Variációk kalkulusa

A variációk kalkulusa a matematika egyik ága, amelyet a 18. század közepe táján fejlesztettek ki, különösen Leonhard Euler és Joseph-Louis Lagrange .

A variációk számításának központi eleme az Euler-Lagrange-egyenlet

${\ displaystyle \ delta I (x, \ delta x) = 0}$,

amely éppen a klasszikus mechanika Lagrange-egyenletévé válik . ${\ displaystyle I = \ int {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t}$

Alapok

A variációk számítása a függvények valós funkcióival foglalkozik , amelyeket funkcionálisoknak is nevezünk . Az ilyen funkcionálok lehetnek integrálok egy ismeretlen függvény és származékai felett. Az egyiket a helyhez kötött funkciók érdeklik , vagyis azok, amelyeknél a funkcionális feltételez egy maximumot , egy minimumot (extrém) vagy egy nyeregpontot . Néhány klasszikus probléma elegánsan megfogalmazható a funkciók segítségével.

A variációk számításának legfontosabb tétele az Euler-Lagrange egyenlet, pontosabban "Euler-Lagrange differenciálegyenlete". Ez leírja a funkció stacionaritási állapotát. A függvény maximumainak és minimumainak meghatározásához hasonlóan ez a feltételezett megoldás körüli apró változások elemzéséből származik. Az Euler-Lagrangian differenciálegyenlet csak szükséges feltétel . Adrien-Marie Legendre és Alfred Clebsch , valamint Carl Gustav Jacob Jacobi további szükséges feltételeket biztosítottak egy szélsőség létezéséhez . Elegendő, de nem szükséges feltétel Karl Weierstrass- tól származik .

A variációk számításának módszerei megjelennek Hilbert űrtechnikákban , Morse-elméletben és szimplektikus geometriában . A variáció kifejezést a funkciók minden végtagi problémájára használjuk. A geodézia és a differenciálgeometria a matematika olyan területe, amelyben a variáció szerepet játszik. Nagyon sok munkát végeztek a minimális felületek problémáján , például a szappanbuborékokban.

alkalmazási területek

A variációszámítás a matematikai alapja minden fizikai extremális elveket, és ezért különösen fontos az elméleti fizika , például a Lagrange formalizmus a klasszikus mechanika , vagy pályára meghatározása , a kvantummechanika segítségével elve a legkisebb hatás és statisztikus fizika belül a sűrűség funkcionális elmélet kereteit . A matematikában például a variációk számítását használták a harmonikus függvények Dirichlet-elvének Riemann-féle kezelésében . A variációk számítását a vezérlés és a szabályozás elméletében is alkalmazzák, amikor az optimális vezérlők meghatározásáról van szó .

Tipikus alkalmazási példa a brachistochron probléma : Mely görbén van egy gravitációs mezőben egy A ponttól egy B pontig, amely alatta van, de nem közvetlenül az A alatt van, kell-e egy objektumnak a legkevesebb idő a görbe áthaladásához? Az A és B közötti görbék közül az egyik minimalizálja azt a kifejezést, amely leírja a görbe futtatásához szükséges időt. Ez a kifejezés egy olyan integrál, amely tartalmazza az ismeretlen, keresett függvényt, amely leírja az A és B közötti görbét és származékait.

Eszköz egy valós változó valós funkcióinak elemzéséből

A következőkben a variációk kiszámításának fontos technikáját mutatjuk be, amelyben egy valós függvény helyi minimális helyéhez szükséges , csak egy valós változóval rendelkező szükséges állítást átvisszük egy funkcionális helyi minimális hely szükséges mondatába. Ezt az állítást ezután gyakran fel lehet használni egy függvény stacionárius funkcióinak leíró egyenleteinek felállítására.

Adjon meg egy funkciót egy függvénytéren ( legalább topológiai térnek kell lennie ). A funkcionális van egy lokális minimum ezen a ponton . ${\ displaystyle I \ kettőspont X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$

Az alábbi egyszerű trükk a „nehezen kezelhető” funkciót egy olyan valós funkcióval helyettesíti, amely csak egy valós paramétertől függ és „ennek megfelelően könnyebben kezelhető”. ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle F (\ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha}$

Az egyiknek a valós paraméterekkel paraméterezett függvénycsaládon keresztül volt állandóan . Legyen a függvény (vagyis for ) éppen egyenlő az álló függvénnyel . Ezenkívül legyen ez az egyenlet szerint ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle (x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in (- \ epsilon, \ epsilon)}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x _ {\ alpha} \ in X}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle F (\ alpha): = I (x _ {\ alpha})}$

meghatározott függvény differenciálható a ponton . ${\ displaystyle F \ kettőspont (- \ epsilon, \ epsilon) \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$

