A felületi integrál vagy felületi integrál általánosítása fogalmának integrál sík vagy ívelt felületek . Az integrációs terület tehát nem egydimenziós intervallum , hanem kétdimenziós halmaz a háromdimenziós térben . Egy általánosabb képviselet a lásd: Integráció csaptelepek .
Általános különbséget teszünk egy skalár és egy vektor felületi integrál között, az integrandum és az úgynevezett felületi elem alakjától függően . Ők
-
skaláris funkcióval és skaláris felületi elemmel , valamint
-
vektor által értékelt függvénnyel és vektoros felületi elemmel .
Kifejezések és meghatározások
Amikor integráló felett felületek parametrizációk az a felület, hogy az a hely, az integrációs változó és felületi elemek az a hely, a végtelenül (végtelenül kicsi) intervaiiumszéiességet .
Paraméterezés
Kétdimenziós halmazként egy felület két változó függvényében ábrázolható ( paraméterezhető ). Ha egy sor, a szélén, amely nem tartalmaz kettős pont, folytonosan differenciálható , nem végtelenül hosszú, és ráadásul van egy leképezés a figyelembe , akkor az egyik azt mondja , hogy ha van egy paraméterezése a felület . Ezen a ponton meg kell említeni, hogy a felületi integrálok kezelésével kapcsolatos nehézségek nagy része a paraméterezéshez kapcsolódik. A priori nem világos, hogy a különböző paraméterek ugyanazt az értéket hozzák létre az integrál számára. A felületi integrálok koordinátáinak megváltoztatása nem triviális, ezért motiválja a differenciális formák használatát .
Általában egy terület két paraméterrel ábrázolható és a következő formában:
A felszínen formájában görbék vagy a koordináta vonalak . Ezek koordinátahálózattal borítják a felületet, két ponton két koordináta-vonal fut keresztül. Így a felszín minden pontjának egyedi koordinátái vannak .
1. példa: A paraméterek ábrázolása
A sugarú gömb felülete a következőképpen paraméterezhető: a téglalap és
-
.
Ez a paraméterezés teljesíti a gömb egyenletet (lásd még a gömb koordinátákat ). itt van a poláris szög (általában vagy ) és az azimut szög (általában vagy ).
2. példa: Kifejezett reprezentáció
Ha egy függvény és a terület formában van megadva , akkor és a két paraméter; a terület paraméterezése így néz ki:
Felületi elem
Ha egydimenziós esetben ez egy végtelenül kis intervallum szélességét képviseli , akkor kétdimenziós esetben van értelme egy végtelenül kis terület területére cserélni. Az előző szakaszban leírt paraméterezéssel két érintőt lehet elhelyezni a felület minden pontján (lásd még: Görbe vonalú koordináták ): Az egyik az az érintő, amely akkor keletkezik, ha valaki állandóan hagyja és minimálisan változik, és egy kicserélt változókkal. Ez két érintőt jelent a vizsgált pont két koordinátavonalához . Ezeket az érintőket két végtelen kis érintő vektor fejezheti ki (legyen a felület paraméterezett formája):
-
és
Az alábbiakban a tömör jelölést használjuk a részleges származékokhoz:
-
és
Ha ezek az érintők a felület bármely pontján nem párhuzamosak, akkor szabályos paraméterezésről beszélünk . Az érintő vektorok keresztterméke ekkor egy olyan vektor, amelynek hossza nem egyenlő nullával.
A két érintővektor a felület érintőleges síkjában fekszik a vizsgált pontban. A két érintő vektor által átfogott paralelogramma területe most megegyezik kereszttermékük mennyiségével .
Ha most már rendszeresen elvégezzük a felület paraméterezését, akkor meghatározzuk:
-
a készülék normál vektora a felületi elem
A kereszttermék tulajdonságai szerint a vektoros felületi elem merőleges a felületre, mennyisége pontosan megegyezik a végtelenül kicsi felületi darab méretével.
A fent bemutatott formában a vektoros felületi elem nincs pontosan meghatározva , mivel iránya attól függ, hogy kiszámítja-e vagy sem . A két lehetőség ellentétes egymással. Ha zárt felületekre tekint, akkor általában egyetért abban, hogy a kifelé mutató vektoros felület elemet kell használni.
