Segédfunkció (mikroökonómia)

A gazdaság és különösen a mikroökonómia, a hasznossági függvény egy olyan matematikai függvény , amely leírja a preferenciák a gazdasági alanyok . Rendel egy valós szám , hogy bármely köteg áruk , oly módon, hogy több nagy értékű kötegek áru fogadására nagyobb számban. A hozzárendelt számokat az adott termékcsomag előnyeinek nevezzük .

A mikroökonómiai elméletben a hasznossági függvények csak a hierarchiára vonatkozó állításokat tartalmazzák: Ha az egyik árucsomag magasabb hasznosságot nyújt, mint a másik, csak arra lehet következtetni, hogy az előbbi az érintett gazdasági alany szempontjából „jobb”, mint utóbbi. ; hogy mekkora a távolság a számok között, nincs értelme. Az ilyen segédfunkciókat rendes hasznosságfüggvényeknek is nevezik , mivel csupán az árucsomag sorrendjét adják meg. A soros hasznossági függvény fogalma más elméleti alapokon nyugszik, mint az úgynevezett kardinális hasznosság függvények, amelyekben két jószág hasznossági értéke közötti különbség is értelmezhető.

A hasznossági függvény fogalmát mind a mikroökonómia, mind a makrogazdasági kérdések összefüggésében használják .

A hasznosság maximalizálásának célját gyakran feltételezik a fogyasztó cselekvésmeghatározó törekvésének (vö. Homo oeconomicus ). Alternatív cél az elégedettség .

meghatározás

A következőkben azt feltételezzük, hogy a hasznosságot csak sorban lehet mérni, és a hasznossági függvényt akkor vezetik be, ahogy a háztartási elméletben felépítik .

Szemléltető meghatározás a két áru esetében

Hasznosságfüggvény két áru esetében (itt: Cobb-Douglas segédfunkció, lásd alább).
${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = {\ sqrt {x_ {1}}} \ cdot {\ sqrt {x_ {2}}}}$

Ha az egyik korlátozza a köteg az áruk két árut az egyszerűség kedvéért, lehet például képzelni egy köteg áruk A tett fel kétféle terméktípus: kivi (jó 1) és cseresznye (jó 2 ). Az A árucsomag mostantól tartalmaz bizonyos mennyiségű kivit - jelzéssel - és bizonyos mennyiségű meggyet ; az egyik rövidre írja ezt az árucsomagot . Hasonlóképpen, képzeljünk el egy második , kivi és cseresznye B termékcsomagot, amelyet ennek megfelelően a . Konkrét értékekkel elképzelhető például, hogy az A termékcsomag két kivit és hat meggyet tartalmaz, míg . Ha azt feltételezzük, mint általában, hogy a preferenciák egyhangúak (véletlenül: „a több jobb”), a háztartásnak inkább B-t, mint A-t kell választania. Végtelen számú segédfunkció képes feltérképezni a beállításokat, mivel csak annyit kell tenniük, hogy biztosítsák, hogy a függvény értéke abban a pontban nagyobb, mint az adott pont . Például, olvasni egy függvény használható a és . Negatív értékek is lehetségesek: Ha van egy másik segédfunkció és / vagy , akkor ez a segédfunkció összhangban van a háztartás preferenciáival is. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {A}}$${\ displaystyle x_ {2} ^ {A}}$${\ displaystyle A = (x_ {1} ^ {A}, x_ {2} ^ {A})}$${\ displaystyle B = (x_ {1} ^ {B}, x_ {2} ^ {B})}$${\ displaystyle A = (2.6)}$${\ displaystyle B = (3,6)}$${\ displaystyle (3,6)}$${\ displaystyle (2,6)}$${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {1} (A) = 300}$${\ displaystyle u_ {1} (B) = 890}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle u_ {2} (A) = - 3}$${\ displaystyle u_ {2} (B) = - 1}$

Hasonlóképpen, a háztartás számára egyformán kedvelt árukombinációknak azonos hasznosságértékekkel kell rendelkezniük. Például, ha az árucsomagot ugyanolyan jónak érzékelik, mint az árucsomagot , akkor ennek minden segédfunkcióra is vonatkoznia kell . ${\ displaystyle C = (4.10)}$${\ displaystyle D = (2.11)}$${\ displaystyle u (C) = u (D)}$

