numerikus matematika

A numerikus matematika , röviden Numerics nevezik, részt vesz egy ága a matematika , a tervezés és elemzés a algoritmusok számára folyamatos matematikai problémákat. A fő alkalmazás a megoldások hozzávetőleges kiszámítása, közelítő algoritmusok segítségével számítógépek segítségével .

áttekintés

Az ilyen algoritmusok iránti érdeklődés általában a következő okok miatt merül fel:

  1. Nincs egyértelmű megoldás a problémára (például a Navier-Stokes egyenletben vagy a háromtestes problémában ), vagy
  2. a megoldásábrázolás létezik, de nem alkalmas a megoldás gyors kiszámítására, vagy olyan formában van, amelyben a számítási hibák nagyon észrevehetőek (például sok hatványsorral ).

Kétféle módszert különböztetnek meg: egyrészt közvetlen, amelyek véges számú pontos számítási lépés után adják meg a probléma pontos megoldását, másrészt csak közelítéseket nyújtó közelítő módszereket . Közvetlen módszer például a Gauss-eliminációs módszer , amely lineáris egyenletrendszer megoldását nyújtja . A közelítő módszerek tartalmazzák a kvadrát képleteket , amelyek hozzávetőlegesen kiszámítják az integrál értékét, vagy a Newton-módszert , amely iteratív módon jobb közelítéseket ad a függvény nullához.

Mivel a megoldásokra csak az alkalmazások véges pontosságához van szükség, az iteratív módszer akkor is hasznosabb lehet, ha közvetlen módszer létezik, ha rövidebb idő alatt elegendő pontosságot biztosít.

Különböző módszereket hasonlítanak össze a futási idő , a stabilitás és a robusztusság szerint . Időnként azonban vannak (a tisztán numerikus eljárásokkal ellentétben) olyan szeminumerikus eljárások is , amelyek jobban megfelelnek bizonyos problémakörök megoldására, mint a nem specifikus numerikus megoldások.

történelem

A vágy, hogy képes legyen matematikai egyenleteket numerikusan (megközelítőleg) megoldani, már az ókorban is fennáll . Az ókori görögök már ismerték azokat a problémákat, amelyeket csak megközelítőleg tudtak megoldani, például a területek kiszámítását ( integrálszámítás ) vagy a körök számát . Ebben az értelemben Archimedes , aki mindkét problémához algoritmusokat adott, leírható az első fontos numerikusként.

A klasszikus módszerek megnevezése egyértelműen megmutatja, hogy a matematikai problémák algoritmikus és hozzávetőleges hozzáférése mindig is fontos volt ahhoz, hogy a pusztán elméleti állításokat eredményesen lehessen használni. Az olyan fogalmak, mint a konvergencia sebessége vagy a stabilitás , szintén nagyon fontosak voltak a kézi számítás során. Például a nagy sebességű konvergencia reményt ad arra, hogy a számítás gyorsan megtörténik. És még Gauss is észrevette, hogy a Gauss-eliminációs módszerben alkalmazott számítási hibái néha katasztrofálisan hatottak a megoldásra, és teljesen haszontalanná tették. Ezért előnyben részesítette a Gauss-Seidel-módszert , amelyben a hibákat egy további iterációs lépés végrehajtásával könnyen kompenzálni lehetett.

Az algoritmusok monoton végrehajtásának megkönnyítése érdekében a 19. században mechanikus számológépeket fejlesztettek ki , végül Konrad Zuse az első számítógépet az 1930-as években . A második világháború drámai módon felgyorsította a fejlődést, és különösen John von Neumann matematikailag és technikailag is továbbfejlesztette a numerikát a Manhattan-projekt részeként . A hidegháború korszakát olyan katonai alkalmazások uralták, mint a visszatérési problémák, de a számítási teljesítmény 1980-as évek óta tapasztalt növekedése előtérbe helyezte a polgári alkalmazásokat. Továbbá a gyors algoritmusok iránti igény megnőtt a sebesség növekedésével. A kutatás sok problémára képes volt erre, ezért az algoritmusok sebessége az 1980-as évek közepe óta körülbelül ugyanolyan nagyságrenddel javult, mint a CPU teljesítménye. Manapság a numerikus módszerek, például a végeselemes módszer , minden műszaki vagy tudományos területen jelen vannak, és mindennapi eszközök.

