Keresztmetszet

A molekuláris , atom- , mag- és részecskefizikában a keresztmetszet ( sigma ) annak valószínűségét méri, hogy bizonyos eltérés van egy beeső hullámsugárzás vagy egy beeső részecske („lövedék”) és egy másik részecske ( szórt test vagy cél ) Olyan folyamat, mint B. felszívódás , szétszóródás vagy reakció megy végbe. ${\ displaystyle \ sigma}$

A keresztmetszet dimenziós területtel rendelkezik. Általában a következő egységekben adják meg :

• a nukleáris és részecskefizika Barn (1 b = 10 ^-28  m ² = 10 ^-4  pm ² = 100 fm ² )
• atom- és molekulafizikában 10 ⁻²²  m ² = 1 Mb = 10 ⁻⁴  nm ² = 100  pm ² .

A keresztmetszet mint az egyes célrészecskékhez rendelt találati terület ötlete egyértelmű mérést ad a vizsgált folyamat „erősségéről”: egy gyakran előforduló folyamat nagy keresztmetszetnek felel meg, míg egy ritkán bekövetkező folyamat egy kis keresztmetszetnek felel meg. Ez a találati terület azonban általában nem felel meg a célrészecske méretére, alakjára és helyzetére vonatkozó világos elképzeléseknek .

A keresztmetszet az érdeklődés folyamatától, a beeső részecske vagy kvantum típusától és kinetikus energiájától, valamint a részecske találatának típusától függ, pl. B. atom , atommag . Ez utóbbi függőség azt jelenti, hogy a keresztmetszetek anyagi tulajdonságok . Például a nukleáris reaktorok vagy a fúziós reaktorok kiszámításához kiterjedt nukleáris adatkönyvtárakra van szükség, amelyek tartalmazzák a különböző anyagok keresztmetszetét a különböző energiájú beeső neutronok számára a különböző lehetséges szórási folyamatokhoz és a nukleáris reakciókhoz.

Különösen a nukleáris reakciók esetében a keresztmetszetet, amelyet a beeső részecske / kvantum energiájának függvényében tekintünk, néha gerjesztési függvénynek is nevezzük .

Különleges feltételek

A vizsgált folyamat típusától függően a keresztmetszetre különböző kifejezéseket használnak:

• Abszorpciós keresztmetszet a beeső részecske minden elnyeléséhez
• Szórási keresztmetszet a szóráshoz, vagyis a beeső részecske elhajlásához
• Kihalási keresztmetszet a csillapításhoz vagy az energia kinyeréséhez, a szórás és az abszorpció keresztmetszetének összege
• Fogja meg a keresztmetszetet egy bizonyos abszorpció, nevezetesen a neutron befogás (az (n, ) -magreakció) érdekében${\ displaystyle \ gamma}$
• Neutron keresztmetszet az atommag és a szabad neutron közötti (bármilyen) kölcsönhatáshoz
• A reakció keresztmetszete annak a kémiai reakciónak , amelyet két atom vagy molekula ütközése vált ki
• Rugalmas effektív keresztmetszet (gyakran csak „rugalmas keresztmetszet”) a rugalmas ütközésekhez, vagyis olyan ütközésekhez, amelyekben a teljes kinetikus energia megmarad
• Rugalmas effektív keresztmetszet ("rugalmatlan keresztmetszet") a rugalmatlan ütközéshez, vagyis olyan ütközéshez, amelyben a kinetikus energia más energiaformákká alakul át, pl. Például egy részecske gerjesztődik (vagyis magasabb energiaállapotba kerül), vagy új részecskék jönnek létre
• Ionizációs keresztmetszete az ionizációs a találati atom
• A hasadás keresztmetszete az indukált maghasadáshoz
• Sugárzási nyomás keresztmetszete .

meghatározás

A találati valószínűség a célszemcsék teljes területe , azaz (piros), osztva a cél teljes területével (kék).${\ displaystyle w}$${\ displaystyle N_ {T}}$${\ displaystyle \ sigma \ cdot N_ {T}}$