Formális meghatározás

A mikroökonómiai elméletben azt feltételezzük, hogy a gazdasági alanyok preferenciákkal rendelkeznek a számukra potenciálisan elérhető választási alternatívákkal kapcsolatban. Matematikailag az ilyen preferenciák (amelyek nagyon általánosak lehetnek) bináris relációkként ábrázolhatók . Például a preferencia-közömbösség ilyen módon állapodik meg. Most hagyjuk, és válasszunk áruvektorokat egy sor alternatívából, majd azt fejezzük ki , hogy az árucsomag legalább legalább olyan jó minősítésű , mint vagy jobb . Annak érdekében, hogy megőrizze ezeket az információkat a megfelelő segédfunkcióban, a (z) függvény függvényértékének is meg kell egyeznie vagy magasabbnak kell lennie, mint . Ez a következő pontos meghatározáshoz vezet: ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x} _ {b}: = (\ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}) \ in R}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$

A segédfunkciók lehetővé teszik bizonyos preferencia-közömbösség viszonyok egyenértékű funkcionális ábrázolását (lásd még ebben a cikkben a Hasznos függvény megléte című részt). Előnyük a viszonylag egyszerűbb matematikai kezelhetőségben rejlik.

A preferencia-kapcsolatok elemzéséhez hasonlóan itt is a közömbösség és a szigorú preferencia levezethető a preferencia-közömbösség viszonyából. A szigorú preferencia meghatározása a következő : Két alternatíva esetén és akkor és csak akkor, ha (1) , de (2) nem egyszerre . Ha hasznossági függvénnyel van dolgunk , akkor a fenti meghatározás az (1) miatt és (2) miatt nem érvényes , ami csak azt jelenti, hogy szigorú preferenciával valóban érvényes . Hasonlóképpen az a közömbösségi viszony is látható , hogy a fenti definíció szerint a hasznossági függvényben éppen az fejeződik ki, hogy két azonos értékűnek tekintett árucsomag esetében . Az, hogy mekkora a távolság a függvényértékek között, vagy milyen magasak maguk a függvényértékek, lényegtelen. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a} P \ mathbf {x} _ {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x} _ {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b} R \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u (\ mathbf {x} _ {a}) \ geq u (\ mathbf {x} _ {b})}$${\ displaystyle u (\ mathbf {x} _ {b}) \ geq u (\ mathbf {x} _ {a})}$${\ displaystyle u (\ mathbf {x} _ {a})> u (\ mathbf {x} _ {b})}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}: u (\ mathbf {x} _ {a}) = u (\ mathbf {x} _ {b})}$

Osztályozás és tulajdonságok

A hasznosság fogalma és a hasznossági függvény átalakításai

A fenti meghatározás alapjául szolgáló értelmezés meglehetősen általános, oly módon, hogy a specifikus hasznossági értékeket nem lehet külön-külön értelmezni - árucsomagok összehasonlításakor csak az a kérdés, hogy a két megfelelő hasznossági érték hogyan viszonyul egymáshoz. azaz nagyobb vagy egyenlő vagy kisebb-e a másik. Ez azon a megközelítésen alapul, hogy az előny mérhetőségét kizárólag ordinálisként értelmezik . Ezen a feltételezésen alapszik a modern háztartáselmélet hasznosság-fogalma, mivel a preferencia-kapcsolatok nem tartalmaznak további információkat (az alternatívák páros összehasonlítása). Így intuitív módon érthető, hogy a hasznossági funkciók a fent meghatározott értelemben pozitívan és szigorúan monoton módon is átalakíthatók, ahogyan azt kívánjuk, vagyis ugyanazokat az információkat tartalmazza, mintha csak benne szigorúan monoton növekedne . ${\ displaystyle f \ bal [u (\ mathbf {x}) \ jobb]}$${\ displaystyle u (\ mathbf {x})}$${\ displaystyle f \ kettőspont \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle u}$

Más típusú segédfunkciók is elképzelhetők - de nem kompatibilisek a fenti koncepcióval. Például , ha a segédprogram mérjük egy kardinális skálán , egy transzformációs lenne csak akkor megengedett, ha az pozitív affin, azaz ha . A kardinális skála szigorúbb követelményei azonban a kibővített értelmezési lehetőségeknek felelnek meg, mert itt egészen arra lehetne következtetni , hogy a haszonérték 10- rel növekszik , amikor az árucsomagokból áttérünk , míg 20- ra nő , amikor mozgó , hogy , hogy a további előnyök ellenkezője kétszer olyan magas, mint a szemközti . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ left [u (\ mathbf {x}) \ right] = a + b \ cdot u, \; b> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {c}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$

