Funkcióelmélet

Az f (z) = (z ² -1) (z-2-i) ² / (z ² + 2 + 2i) függvénydiagramja polárkoordinátákban . Az árnyalat a szöget, a világosság a komplex szám abszolút értékét jelzi.

A funkcionális elmélet a matematika egyik ága . Összetett változókkal differenciálható, komplex értékű függvények elméletével foglalkozik . Mivel különösen egy komplex változó függvényelmélete széles körben alkalmazza a valós elemzésből származó módszereket , a részterületet komplex elemzésnek is nevezik .

Augustin-Louis Cauchy , Bernhard Riemann és Karl Weierstrass a funkcióelmélet egyik alapítója .

Funkcióelmélet egy komplex változóban

Komplex funkciók

Egy komplex függvény komplex számot , további komplex számot rendel hozzá . Mivel tetszőleges komplex számot két valós számmal lehet megírni az alakban , egy komplex függvény általános alakja átadható ${\ displaystyle x + iy}$

${\ displaystyle x + iy \ mapsto f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)}$

képviselni. Hol és hol vannak valós függvények, amelyek két valós változótól és . az úgynevezett valós része és a képzetes részét a funkciót. Ebből a szempontból a komplex függvény nem más, mint egy felől való leképezés (azaz olyan leképezés, amely két valós számot rendel két valós számhoz). Valójában fel lehet építeni a funkcióelméletet a valós elemzésből származó módszerekkel is. A valódi elemzéshez való különbség csak akkor válik világosabbá, ha figyelembe vesszük a komplex-differenciálható függvényeket, és játékba hozzuk a komplex számok mezőjének multiplikatív szerkezetét, amely a vektortérből hiányzik. A komplex függvények grafikus ábrázolása valamivel bonyolultabb, mint általában, mivel most négy dimenziót kell ábrázolni. Emiatt a színtónusokkal vagy a színtelítettségekkel lehet élni. ${\ displaystyle \, u (x, y)}$${\ displaystyle \, v (x, y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \, u (x, y)}$${\ displaystyle \, v (x, y)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Holomorf funkció

Az egydimenziós valós elemzés differenciálhatóságának fogalma kiterjed a funkcióelmélet komplex differenciálhatóságára is . A valós esethez hasonlóan meghatározhatjuk: Egy komplex változó függvényét komplex-differenciálhatónak nevezzük (a pontban ), ha a határérték ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle f '(a): = \ lim _ {w \ to 0} {\ frac {f (a + w) -f (a)} {w}}}$

létezik. Meg kell adni egy környezetben a . A határérték meghatározásához a távolság összetett fogalmát kell használni. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

Így két különböző differenciálhatósága fogalom megadott komplex értékű függvények a komplex változó: a komplex differenciálhatósági és differenciálhatósági az a két-dimenziós valós analízis ( valós differenciálhatósága ). A bonyolultan differenciálható függvények reálisan differenciálhatóak is, fordítva nem igaz további követelmények nélkül.

A pont szomszédságában bonyolultan differenciálható funkciókat holomorfnak vagy analitikusnak nevezzük . Ezeknek számos kiváló tulajdonságuk van, amelyek igazolják, hogy egy saját elmélet főként velük foglalkozik - a funkciók elméletével. Például egy egyszer bonyolultan differenciálható funkció automatikusan szükség szerint komplex-differenciálható, ami természetesen nem érvényes a valós esetben.

A Cauchy-Riemann-differenciálegyenletek rendszere más megközelítést kínál a függvényelmélethez

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ részleges _ {x} u (x, y) & = \ részleges _ {y} v (x, y), \\\ részleges _ {y} u (x, y) & = - \ részleges _ {x} v (x, y). \ vége {igazítva}}}$

A függvény akkor és csak akkor komplexen differenciálható, ha ott valóban differenciálható és kielégíti a Cauchy-Riemann-differenciálegyenletek rendszerét. Ezért meg lehet érteni a függvényelméletet, mint a parciális differenciálegyenletek elméletének egyik ágát . Az elmélet azonban ma már túl kiterjedt és sokoldalúan összekapcsolódik az elemzés más részterületeivel ahhoz, hogy be lehessen ágyazni a parciális differenciálegyenletek kontextusába.

A komplex differenciálhatóság geometrikusan (lokális) közelítésként értelmezhető orientáció-igaz affin térképeken keresztül, pontosabban a forgatások, megnyúlások és fordítások összefűzésével. Ennek megfelelően a Cauchy-Riemann-differenciálegyenletek érvényessége megegyezik azzal a ténnyel, hogy a társított Jacobi-mátrix egy rotációs kiterjesztés reprezentációs mátrixa . A holomorf leképezések tehát lokálisan konformnak bizonyulnak (a levezetési nulláktól eltekintve), vagyis szögre és tájolásra igazak.

