Heinz Hopf

Heinz Hopf (1954)

Heinz Hopf , valójában Heinrich Hopf (született November 19-, 1894-ben a Gräbschen közelében Breslau , † június 3, 1971-es a Zollikon ), volt egy német - svájci matematikus és úttörője algebrai topológia .

Származás és oktatás

Hopf a sziléziai Gräbschenben született Wilhelm Hopf zsidó sörfőzde és felesége, Elisabeth Kirchner fiaként. Anyja protestáns családból származott, és az apa áttért a protestantizmusra. Miután részt vett a magániskolát fiúk Karl Mittelhaus és a König-Wilhelm Gimnázium a Breslau tanult 1913-tól a Sziléziai Friedrich-Wilhelm Egyetemen Breslau matematika . Abban az időben Adolf Kneser , Max Dehn , Ernst Steinitz , Erhard Schmidt és Rudolf Sturm tanított Breslauban .

Karrier

Heinz Hopf (jobbra) Oberwolfachban , Hellmuth Kneserrel együtt

Tanulmányait az első világháború félbeszakította . 1914-ben önként jelentkezett és az egész háborút hadnagyként töltötte a nyugati fronton . A Verdun -ben súlyosan megsebesült ( Iron Cross 1918). Az 1917-es felépülési időszakban részt vehetett tanfolyamokon Erhard Schmidtnél Breslauban , és a Schmidt által okozott problémákkal kapcsolatos aggodalom saját szavai szerint reménysugár volt a katona hátralévő idejében. A háború után tanult Heidelbergben (a Paul Stäckel és Oskar Perron ) és Berlin , a Issai Schur , Ludwig Bieberbach és Erhard Schmidt. 1925-ben doktorátust kapott Erhard Schmidt-től Berlinben, a diszkrét geometria és a topológia görbületének kapcsolatáról szóló disszertációval. Ebben a háromdimenziós, egyszerűen összekapcsolt , állandó görbületű teljes Riemann-sokaságokat osztályozták a globális izometria szempontjából ( Clifford-Klein űrprobléma , 3 esetben hiperbolikus , euklideszi , gömb alakú ). Adott egy képletet a zárt M hiperfelületek teljes görbületére (curvatura integra) az euklideszi térben, mint az M Gauss-normál leképezésének mértéke az egységgömbbe, és kapcsolatot teremtett a tangenciális vektormezők indexeinek összegével. az M-en ( Poincaré -Hopf tételének igazolásának bejelentésével , lásd alább). Schmidt alatt intenzíven tanulmányozta Brouwer és Henri Poincaré korai topológiai munkáit is . Különösen visszaállította a térképezés fokának elméletét (zárt, orientált sokaságok feltérképezése), amelyet Brouwer és Poincaré alkalmazott, meghatározva a fokot, mint egy pont archetípusainak helyes számlálását, és megmutatta annak homotópiai változatlanságát: két leképezést Az n-gömbökbe kerülő n-dimenziós elosztó homotópiája akkor van, ha a leképezés mértéke megegyezik (Brouwer korábban bizonyította n = 2-re). A leképezés mértéke ezután meghatározza a homotópia osztályt. Kapcsolat létesíthető egy n-dimenziós sokaságban levő vektormezőkkel is: az izolált szingularitások (nullák) egyenként meghatározzák az (n-1) gömb leképezését, amelynek leképezési foka megegyezik a szingularitás indexével.