Ha a hasznosságot arányskálán mérjük , akkor az átalakítás csak akkor megengedett, ha pozitív lineáris, azaz ha . Itt arra lehet következtetni, hogy az árucsomagok előnye kétszer akkora, mint az, és hogy az előbbi csomag kétszer akkora hasznot is nyújt, mint az utóbbi. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ left [u (\ mathbf {x}) \ right] = b \ cdot u, \; b> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {b}}$

Szélsőséges esetben semmiféle átalakulás nem megengedett ( abszolút skála ) , ebben az esetben akár a haszon abszolút szintje is értelmezhető (például ). ${\ displaystyle u (\ mathbf {x} _ {a}) = 12}$

Segédfunkció megléte

Ha feltételezzük, hogy létezik egy preferencia-sorrend, akkor ezt nem minden esetben tudja megjeleníteni egy segédfunkció. Ehelyett további követelményeket kell előírni az alternatívák mennyiségére vagy a preferencia sorrendjére vonatkozóan.

Funkcionális tulajdonságok

A hozzárendelt preferencia-sorrend alapján állítások is készíthetők egy segédfunkció tulajdonságairól.

A preferencia-közömbösséget szigorúan monotonnak nevezzük, ha ; mint konvex, ha szigorúan domború, ha . Lásd részletesebben a Preference Relation cikket .${\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}: (\ mathbf {x} _ {a} \ geq \ mathbf {x} _ {b}) \ ék ( \ mathbf {x} _ {a} \ neq \ mathbf {x} _ {b}) \ implicit \ mathbf {x} _ {a} P \ mathbf {x} _ {b}}$${\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}, \ mathbf {x} _ {c}: \ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x} _ {c} \ wedge \ mathbf {x} _ {b} R \ mathbf {x} _ {c} \ implicit \ t = 0,1-ben :( t \ mathbf {x} _ {a} + (1-t) \ mathbf {x} _ {b}) R \ mathbf {x} _ {c}}$${\ displaystyle \ forall \ mathbf {x} _ {a}, \ mathbf {x} _ {b}, \ mathbf {x} _ {c}: (\ mathbf {x} _ {a} R \ mathbf {x } _ {c} \ wedge \ mathbf {x} _ {b} R \ mathbf {x} _ {c}) \ wedge (\ mathbf {x} _ {a} \ neq \ mathbf {x} _ {b} ) \ magában foglalja az összes t értéket (0,1): (t \ mathbf {x} _ {a} + (1-t) \ mathbf {x} _ {b}) P \ mathbf {x} _ {c }}$

Közömbösségi görbe

Három közömbösségi görbe a két áru esetében.

A közömbösségi görbék a három áru esetében

A fentiek szerint a hasznossági függvények azt a hasznossági szintet jelzik, amelyet bizonyos árucsomagok generálnak. Ha más szögből nézi a funkciót, akkor megadhat egy bizonyos szintű hasznot is, és rákérdezhet az árucsomagokra, amelyekkel ez elérhető. Ez képezi az alapját a közömbösségi görbe koncepciójának (szintén hasznossági izokvant vagy iso hasznossági függvény ). Ha valaki árucsomagot feltételez , akkor a közömbösségi görbe formailag az összes árucsomag mennyisége, amelyre ezt alkalmazza ( a közömbösség mennyisége ). ${\ displaystyle {\ overline {u}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} I \ mathbf {x} _ {a}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {a}}$

Két áru esetében a baloldalihoz hasonló közömbösségi görbék nagyon könnyen vizualizálhatók. A vízszintes és a függőleges tengely között található az összes lehetséges árucsomag mennyisége (ezen a területen minden pont a jó 1 és jó 2 bizonyos kombinációját jelöli). A 2. közömbösségi görbén például vannak olyan pontok, amelyek a háztartásnak ugyanolyan előnyöket nyújtanak, mint a B, és láthatja többek között, hogy a háztartás közömbös C és B között (vagyis C és B egyaránt jó ). Ha szokás szerint azt feltételezzük, hogy a preferenciák monotonak („a több a jobb”), akkor a közömbösségi görbék magasabb szintű hasznosságot jelentenek, minél távolabb vannak az eredettől - az árucsomagok a 2. közöny görbén ezért mindig jobbak mint az 1. görbén.