A cél egyenletes besugárzásával végzett kísérletben a célrészecskének (célrészecskének) képzeletbeli „célként” σ területet rendelünk. Méretüket úgy választják meg, hogy a megfigyelt reakciók ("kölcsönhatások") számát pontosan meghatározza az ezen a felületen átrepülő lövedékrészecskék száma - pontszerű, azaz tágulás nélkül elképzelhető. Ez a terület a kérdéses célkeresztmetszet a szóban forgó kölcsönhatásnak a szóban forgó lövedékrészecskék energiájánál.

Annak valószínűségét, hogy egy beeső részecske kölcsönhatásba lép a célrészecskével, az alapján számolják ${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle w = \ sigma {\ frac {N_ {T}} {F}} \ quad \ Leftightarrow \ quad \ sigma = w {\ frac {F} {N_ {T}}}.}$

Ebben van

• ${\ displaystyle F \,}$ a besugárzott célterület és
• ${\ displaystyle N_ {T} \,}$ a benne lévő célszemcsék száma;

azért is feltételezik, mert a célszemcsék egyébként árnyékolják egymást. ${\ displaystyle \ sigma N_ {T} \ ll F \ quad \ Balra mutató nyíl \ quad w \ ll 1}$

Ha összesen egy lövedékrészecske lép be, és mindegyiküknek valószínű a reakció kiváltása, akkor a reakciók teljes számát a következő adja meg: ${\ displaystyle \, N}$${\ displaystyle \, w}$

${\ displaystyle N _ {\ text {reakció}} = wN \ quad \ Balra mutató nyíl \ quad w = {\ frac {N _ {\ text {reakció}}} {N}}. \,}$

Együtt:

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {N _ {\ text {reakció}}} {N}} \, {\ frac {F} {N_ {T}}} \ quad \ Balra mutató nyíl \ quad N _ {\ text {reakció}} = \ sigma {\ frac {N_ {T}} {F}} N.}$

A kísérleti meghatározása a keresztmetszet révén alkalmas detektorok mért közben , és a tervezése és megvalósítása a kísérlet ismert. ${\ displaystyle \, N _ {\ text {reakció}}}$${\ displaystyle N_ {T} \,}$${\ displaystyle N \,}$${\ displaystyle F \,}$

Az elméleti levezetésben (pl. A kvantummechanikai szóráselméletben ) a képletet gyakran elosztják az idővel, vagyis a reakció sebességével ( reaktorfizika : magreakció sebessége ): ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle W = {\ frac {N _ {\ text {reakció}}} {t}} = \ sigma N_ {T} \, j = \ sigma L}$

Val vel

• A részecske fluxus sűrűsége a lövedék részecskék és${\ displaystyle j = {\ frac {N} {F \, t}}}$
• a cél és a részecske nyaláb kombinációjának fényereje .${\ displaystyle L = N_ {T} \, j}$

A beeső részecskesugár csillapítása a vastag célpontban

Egy végtelenül vékony megcélzott réteg vastagsága , és így termékként a fenti egyenletből, ha a termék „ részecske sűrűség alkalommal vastagság ” használják a „részecske per terület” : ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$ ${\ displaystyle \ rho _ {T}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} N _ {\ text {reakció}}} {N}} = \ sigma \ cdot (\ rho _ {T} \ cdot \ mathrm {d} x)}$.

Itt található a célanyag részecskesűrűsége, azaz a célrészecskék száma térfogategységre vonatkoztatva: ${\ displaystyle \ rho _ {T}}$

${\ displaystyle \ rho _ {T} = {\ frac {N _ {\ text {A}} \ cdot \ rho} {M}}}$

Val vel

• ${\ displaystyle N _ {\ text {A}}}$az Avogadro-állandó ,
• ${\ displaystyle \ rho}$a tömegsűrűség és
• ${\ displaystyle M}$a moláris tömeg .