A folytonos függvény ekkor feltételez egy helyi minimumot, mivel van egy helyi minimum . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle x_ {0} = x}$${\ displaystyle I}$

Valódi változóban lévő valós függvények elemzéséből ismeretes, hogy ez érvényes. Ez azt jelenti, ha a funkcionálisra alkalmazzuk ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha}} F (\ alpha) | _ {\ alpha = 0} = 0}$

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha}} I (x _ {\ alpha}) \ right | _ {\ alpha = 0} = 0.}$

Amikor beállítja a kívánt egyenletek álló funkciók akkor használják ki, hogy a fenti egyenlet bármilyen ( „jóindulatú”) Család és alkalmazni kell. ${\ displaystyle (x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in (- \ epsilon, \ epsilon)}}$${\ displaystyle x_ {0} = x}$

Ezt a következő szakaszban mutatjuk be az Euler-egyenlet felhasználásával.

Euler-Lagrange-egyenlet; Variáció származéka; további szükséges vagy elégséges feltételek

Adott két időpont a és hogy a funkció kétszeres folytonosan differenciálható minden érvet, a Lagrange-${\ displaystyle t_ {a}, t_ {e} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle t_ {e}> t_ {a}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ kettőspont (t_ {a}, t_ {e}) \ szorozza G-t \ mat \ matbb {R} \, \ quad G \ alhalmaz \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \, \ quad G {\ text {open}}}$.

Például a tömeg és a szabad relativisztikus részecske Lagrangi-függvényében${\ displaystyle m}$${\ displaystyle c = 1}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (t, x, v) = - m {\ sqrt {1-v ^ {2}}}}$

a terület az egységgömb derékszögű szorzata és belseje . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

A függvénytér az összes kétszeresen folyamatosan differenciálható függvény halmaza ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle x \ kettőspont [t_ {a}, t_ {e}] \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

kiválasztva, amelyek elfoglalják az előre meghatározott helyeket vagy a befejezés időpontjában : ${\ displaystyle t_ {a}}$${\ displaystyle t_ {e}}$${\ displaystyle x_ {a}}$${\ displaystyle x_ {e}}$

${\ displaystyle x (t_ {a}) = x_ {a} \, \ quad x (t_ {e}) = x_ {e}}$

és amelynek értékei a levezetésük értékével együtt rejlenek, ${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ forall t \ in [t_ {a}, t_ {e}] \ kettőspont balra (x (t), {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} ( t) \ jobbra \ \ G-ben}$.

A Lagrangian-nal a funkcionális , a hatás válik át ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle I \ kettőspont X \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle I (x): = \ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ dot {x}} (t) ) \, \ mathrm {d} t}$

Meg vannak határozva. Azt a funkciót keressük, amely minimalizálja a hatást . ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle I}$

Az előző szakaszban bemutatott technikának megfelelően megvizsgálunk minden differenciálható egyparaméteres családot, amely a funkcionális stacionárius funkcióján megy keresztül (ez így igaz ). Az utolsó szakaszban levezetett egyenletet használjuk ${\ displaystyle (x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in (- \ epsilon, \ epsilon)} \ X részhalmaz$${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0} = x}$

${\ displaystyle 0 = \ balra. {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha}} I (x _ {\ alpha}) \ jobbra | _ {\ alpha = 0} = \ balra [{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha}} \ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} {\ mathcal {L}} (t, x _ { \ alpha} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \, \ mathrm {d} t \ right] _ {\ alpha = 0}}$.

A paraméter szerinti megkülönböztetés beépítése az integrálba a láncszabályhoz vezet ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & = \ balra [\ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} \ balra (\ részleges _ {2} {\ mathcal {L}} (t, x_ {\ alpha} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t) + \ részleges _ {3} {\ mathcal {L}} (t, x _ {\ alpha} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \ részleges _ {\ alpha} {\ dot {x}} _ { \ alpha} (t) \ right) \, \ mathrm {d} t \ right] _ {\ alpha = 0} \\ & = \ left [\ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} \ részleges _ {2} {\ mathcal {L}} (t, x _ {\ alfa} (t), {\ pont {x}} _ {\ alfa} (t)) \ részleges _ {\ alfa} x _ {\ alpha} (t) \, \ mathrm {d} t + \ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} \ részleges _ {3} {\ mathcal {L}} (t, x _ {\ alpha} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \ részleges _ {\ alpha} {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t) \, \ mathrm {d} t \ right] _ {\ alpha = 0}. \ end {igazítva}}}$