Matematikailag a közömbösség a fent definiált értelemben a hasznossági függvény számára beállított szint . Például, ha egy segédfunkció, akkor tegye bele az árucsomagot , és mutasson a közüzemi görbére a 4. hasznossági szint miatt , mert . ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = {\ sqrt {x_ {1} x_ {2}}}}$${\ displaystyle (2.8)}$${\ displaystyle (8.2)}$${\ displaystyle (4,4)}$${\ displaystyle u (2.8) = u (8.2) = u (4.4) = {\ overline {u}} = {\ sqrt {16}}}$

A tulajdonság vizualizálása szintkészletként - közömbösségi görbék a segédfunkció kontúrvonalaként. A példában: Cobb-Douglas segédfunkció a fentiek szerint; Négy kontúrvonalat / közömbösségi görbét rajzolunk az (x1, x2) síkba. (Ne feledje, hogy az egyértelműség kedvéért az x2 tengely az egyértelműség kedvéért az x1 tengely nem metszik egymást a nulla pontban, az egyik a tengelyt viszont balra elé képzeli, az ismert kép közömbösségi görbét mutat a két áru esetében.)

Médiafájl lejátszása

A kontúrvonalak „vetülete” az x1-x2 síkban (animáció).

Ebből a tulajdonságból az is következik, hogy a közömbösségi görbék nem keresztezhetik egymást. Ha A és B két valóban különböző közömbösség-csoport lenne, és ha lenne olyan árucsomag, amelyet A és B is tartalmaz , akkor ez szükségszerűen ellentmondáshoz vezetne. A közömbösség meghatározása szerint az A- ból származó összes többi árucsomagra vonatkozna , hogy ugyanazt a hasznosságot hozzák létre, mint (mert A-ban található); ugyanez vonatkozik az összes többi B- termékcsomagra (mivel a B-ben található), ami azt jelenti, hogy az A és B- ben szereplő összes árucsomag ugyanolyan előnyt jelent, mint . Ekkor a közömbös halmazok nem igazán lehetnek mások - a feltételezéssel ellentétben. ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$

Margit hasznosság és a helyettesítés marginális aránya

Határhaszon

Az áru hasznosságfüggvényének első részleges levezetését ennek a jószágnak a marginális hasznosságának nevezzük . A marginális hasznosság egyértelműen jelzi, hogy az áruk mennyiségének marginális növekedése mennyi további hasznosságot eredményezne, az összes többi áru mennyiségének változatlanul hagyásával. A marginális haszon azt jelenti, hogy ez a jó telítetté vált. Ennek a terméknek egy további egysége (konkáv függvénygörbével) nem jelentene további előnyt. ${\ displaystyle \ részleges u (\ mathbf {x}) / \ részleges x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle 0}$

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a haszonfüggvényhez hasonlóan a jószág határfüggvényének vagy határhasznosságának önmagában sincs értelme. Például, ha az ember kétáru esetben hasznossági függvényt vesz figyelembe , akkor a jó marginális hasznossága 2 . A hasznossági függvény szigorúan monoton pozitív átalakulása azonban a 2. jó marginális hasznosságához vezet - vagyis meg is megháromszorozódik, ami egyértelművé teszi, hogy a haszon határértékei tetszés szerint átalakíthatók. Kiderült azonban, hogy a különféle áruk marginális haszna közötti kapcsolat nagyon jól értelmezhető, amint azt a következő szakasz mutatja. ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + 3x_ {2} ^ {2}}$${\ displaystyle 6x_ {2}}$${\ displaystyle v = 3 \ cdot u (x_ {1}, x_ {2}) = 3x_ {1} + 9x_ {2} ^ {2}}$${\ displaystyle 18x_ {2}}$

Gossen első törvényének illusztrációja. Az árumennyiséget a vízszintes tengelyen, a hasznosságot a függőleges tengelyen ábrázoljuk (haszonfüggvény egyárú esetben).

Egyes alkalmazásokban úgy gondolják, hogy az áruk határhasznosítása általában csökken a mennyiségben; Hermann Heinrich Gossen hasznossági elmélete keretében már azt állította , hogy a jó további egységeinek további hasznossága csökkenti a jóval már meglévő több egységet ( először Gossen-törvény ). Figyelembe kell azonban venni, hogy a feltételezés nem kompatibilis a rendes hasznosság elmélettel, mivel a fenti költségvetési elméleten alapult. Ez azért van, mert a közüzemi értékeknek nincs jelentősége - az a tény, hogy a hasznossági függvény a és egyenértékű azzal vagy azt mutatja, hogy a megfelelő megengedhető módosítások a hasznossági függvény jelentősen befolyásolhatják a határhaszon változás, amelyből az következik, hogy az a - vagy a karaktercsökkenés, ha a soros fogalom alkalmazása nem kínál értelmezési lehetőséget. ${\ displaystyle u_ {1}}$${\ displaystyle u_ {1} (1,1) = 1}$${\ displaystyle u_ {1} (1,2) = 2}$${\ displaystyle u_ {2}}$${\ displaystyle u_ {2} (1,1) = 1}$${\ displaystyle u_ {2} (1,2) = 100}$

