Differenciálegyenlet

A differenciálegyenlet (szintén differenciálegyenlet , gyakran DGL , DG , DGI. Or DGL. Rövidítjük) egy matematikai egyenlet a keresett függvény egy vagy több változó, ami szintén kibocsátások fordulnak elő ezt a funkciót. Sok természettörvény megfogalmazható differenciálegyenletek segítségével. A differenciálegyenletek ezért alapvető eszközei a matematikai modellezésnek . A differenciálegyenlet leírja ezen változók viselkedését egymáshoz képest. A differenciálegyenletek fontos elemzési tárgyak , amelyek megoldási elméletét vizsgálják. Nemcsak azért, mert sok differenciálegyenlet esetében nem lehetséges kifejezett megoldásmegjelenítés, a numerikus módszereket alkalmazó megközelítő megoldás alapvető szerepet játszik. Egy differenciálegyenletet egy iránymezővel lehet szemléltetni.

Differenciálegyenletek típusai

Különbséget tesznek a különböző típusú differenciálegyenletek között. Nagyjából a következő részterületekre oszlanak. Az alábbi típusok mindegyike lényegében egymástól függetlenül és egyszerre létezhet.

Rendes differenciálegyenletek

Ha a keresett függvény csak egy változótól függ, akkor ezt közönséges differenciálegyenletnek nevezzük. Az egyetlen változó szerint csak közönséges származékok vannak.

Példák:

${\ displaystyle y '(x) = - 2 \ cdot y (x) +5, \ qquad {\ ddot {z}} (t) +4 \ cdot z (t) = \ sin (3 \ cdot t)}$

Írja a szokásos differenciálegyenletet az űrlapon keresett függvényhez${\ displaystyle y (x)}$

${\ displaystyle F \ left (x, y (x), y '(x), \ ldots, y ^ {(n)} (x) \ right) = 0,}$

így a közönséges differenciálegyenletet implicitnek nevezzük .

Megoldódik -e a differenciálegyenlet a legmagasabb derivált esetében, azaz. vagyis érvényes

${\ displaystyle y ^ {(n)} (x) = f \ left (x, y (x), y '(x), \ ldots, y ^ {(n-1)} (x) \ right), }$

ezt hívjuk explicitnek a rendes differenciálegyenletnek . Nem minden implicit formában létező differenciálegyenlet hozható explicit formába. Az alkalmazásokban az explicit rendes differenciálegyenletek matematikailag könnyebben feldolgozhatók. A legmagasabb rendje levezetés fordul elő, hogy az úgynevezett sorrendben a differenciálegyenlet . Például egy kifejezetten rendes elsőrendű differenciálegyenlet formája ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle y '(x) = f (x, y (x)) \,.}$

Van egy zárt elmélet az explicit közönséges differenciálegyenletek megoldására.

Egy közönséges differenciálegyenlet akkor lineáris, ha függvényében lineáris és származékai:

${\ displaystyle y ^ {(n)} (x) + a_ {n-1} (x) \, y ^ {(n-1)} (x) + \ cdots + a_ {0} (x) \, y (x) = b (x)}$

Ez szemilineáris ha lineáris a-származékok, és a funkciója a bal oldalon, de a funkció is függ a funkciót és származékai, kivéve a legmagasabb-származék:${\ displaystyle b (x)}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y ^ {(n)} (x) + a_ {n-1} (x) \, y ^ {(n-1)} (x) + \ cdots + a_ {0} (x) \, y (x) = b (x, y (x), y '(x), \ cdots, y ^ {(n-1)} (x))}$

Részleges differenciálegyenlet

Ha a keresett függvény több változótól függ, és ha részleges deriváltak fordulnak elő az egyenletben egynél több változónál, akkor az egyik részleges differenciálegyenletről beszél. A részleges differenciálegyenletek nagy terület, és az elmélet nem matematikailag zárt, de számos területen a jelenlegi kutatás tárgya.