Itt áll a második vagy a harmadik argumentum szerinti származékok és a paraméter szerinti részleges származék . ${\ displaystyle \ részleges _ {2}, \ részleges _ {3}}$${\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$

Később kedvezőnek bizonyul, ha a második integrál az első integrál helyett tartalmazza . Ez részleges integrációval érhető el: ${\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha} {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)}$${\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t)}$

${\ displaystyle 0 = \ balra [\ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} \ részleges _ {2} {\ mathcal {L}} (t, x _ {\ alfa} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \, \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t) \, \ mathrm {d} t + \ balra [\ részleges _ { 3} {\ mathcal {L}} (t, x _ {\ alpha} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \, \ részleges _ {\ alpha} x _ { \ alpha} (t) \ right] _ {t = t_ {a}} ^ {t_ {e}} \ right.}$

${\ displaystyle - \ balra. \ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra (\ részleges _ {3 } {\ mathcal {L}} (t, x _ {\ alpha} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \ right) \, \ részleges _ {\ alpha} x_ {\ alpha} (t) \, \ mathrm {d} t \ right] _ {\ alpha = 0}}$

Helyenként, és alkalmazza a körülményektől és . Származtassa ezt a két konstansot a visszatérések szerint . Ezért a kifejezés eltűnik, és az integrálok összegzése és a faktorszámítás után megkapja az egyenletet ${\ displaystyle t = t_ {a}}$${\ displaystyle t = t_ {e}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x _ {\ alpha} (t_ {a}) = x_ {a}}$${\ displaystyle x _ {\ alpha} (t_ {e}) = x_ {e}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t_ {a}) = \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t_ {e}) = 0}$${\ displaystyle \ left [\ részleges _ {3} {\ mathcal {L}} (t, x _ {\ alpha} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t) \ jobbra] _ {t = t_ {a}} ^ {t_ {e}}}$${\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle 0 = \ balra [\ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} \ balra (\ részleges _ {2} {\ mathcal {L}} (t, x _ {\ alpha} ( t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ részleges _ {3} {\ mathcal {L }} (t, x _ {\ alpha} (t), {\ dot {x}} _ {\ alpha} (t)) \ right) \, részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} ( t) \, \ mathrm {d} t \ right] _ {\ alpha = 0}}$

és azzal ${\ displaystyle x _ {\ alpha} (t) | _ {\ alpha = 0} = x (t)}$

${\ displaystyle 0 = \ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} \ bal (\ részleges _ {2} {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ pont {x }} (t)) - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ részleges _ {3} {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ pont {x}} (t)) \ jobbra) \ balra [\ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t) \ jobbra] _ {\ alpha = 0} \, \ mathrm {d} t.}$

A kezdési és a befejezési idő kivételével nincsenek korlátozások. A feltételek kivételével az időfüggvények bármelyik kétszer folyamatosan differenciálható időfüggvények. A variációk számításának alapvető lemma szerint az utolsó egyenlet csak akkor teljesülhet minden megengedettnél , ha a tényező nulla a teljes integrációs intervallumban (ezt részletesebben a megjegyzések magyarázzák). Ez adja az Euler-Lagrange egyenletet az álló funkcióhoz${\ displaystyle x _ {\ alpha} (t)}$${\ displaystyle t \ mapsto \ bal [\ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t) \ jobb] _ {\ alpha = 0}}$${\ displaystyle \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t_ {a}) = \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} (t_ {e}) = 0}$${\ displaystyle \ left [\ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} \ right] _ {\ alpha = 0}}$${\ displaystyle \ részleges _ {2} {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} \ részleges _ {3} {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ dot {x}} (t))}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ részleges _ {2} {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} \ részleges _ {3} {\ mathcal {L}} (t, x (t), {\ dot {x}} (t)) = 0}$,

amelyet mindenkinek teljesíteni kell. ${\ displaystyle t \ in (t_ {a}, t_ {e})}$

A meghatározott mennyiséget el kell tűnni a Lagrangian Euler-származékának is nevezik , ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ hat {\ partic}} {\ mathcal {L}}} {{\ hat {\ partic}} x}} (t): = \ balra. {\ frac {\ partial { \ mathcal {L}} (t, x, {\ dot {x}})} {\ részleges x}} \ jobb | _ {(t, x (t), {\ dot {x}} (t)) } - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \, \ balra (\ balra. {\ frac {\ részleges {\ mathcal {L}} (t, x, {\ dot {x}})} {\ részleges {\ pont {x}}}} \ jobb | _ {(t, x (t), {\ pont {x}} (t))} \ jobb) \,.}$