Egy másik általános feltételezés egy szigorúan pozitív marginális hasznosság, vagyis az áru minden további egysége további hasznosságot generál. A preferenciaelméleti alapokban ez a feltételezés megfelel a háztartási preferenciák szigorú monotonitásának feltételezésének, miszerint szigorúan előnyben részesített árucsomag van egy árucsomag minden környezetében, amelyben az összes megmaradt árucikk azonos mennyiségű , de több legalább egy jóból.

A helyettesítés marginális aránya

Két áru esetén a közömbösségi görbe meredekségének abszolút értékét a helyettesítés marginális sebességének is nevezik . Ez ${\ displaystyle (GRS)}$

${\ displaystyle {\ mathit {GRS}} _ {1,2} (x_ {1}, x_ {2}) \ equiv | f '(x_ {1}) | = -f' (x_ {1}) = {\ frac {\ részleges u (x_ {1}, x_ {2}) / \ részleges x_ {1}} {\ részleges u (x_ {1}, x_ {2}) / \ részleges x_ {2}}} }$

(olvasható: az 1. jó helyettesítésének marginális aránya a 2. jóhoz viszonyítva), vagyis pontosan a marginális hasznosság aránya.

Ez a következőképpen mutatható ki: Mivel a zuhanásokban az, és ez az, amit az utolsó előtti egyenlet megmagyaráz. Továbbá egy árucsomag esetében a közömbösségi görbe a síkban fekszik, így közvetlenül meg lehet jegyezni annak függvényeként . Ez azt jelenti, hogy az áruköteg ábrázolható és a közömbösségi görbe meghatározása szerint ezt alkalmazza (állandó). Levezetését illetően már túl ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle f '(\ cdot) <0}$${\ displaystyle | f '(x_ {1}) | = -f' (x_ {1})}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2})}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$${\ displaystyle x_ {2} = f (x_ {1})}$${\ displaystyle (x_ {1}, f (x_ {1}))}}$${\ displaystyle u (x_ {1}, f (x_ {1})) = {\ overline {u}}}$${\ displaystyle u (\ cdot)}$${\ displaystyle x_ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges u (x_ {1}, x_ {2})} {\ részleges x_ {1}}} + {\ frac {\ részleges u (x_ {1}, x_ {2}) } {\ részleges x_ {2}}} f '(x_ {1}) = 0}$

(ez megfelel a ), amelyek együtt pontosan vezet a felsorolt egyenlete GRS - amely az volt, kimutatható.${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle {\ overline {u}} = \ mathrm {const.}}$${\ displaystyle {\ mathit {GRS}} = - f '(x_ {1})}$

A GRS azt az átváltási arányt jelöli, amellyel a háztartás hajlandó a jó 2 marginális egységet 1 jóra cserélni. Ez a marginális helyettesítési ráta invariáns a pozitív, szigorúan monoton átalakuláshoz. A koncepció nagyobb mennyiségű árura is alkalmazható, ezáltal ennek megfelelően bármely árura : ${\ displaystyle a, b}$

${\ displaystyle {\ mathit {GRS}} _ {a, b} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ részleges u (\ mathbf {x}) / \ részleges x_ {a}} {\ részleges u (\ mathbf {x}) / \ részleges x_ {b}}}}$.

Feltételezzük, hogy az MRS szigorúan monoton esést mutat, ami megegyezik azzal az állítással, hogy a közömbösségi görbék domborúak, és közvetlenül megfelelnek a preferenciák elméleti alapjaiban szereplő preferenciák konvexitás feltételezésének is. Intuitív módon a két áru esetében ez azt jelenti, hogy ha nem használ jó 2 marginális egységet, akkor több jó 1 egységgel kell kompenzálni, annál kevesebb jóval 2.