1925 és 1926 között Göttingenben élt , itt hallott Emmy Noether-től és találkozott Pawel Sergejewitsch Alexandrow orosz topológussal , akivel egy életen át tartó barátságot kötött. Különösen Emmy Noethertől, mindketten megtanulták kezelni a homológiaelméletet a csoportelmélet szempontjából. Az ő Göttingen habilitációs 1926 vizsgálta homotopy osztályok leképezés n-dimenziós sokaságok a gömbök és vektormezők rá házakat, és ő adott egy igazolást a Salamon Lefschetz „s index tétel vektor mezők zárt házakat (az összeg az indexek ad Euler jellegzetes , azaz alapvető topológiai invariáns, amelyet ma Poincaré-Hopf-tételként ismerünk). 1928-ban ezeket az ötleteket fejlesztette ki Lefschetz-től, és bizonyítékot adott a Lefschetz-féle fixpontos tételre , amelyben először jelentek meg homológcsoportok . Ugyanakkor meghatározta a sokszorosokban a ciklusok szorzatát a kereszteződések számának felhasználásával , amely később korai kohomológiai fogalomnak bizonyult . 1927–1928 Alexandroffnál volt Rockefeller ösztöndíjasként Princetonban , ahol Oswald Veblen , James Alexander és Lefschetz társaságában dolgoztak . 1928 októberében feleségül vette Anja von Mickwitzet (1891-1967). 1931-től Hopf professzori posztot töltött be az ETH Zürichben, mint a többek között Göttingenbe költözött Hermann Weyl utódja . Schur ajánlására, akinek később sikerült ideiglenes menedéket találnia az ETH-n, amikor 1936-ban a nemzetiszocialisták elől menekült. Zürichben Hopf is svájci állampolgárságot kapott 1943-ban.

1931-ben meghatározta a Hopf-invariánst, mint egy bizonyos (különböző) dimenziójú gömbök közötti leképezések topológiai invariánsát, és megmutatta, hogy végtelen számú homotópiaosztály található a . Ha azt feltételezzük, hogy az f leképezések a -tól a szabályosig terjednek (vagyis egyszerűsíthetők vagy differenciálhatók), akkor szinte az összes pont archetípusa egydimenziós (egy vagy több körvonal). Ekkor a Hopf-invariáns a két különböző pont archetípusának hivatkozási száma (in ) . 1935-ben Alexandroff és a Springer Verlag alaptanítási sorozatában kiadta a jól ismert Topologie tankönyvet , amelyet ezen a téren az első tankönyvek között tartanak számon és nagy hatása volt (a tervezett három kötetből csak az első jelent meg. ). 1939-ben a kompakt Lie csoportok topológiájával foglalkozott , bemutatva a Hopf algebrákat , amelyek később a kvantumcsoportok elméletében alapvető fontosságúvá váltak .${\ displaystyle S ^ {3} \ - S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {3}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {3}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$

Az 1941-es Fundamental Group és a Second Bettian Group munkáit az első homológiai algebra- művek között tartják számon , amelyet nem sokkal később fejlesztettek ki, különösen Samuel Eilenberg és Norman Steenrod .

1940-ben bebizonyította, topológiai segédanyagok valódi kommutatív , de nem feltétlenül asszociatív , osztás algebrák maximális mérete 2 feletti valós számok; Ha van egységelem, akkor az izomorfizmuson kívül a komplex számok az egyetlen ilyen algebra (ebben az esetben az asszociativitás következik a kommutativitásból).

1948-ban Charles Ehresmanntól függetlenül bevezette a szinte összetett sokaságok fogalmát . Ez annak a kérdésnek a kapcsán történt, hogy minden páros dimenziójú irányítható sokaság lehetővé tesz-e egy összetett szerkezetet, amelyet Hopf cáfolt (például megmutatta, hogy az n = 4,8 dimenziókban nincsenek ilyen szerkezetek). A nyitott kérdés, hogy léteznek-e ilyenek n = 6-ban, Hopf-problémának hívják.

Zürichben hallgatói között van Beno Eckmann , Hans Samelson és Eduard Stiefel .

Értékelés

A Hopf-szálakat , a H-tereket , a H-csoportokat , a Hopf-invariánsokat , a Hopf-algebrákat , a Hopf-linket és a Riemann-sokaságok geodéziai teljességéről szóló Hopf-Rinow-tételt nevezik el róla .

