Pontcsoport

A pontcsoport egy speciális típusú szimmetriacsoport az euklideszi geometriában, amely leírja a véges test szimmetriáját . Valamennyi pontcsoportot az jellemzi, hogy van egy pont, amelyet a pontcsoport összes szimmetriaművelete visszaképez magára. Alapján Neumann-elv , a lényeg csoport határozza meg a makroszkopikus tulajdonságait a szervezetben. További állításokat kaphatunk a reprezentációelmélet segítségével .

A lényeg csoportok használják molekuláris fizika és krisztallográfiával , ahol a 32 krisztallográfiás pontcsoportok is nevezik kristály osztályokat. A pontcsoportokat a Schoenflies jelölés jelöli . Időközben a Hermann Mauguin szimbolikát főleg a kristálytanban használják .

Matematikai alapok

A test szimmetriáját matematikailag az összes lehetséges szimmetriai művelet halmazaként ( szimmetriacsoport ) írják le . A szimmetria műveletek alatt olyan euklideszi mozgásokat értünk, amelyek a testet önmagában képviselik. Különbséget kell tenni az orientációt fenntartó páros mozgások és az orientációt megfordító páratlan mozgások között, pl. B. Reflexiók a repülőgépeken.

Lehetséges szimmetria műveletek pontcsoportok háromdimenziós vektor tér, a szimmetria műveletek, amelyek meghatározott pont legalább: identitás feltérképezése , pont tükrözi a központja inverzió , visszaverődés egy tükör sík , forgatás körülbelül egy forgástengely , valamint ezek kombinációja rotációs visszaverődés vagy ennek megfelelő fordított inverzió . A fordítás , a csavarozás és a csúszó visszaverődés nem lehet egy pontcsoport eleme, mert nincs rögzített pontja.

Ha valaki a szimmetriaműveletek végrehajtását egymás után additív műveletként érti, akkor felismeri, hogy a szimmetriaműveletek halmaza (általában nem kommutatív ) csoport .

Diszkrét és folytonos pontcsoportok egyaránt vannak. A diszkrét pontcsoportok két különböző típusra oszthatók:

• Pontcsoportok, amelyek legfeljebb egy forgástengellyel rendelkeznek, kettőnél nagyobb számmal,
• Legalább két forgástengellyel rendelkező pontcsoportok kettővel nagyobb számmal.

A legfeljebb egy jelölt -számos forgástengellyel rendelkező diszkrét pontcsoportok kombinálhatók tükörsíkokkal és kettős forgástengellyel is. Összességében a következő lehetőségek állnak rendelkezésre: ${\ displaystyle n}$

Az egyes csoportok számára vannak speciális nevek:

• ${\ displaystyle C_ {S} \ equiv C_ {1v} \ equiv C_ {1h} \ equiv S_ {1}}$( Reflexió)${\ displaystyle S =}$
• ${\ displaystyle C_ {i} \ equiv S_ {2}}$( Inverzió, azaz pontvisszaverődés)${\ displaystyle i =}$

Azok a pontcsoportok, amelyek legalább két forgástengellyel rendelkeznek, kettőnél nagyobb számmal, megfelelnek a platoni szilárd test szimmetriai csoportjainak .

• A tetraéderes csoportokra : . Ez megfelel a tetraéder teljes szimmetriájának .${\ displaystyle T, T_ {d}, T_ {h}}$${\ displaystyle T_ {d}}$

• A Oktaedergruppen : . Ez megfelel egy oktaéder vagy hexaéder teljes szimmetriájának .${\ displaystyle O, O_ {h}}$${\ displaystyle O_ {h}}$

• A Ikosaedergruppen : . Ez megfelel egy ikozaéder vagy dodekaéder teljes szimmetriájának .${\ displaystyle I, I_ {h}}$${\ displaystyle I_ {h}}$

A folytonos pontcsoportokat Curie-csoportoknak is nevezik . A hengercsoportokból áll (végtelen forgástengellyel) és a gömbcsoportokból (két végtelen forgástengellyel).

