , akkor a kialakuló nyaláb intenzitása exponenciális bomlási eljárással ábrázolható. A intenzitását a kimenő nyaláb arányos a intenzitását a beérkező fény. Ez szorosan kapcsolódik az úgynevezett abszorpciós törvényhez például a röntgensugarakhoz .
- Legyezte egy oszcillátor
- A lineáris amplitúdó változás az idő, amikor egy oszcillátor rezegni kezd megfelel exponenciális növekedésével amplitúdója egy igazi oszcillátor paraméter rezonancia .
Gazdaság és pénzügy
- kamatos kamat
- A kamat hozzáadódik egy tőkéhez egy bizonyos időtartamra, és kamatot szerez. Ez a tőke exponenciális növekedéséhez vezet . Az összetett kamat képlete az , ahol a kamatláb per kamatláb és az induló tőke (lásd még a kamatszámítást , a kamatos kamatot, Josephspfennig - itt egy fillért fektetnek be a nulla évbe).
- Egy évi 5% -os kamatozású megtakarítási könyv esetében a duplázási idő a fenti ökölszabály szerint szerepel .
- Piramis séma
- Ezek olyan üzleti modellek , amelyekben a résztvevők száma ugrásszerűen növekszik. Minden alkalmazottnak bizonyos számú további alkalmazottat kell toboroznia, akiknek viszont ezt a számot kell felvenniük stb. Az ajándék körök és a láncbetűk ugyanazon elv szerint működnek .
technológia
- ráncok
- Minden hajtásnál a papír vagy a film vastagsága megduplázódik. Ily módon a vékony fóliákat egyszerű féknyereggel lehet mérni. A képen látható Mylar film 2 5 = 32 filmrétegből áll, ötször hajtogatva , amelyek együttes vastagsága 480 µm. Egy film tehát körülbelül 15 µm vastag. Tízszeres hajtogatás után a réteg már 15 mm vastag lenne, további 10 hajtás után pedig meghaladja a 15,7 m-t. Mivel az egymásra rakás területe is exponenciálisan csökken, a szokásos papírformátumú papírt alig lehet hétszer hajtogatni.
matematika
- Sakktábla egy szem búzával
- A történet , a tervezett Brahmin Sissa ibn Dahir szerint egy olyan játék, amely most sakkot alkot , ismert az indiai uralkodók számára, amelyeket Shihram talált ki, hogy bemutassa zsarnoki uralmát, amely nyomorúságba és szorongásba sodorta az embereket, és hogy megtartsa őt. Ingyen kívánságot kapott erre. Sissa akarta a következő: Az első mező egy sakktábla ő akart egy búzaszem (attól függően, hogy az irodalom, a rizsszem ), a második mezőben kettős, azaz két szem, a harmadik ismét a duplája, vagyis négy stb. A király nevetve adott neki egy zsák gabonát. Ezután megkérte az uralkodót, hogy matematikusai határozzák meg a pontos összeget, mivel egy zsák nem volt elég. A számítás azt mutatta: Az utolsó (64.) mezőben 2 63 ≈ 9,22 × 10 18 szem lenne, azaz több mint 9 billió szem. Több, mint bármely gabona a világon. A szemek számának növekedése exponenciális növekedésként értelmezhető a 2. bázis exponenciális függvényének felhasználásával .
zene
Az intervallumok additív csoportjától a frekvenciaarányok multiplikatív csoportjáig terjedő függvény
exponenciális függvény. Az alábbiak érvényesek
- (Oktáv) = 2 és (n oktáv ) = for
Az intervallumok frekvenciaaránya így exponenciálisan növekszik.
Megjegyzés: Az oktáv az intervallum méretének egysége, 2: 1 frekvenciaaránnyal. A Cent az oktáv egy alegysége , ahol az oktáv = 1200 cent .
intervallum | méret | Frekvencia arány |
---|---|---|
0 oktáv ( Prime ) | 0 | 1 |
1 oktáv | 1200 cent | 2 |
2 oktáv | 2400 cent | 4 |
3 oktáv | 3600 cent | 8. |
4 oktáv | 4800 cent | 16. |
• • • |
Az intervallumok additíven rendezett csoportok. Az összeg frekvenciaaránya a frekvenciaarányok szorzata.
példa
- Ötödik = 702 cent (frekvencia arány 3 / 2 )
- Negyed = 498 cent (frekvencia arány 4 / 3 )
- Ötödik + negyedik = 702 cent + 498 cent = 1200 cent = oktáv (frekvencia arány 3 / 2 × 4 / 3 = 2)
A modell határai
Az exponenciális növekedés modellszemléletének a valóságban vannak korlátai - különösen a gazdasági térségben.
Norbert Reuter közgazdász szerint "az exponenciális növekedés nem reális", mint hosszú távú trend . Állítása szerint a fejlettebb társadalmak növekedési üteme a ciklikus hatások miatt csökken . Ennek mutatója a bruttó hazai termék (GDP). A statisztikai adatokat tekintve arra lehet következtetni, hogy az exponenciális gazdasági növekedés inkább az ipari gazdaság kezdeti éveire jellemző , de egy bizonyos szinten, amikor az alapvető fejlesztési folyamatok befejeződtek, lineáris növekedéssé változik . Ha további exponenciális növekedést extrapolálnak , akkor eltérés következik be a növekedési várakozás és a tényleges menet között.
Ez többek között az államadósságot is érinti . A számítási szempontból téves várakozás, miszerint az államadósságot a gazdasági növekedés korlátozhatja, csak csökkenti az új adósság küszöbét. Ha azonban a várható növekedés nem valósul meg, akkor hiány alakul ki, amely korlátozza az állam jövőbeni cselekvőképességét. A kamat és a kamatos kamat miatt fennáll annak a veszélye, hogy az államadósság ugrásszerűen növekszik.