A levezetést variációnak nevezik, különösen a fizika könyvekben . Ezután a variációja . A hatás variációja ${\ displaystyle \ balra. \ részleges _ {\ alpha} \ jobbra | _ {\ alpha = 0}}$${\ displaystyle \ delta x = \ balra. \ részleges _ {\ alpha} x _ {\ alpha} \ jobbra | _ {\ alpha = 0}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ delta I (x, \ delta x) = \ int \ mathrm {d} t \, {\ frac {\ delta I} {\ delta x (t)}} \ delta x (t)}$

olyan, mint egy lineáris forma az argumentumok variációiban, együtthatóit a függvény variációs deriváltjának nevezzük . A vizsgált esetben a Lagrangian Euler-származékáról van szó ${\ displaystyle \ mathrm {d} f = \ sum _ {i} (\ részleges _ {i} f) \ mathrm {d} x ^ {i}}$${\ displaystyle {\ frac {\ delta I} {\ delta x (t)}}}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta I} {\ delta x (t)}} = {\ frac {{\ hat {\ partial}} {\ mathcal {L}}} {{\ hat {\ részleges}} x}} (t)}$.

Megjegyzések

Az Euler-Lagrange-egyenlet levezetésekor figyelembe vették, hogy egy folyamatos függvény , amely legalább kétszer folyamatosan differenciálható az összes függvény számára , integrációval ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b (t_ {a}) = b (t_ {e}) = 0}$

${\ displaystyle \ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {e}} a (t) b (t) \, \ mathrm {d} t}$

nullát ad vissza, azonosnak kell lennie nullával.

Ez könnyen belátható, ha figyelembe vesszük, hogy például van

${\ displaystyle b (t): = {\ begin {esetben} 0 és {\ text {for}} t \ leq t_ {0} - \ epsilon {\ text {vagy}} t \ geq t_ {0} + \ epsilon \\ (t-t_ {0} + \ epsilon) ^ {3} (t_ {0} -t + \ epsilon) ^ {3} és {\ text {for}} t \ be (t_ {0} - \ epsilon, t_ {0} + \ epsilon) \ end {esetek}}}$

kétszer folyamatosan differenciálható függvényt ad, amely pozitív egy tetszőlegesen kiválasztott időpontban, különben nulla. Ha lenne olyan pont , ahol a függvény nagyobb vagy kisebb lesz, mint nulla, akkor a folytonosság miatt ez a pont körüli teljes területen is nagyobb vagy kevesebb, mint nulla. A most definiált függvény mellett azonban az integrál az a követelménykel ellentétben szintén nagyobb vagy kisebb, mint nulla. Tehát téves az a feltételezés, hogy valami egy ponton nem nulla lenne. Tehát a függvény valóban megegyezik a nullával. ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle t_ {0} \ in (t_ {a}, t_ {e})}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle (t_ {0} - \ epsilon, t_ {0} + \ epsilon)}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ int _ {t_ {a}} ^ {t_ {b}} a (t) b (t) \, \ mathrm {d} t}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle a}$

Ha a funkció térben van egy affin tér , a család gyakran meghatározott az irodalomban összegeként egy szabadon választható időfüggvény , hogy meg kell felelnie a feltétel . A származékot ezután pontosan Gateaux származéka funkcionális ponton irányába . Az itt bemutatott változat egy kicsit kedvezőbbnek tűnik a szerző számára, ha a függvények halmaza már nem affin tér (például ha nemlineáris kényszer korlátozza; lásd például a legkisebb korlátozás Gauss-elvét ). Részletesebben bemutatja és a sokszorosokon lévő tangens vektorok meghatározásán alapul .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (x _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in (- \ epsilon, \ epsilon)}}$${\ displaystyle x _ {\ alpha} (t): = x (t) + \ alfa h (t)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h (t_ {a}) = h (t_ {e}) = 0}$${\ displaystyle \ balra. \ részleges _ {\ alpha} I (x _ {\ alpha}) \ jobbra | _ {\ alpha = 0}}$ ${\ displaystyle \ balra. \ részleges _ {\ alfa} I (x + \ alpha h) \ jobbra | _ {\ alpha = 0}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle X}$