1. példa: A paraméterek ábrázolása
Az R sugarú gömb felülete a fentiek szerint a poláris szöggel és az azimut szöggel paraméterezhető. A területelem a következő számításból származik:
Két megoldás lehetséges a normál vektor ( ), attól függően, hogy a sorrendben , és a kereszt terméket. Jellemzően itt választják a pozitív megoldást, amely a konvex gömbfelülettől (úgynevezett "külső normál") távolabbra mutat .
2. példa: Kifejezett reprezentáció
Ha a felület a megadott formában van , nyomja meg a felület elemét a koordináták különbségeivel , tól.
Így a felületi elem és a vektoros felületi elem megegyezik:
Vetítés egy felületre ismert felületi elemmel
A következőkben feltételezzük, hogy ismert egy felület annak felületi elemével és a hozzá tartozó normál vektorral . Például.
-
és
- Kör alakú henger oldalirányú sugara :
-
és
- Gömb alakú felület sugárral :
-
és
A felületi elemet egy másik felületre , normál vektorral kell meghatározni. A területet nagyjából megadja, és így a normál vektor egyenlő .
Most a projekt mellett a . Ezután a felületelemek lehet kapcsolódik segítségével
a :
A normál vektorok mentén minden egyenes csak egyszer metszheti a felületet . Ellenkező esetben kisebb területeket kell felosztania , amelyek vetülete akkor tiszta, vagy más alapterületet kell választania.
A vektoros felület elem:
1. példa
Adott egy űrlap felületét , majd alkalmazza és így:
Ezt a területet most a és a síkkal vetítik a síkba ; van
2. példa
A tengely körül egy forradalom szilárd felületének elemét keressük , vagyis .
A felületi elemet egy kör alakú henger oldalirányú felületére vetítve nyerjük:
Az integrálok
A paraméterezéssel és a felületi elemekkel megadhatja a felületi integrálokat. Ezek a többdimenziós integrálok Lebesgue-integrálok , de a legtöbb esetben több Riemann-integrálként számíthatók ki .
A skaláris felületi integrál
A skaláris függvény skaláris felületi integrálját egy felületen , szabályos paraméterezéssel a következőkkel definiáljuk
-
.
Például , ha beállítunk , akkor a skaláris felületintegrál egyszerűen a felület területe .
Példa: egy gömb felülete
A gömbös koordináták felületi elemével
egy sugarú gömb felülete a következőket eredményezi :
-
.
A vektoriális felületintegrál
A vektorral értékelt függvény vektorfelületi integrálját egy felületen , szabályos paraméterezéssel a következőkkel definiáljuk
-
.
Ennek az integrálnak a világos bemutatását egy vektormező áramlása biztosítja a felületen : A méret jelzi a végtelenül kicsi felületi vektor által a teljes áramláshoz való hozzájárulást ; mégpedig mennyi áramlik át a tapaszon . Az áramlás akkor maximális, ha a vektormező párhuzamos a felületi normálissal , és nulla, ha merőleges , vagyis a felületre tangenciális - akkor a felszín mentén "áramlik" , de nem rajta keresztül.
Példa: A vektormező áramlása egy gömb alakú felületen
A sugárirányban szimmetrikus vektor mező kap
állandó , a helyzet vektor és nagysága . A vektor tehát egységvektor a pozícióvektor irányában. A fizikában például a koordináták kezdőpontjában lévő pont töltés elektromos mezője ilyen alakú: lásd Coulomb törvényét .
Szimmetria miatt gömb alakú koordinátákat használnak. A sugárral és az origó közepén lévő
gömb vektoriális felhasználói felületének eleme
-
.
A vektormező sugáreredményű gömb felületén történő áramlásához :
-
.
A vektormező áramlása a gömbfelületen tehát független a gömb sugarától . A fizikai például az elektromos mező egy ponttöltés, ez az eredmény egy speciális esete a Gauss-törvény az elektrosztatika .
irodalom
- G. Bärwolff: Felső matematika természettudósok és mérnökök számára . 2. kiadás. Spectrum Academic Publishing House, 2006, ISBN 978-3-8274-1688-9
- KF Riley, Hobson képviselő: Matematikai módszerek a fizika és a mérnöki szak számára . 3. kiadás. Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-67971-8
- K. Endl / W. Luh: Elemzés . szalag 2 . Akademische Verlagsgesellschaft, 1973, ISBN 3-400-00206-2 .