Példák a segédfunkciókra

Cobb-Douglas és CES segédprogram

A Cobb-Douglas segédfüggvény általában a forma segédfüggvénye

${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ beta \ cdot \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} = \ beta \ cdot x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdot \ dotsc \ cdot x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$

együtt ; és mindenkinek . Leegyszerűsítve: azonban a két áru esetében gyakran azt feltételezzük, hogy a kitevők egy és csak egy összegűek , ami biztosítja a skála állandó visszatérését : ${\ displaystyle \ beta> 0}$${\ displaystyle x_ {i}> 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}> 0}$${\ displaystyle i = 1, \ dotsc, n}$${\ displaystyle \ beta = 1}$

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha} \ cdot x_ {2} ^ {1- \ alpha}}$a .${\ displaystyle \ alpha \ in (0,1)}$

A Cobb-Douglas segédfunkció az általános CES segédfunkció közös alosztálya

${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = \ beta \ cdot \ left [\ alpha _ {1} x_ {1} ^ {- \ rho} + \ alpha _ {2} x_ {2} ^ {- \ rho} + \ dotsc + \ alpha _ {n} x_ {n} ^ {- \ rho} \ right] ^ {- \ gamma / \ rho}}$

együtt ; és mindenki számára is . Egyenesen konvergál a Cobb-Douglas funkcióval szemben. ${\ displaystyle \ beta, \ gamma> 0}$${\ displaystyle x_ {i}> 0}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}> 0}$${\ displaystyle i = 1, \ dotsc, n}$${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$${\ displaystyle \ rho \ rightarrow 0}$

Kvázi-lineáris hasznossági függvény

A segédfunkció kvázi lineáris, ha formája van , ahol megint egy segédfunkció található. A legegyszerűbb esetben, és ennek megfelelően . A függvény kvázi-lineáris , vagyis "részben lineáris". Két áruk esetében a közömbösségi görbék grafikailag csak a függőleges tengely metszésének magassága tekintetében térnek el a kvázi-lineáris hasznossági függvényektől. Adott jó 1 jó halmaz esetén az összes közömbösségi görbe lejtése azonos. Kvázi-lineáris preferenciák esetén nincs helyi jövedelemhatás, amíg az m jövedelem elég nagy, vagyis bármely ár árváltozásának eredményeként bekövetkező keresletváltozás teljes egészében a helyettesítésnek köszönhető. hatás. ${\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = x_ {1} + v (x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle v (\ cdot)}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2})}$${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + v (x_ {2})}$${\ displaystyle x_ {1}}$

Korlátozó hasznossági függvény

A korlátozott hasznosságfüggvény esetén a tényezők egy bizonyos alkalmazási arányban vannak, vagyis a hasznosság csak akkor nő, ha mindkét tényezőt gyakrabban használják. Gyakran használt korlátozott hasznosságú funkció a Leontief gyártási funkció .

Intertemporális segédfunkció

Egy intertemporális segédprogram függvény a különböző időpontokban elérhető fogyasztási alternatívák segítségével térképezi fel a preferenciákat. Többek között meg lehet vele magyarázni, hogy az emberek miért és mennyit takarítanak meg vagy vesznek fel hitelt .

Az empirikusan megfigyelhető viselkedésnek megfelelően gyakran feltételezzük, hogy az egyének időközi fogyasztást részesítenek előnyben az azonos mennyiségű távoli fogyasztás helyett az intertemporális preferenciák esetén; itt pozitív időpreferenciáról beszélünk . A hasznossági funkciókban ezt a pozitív időpreferenciát gyakran diszkont faktorok képviselik , amelyek során az egyszerűség kedvéért gyakran állandó jövedelemváltozási arányt is feltételezünk.

Például az átfedő generációs modellekben általában azt feltételezik, hogy az egyének pontosan két időszakot élnek: Az első időszakban olyan jövedelemmel rendelkeznek , amelyet elfogyaszthatnak vagy megtakaríthatnak. A második időszakban (kamatozó) megtakarításaikból és további, kisebb felszerelésekből (például állami támogatásból) élnek. Ezután az egyének maximalizálják a hasznosságot az egész életciklus-fogyasztásuk alatt, vagyis maximalizálják az intertemporális hasznosságfüggvényt ${\ displaystyle \ omega _ {t} ^ {1}}$

${\ displaystyle U ^ {t} \ balra (c_ {t} ^ {1}, c_ {t} ^ {2} \ jobbra)}$,

ahol a vázolt példában, leegyszerűsített és hiányában átviteli rendszerek és ( a fogyasztás egy egyedi született időszakban , a fogyasztás egy egyedi született időszak (azaz csak a második fázisban az élet), az érdeklődés közötti megtakarítás mértéke és ). ${\ displaystyle c_ {t} ^ {1} = \ omega _ {t} ^ {1} -s_ {t}}$${\ displaystyle c_ {t} ^ {2} = \ balra (1 + r_ {t + 1} \ jobbra) s_ {t} + \ omega _ {t} ^ {2}}$${\ displaystyle c_ {t} ^ {1}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle c_ {t} ^ {2}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t + 1}$${\ displaystyle r_ {t + 1}}$${\ displaystyle s_ {t}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t + 1}$

Egy gazdasági szubjektum időpreferencia-aránya a privát időpreferencia-arány , míg a társadalomét társadalmi időpreferencia-aránynak nevezzük . A közömbösségi görbe koncepciója analóg módon alkalmazható.