Pontcsoportok a kristálytanban

A kristályszerkezet teljes lehetséges szimmetriáját a 230 kristálytani tércsoporttal írják le . A pontcsoportok szimmetriaműveletei mellett szimmetriaműveletekként fordítások is találhatók csavarok és csúszó reflexiók formájában. Ezzel szemben a pontcsoportok elegendőek egy makroszkopikus egykristály szimmetriájának leírására , mivel a kristályok mindig domború poliéderek, és a szerkezetben lehetséges belső transzlációk nem ismerhetők fel makroszkóposan.

Ha törli az összes fordítást egy tércsoportban, és a csavar tengelyeket és a csúszó tükör síkjait a megfelelő forgástengelyekkel és tükör síkokkal is helyettesíti, akkor megkapja az úgynevezett geometriai kristályosztályt vagy a kristály pontcsoportját. Ezért kristályosztályként csak azok a pontcsoportok kerülnek szóba, amelyek szimmetriája kompatibilis egy végtelenül kiterjesztett rácsral. Egy kristályban csak 6, 4, 3, 2 irányú forgástengelyek lehetségesek (60, 90, 120 vagy 180 forgás és ezek többszöröse). A háromdimenziós pontcsoportokat, amelyekben nem, vagy csak 2, 3, 4 és / vagy 6-szoros forgástengely fordul elő, kristálytani pontcsoportoknak nevezzük. Összesen 32 kristálytani pontcsoport van, amelyeket kristályosztályoknak is nevezünk.

A 32 kristálytani pontcsoport (kristályosztályok)

Megjegyzések

A kapcsolat a tér-csoport és a pontcsoporthoz kristály eredményeket az alábbiak szerint: A készlet összes fordításának egy tér-csoport alkot egy normális osztó a . A kristály pontcsoportja az a pontcsoport, amely izomorf a faktorcsoporttal . A pontcsoport leírja a kristály szimmetriáját a gamma pontban, vagyis annak makroszkopikus tulajdonságait. A Brillouin zóna más helyein a kristály szimmetriáját a megfelelő hullámvektor csillagcsoportja írja le . Ezek általában különböznek az ugyanazon pontcsoportba tartozó helyiségcsoportoknál. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R / T}$

Az 5, 7 és a nagyobb számú forgástengelyek "tiltása" csak háromdimenziós periodikus kristályokra vonatkozik. Ilyen forgástengelyek fordulnak elő mind a molekulákban, mind a kvazikristályokban lévő szilárd anyagokban . A kvazikristályok felfedezéséig és a kristály kifejezés későbbi újradefiniálásáig a kristályok tilalmát egyetemesen elfogadták.

Szerint a Friedel-törvény, a diffrakciós mintázat kristályok strukturális elemzések segítségével röntgendiffrakciós mindig tartalmaz egy inverziós központ hiányában anomális szóródás . Ezért a diffrakciós adatokból származó kristályok nem rendelhetők közvetlenül a 32 kristályosztály egyikéhez, hanem csak a 11 centroszimmetrikus kristálytani pontcsoport egyikéhez, amelyet Lau csoportnak is neveznek . A Lau-csoport azonosításával tisztázódik a kristály hovatartozása a hét kristályrendszer egyikéhez.