Ha megoldja a fenti egyenletet és egyenlővé teszi , akkor megkapja a differenciálegyenletet${\ displaystyle N _ {\ text {reakció}}}$${\ displaystyle - \ mathrm {d} N}$

${\ displaystyle - \ mathrm {d} N = N (x) \, \ rho _ {T} \, \ sigma \, \ mathrm {d} x \ quad \ Balra mutató nyíl \ quad {\ frac {\ mathrm {d} N} {\ mathrm {d} x}} = - N (x) \, \ rho _ {T} \, \ sigma.}$

A megoldás erre az

${\ displaystyle N (x) = N_ {0} \ cdot e ^ {- \ sigma \ rho _ {T} x}.}$

Értelmezés: az egymással kölcsönhatásban lévő lövedékrészecskék már nem részei a beeső sugárnak a részecskék számával, mert elnyelődtek (reakció esetén), vagy (szóródás esetén) elhajlottak eredeti útjuktól. Ez azt jelenti, hogy az x vastagságú célrétegen való áthaladás után a részecskék továbbra is csak részecskék vannak jelen. ${\ displaystyle N _ {\ text {reakció}}}$${\ displaystyle N_ {0}}$${\ displaystyle N (x) = N_ {0} -N _ {\ text {reakció}}}$

Ha megvizsgáljuk az adott kötetben zajló kölcsönhatásokat , akkor ha annak a kötetnek a hossza van. Ha ezt használja, megváltoztathatja az egyenletet a keresztmetszet kiszámításához: ${\ displaystyle x = l}$${\ displaystyle l}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ quad \ sigma = {\ frac {1} {l \ cdot \ rho _ {T}}} \ cdot \ ln \ balra ({\ frac {N_ {0}} {N_ {0} - N _ {\ text {reakció}}}} \ jobbra)}$

Nyilvánvalóan érvényes is

${\ displaystyle \ sigma \ cdot \ rho _ {T} = {\ frac {1} {\ lambda}} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ sigma = {\ frac {1} {\ lambda \ cdot \ rho _ {T }}},}$

hol van az átlagos szabad út , amely után a beeső sugár intenzitása az eredeti értékére csökkent. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ frac {1} {e}}}$

Ha egynél több típusú eljárás lehetséges, akkor ez az egyenlet mindegyikre együttesen vonatkozik, vagyis ez a teljes keresztmetszet (lásd alább). ${\ displaystyle \ sigma}$

Teljes keresztmetszet

Keresztmetszetek a ²³⁵ U neutron- és atommag hat magreakciójára és ezek összege, a teljes keresztmetszet, a neutronok kinetikus energiájának függvényében. A jelmagyarázatban z néha a neutron helyett a szokásos n szimbólum helyett áll (adatforrás: JEFF, grafikus ábrázolás: törzsadat-megjelenítő JANIS 4 [1] )

A "teljes keresztmetszet" kifejezést két jelentésben használják:

1. Néha a keresztmetszetet jelenti a lehetséges események bármelyikének bekövetkezése esetén, pl. B. A beeső részecske felszívódása vagy szétszóródása. Kölcsönösen kizáró folyamatok esetében a teljes keresztmetszet az egyes keresztmetszetek összege. Az ábrán a keresztmetszete a hat típusú nukleáris reakciók a neutron és atommag ²³⁵ U játszó az energia intervallumban (10 ^-11 20) MeV és ezek összege keresztmetszetek, a teljes keresztmetszetben. Erre akkor van szükség, amikor csak a beeső részecske áramlásának gyengítéséről vagy az átlagos szabad útvonalról van szó .
2. Néha a „teljes keresztmetszetet” csak a fent meghatározott keresztmetszet értelmében használják egy bizonyos folyamatra, annak megkülönböztetése érdekében a differenciális keresztmetszettől (lásd alább); jobb kifejezés ebben az esetben az "integrált keresztmetszet". Az alábbiak érvényesek:${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}}}$