Von Neumann Morgenstern várható hasznossági funkció

Egy mikrogazdasági szempontból döntések bizonytalanság gyakran modellezni , mint egy lottó . Az alternatíva választásának előnye itt nem azonnal ismert. Segédfunkció helyett egy várható segédfunkciót (más néven VNM segédfunkciót ) használnak a színész beállításainak modellezéséhez.

A várható értéket az egyes alternatívák (általában egydimenziós) segédfunkción keresztüli hasznossági értéke határozza meg. A megfelelő alternatívák hasznosságfüggvénye és valószínűségeloszlása tehát meghatározza a lottó hasznosságát: A várható hasznosság egyszerűen az alternatívák hasznosságának várható értéke. Az ilyen hasznossági függvényt Von-Neumann - Morgenstern (elvárás) hasznossági függvénynek is nevezik .

${\ displaystyle V (z) = \ operátor neve {E} [u (z)] = \ sum _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} \ cdot u (z_ {i})}$

${\ displaystyle V}$a véletlen változó fölötti várható hasznosságfüggvényt jelöli ( különböző valószínűséggel előforduló állapotok ), és az úgynevezett Bernoulli hasznosságfüggvény . A Von Neumann Morgenstern hasznossági függvény tehát nem más, mint a különböző állapotok valószínűségeivel súlyozott hasznosság, amelyek a lottó eredményeként jöhetnek létre. ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle z}$

A várható hasznossági függvény megléte azonban erőteljesebb feltételezéseket igényel, különös tekintettel a függetlenség vitatott axiómájára , miszerint a lényegtelen alternatíváknak semmilyen befolyása nem lehet az eredményre. A gazdasági szereplők a várható hasznossági összetétel elfogadhatóságától függetlenül kockázatkerülő , kockázatsemleges vagy kockázatkerülő kategóriákba sorolhatók.

Kockázatkerülés

A hasznosságfüggvények a várható hasznosságelméletben abban különböznek, hogy az egyének milyen mértékben kerülik el a kockázatkerülést . Az egyéni nevezzük kockázatkerülő, ha inkább egy lottó a várható érték egy van egy biztonságos jövedelme egy , például, ha az egyén inkább a biztonságos összeg 50 euró egy lottó, ahol van egy 50 százalékos valószínűséggel 100 euró de 50 százalékos valószínűséggel csak 0 eurót kap. Kimutatható, hogy általános feltételezések szerint az egyén akkor és csak akkor kerüli el a kockázatot, ha Von-Neumann-Morgenstern várható hasznossági funkciója szigorúan konkáv.

Az Arrow-Pratt mérték szerint a segédfunkciók a következő alosztályokat eredményezik:

• CRRA : Állandó relatív kockázatkerülés
• IRRA : A relatív kockázatkerülés növelése
• DRRA : A relatív kockázatkerülés csökkenése
• IARA : Az abszolút kockázatkerülés növelése
• DARA : Az abszolút kockázatkerülés csökkenése
• CARA : Állandó abszolút kockázatkerülés

HARA segédfunkciók

A pénzügyi közgazdaságtanban a HARA (hiperbolikus abszolút kockázatkerülés) kifejezéssel összefoglalt hasznossági funkciók osztályát használják.