Egy másik szempont, hogy a kereslet nem mérhetetlenül növekszik, hanem olyan telítettségi hatást tapasztal, amelyet megfelelő gazdaságpolitika nem tud kompenzálni. A biológiai kapcsolatokra vonatkozó megfontolások, például az élelmiszerért vagy az űrért folyó verseny révén, ugyanabba az irányba mutatnak. A világ népességéhez viszonyítva ez tematizálja az ökológiai lábnyomról szóló vitát - más szóval: a föld teherbíró képességét a regeneratív erőforrások viszonylag kis fogyasztásával a teljes erőforrás- fogyasztáshoz viszonyítva . Itt az exponenciális növekedési modell elhanyagolja azokat a demográfiai fejleményeket is, mint például a születési és halálozási arány, valamint a női és a férfi lakosság viszonyát.
A telítettségi hatást figyelembe vevő növekedési modellek a korlátozott növekedés és a logisztikus növekedés , míg a mérgezett növekedési modell a növekedést gátló tényezőket is bevonja a folyamatba.
irodalom
- Joachim Engel: Alkalmazásorientált matematika: Adattól függvényig. Bevezetés a matematikai modellezésbe tanuló tanároknak . Springer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-540-89086-7 , p. 150-153 .
- Hermann Haarmann, Hans Wolpers: Matematika az általános egyetemi felvételi képesítés megszerzéséhez. Nem műszaki tárgyak . 2. kiadás. Merkur Verlag, Rinteln 2012, ISBN 978-3-8120-0062-8 , p. 272-274 .
- Klaus Schilling: Elemzés: Minősítési szakasz: alaptanterv a szakközépiskolához . Eins Verlag, Köln, 2012, ISBN 978-3-427-07770-1 , p. 249-257 .
- Walter Seifritz: Növekedés, visszajelzés és káosz: Bevezetés a nemlinearitás és a káosz világába . Hansen Verlag, München 1987, ISBN 3-446-15105-2 , pp. 9-18 .
web Linkek
- Eric W. Weisstein : Exponenciális növekedés . In: MathWorld (angol).
Egyéni bizonyíték
- ↑ Ezeket az értékeket a logisztikai növekedés modelljének felhasználásával számoljuk ki, ahol f (0) = 1000 G = 80 millió és k≈ln (2) / 240 millió. (lásd még az SI modellt ).
- ↑ M. Begon, M. Mortimer, DJ Thompson: Népességökológia. Spektrum, Heidelberg 1997.
- B a b Stefan Keppeler: Matematika 1 biológusoknak, geológusoknak és geoökológusoknak: exponenciális függvények és logaritmusok. (PDF; 454 kB) (Az interneten már nem érhető el.) 2008. november 5., 9. o. , Az eredetiből 2014. február 1-jén archiválva ; Letöltve: 2013. március 28 .
- ^ Bouger-Lambert törvény. Letöltve: 2013. március 28 .
- ↑ Valeriano Ferreras Paz: röntgenabszorpció. (PDF, 2,0 MB) (Már nem kapható nálunk.) Archivált az eredeti szóló február 2, 2014 ; megtekintve 2013. március 31-én .
- ↑ Hans Dresig , II Vul'fson: A mechanizmusok dinamikája . VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00361-7 , p. 198 ( teljes szöveg ).
- ^ H. Schreier: Finanzmathematik. (PDF; 211 kB) 9–11. Oldal , hozzáférés: 2013. április 10 .
- ↑ Összetett kamat és exponenciális növekedés. (Az interneten már nem érhető el.) Az eredetiből 2012. augusztus 30 - án archiválva ; Letöltve: 2013. április 2 .
- B a b Roland Spinola: Exponenciális növekedés - mi ez. (PDF; 121 kB) Letöltve: 2013. április 13 .
- ↑ történelem. Letöltve: 2014. március 23 .
- ↑ A sakktábla és a rizsszemek. (Már nem kapható nálunk.) Archivált az eredeti szóló október 4, 2013 ; Letöltve: 2013. április 14 .
- ↑ Itt az alap = 2 a hatványt , vagyis a kettő hatványát eredményezi , mert a szemek száma mezőnként megduplázódik. Az első duplázásra az elsőtől a második mezőnyig kerül sor. Ezért a hatvannégy mezőny 64 - 1 = 63 duplázást eredményez. Ezért a kitevő itt egyenlő 63. A 64. mezőn 2 (64 - 1) = 2 63 = 9.223.372.036.854.775.808 ≈ 9.22 × 10 18 szem lenne.
- Art a b Hartmut Steiger: Az exponenciális növekedés nem reális. Letöltve: 2013. április 16 .
- ^ Kai Bourcarde, Karsten Heinzmann: Normál esetben exponenciális növekedés - nemzetközi összehasonlítás. (PDF; 738 kB) 6. o. , Hozzáférés: 2013. április 16 .
- ^ Kai Bourcarde: Lineáris gazdasági növekedés - exponenciális államadósság. (PDF; 345 kB) 4. o. , Hozzáférés: 2013. április 16 .
- ↑ Donella Meadows, Jorgen Randers, Dennis Meadows: Az exponenciális növekedés mint az ökológiai határok átlépésének mozgatórugója. (PDF) Letöltve: 2013. április 16 .
- ↑ Thomas Kämpe: A világ népessége. (PDF; 2,4 MB) (Az interneten már nem érhető el.) Korábban az eredetiben ; Letöltve: 2013. április 16 . (Az oldal már nem elérhető , keresés az internetes archívumokban )