Szögletes szög egy R sugarú gömbben
A szilárd szög van a háromdimenziós megfelelője a kétdimenziós szögben definiált a síkban . Leírja a teljes háromdimenziós tér arányát . B. egy adott kúp vagy piramisköpeny belsejében fekszik.
meghatározás
A szilárd szöget úgy definiáljuk, mint a területen a részleges terület egy gömbfelület osztva a tér a sugara a gömb :
-
.
Ha figyelembe vesszük, az egységgömb ( ) megegyezik a megfelelő szöggel. Tehát a teljes szilárd szög megegyezik az egységgömb felületével, mégpedig .
A részterület bármilyen alakú lehet. Vektoriális írva, mint a felületi integrál is
-
.
Ez a készülék vektor a származási koordinátákat , a differenciál felületi elem és a távolság a származási.
Ellentétben azzal, amit a kép sugallhat, a terület alakja nem fontos. A gömbfelület minden, azonos területű körvonala azonos méretű folytonos szöget határoz meg. Ha tesz egy sugár át minden pontján a vázlatot a központja a gömb , mint a kiindulási pont, akkor kap egy geometriai alakzat , amely bemutatja a szilárd szöget. Ez összehasonlítható a sík szögének ábrázolásával : két félegyenes közös kezdőponttal.
egységek
Noha a folytonos szög a dimenziószám mennyisége, az egyértelműség érdekében általában szteradián egységben (sr) adják meg ; Ez megfelel a radiánban az egység radián (rad) egy sík szögét. A szilárd szög 1 sr körülveszi egy területe az 1 m 2 egy gömb egy sugara 1 m . Mivel egy egész gömb alakú felület rendelkezik a területtel , a megfelelő teljes szilárd szög az
-
.
Időnként a folytonos szögeket négyzetfokban (°) ² is megadják . 1 (°) ² megegyezik .
A dimenziószám egy mennyiségének kiegészítő mértékegységének az az előnye, hogy sok területen, különösen a szögeknél is, az a mértékegység, amely megmutatja, hogy mely fizikai mennyiséget értjük. A fényárammal (lm) ellentétben a fényintenzitás (cd = lm / sr) a szilárd szögtől való függését mutatja az egységben a szteradián előfordulása révén. A fényintenzitás tehát egy olyan fényáramot ír le, amely a szilárd szögtől függ.
Ábrázolás vektorokkal
Három vektor, amelyek egy P ponttól indulnak , és definiálnak egy általános háromszöget . A következő vonatkozik a P csúcsú feszített folytonos szögre :
-
.
Ez a hármas termék a vektorok , és , a skalár szorzat és a hossza a vektor.
Ezt az ábrázolást Oosterom és Strackee adta és bizonyította 1983-ban.
Gömb alakú koordinátákkal való ábrázolás
Szögletes szög a derékszögű polárkoordinátaszegmensből
A gömb alakú háromszög szilárd szöge belső szögeitől függően szteradiánus (lásd a gömb alakú háromszög tulajdonságait ).
Egy gömb alakú koordinátarendszerben , a térszög lehet egyértelműen meghatározott, mivel nincs sugárirányú változó. Két meridián szög , és a két széles látószögű , meghatározza a felületi elem egy gömb alakú felület . A megfelelő szög:
A kúp szilárd szöge
Ha egy kört választ a körvonal alakjává a gömb alakú felületen , akkor megkapja a kanonikus folytonos szöget. A folytonos szög ezután egy egyenes kör alakú kúp köpenyét képezi , amelynek hegyén a gömb közepe található.