Hopf hat díszdoktori címet kapott (köztük Sorbonne, Princeton), Moszkva Lobachevsky-díjat kapott , tagja volt az Accademia Nazionale dei Lincei-nek , az Egyesült Államok Nemzeti Tudományos Akadémiájának és 1954-től 1958-ig a Nemzetközi Matematikai Unió elnöke . 1950-ben adta plenáris előadást a Nemzetközi Matematikai Kongresszus a Cambridge (Massachusetts) ( n-dimenziós gömbök és a projektív terek topológia ). 1958-ban a Leopoldina , 1961-ben az Amerikai Művészeti és Tudományos Akadémia , 1962-ben az Amerikai Filozófiai Társaság tagjává választották . 1949-től a Heidelbergi Tudományos Akadémia , 1966-tól a Göttingeni Tudományos Akadémia levelező tagja .

2001-ben az aszteroidát (25142) Hopf nevezték el róla.

Heinz Hopf-díj

Az ETH Zürich kétévente Heinz Hopf-díjat kapott a tiszta matematika területén elért kiemelkedő tudományos eredményekért . A díjátadóra a díjazott Heinz Hopf előadásai alkalmával kerül sor.

Betűtípusok

• Hopf: Összegyűjtött papírok , Springer 2001 (szerk. Beno Eckmann)
• Hopf: Selecta Heinz Hopf , Springer 1964
• Hopf: Differenciálgeometria a nagyban. Szemináriumi előadások New York University 1946 és Stanford University 1956 . (Matematikai előadások; 1000). Berlin / Heidelberg: Springer 1989
• Alexandroff, Hopf: Topológia. 1935, letöltve: 2020. március 22 . 
• Hopf: Az Euler-Poincaré-képlet általánosítása. In: Nachr.Akad.Wiss.Göttingen. 1928, 127-136. O. , Hozzáférés: 2020. március 22 . 
• Hopf: A háromdimenziós gömb képeiről a gömbfelületen. In: Matematikai Annals. 1931, 637-665. Oldal , hozzáférés: 2020. március 22 .  (Hopf rost, Hopf invariáns)
• Hopf: Alapcsoport és második Bettian csoport. In: Commentarii Mathematici Helvetici . 1941/42. 257–309. Oldal , hozzáférés: 2020. március 22 . 
• Hopf: Bolzano nulla tételétől a gömbök algebrai homotópia elméletéig. In: A Német Matematikusok Egyesületének éves jelentése. 1953, 59–76. Oldal , hozzáférés: 2020. március 22 . 
• Hopf: A gömbök feltérképezéséről alacsonyabb méretű gömbökön . Fundamenta Mathematicae, 1935. évi 25. kötet, 427–440. Oldal, digitalizált .

Sok cikk Hopf z. B. a Mathematische Annalentől, Comm.Math.Helvetici online itt: [1] Néhány esszé a Proc.Nat.Acad- tól. itt vannak itt: [2]

irodalom

• Johann Jakob Burckhardt :  Hopf, Heinz. In: Új német életrajz (NDB). 9. kötet, Duncker & Humblot, Berlin 1972, ISBN 3-428-00190-7 , 607. o. ( Digitalizált változat ).
• Hans Samelson: Heinz Hopf tudományos munkájáról , in: Annual Report DMV , Vol. 78, 1976, 126. o.
• Frei, Stammbach: Heinz Hopf , in I. James (Szerk.): Topológia története , Amszterdam 1999
• Hans Freudenthal : Hopf, Heinz , in: A tudományos életrajz szótára , 6. kötet, 496-497.
• Friedrich Hirzebruch : In memoriam Heinz Hopf , Mathematische Annalen, 186. évfolyam , 1972., 1–7.

web Linkek

• Heinz Hopf irodalma a Német Nemzeti Könyvtár katalógusában
• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson :  Heinz Hopf. In: MacTutor matematikatörténeti archívum .
• Urs Stammbach: Hopf, Heinz. In: Svájc Történelmi Lexikona .
• Gabriele Dörflinger: Heinz Hopf . A Historia Mathematica Heidelbergensis anyaggyűjteménye .
• A Heinz Hopf-díj hivatalos honlapja (angol)
• Beno Eckmann: Heinz Hopf 100. születésnapján. In: A matematika elemei. 1994, 133-136. Oldal , hozzáférés: 2020. március 22 . 
• Heinrich Behnke , Friedrich Hirzebruch : In memoriam Heinz Hopf. In: Matematikai Annals. 1972, 1–7. Oldal , megtekintve 2020. március 22-én . 
• P. Alexandrow: Néhány emlék Heinz Hopfról. In: A Német Matematikusok Egyesületének éves jelentése 1976/77. Pp. 113–125 , hozzáférés: 2020. március 22 . 
• Konrad Voss: In memoriam Heinz Hopf. In: A matematika elemei. 1973, 81–83. Oldal , hozzáférés: 2020. március 22 . 