Pontcsoportok a molekuláris fizikában

Pontcsoportok és molekulaszimmetria

Schoenflies	H. / M.	Szimmetria elemek	Molekuláris példák
Alacsony szimmetriájú pontcsoportok
C 1	${\ displaystyle 1 \}$	I / E = C 1	CHFClBr
C s ≡ S 1	${\ displaystyle m \}$	σ ≡ S 1	BFClBr, SOBrCl
C i ≡ S 2	${\ displaystyle {\ bar {1}}}$	i ≡ S 2	1,2-dibróm-1,2-diklór-etán, mezo- borkősav
SO esztergacsoportok (2)
C 2	${\ displaystyle 2 \}$	C 2	H 2 O 2 , S 2 Cl 2
C 3	${\ displaystyle 3 \}$	C 3	Trifenil- metán, N (GeH 3 ) 3
C 4	${\ displaystyle 4 \}$	C 4
C 5	${\ displaystyle 5 \}$	C 5	15 korona-5
C 6	${\ displaystyle 6 \}$	C 6	α-ciklodextrin
Csoportok esztergálása függőleges tükörsíkokkal
C 2v ≡ D 1h	${\ displaystyle 2mm \}$	C 2 , 2σ v	H 2 O , SO 2 Cl 2 , o- / m- diklór-benzol
C 3v	${\ displaystyle 3m \}$	C 3 , 3σ v	NH 3 , CHCI 3 , CH 3 Cl , POCI 3
C 4v	${\ displaystyle 4mm \}$	C 4 , 4σ v	SF 5 Cl, XeOF 4
C 5v	-	C 5 , 5σ v	Korannulén , C 5 H 5 In
C 6v	${\ displaystyle 6mm \}$	C 6 , 6σ v	Benzol-hexametil-benzol-króm (0)
C ∞v	-	C ∞ , ∞σ v	lineáris molekulák, például HCN , COS
Forgó csoportok vízszintes tükörsíkokkal
C 2h ≡ D 1d ≡ S 2v	${\ displaystyle 2 / m \}$	C 2 , σ h , i	Oxálsav , transz- butén
C 3h ≡ S 3	${\ displaystyle 3 / m \}$	C 3 , σ h	Bórsav
C 4h	${\ displaystyle 4 / m \}$	C 4 , σ h , i	Polycycloalkane C 12 H 20
C 6h	${\ displaystyle 6 / m \}$	C 6 , σ h , i	Hexa-2-propenil-benzol
Forgó tükörcsoportok
S 4	${\ displaystyle {\ bar {4}}}$	S 4	12-korona-4, tetraphenylmethane , Si (OCH 3 ) 4
S 6 ≡ C 3i	${\ displaystyle {\ bar {3}}}$	S 6	18-korona-6, hexaciklopropil-etán
Dihedrális csoportok
D 2 ≡ S 1v	${\ displaystyle 222 \}$	3C 2	Twistan
D 3	${\ displaystyle 32 \}$	C 3 , 3C 2	Trisz-kelát komplexek
D 4	${\ displaystyle 422 \}$	C 4 , 4C 2	-
D 6	${\ displaystyle 622 \}$	C 6 , 6C 2	Hexafenilbenzol
Dieder csoportok vízszintes tükörsíkokkal
D 2h	${\ displaystyle mmm \}$	S 2 , 3C 2 , 2σ v , σ h , i	Etén , p- diklór-benzol
D 3h	${\ displaystyle {\ bar {6}} 2m}$	S 3 , C 3 , 3C 2 , 3σ v , σ h	BF 3 , PCl 5
D 4h	${\ displaystyle 4 / mmm \}$	S 4 , C 4 , 4C 2 , 4σ v , σ h , i	XeF 4
D 5h	-	S 5 , C 5 , 5C 2 , 5σ v , σ h	IF 7
D 6h	${\ displaystyle 6 / mmm \}$	S 6 , C 6 , 6C 2 , 6σ v , σ h , i	benzol
D h	-	S 2 , C ∞ , ∞C 2, ∞σ v, σh, i	lineáris molekulák, mint szén-dioxid , etin
Dieder csoportok átlós tükörsíkokkal
D 2d ≡ S 4v	${\ displaystyle {\ bar {4}} 2m \}$	S 4 , 2C 2 , 2σ d	Propadién , ciklooktatetraén , B 2 Cl 4
D 3d ≡ S 6v	${\ displaystyle {\ bar {3}} m \}$	S 6 , C 3 , 3C 2 , 3σ d , i	Ciklohexán
D 4d ≡ S 8v	-	S 8 , C 4 , 4C 2 , 4σ d	Ciklo- kén (S 8 )
D 5d ≡ S 10v	-	S 10 , C 5 , 5C 2 , 5σ d	Ferrocén
Tetraéder csoportok
T	${\ displaystyle 23 \}$	4C 3 , 3C 2	Pt (PF 3 ) 4
T h	${\ displaystyle m3}$	4S 6 , 4C 3 , 3C 2 , 3σ h , i	Fe (C 6 H 5 ) 6
T d	${\ displaystyle {\ bar {4}} 3m}$	3S 4 , 4C 3 , 3C 2 , 6σ d	CH 4 , P 4 , adamantán
Oktaéder csoportok
O	${\ displaystyle 432 \}$	3C 4 , 4C 3 , 6C 2	-
Oh h	${\ displaystyle m3m \}$	4S 6 , 3S 4 , 3C 4 , 4C 3 , 6C 2 , 3σ h , 6σ d , i	SF 6 , kubán
Icosahedral csoportok
ÉN.	-	12S 10 , 10S 6 , 6C 5 , 10C 3 , 15C 2	-
Én h	-	12S 10 , 10S 6 , 6C 5 , 10C 3 , 15C 2 , 15σ v , i	Fullerén-C60 , fullerén-C20 ( ötszög-dodekaéder )
térbeli rotációs csoportok SO (3)
K h	-	∞C ∞ , ∞σ, i	egyatomos részecskék, például hélium , elemi részecskék