${\ displaystyle \ sigma = \ int _ {4 \ pi} {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} \ cdot d \ Omega}$

Differenciálkeresztmetszet

Ha a beeső primer sugárzás és a cél közötti reakció másodlagos sugárzást (szórt primer sugárzást vagy más típusú sugárzást) eredményez, akkor annak intenzitásának térbeli irányú eloszlását a differenciális (szintén differenciális) keresztmetszet írja le${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}}:}$

${\ displaystyle j _ {\ text {sec.}} (\ Omega) = {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} \; j _ {\ text {prim. }} \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} = {\ frac {j _ {\ text {sec.}} (\ Omega)} {j_ {\ text {prim.}}}}.}$

Ebben van

• ${\ displaystyle \, j _ {\ text {sec.}} (\ Omega)}$az Ω irányába távozó szekunder sugárzás áramsűrűsége egyetlen célrészecske jelenlétében ( lásd a meghatározást ), szilárd szögegységenként és időegységenként szemcséként megadva${\ displaystyle \, N_ {T} = 1}$
• ${\ displaystyle \, j _ {\ text {prim.}}}$ a (párhuzamosan bejövő) primer sugárzás aktuális sűrűsége részecskékben egységnyi területre és időegységre vonatkoztatva.

Ezért a dimenzió területe szögenként és z mértékegységként szerepel. B. Millibarn per szteradián . (Fizikailag a méretek számának és a differenciális keresztmetszetnek a folytonos szöge , tehát ugyanaz a felület mérete, mint maga a keresztmetszet .) ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}}}$${\ displaystyle \ sigma}$

Annak érdekében, hogy a szekunder sugárzás megfelelő irányú ütési területet kapjon , az egész szekunder sugárzást egy kis szögletes elemben vesszük figyelembe . Első közelítésként a ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Delta \ Omega}$

${\ displaystyle j _ {\ text {sec.}} (\ Omega) \ cdot \ Delta \ Omega = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} \ ; \ Delta \ Omega \ right) \; j _ {\ text {prim.}}.}$

A bal oldali kifejezés pontosan megfelel a fent említett reakciósebességnek ( N _T = 1 esetén). Képzeljen el egy kísérletet egy pontosan akkora detektorral, amely reagál minden bejövő másodlagos részecskére. Ezért a jobb oldalon a bejövő áramsűrűséget megelőzi a tényező ${\ displaystyle \ Delta \ Omega}$${\ displaystyle j _ {\ text {prim.}}}$

${\ displaystyle \ Delta \ sigma: = {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}} \, \ Delta \ Omega \ qquad \ left (\ Rightarrow \ quad {\ frac { j _ {\ text {sec.}} (\ Omega)} {j _ {\ text {prim.}}}} = {\ frac {\ Delta \ sigma} {\ Delta \ Omega}} \ jobb)}$

Pontosan a találati terület (korrekt dimenzió területén is), amely a reakciókat figyeltek meg ebben a kísérletben.

A integrálja a differenciál keresztmetszet fölött minden irányban van a teljes (vagy szerves ) keresztmetszete a megfigyelt típusú reakció:

${\ displaystyle \ sigma = \ int _ {4 \ pi} {\ frac {d \ sigma} {d \ Omega}} \ cdot d \ Omega}$

A differenciális keresztmetszet attól függ

• mint maga a keresztmetszet: a reakció típusától (a cél típusától, a primer és a szekunder sugárzás részecskéinek típusától és energiájától)
• ezen felül az irányból , amely két szöggel határozható meg. Általában csak az elsődleges sugár irányához viszonyított elhajlási szög érdekelt; akkor a differenciális keresztmetszetet röviden szögeloszlásnak is nevezzük .${\ displaystyle \ Omega}$

Szinte mindig a "különbözõ keresztmetszet" kifejezést jelentik minden további kiegészítés nélkül . További differenciálkeresztmetszetek: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sigma} {\ mathrm {d} \ Omega}}}$