Egyéni bizonyíték

1. B ^{a b} Robert A. Nowlan: Heinz Hopf: Életrajz ( Memento 2017. március 20-tól az internetes archívumban ) (angol; 74 kB)
2. ↑ A Clifford-Klein térbeli problémáról Math. Annalen, 95. évfolyam, 1926, 313–393.
3. ^ Hopf, A zárt hiperfelületek Curvatura integrájáról, Mathematische Annalen, 95. évfolyam, 1926, 340–367.
4. ↑ Samelson: Heinz Hopf tudományos munkájáról, DMV éves jelentés, 1976. 78. évfolyam, 127. o.
5. ↑ Hirzebruch, In memoriam Heinz Hopf, 1972, 3. o
6. ^ Hopf, n-dimenziós sokaságok osztályainak feltérképezése , Mathematische Annalen , 96. évfolyam, 1926, 209–223.
7. ^ Hopf, n-dimenziós sokaságok vektormezői , Math. Annalen, 96. évfolyam, 1926, 225–250.
8. ^ Hopf, A Lefschetz-képlet új változata az invariáns pontokra , Proc. Nat. Acad. Sciences, 1928. évf. 14. szám ( Online ; PDF; 421 kB), továbbfejlesztve az Euler-Poincaré képlet általánosításában , Nachrichten der Göttingen Academy of Sciences, 1928, pp. 127-136, ( Online )
9. ↑ Hopf, A háromdimenziós gömb leképezéséről a gömbfelületen , Mathematische Annalen, 104. kötet, 1931
10. ↑ Samelson, Heinz Hopf tudományos munkájáról, DMV éves jelentés, 1976. 78. évfolyam, 130. o.
11. ^ A bezárt Liescher-csoportok rangjáról, Comm.Math.Helv. Vol. 13, 1941/2
12. ↑ Comm.Math.Helvetici 14. évf., 1941/2
13. ↑ Hopf, Szimmetrikus bilináris formák és euklideszi projektív terek modelljei, Zürichi Természettudományi Társaság negyedéves folyóirata, 1940. évfolyam , 85. évfolyam, 32. számú melléklet, Festschrift Rudolf Fueter , újranyomás Hopf, Selecta, Springer 1964
14. ↑ M. Koecher, R. Remmert, Isomorphiesätze von Frobenius és Hopf, in: H.-D. Ebbinghaus és mtsai., Numbers, Springer 1983, 156. o., 162ff
15. ^ Hopf, A komplex elosztók topológiájáról, in: R. Courant 60. születésnapján bemutatott esszék, Interscience 1948, 167-185.
16. Ka Ilka Agricola et al., A Hopf-probléma történetéről, a differenciálgeometria és alkalmazásai, 57. évfolyam , 2018. április, 1–9., Arxiv
17. ↑ Hopf, Rinow a teljes differenciál geometriai felület koncepciójáról , Comm.Math.Helv. 1931. 3. évf., 209. o
18. ↑ Tagok története: Heinz Hopf. American Philosophical Society , 2018. október 3 . 
19. ↑ Holger Krahnke: A Göttingeni Tudományos Akadémia tagjai 1751-2001 (= A göttingeni Tudományos Akadémia filozófiatörténeti osztályának traktátusai . 3. kötet, 246. köt. = A göttingeni Tudományos Akadémia traktátusai, matematikai- Fizikai osztály. 3. rész, 50. évfolyam). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2001, ISBN 3-525-82516-1 , 118. o.
20. ↑ Minor Planet Circ. 43192