Alkalmazások

A kristály tulajdonságai általában az iránytól függenek. Ezért az összes anyagtulajdonságot egy megfelelő tenzor írja le . Rögzített kapcsolat van a kristály pontcsoportja és a megfelelő tulajdonságtenzor alakja vagy független komponenseinek száma között. Íme két példa:

Az inverzióközponttal rendelkező pontcsoportokban a páratlan tenzor összes komponense azonos nulla. Ezért ezekben a pontcsoportokban nincs pyro effektus, piezo effektus és optikai aktivitás sem.

A rugalmas állandók egy 4. rendű tenzor. Ennek általában 3 ⁴ = 81 komponense van. A köbös kristályrendszerben csak három független komponens létezik, amelyek eltérnek a nullától: C ₁₁₁₁ (= C ₂₂₂₂ = C ₃₃₃₃ ), C ₁₁₂₂ (= C ₂₂₃₃ = C ₁₁₃₃ ) és C ₁₂₁₂ (= C ₁₃₁₃ = C ₂₃₂₃ ). Az összes többi komponens nulla.

A molekuláris és a szilárdtestfizikában a molekula vagy a kristály szimmetriája felhasználható az infravörös és Raman-aktív módok számának és elhajlási mintázatának meghatározására. A mért frekvenciák hozzárendelése a megfelelő módokhoz csoportelméleti módszerekkel nem lehetséges. Ha ez a hozzárendelés elvégezhető, akkor az atomok közötti kötési energiák kiszámíthatók a frekvenciákból.

irodalom

• Wolfgang Demtröder: Molekuláris fizika . Oldenbourg, München, 2003, ISBN 3-486-24974-6 . 
• Will Kleber , Hans-Joachim Bautsch , Joachim Bohm , Detlef Klimm: Bevezetés a kristálytanba . 19. kiadás. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3 . 
• Hahn, Theo (Ed.): International Tables for Crystallography Vol. Egy D. Reidel Publishing Company, Dordrecht 1983 ISBN 90-277-1445-2
• Hollas, J. Michael: A molekulák szimmetriája , Walter de Gruyter, Berlin 1975, ISBN 3-11-004637-7

web Linkek

• A pontcsoport meghatározása (IUCr)
• Geometriai kristályosztály (IUCr)

Egyéni bizonyíték

1. ^ A kémiai Nobel-díj 2011. In: Nobelprize.org. Letöltve: 2011. október 21 .