Ha a nyitási szög a kúp csúcsán van , akkor a folytonos szög a kettős integrálból származik
Nyitási szög fokban
|
0 |
1 |
2 |
5. |
10. |
15-én |
30-án |
45 |
57.2958
|
---|
Nyitási szög radiánban
|
0,0000 |
0,0175 |
0,0349 |
0,0873 |
0,1745 |
0,2618 |
0,5236 |
0,7854 |
1.0000
|
---|
Folyékony szög négyzetfokban
|
0,00 |
0,79 |
3.14 |
19.63 |
78.49 |
176,46 |
702,83 |
1570.10 |
2525.04
|
---|
Szögletes szög szteradiánokban
|
0,0000 |
0,0002 |
0,0010 |
0,0060 |
0,0239 |
0,0538 |
0.2141 |
0.4783 |
0,7692
|
---|
|
Nyitási szög fokban
|
60 |
65.5411 |
75 |
90 |
120 |
150 |
180 |
270 |
360
|
---|
Nyitási szög radiánban
|
1.0472 |
1.1439 |
1.3090 |
1.5708 |
2.0944 |
2.6180 |
3.1416 |
4.7124 |
6.2832
|
---|
Folyékony szög négyzetfokban
|
2763.42 |
3282,81 |
4262,39 |
6041.36 |
10313.24 |
15287.95 |
20626.48 |
35211.60 |
41,252.96
|
---|
Szögletes szög szteradiánokban
|
0.8418 |
1.0000 |
1.2984 |
1.8403 |
3.1416 |
4.6570 |
6.2832 |
10.7261 |
12.5664
|
---|
A piramis szilárd szöge
Egy piramis folytonos szögére
A négyszögletes és lapos körvonalú folytonos szög speciális esete megfelel a piramis geometriai alakjának , az origó pontosan merőleges a lapos téglalap közepére (lásd az ábrát). Ez a folytonos szög z. B. a téglalap alakú nyílásokkal rendelkező optikai rendszerek étendátumának kiszámításakor .
Nagyon könnyen kiszámítható az Oosterom és a Strackee képlettel. A piramisalapokkal és a h magassággal :
Ha a két nyitási szöget, és ahol és ahol használjuk a számításhoz , néhány trigonometrikus transzformáció után az következik :
Példák
Egy téglalap alakú nyílás előtt egy pontszerű fényforrás korlátozza a fénysugár a szögek 45 ° ( ) és 20 ° ( ). A folytonos szög 0,27 sr.
Ha négyzet alakú nyílásról van szó, és mindkét szög 20 °, akkor a folytonos szög 0,12 sr. A 20 ° -os kör alakú nyílás kanonikus folytonos szöge 0,10 sr.
A poliéder szöge
A szilárd szög a sarokban egy poliéder lehet kiszámítani L'Huilier-tétel.
A térszög a sarokban a belső szögek , , van, vonatkozik
ahol , , és van.
Példák
A következő szögek a félszög képleteiből , az érintő összeadási tételeiből és az egyenletekből , és .
Szabályos tetraéder
Egy szabályos tetraéder 4 sarkok , mindegyik 3 egyenlő belső szögek 60 °, mert minden 4 oldallapjai vannak egyenlő oldalú háromszög . Így van és
Négyzet alakú piramis
Egy egyenes négyzet piramis , amelynek négyzet , és négy egyenlő oldalú háromszög , mint oldalfelületek , van van a téren bázist 4 sarkok a belső szögek , , . A következő a négy sarok folytonos szögére vonatkozik
oktaéder
Egy oktaéder áll 2 egybevágó egyenes négyzet gúlák , mindegyik egy négyzet alakú , és 4 egyenlő oldalú háromszög , mint arcok . A szilárd szög az oktaéder 6 sarkában - és a négyzet alakú piramis tetején - ezért kétszer akkora, mint a négyzet alakú piramis másik 4 sarkában a szilárd szög, és
prizma
Egy egyenes hasáb van sarkok bármilyen belső szöge és két derékszögben 90 °, mert a külső felülete egyenes hasáb áll téglalapok . Az alábbiak a sarkok folytonos szögére vonatkoznak
Ezt a szilárd szög nyilvánvalóan azonos részesedése a teljes szilárd szög a belső szög a kétdimenziós teljes látószöget .
Csonka oktaéder
Egy csonka oktaéder 24 sarokkal rendelkezik , ahol négyzet és két szabályos hatszög találkozik. Minden sarkon van, így a belső szögek , , és a szilárd szög
A szilárd szögek a sarkokban a csonkolt oktaéder tehát egyenlő a teljes térszög. Ezt az eredményt megerősíti az a tény, hogy a háromdimenziós euklideszi tér teljesen kitölthető egybevágó csonka oktaéderekkel, ezáltal mindegyik sarokban négy csonka oktaéder találkozik (lásd a szoba kitöltését ).
web Linkek
Egyéni bizonyíték
-
^ A. Van Oosterom, J. Strackee: A síkháromszög szilárd szöge . In: Biomedical Engineering, IEEE Transactions on . BME-30, sz. 2 , 1983, p. 125–126 , doi : 10.1109 / TBME.1983.325207 .
-
↑ Oleg Mazonka: térszöge kúp alakú felületet, Poliéder tölcsérek, és Intersecting gömbsüvegek
-
^ Wolfram MathWorld: Gömbös felesleg