Cauchy szerves képlete

Olyan integrációs pályával , amely nem egyetlen szingularitás körül forog , és amelynek fordulatszámához ezt alkalmazza ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ ken {\ frac {1} {wz}} \ mathrm {d} w,}$

Cauchy integrálképlete érvényes:

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ ken {\ frac {f (w)} {wz}} \ mathrm {d} w.}$

Ez azt állítja, hogy egy komplex-differenciálható függvény értéke egy tartományban csak a tartomány határán lévő függvényértékektől függ.

Funkciók szingularitásokkal

Mivel a holomorf funkciók halmaza meglehetősen kicsi, a függvényelméletben figyelembe vesszük azokat a függvényeket is, amelyek az izolált pontok kivételével mindenhol holomorfak. Ezeket az elszigetelt pontokat elszigetelt szingularitásoknak nevezzük . Ha a függvényt egy szomszédságban lévő szingularitás határolja, akkor a funkció holomorf módon folytatható a szingularitásban. Ezt az állítást Riemann levonhatósági tételének nevezzük . Van egy szingularitás egy függvény nem emelhető, azonban az a funkciója az eltávolítható szingularitás, akkor beszélhetünk a pólus érdekében k-adik, ahol k minimális kiválasztva. Ha egy függvénynek elszigetelt pólusa van, és egyébként holomorf, akkor a függvényt meromorfnak nevezzük . Ha a szingularitás sem nem emelhető, sem pólus, akkor egy lényeges szingularitásról beszélünk. Szerint a Picard-tétel , funkciók egy lényeges szingularitás jellemzi az a tény, hogy van legfeljebb egy kivételével értéke egy, így bármilyen kis környezetében a szingularitás vesznek a bonyolult számértéket legfeljebb kivéve a. ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {k} f (z)}$${\ displaystyle z_ {0}}$

Mivel minden holomorf funkciót hatványsorokká lehet fejleszteni, a hatványsorokban eltávolítható szingularitásokkal rendelkező funkciókat is kifejleszthetünk. A meromorf függvények kibővíthetők egy olyan Laurent-sorozattá, amelynek csak véges sok negatív kitevőjű kifejezése van, és az alapvető szingularitással bíró Laurent-funkciók sorozata kiterjeszti a hatványokat negatív kitevőkkel. Az együtthatót az a Laurent terjeszkedés az úgynevezett maradvány . A maradék tétel szerint a meromorf funkciók és az alapvető szingularitásokkal rendelkező funkciók fölötti integrálok csak ezen érték segítségével határozhatók meg. Ez a tétel nemcsak a funkcióelméletben fontos, mert e megállapítás segítségével valós elemzésből is meghatározhatók az integrálok, amelyek a Gauss-hibaintegrálhoz hasonlóan nem rendelkeznek zártan az antidivatív ábrázolással. ${\ displaystyle a _ {- 1}}$${\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {- 1}}$

Egyéb fontos témák és eredmények

Fontos eredmények a Riemann-feltérképezési tétel és az algebra alaptétele is . Ez utóbbi szerint a polinom a komplex számok területén teljesen felbontható lineáris tényezőkre . A valós számok közötti polinomok esetében ez általában nem lehetséges (valós lineáris tényezőkkel).

Más fontos kutatási fókusza az analitikus folytatása a Holomorf és Meromorf funkciók a határait tartomány és azon túl.

Funkcióelmélet több komplex változóban

Több komplex változó komplex értékű funkciói is vannak. A valós elemzéshez képest alapvető különbségek vannak a komplex elemzésben egy és több változó funkciói között. Több változó holomorf funkcióinak elméletében nincs analóg Cauchy integrált tételével . Az identitás tétel csak gyengített formában vonatkozik több változó holomorf funkcióira. Cauchy integrálképlete azonban számos változóra nagyon analóg módon általánosítható. Ebben az általánosabb formában Bochner-Martinelli formulának is nevezik . Ezenkívül több változó meromorf funkcióinak nincsenek különálló szingularitásaik , ami Hartogs úgynevezett gömbtételéből következik, és ennek következtében nincsenek izolált nullák sem . Még a Riemann-féle leképezési tételnek is - a függvényelmélet egyik csúcspontjának egy változóban - nincs megfelelője magasabb dimenziókban . Még a két természetes általánosításai egydimenziós kör alakú tárcsa , a készülék gömb és a poli henger , amelyek biholomorphically egyenértékű több dimenzióban . Több változó függvényelméletének nagy része folytatódási jelenségekkel foglalkozik (Riemann-féle levitációs tétel, Hartogs-féle golyótétel, Bochner-féle tétrégió - tétel , Cartan-Thullen-elmélet). Több komplex változó függvényelméletét alkalmazzák például a kvantumtérelméletben .