Egy további, korlátozó funkció esetén , amely korlátozza a függvényteret azzal, hogy alkalmaznia kell , a Lagrange-szorzó módszert a valósághoz hasonlóan lehet alkalmazni : ${\ displaystyle J (x) = \ int j (t, x, {\ dot {x}}, {\ ddot {x}}, \ dots, x ^ {(n)}) d ^ {d} t}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle J (x) = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ delta I} {\ delta x_ {i}}} = \ lambda {\ frac {\ delta J} {\ delta x_ {i}}}}$

bármelyiknek és szilárd . ${\ displaystyle i = 1, \ dotsc, n}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {R}}$

A magasabb derivált és dimenziók általánosítása

A fenti származtatás részleges integrációval alkalmazható a típus variációs problémáira

${\ displaystyle I (\ varphi) = \ int {\ mathcal {L}} (\ varphi (x), \ részleges _ {1} \ varphi (x), \ pontok, \ részleges _ {d} \ varphi (x ), \ dots) \ mathrm {d} ^ {d} x}$

transzfer, ahol a függőségekben magasabb rendű derivatívák (lásd a multi-index jelölést ) is megjelennek, például a sorrendig . Ebben az esetben az Euler-Lagrange egyenlet az ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ vert \ alpha \ vert \ leq N}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ vert \ alpha \ vert \ leq N} (- 1) ^ {\ vert \ alpha \ vert} {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}}} {\ delta (D ^ {\ alpha} \ varphi (x))}} = 0}$,

ahol az Euler-származék as

${\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ mathcal {L}}} {\ delta (D ^ {\ alpha} \ varphi (x))}}: = \ balra. {\ frac {\ részleges {\ mathcal { L}}} {\ részleges (D ^ {\ alpha} \ varphi)}} \ jobb \ vert _ {\ varphi = \ varphi (x), \ részleges _ {1} \ varphi = \ részleges _ {1} \ varphi (x), \ dots}}$

úgy kell érteni, (és, ahol szimbolikusan képviseli a megfelelő függés egy magától értetődő módon , áll a konkrét értéke a levezetése a ). Különösen azt is összesítik. ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ varphi}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle D ^ {\ alpha} \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$

Lásd még

• Az elemek variációja

irodalom

• Mariano Giaquinta , Stefan Hildebrandt : Variációk kalkulusa , Matematikatudomány alaptanításai , Springer, 2 kötet, 1996
• Jürgen Jost , X. Li-Jost: Variációk kalkulusa, Cambridge University Press 1998
• Hansjörg Kielhöfer: Variációk kalkulusa, Vieweg / Teubner 2010

Régebbi könyvek:

• Friedrich Stegmann ; Tankönyv a variációk számításáról és alkalmazásukról a maximum és a minimum tanulmányozásában . Kassel, Luckhardt, 1854.
• Oskar Bolza : Előadások a variációk számításáról. BG Teubner, Lipcse és munkatársai, 1909 ( digitalizált ).
• Paul Funk : Variációk kalkulációja és alkalmazásuk a fizikában és a technológiában (= A matematikai tudományok alapvető tanításai az egyes ábrázolásokban. 94, ISSN  0072-7830 ). 2. kiadás. Springer, Berlin és mtsai, 1970.
• Adolf Kneser : Variációk kalkulusa. In: Matematikai Tudományok Enciklopédiája és alkalmazásai . 2. kötet: Elemzés. 1. rész: BG Teubner, Lipcse 1898, 571–625 .
• Stäckel Paul (Szerk.): A variációk számításának traktátusai. 2 rész. Wilhelm Engelmann, Lipcse 1894;
  • 1. rész: Joh. Bernoulli (1696), Jac. Bernoulli (1697) és Leonhard Euler (1744) (= Ostwald egzakt tudományok klasszikusa. 46, ISSN  0232-3419 ). 1894, ( digitalizált változat );
  • 2. rész: Lagrange (1762, 1770), Legendre (1786) és Jacobi (1837) értekezései (= Ostwald egzakt tudományok klasszikusa. 47). 1894, ( digitalizált változat ).

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Brachistochronos probléma .
2. ↑ Vladimir I. Smirnow : Felső matematika tanfolyam (= egyetemi könyvek matematikához . 5a . Köt.). 4. rész, 1. rész (14. kiadás, a 6. orosz kiadás német nyelvű kiadása). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00366-8 .
3. ↑ Lásd még Helmut Fischer, Helmut Kaul: Matematika a fizikusok számára. 3. kötet: A variációk számítása, a differenciálgeometria, az általános relativitáselmélet matematikai alapjai. 2., átdolgozott kiadás. Teubner, Stuttgart és mtsai. 2006, ISBN 3-8351-0031-9 .