A HARA segédfunkció általános formája

${\ displaystyle u (c) = {\ frac {1- \ gamma} {\ gamma}} \ bal ({\ frac {ac} {1- \ gamma}} + b \ jobb) ^ {\ gamma}}$

hol van a fogyasztás mennyisége. Szükség esetén a funkciót folyamatosan ki kell tölteni a Bernoulli-eset ( ) és a kockázat-semleges eset ( ) esetében a de l'Hospital szabály segítségével . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ gamma = 1}$

Ha és , az eredmény az izoelasztikus hasznossági függvény , amely megegyezik a CRRA osztályával. Gyakran figyelembe veszik a fogyasztói befektetési problémában , mivel a csőd nem jelenhet meg a modellben, empirikusan viszonylag megfelelő és matematikailag még mindig viszonylag könnyen kezelhető. (Merton alapdokumentumai más eseteket is megvizsgáltak, de a megoldások helytelenek voltak, és negatív fogyasztást tartalmaztak.) A klasszikus Bernoulli naplófüggvény az izoelasztikus hasznossági függvény speciális esete. Bizonyítható, hogy az összes CRRA segédfunkció a HARA osztályba tartozik. ${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle b = 0}$

Az exponenciális segédfunkciót gyakran használják az egyszerű analitikai kezelhetőség miatt. Megvan a formája és felmerül a és számára . A paraméter itt határozza meg a kockázati preferenciát . A CARA osztályba tartozik. Ha csak a kockázatkerülő eseteket vesszük figyelembe, i. H. , leegyszerűsíthető. ${\ displaystyle u (c) = - \ exp (-ac) / a}$${\ displaystyle b = 1}$${\ displaystyle \ lambda \ to - \ infty}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle u (c) = - \ exp (-ac)}$

Közvetett segédprogram funkció

A Marshall keresleti függvények összeállításakor felmerülő hasznosság-maximalizálási probléma összefüggésében gyakran használnak egy speciális „segédfunkciót”, az úgynevezett közvetett segédfunkciót. Általában azzal jelöljük és építjük fel, hogy az áruk árától és a háztartás költségvetésétől függően közvetlenül jelezze az ellátás maximális szintjét, amely a megfelelő maximalizálási probléma megszorításokból történő megoldása révén keletkezhetett volna. ${\ displaystyle v}$

Helyreállíthatósági probléma

A helyreállíthatósági probléma a preferenciák sorrendjének meghatározása annak a segédfunkciónak a függvényéből, amely előállítja a bemutatott segédfunkciót. Ez fordítottja annak a problémának, hogy egy preferencia-sorrendhez bizonyos jellemzőkkel rendelkező segédfunkciót találunk.

Makroökonómiai haszonelmélet

Makrogazdasági kontextusban a makrogazdasági hasznossági függvényeket használják arra, hogy felmérjék egyes politikai és gazdasági fejlemények előnyeit a makrogazdasági fejlődés szempontjából.

A makroökonómiában a fogalmat a gazdaságpolitikai szereplők viselkedésének modellezésére is használják . Ebben az összefüggésben például a közválasztási elmélet keretein belül létrehozzák az újraválasztásorientált politikusok hasznossági funkcióit. Eszerint a politikusok azt a politikai alternatívát választják, amely a lehető legjobban kihasználja újraválasztási lehetőségeiket.

Lásd még

• Kilátáselmélet

irodalom

• Anton Barten és Volker Böhm: Fogyasztói elmélet. In: Kenneth J. Arrow és Michael D. Intrilligator (szerk.): Matematikai közgazdaságtan kézikönyve. 2. köt. Észak-Hollandia, Amszterdam, 1982, ISBN 978-0-444-86127-6 , 382-429.
• Geoffrey A. Jehle és Philip J. Reny: Haladó mikroökonómiai elmélet. 3. kiadás: Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7 .
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston és Jerry Green: Mikroökonómiai elmélet. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1 .
• George J. Stigler : A haszonelmélet fejlődése. I. In: Political Economy folyóirat. 58, 4. sz., 1950, 307-327.
• George J. Stigler: A haszonelmélet fejlődése. II. In: Journal of Political Economy. 58, 5. sz., 1950, 373-396.
• Hal Varian : Középfokú mikroökonómia. Modern megközelítés. 8. kiadás. WW Norton, New York és London, 2010, ISBN 978-0-393-93424-3 .
• Susanne Wied-Nebbeling és Helmut Schott: A mikroökonómia alapjai. Springer, Heidelberg és mtsai. 2007, ISBN 978-3-540-73868-8 .

Egyéni bizonyíték

1. ↑ Lásd: Geoffrey A. Jehle és Philip J. Reny 2011, 17. o.
2. ↑ Lásd például: Mas-Colell / Whinston / Green 1995, 9. o.
3. ↑ Geoffrey A. Jehle és Philip J. Reny 2011, 17. o.
4. ↑ Geoffrey A. Jehle és Philip J. Reny 2011, 18. o.
5. ^ Sethi S.: Optimális fogyasztás és befektetés csőddel , Kluwer (1997).