Komplex geometria

A komplex geometria a differenciálgeometria egyik ága , amely a funkcióelmélet módszereit használja. A differenciálgeometria egyéb részterületein, mint például a differenciál topológia vagy a Riemann-geometria , a sima elosztókat valós elemzés technikáival vizsgálják. A bonyolult geometriájú, azonban elosztócsövek az összetett szerkezeteket vizsgáltuk. A sima elosztókkal ellentétben a komplex elosztókon lehetséges a holomorf térképek meghatározása a Dolbeault operátor segítségével . Ezeket a sokaságokat a funkcióelmélet és az algebrai geometria módszereivel vizsgálják. Az előző részben kifejtettük, hogy nagy eltérések vannak egy változó és a több változó függvényelmélete között. Ezeket a különbségeket tükrözi a bonyolult geometria is. A Riemann-felületek elmélete a komplex geometria egyik ága, és kizárólag a komplex felépítésű felületekkel, azaz egydimenziós komplex elosztókkal foglalkozik. Ez az elmélet gazdagabb, mint az n dimenziós komplex sokaságok elmélete.

Funkcióelméleti módszerek más matematikai részterületeken

A klasszikus alkalmazási funkció teória számelmélet . Ha valaki funkcióelméleti módszereket alkalmaz ott, akkor ezt a területet analitikus számelméletnek nevezi . Fontos eredmény például a prímszám-tétel .

A hatványsorokká bővíthető valós funkciók a holomorf funkciók valódi részei is. Ez lehetővé teszi ezeknek a funkcióknak a komplex szintre történő kiterjesztését. E kiterjesztés révén gyakran megtalálhatók azok a kapcsolatok és funkciók tulajdonságai, amelyek rejtve maradnak a valóságban, például Euler identitása . A Here About számos alkalmazást kínál a fizikában (például a kvantummechanikában a hullámfüggvények ábrázolása , valamint az elektromos kétdimenziós áram - feszültség - diagramok ). Ez az identitás az alapja a Fourier-sorozat komplex formájának és a Fourier-transzformációnak is . Ezeket sok esetben a funkcióelmélet módszereivel lehet kiszámítani.

A holomorf funkciók esetében a valós és a képzeletbeli rész harmonikus függvény , vagyis kielégíti a Laplace-egyenletet . Ez összekapcsolja a függvényelméletet a parciális differenciálegyenletekkel , mindkét terület rendszeresen befolyásolta egymást.

A holomorf funkció integrálja független az úttól. Ez történelmileg az első példa volt a homotópia invarianciájára . Az algebrai topológia sok ötlete merült fel a funkcióelmélet ezen aspektusában , Bernhard Riemann-tól kezdve.

A funkcionális eszközök fontos szerepet játszanak a bonyolult Banach algebrák elméletében , tipikus példa a Gelfand-Mazur tétel . A holomorf funkcionális számítás lehetővé teszi a holomorf funkciók alkalmazását a Banach algebra elemeire, és több változó holomorf funkcionális számítása is lehetséges.

Lásd még

Fontos mondatok

• Cauchy szerves tétele
• Identitás beállítása
• A terület hűségének tétele
• Liouville tétele
• Morera tétele
• A konvergencia Weierstrasse-tétele
• Riemann illusztráció tétele

További mondatok

• Fekete Lemma
• Schwarz elmélkedési elve
• Schwarz-Pick lemma

Egész funkciók

• Exponenciális függvény
• Trigonometrikus függvények
• Hiperbolikus funkciók

Meromorf funkciók

• Gamma funkció
• Elliptikus funkciók

irodalom

• Lars Ahlfors : Komplex elemzés . McGraw-Hill, 1953. 
• Heinrich Behnke , Friedrich Sommer: Egy komplex változó analitikai funkcióinak elmélete . 3. Kiadás. Springer, Berlin 1976, ISBN 978-3-540-07768-8 . 
• Ludwig Bieberbach : A függvényelmélet tankönyve . 2 kötet. Teubner, 1923. 
• Rolf Busam, Eberhard Freitag : Funkcióelmélet 1 . 4. kiadás. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-31764-3 . 
• Heinrich Durege: A komplex változó mennyiség függvényeinek elméletének elemei . 1-5 Kiadás. Teubner ( archive.org - 1882–1906). 
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Function elmélet . 8. kiadás. Vieweg, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6 . 
• Joseph Anton Gmeiner, Stolz Ottó : Bevezetés a funkcióelméletbe . 1. és. Kötet 2. Teubner, 1904. 
• Klaus Janich : Function Theory . 6. kiadás. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3 . 
• William Fogg Osgood : A funkcióelmélet tankönyve . Kötetek 1.2.3. Teubner, 1923 ( hti.umich.edu ). 
• Alfred Pringsheim : Előadások a funkcionális elméletről . Teubner, 1925 (Weierstrasse nézőpont). 
• Reinhold Remmert , Georg Schumacher: Funkcióelmélet 1 . 5. kiadás. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-59075-7 . 
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funkcióelmélet 2 . 3. Kiadás. Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-40432-5 . 
• Volker Scheidemann: Bevezetés a komplex elemzésbe több változóban . Birkhäuser, Bázel, 2005, ISBN 3-7643-7490-X . 
• Ian Stewart , David Tall: Komplex elemzés . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-24513-3 . 
• Carl Johannes Thomae : Egy komplex változó analitikai funkcióinak elemi elmélete . Nebert, Halle (Saale) 1898 ( resolver.könyvtár.cornell.edu ). 

web Linkek