Az egyik példa a függvény úgynevezett hővezetési egyenlete${\ displaystyle u (t, x)}$

${\ displaystyle {\ tfrac {\ rész} {\ részleges t}} u (t, x) = a {\ tfrac {\ részleges ^ {2}} {\ rész x ^ {2}}} u (t, x )}$

Különbséget tesznek a parciális differenciálegyenletek különböző típusai között. Először lineáris parciális differenciálegyenletek vannak . A keresett függvény és származékai lineárisan szerepelnek az egyenletben. A független változók függősége mindenképpen nemlineáris lehet. A lineáris parciális differenciálegyenletek elmélete a legfejlettebb, de messze nem teljes.

Az egyik kvazilináris egyenletről beszél, ha a legmagasabb rendű összes derivált lineárisan fordul elő, de ez már nem vonatkozik az alacsonyabb rendű függvényre és származékokra. A kvázi-lineáris egyenletet nehezebb kezelni. A kvazilináris parciális differenciálegyenlet félvonalas, ha a legmagasabb derivált előtti együtthatófüggvény nem függ az alacsonyabb deriváltoktól és az ismeretlen függvénytől. A legtöbb eredmény jelenleg a kvázi-lineáris és a félegyenes egyenletek területén valósul meg.

Végül, ha nem lehet lineáris függőséget meghatározni a legmagasabb származékok tekintetében, akkor az egyenletet nemlineáris parciális differenciálegyenletnek vagy teljesen nemlineáris parciális differenciálegyenletnek nevezzük .

A másodrendű egyenletek különösen érdekesek a parciális differenciálegyenletek területén. Ezekben a speciális esetekben további osztályozási lehetőségek vannak.

Több típus

A sztochasztikus differenciálegyenletek típusában sztochasztikus folyamatok fordulnak elő az egyenletben . Valójában a sztochasztikus differenciálegyenletek a fenti értelemben nem differenciálegyenletek, hanem csak bizonyos differenciálegyenletek, amelyek differenciálegyenletekként értelmezhetők.

Az algebro differenciálegyenletek típusát az jellemzi, hogy a differenciálegyenlet mellett az algebrai kapcsolatokat is másodlagos feltételként adják meg .

Léteznek úgynevezett retardált differenciálegyenletek is . A függvény és származékai mellett a funkció függvény értékei vagy a múltból származó származékok is előfordulnak itt egy adott időpontban . ${\ displaystyle t}$

Az integro-differenciálegyenlet olyan egyenlet, amelyben nemcsak a függvény és származékai, hanem a függvény integrációi is megjelennek. Egy fontos példa erre a Schrödinger-egyenletnek a impulzusreprezentációban ( Fredholm „s integrál egyenlet ).

Az alkalmazási területtől és a módszertantól függően más típusú differenciálegyenletek is léteznek.

Differenciálegyenlet -rendszerek

Az egyik akkor beszél differenciálegyenlet-rendszerről, ha létezik vektoros leképezés és több egyenlet ${\ displaystyle y = (y_ {1}, \ ldots, y_ {k})}$

${\ displaystyle F_ {l} \ left (x, y, Dy, \ ldots, D ^ {n} y \ right) = 0, \ qquad l = 1, \ ldots, k.}$

egyszerre kell teljesíteni. Ha ez az implicit differenciálegyenlet -rendszer nem konvertálható helyileg explicit rendszerré mindenhol, akkor ez egy algebro differenciálegyenlet .

Problémák

Általánosságban elmondható, hogy a differenciálegyenletek nem oldhatók meg egyedül, hanem kezdeti vagy határértékeket igényelnek . A részleges differenciálegyenletek területén úgynevezett kezdeti határérték-problémák is felmerülhetnek.

Kezdeti vagy kezdeti határérték -problémák esetén az egyik változót általában időként értelmezzük. Ezekkel a problémákkal bizonyos dátumokat írnak elő egy bizonyos időpontban, nevezetesen a kezdő időpontban.