Hiba elemzés

Az algoritmusok numerikus elemzésének egyik aspektusa a hibaelemzés . A numerikus számítás során különféle típusú hibák lépnek fel: lebegőpontos számokkal történő számításkor a kerekítési hibák elkerülhetetlenül bekövetkeznek. Ezeket a hibákat csökkenthetjük például a számjegyek számának növelésével , de ezeket nem lehet teljesen kiküszöbölni, mivel minden számítógép elvileg csak véges számú számjeggyel számolhat.

Azt, hogy a probléma miként reagál a kezdeti adatok zavaraira , a feltétel függvényében mérjük. Ha egy probléma nagyszerű állapotú, akkor a probléma megoldása érzékenyen függ a kezdeti adatoktól, ami megnehezíti a numerikus megoldást, különösen azért, mert a kerekítési hibák a kezdeti adatok megszakításaként értelmezhetők.

A numerikus módszer a folytonos matematikai problémát diszkrét, azaz véges problémával is felváltja. Már előfordul az úgynevezett diszkrétizációs hiba , amelyet a konzisztencia- elemzés részeként becsülnek meg és értékelnek. Erre azért van szükség, mert a numerikus módszer általában nem adja meg a pontos megoldást.

A stabilitási elemzést annak értékelésére használják, hogy az ilyen hibák hogyan növekednek a számítás folytatásakor .

Az algoritmus konzisztenciája és stabilitása általában konvergenciához vezet (lásd: Határérték (függvény) ).

Numerikus módszerek

Számos matematikai probléma, például optimalizálás vagy parciális differenciálegyenletek megoldása érdekében számos numerikus módszer és algoritmus létezik. A kiválasztott numerikus eljárások kommentált összeállítása a Numerikus eljárások listája részben található .

irodalom

  • Wolfgang Dahmen , Arnold Reusken: Számjegyek mérnököknek és természettudósoknak. Springer, Berlin és mtsai, 2006, ISBN 3-540-25544-3 .
  • Peter Deuflhard , Andreas Hohmann: Numerikus matematika. 1. kötet: Algoritmikusan orientált bevezetés. 3., átdolgozott és kibővített kiadás. de Gruyter, Berlin és mtsai 2002, ISBN 3-11-017182-1 .
  • Gene H. Golub , James M. Ortega: Tudományos számítás és differenciálegyenletek. Bevezetés a numerikus matematikába (= berlini matematikai tanulmánysorozat. 6. kötet). Heldermann, Berlin 1995, ISBN 3-88538-106-0 .
  • Martin Hanke-Bourgeois: A numerikus matematika és a tudományos számítás alapjai. Teubner, Stuttgart et al., 2002, ISBN 3-519-00356-2 .
  • Martin Hermann : Numerikus matematika. 2., átdolgozott és kibővített kiadás. Oldenbourg, München et al. 2006, ISBN 3-486-57935-5 .
  • Thomas Huckle, Stefan Schneider: Számítógépes tudósok. Springer, Berlin és mtsai, 2002, ISBN 3-540-42387-7 .
  • Ernst Kausen : Numerikus matematika a TURBO-PASCAL-szal. Hüthig, Heidelberg 1989, ISBN 3-7785-1477-6 .
  • Gerhard-áldozat: Számszerű matematika kezdőknek. Bevezetés matematikusok, mérnökök és informatikusok számára. 5., átdolgozott és kibővített kiadás. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0413-6 .
  • Robert Plato: Numerikus matematika kompakt. Alapvető ismeretek a tanuláshoz és a gyakorlathoz. Vieweg, Braunschweig et al., 2000, ISBN 3-528-03153-0 .
  • Hans R. Schwarz, Köckler Norbert: Numerikus matematika. 8. kiadás. Teubner, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4 .

web Linkek

Wikiszótár: Numerika  - jelentésmagyarázatok, szóeredet, szinonimák, fordítások

Egyéni bizonyíték

  1. ↑ Lloyd N. Trefethen : A numerikus elemzés meghatározása. In: SIAM News. No. 25., 1992. november 6. ( PDF fájl , ≈ 228  KB ).
  2. ↑ Lloyd N. Trefethen azt írta: „[...] központi feladatunk az általában kiszámíthatatlan mennyiségek kiszámítása analitikai szempontból és villámgyorsan.” (Vagy angolul: […] központi küldetésünk a mennyiségek kiszámítása amelyek analitikai szempontból jellemzően kiszámíthatatlanok és villámgyorsan végezhetők .; A numerikus elemzés definíciója , SIAM , 1992, lásd még a Google könyvek kivonatát )