Másodlagos energiaelosztás

A másodlagos részecske, vagyis a szétszórt részecske vagy reakciótermék energiájából levezetett keresztmetszetre, amely leírja a másodlagos részecskék energiaeloszlását , ritkábban van szükség . Ez az elsődleges és a másodlagos energiától függ. ${\ displaystyle E_ {s}}$${\ displaystyle {\ frac {d \ sigma} {dE_ {s}}}}$

Dupla differenciálkeresztmetszet

Olyan összetett folyamatok esetében, mint a gyors neutronok vastag anyagrétegekbe való behatolása ( transzportja ), ahol egy neutron egymás után részt vehet a különféle szóródási folyamatokban és a nukleáris reakciókban, a kettős differenciálkeresztmetszetet is figyelembe kell venni, mivel ez teszi lehetővé a legtöbbet részletes fizikai leírás. ${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ sigma} {d \ Omega \ cdot dE_ {s}}}}$

Geometriai keresztmetszet

Illusztráció geometriai keresztmetszet
(például 1):
ha a központ a részecske  b behatol a kék kör, jön egy ütközés részecske  egy .
A kék kör területe tehát a geometriai keresztmetszet, sugara a részecske sugarainak összege.

A klasszikus mechanikában minden részecske jól meghatározott pályákon repül . Azokhoz a reakciókhoz, amelyekhez a lövedék és a célszemcsék érintkezése szükséges, a geometriai keresztmetszet kifejezést használják, mert itt nemcsak a keresztmetszet mint ütési terület nagysága, hanem alakja és helyzete is (a célrészecskéhez viszonyítva) ) egyszerű geometriai jelentéssel bír: minden részecske Azok, akik a pályájukon ezen a területen repülnek, kiváltják a megfigyelt reakciót, a többiek nem.

• Példa két golyó becsapódására (sugár és lásd az ábrát): A célgolyóval való érintkezés pontosan a b lövedék golyónál történik, amelynek középpontja nem haladná tovább a célgolyó középpontját, mint azt a golyójuk összege jelzi. két sugár. A mozgó labda közepe számára az ütési terület egy kör alakú korong, amely az álló labda közepe körül van sugárral . A (teljes) keresztmetszet ennek a körnek a területe:${\ displaystyle R_ {a}}$${\ displaystyle R_ {b}}$${\ displaystyle R _ {\ sigma} = R_ {a} + R_ {b}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ text {geom}} = \ pi \, (R_ {a} + R_ {b}) ^ {2}.}$

• Példa labdarúgásra (sugár ) és kapufalra (a lyuk sugara ), a repülés irányára merőlegesen a falra. Amit a (közönség) reakció TOOR geometriai keresztmetszete kér, , tehát a szabad átrepüléshez: Ha érvényes, az . Ebben az esetben a labda átfér, de a labda középpontjának pályája legfeljebb a távolsággal tévesztheti el a lyuk közepét . Az ütési terület (a labda közepénél) egy kör alakú korong, amelynek sugara a lyuk közepe körül van. A geometriai keresztmetszet az${\ displaystyle R _ {\ text {Ball}}}$${\ displaystyle R _ {\ text {Hole}}}$${\ displaystyle R _ {\ text {Ball}}> R _ {\ text {Hole}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ text {geom}} = 0}$${\ displaystyle R _ {\ text {Ball}} \ leq R _ {\ text {Hole}}}$${\ displaystyle R _ {\ sigma} = R _ {\ text {Hole}} - R _ {\ text {Ball}}}$${\ displaystyle R _ {\ sigma}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ text {geom}} = \ pi \, (R _ {\ text {hole}} - R _ {\ text {ball}}) ^ {2}}$.