Határérték vagy kezdeti határérték-problémák esetén a differenciálegyenlet megoldását keresik egy korlátozott vagy korlátlan területen, és úgynevezett határértékeket adunk meg adatként, amelyeket a terület határán adunk meg. A peremfeltételek típusától függően megkülönböztetünk más típusú differenciálegyenleteket, például Dirichlet -problémákat vagy Neumann -problémákat .

Megoldási módszerek

Mind a tényleges differenciálegyenletek, mind a problémameghatározások sokfélesége miatt nem lehet általánosan alkalmazható megoldási módszert adni. Csak kifejezett közönséges differenciálegyenletek oldhatók meg zárt elmélet mellett. A differenciálegyenletet integrálhatónak nevezzük, ha lehetséges analitikus megoldása, azaz megoldási függvény (az integrál ) megadása. Sok matematikai feladat , különösen a nemlineáris és parciális differenciálegyenletek, nem integrálhatók, beleértve azokat is, amelyek meglehetősen egyszerűnek tűnnek, mint például a háromtest-probléma , a kettős inga vagy a legtöbb giroszkóp .

Hazugság elmélet

A differenciálegyenletek megoldásának strukturált általános megközelítését szimmetria és folyamatos csoportelmélet követi . 1870 -ben Sophus Lie a differenciálegyenletek elméletét a hazugság elméletével általánosan érvényes alapokra helyezte. Megmutatta, hogy a differenciálegyenletek megoldására szolgáló régebbi matematikai elméleteket úgynevezett hazug csoportok bevezetésével lehet összefoglalni. A differenciálegyenletek megoldásának általános megközelítése kihasználja a differenciálegyenletek szimmetria tulajdonságát. Folyamatos végtelen kicsi transzformációkat használnak, amelyek a megoldásokat a differenciálegyenlet (más) megoldásaihoz képezik le. A folytonos csoportelmélet, a Lie algebrák és a differenciálgeometria a lineáris és nemlineáris (részleges) differenciálegyenletek mélyebb szerkezetének felfogására és azoknak az összefüggéseknek a feltérképezésére szolgál, amelyek végül a differenciálegyenlet pontos analitikai megoldásaihoz vezetnek. A differenciálegyenletek pontos megoldására szimmetria -módszereket alkalmaznak.

Létezés és egyediség

A megoldások létezésének, egyediségének, ábrázolásának és számszerű számításának kérdései tehát az egyenlettől függően teljesen vagy egyáltalán nem megoldottak. A differenciálegyenleteknek a gyakorlatban betöltött fontossága miatt a numerikus megoldási módszerek alkalmazása, különösen a részleges differenciálegyenletek esetében, fejlettebb, mint azok elméleti alátámasztása.

Az egyik millenniumi probléma a Navier-Stokes-egyenletek szabályos megoldásának bizonyítása . Ezek az egyenletek például a folyadékmechanikában fordulnak elő .

Hozzávetőleges módszerek

Megoldásként a differenciálegyenletek olyan funkciókkal rendelkeznek, amelyek megfelelnek a származékaikra vonatkozó feltételeknek . A közelítést általában úgy végezzük, hogy a teret és az időt véges számú részre osztjuk egy számítási rács segítségével ( diszkretizálás ). A származtatott ügyleteket ezután már nem határérték képviseli, hanem különbségek közelítik. A numerikus matematikában a kapott hibát a lehető legjobban elemzik és becsülik.

Az egyenlet típusától függően különböző diszkretizációs megközelítéseket választanak ki, részleges differenciálegyenletek esetén például véges differenciál módszereket , véges térfogatú módszereket vagy végeselemes módszereket .

A diszkrét differenciálegyenlet már nem tartalmaz származékokat, hanem csak tisztán algebrai kifejezéseket tartalmaz. Ez vagy közvetlen megoldási szabályt, vagy lineáris vagy nemlineáris egyenletrendszert eredményez , amelyet ezután numerikus módszerekkel meg lehet oldani.