Mindkét példa azt mutatja, hogy a geometriai keresztmetszetet sem lehet azonosítani az egyik érintett test méretével (kivéve, ha a lövedéket, beleértve az erő tartományát is, pont alakúnak tekintjük). A második azt is megmutatja, hogy a keresztmetszet kifejezés milyen széles lehet.

Abban az esetben, hullám jelenségek, geometriai értelmezés nem lehetséges. Elvileg nem determinisztikus nyilatkozatokat lehet tenni az egyéni lövedék vagy a cél részecskék a kvantummechanika sem.

Makroszkopikus keresztmetszet

A nukleáris reaktorok fizikájában a fent definiált mikroszkopikus keresztmetszet mellett (azaz 1 célrészecske, általában 1 atom alapján) az 1 cm ³  anyagra épülő makroszkopikus keresztmetszet (nagy sigma) használt. Ez annak az eredménye a mikroszkopikus keresztmetszete szorozni a atomi száma sűrűség, azaz a szám a megfelelő atomokkal per cm ³ . Így megfelel a fent bevezetett átlagos szabad út reciprokjának. A makroszkopikus keresztmetszet szokásos mértékegysége cm ² / cm ³ = 1 / cm. Ezen alkalmazási területen a két reakciópartner energiája általában nincs meghatározva egységesen, így a súlypontjukban lévő kinetikus energia egy bizonyos frekvenciaeloszláson belül változik. Az érdekes változó ekkor az ezzel az eloszlással meghatározott makroszkopikus keresztmetszetek átlagos értéke. Ez pl. B. legyen hőmérsékletfüggő. ${\ displaystyle \ Sigma}$

Hőmérsékletfüggő keresztmetszet

A termodinamikai egyensúlyban az anyag atomjainak és molekuláinak alacsony a kinetikus energiája az adott hőmérsékleten lévő részecskékhez képest. Egy termikus reaktorban a neutron nagyon rövid idő után (mikroszekundum nagyságrendű) eléri a közeg „hőmérsékletét”, főleg a vízmolekula protonján való rugalmas szóródás miatt. Ekkor a keresztmetszet már nem csak a részecske sebességétől, hanem az atommag és a részecske relatív sebességétől függ. A keresztmetszet hőmérsékletfüggővé válik, és hőmérsékletfüggő keresztmetszetről vagy hőmérsékletfüggő makroszkopikus keresztmetszetről beszélünk .

Keresztmetszet és Fermi Aranyszabálya

Fermi Aranyszabálya kimondja, hogy a reakciósebességre ( az időenkénti reakciók számára) a következők vonatkoznak : ${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle W = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | M_ {fi} | ^ {2} \ rho}$

Val vel

• ${\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}}$a csökkent Planck-kvantum
• ${\ displaystyle M_ {fi}}$A átmeneti mátrix elem vagy a valószínűségi amplitúdó (adott Born-féle közelítés a forma tényező a potenciális kölcsönhatás)
• ${\ displaystyle \ rho}$a fázistér tényező .

Mivel a reakciósebesség egyenesen arányos a (differenciális) keresztmetszettel

${\ displaystyle W = L \, \ sigma}$( Lásd fentebb : a fényesség a részecske nyaláb),${\ displaystyle L \,}$

következésképpen a következők érvényesek:

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} {\ frac {1} {L}} \ cdot | M_ {fi} | ^ {2} \ rho.}$

Lásd még

• A nukleáris reakció sebessége
• Rutherford szétszóródás
• Mott szétszórt
• Rosenbluth-formula
• Szerkezeti funkció

web Linkek

• Keresztmetszet (geometriai értelmezés)

Egyéni bizonyíték

1. ^ ^{A b} HC van de Hulst: Fényszórás kis részecskékkel . Dover Publication Inc., 1981, ISBN 0-486-64228-3 , pp. 13 . 
2. ^ William M. Irvine: Fényszórás gömb alakú részecskék szerint: sugárzási nyomás, aszimmetriafaktor és kihalási keresztmetszet. In: Journal of the Optical Society of America. 55. szám (1), 1965, 16–19