Megjelenés és alkalmazások

A természet és a technológia jelenségeinek sokasága írható le differenciálegyenletekkel és az ezekre épülő matematikai modellekkel. Néhány tipikus példa:

• Sok fizikai elméletek épülnek differenciálegyenletek: egyenletek a mozgás vagy rezgések a newtoni mechanika , a terhelés viselkedése alkatrészek , elektrodinamika uralja a Maxwell-egyenletek , a kvantummechanika a Schrödinger-egyenlet .
• a csillagászatban az égitestek pályái és a nap belsejében tapasztalható turbulencia ,
• a biológiában például a növekedési , áramlási vagy izomfolyamatokban , vagy az evolúció elméletében .
• a kémiában a reakciók kinetikája ,
• az elektrotechnikában az energiát tároló elemekkel rendelkező hálózatok viselkedése ,
• a viselkedését a felületek a differenciál geometria ,
• a folyadékmechanikában éppen ezeknek az áramoknak a viselkedése,
• a közgazdaságtanban a gazdasági növekedési folyamatok elemzése ( növekedéselmélet ).
• Az informatikában például képfestés (betűtípusok vagy logók kiszámítása képekből)

A differenciálegyenletek területe döntő impulzusokat adott a matematikának. A jelenlegi matematika számos része a különféle differenciálegyenletek létezését, egyediségét és stabilitási elméletét kutatja.

Magasabb szintű absztrakció

A differenciálegyenletek vagy differenciálegyenlet -rendszerek megkövetelik, hogy egy rendszert algebrai formában lehessen leírni és számszerűsíteni. Továbbá, hogy a leíró funkciók legalább az érdeklődési területeken megkülönböztethetők . A tudományos és műszaki környezetben ezek az előfeltételek gyakran teljesülnek, de sok esetben nem. Ekkor egy rendszer felépítése csak az absztrakció magasabb szintjén írható le. Lásd a növekvő absztrakció sorrendjében:

• Rendszerelmélet (egyértelműsítés)
• Ontológia (informatika)
• Ontológia (filozófia)
• Formális fogalomelemzés (matematika)
• Rendelési reláció (matematika)

Lásd még

• Integrális egyenlet

irodalom

• GH Golub, JM Ortega: Tudományos számítástechnika és differenciálegyenletek. Bevezetés a numerikus matematikába . Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-106-0 .
• G. Oberholz: Differenciálegyenletek a műszaki szakmákhoz. 4. kiadás. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen 1995, ISBN 3-9801902-4-2 .
• PJ Olver: Egyenértékűség, invariánsok és szimmetria . Cambridge Press, 1995.
• Papula L.: Matematika mérnököknek és természettudósoknak 2. kötet . Vieweg technikai technikai könyvei, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-94237-1
• H. Stephani: Differenciálegyenletek: megoldásuk szimmetriák használatával. Szerk .: M. MacCallum. Cambridge University Press, 1989.
• H. Benker: Differenciálegyenletek a MATHCAD és a MATLAB segítségével . Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2005.

web Linkek

Wikiszótár: differenciálegyenlet  - jelentésmagyarázatok, szó eredet, szinonimák, fordítások

• Matroids Math Planet : Differenciálegyenletek. Utasítások különböző differenciálegyenletek megoldására példákkal
• Matematika online tanfolyam a differenciálegyenletről a Stuttgarti Egyetemen
• Dörte Haftendorn: Differenciálegyenletek: számok, példák, izoklinok, ... Uni Lüneburg
• Arthur Mattuck: Differenciálegyenletek . Akadémiai Föld - MIT

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Guido Walz (szerk.), Lexikon der Mathematik, Springer-Spektrum Verlag, 2017, cikk lineáris differenciálegyenlet, félvonalas differenciálegyenlet
2. ^ Peterson, Ivars: Üres helyek kitöltése . In: Society for Science & # 38 (Szerk.): Science News . 161., 19. szám, 299-300. doi : 10.2307 / 4013521 . Letöltve: 2008. május 11.