Téridő

Tér-idő vagy tér-idő kontinuum van a közös képviselet a háromdimenziós térben , és az egydimenziós idő egy négydimenziós matematikai struktúrája. Ezt az ábrázolást használják a relativitáselméletben .

Az emberek az időt és a helyet két különböző adományként élik meg , részben az időhöz kapcsolódó oksági összefüggések miatt (a hatás nem fordulhat elő korábban, mint annak oka). A klasszikus fizikában és főleg a technológiában az időt és a helyet független mennyiségként kezelik. A fénysebesség nagyságrendjének megfelelő sebességnél azonban nyilvánvalóvá válik, hogy egy esemény ideje és helye kölcsönösen függ. Például a két esemény közötti időintervallum, amelyet egy mozgó megfigyelő határoz meg, a térbeli távolságuktól is függ. A speciális relativitáselmélet kidolgozásával felismerték, hogy a két mennyiséget előnyös koordinátának tekinteni egy közös négydimenziós térben, a Minkowski-térben .

A klasszikus mechanika összefüggésében a téridő fogalmát Penrose és Arnold tárgyalta.

Téridő a speciális relativitáselméletben

Okoztság és a távolság fogalma

A tér és az idő összekapcsolása esetén is, ha az A esemény okozza a B eseményt, akkor ennek az „ oksági összefüggésnek ” minden koordináta-rendszerben alkalmaznia kell ; a koordináta-rendszer megváltoztatása nem változtathatja meg az események okozati összefüggését. Az okozati összefüggést matematikailag a távolság fogalma határozza meg . Két esemény közötti távolság a három helykoordinátától és az időkoordinátától függ . Két esemény okozati összefüggésének fenntartása vagy általánosabban a Lorentz-invariancia miatt a fizikai modelleket matematikai terekben kell leírni, amelyekben az idő és a tér egy bizonyos módon összekapcsolódik . ${\ displaystyle x, y, z}$${\ displaystyle t}$

Egy abszolút (abszolút értelemben invarianciája felé a koordináták) érvényes távolság fogalmának lehet használni, például B. Határozza meg a négy dimenziós tér-idő kontinuum úgynevezett megfelelő idejét vagy az „általános távolságot” a téridő-pontok („ események ”) számára, még olyan események esetén is, amelyek a lehető legszorosabban („végtelenül”) szomszédosak. Mit mérünk térinek és mit időbeli távolságnak, az a megfigyelő mozgásának állapotától és (általános relativitáselmélet esetén) tömeg vagy energia jelenlététől függ (pl. Mezőkön ).

Matematikailag a téridőt egy ál-Riemann-sokaság segítségével írják le , különösen az úgynevezett Minkowski-térben . A Minkowski térben a helykoordináták mellett az események időkoordinátáit is figyelembe kell venni a távolságok , vagyis a fénysebesség kiszámításához . A klasszikus számítás térbeli távolságok derékszögű koordináta - a négyzetes távolság - ezért módosítani: A négyzetes generalizált távolság a két események Minkowski tér és más néven téridő metrikus vagy téridő intervallum . A jelek itt használt a aláírását a metrikus és részben a szóban forgó egyezmény. Vannak más, egyenértékű aláírások, például , vagy ritkább is, mint ahol a jelentése az imaginárius egység a komplex számok . ${\ displaystyle \ mathrm {\ Delta} s}$${\ displaystyle c \ mathrm {\ Delta} t, \ mathrm {\ Delta} x, \ mathrm {\ Delta} y, \ mathrm {\ Delta} z}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ textstyle (\ mathrm {\ Delta} x) ^ {2} + (\ mathrm {\ Delta} y) ^ {2} + (\ mathrm {\ Delta} z) ^ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle (\ mathrm {\ Delta} s) ^ {2} = (c \ mathrm {\ Delta} t) ^ {2} - (\ mathrm {\ Delta} x) ^ {2} - (\ mathrm {\ Delta} y) ^ {2} - (\ mathrm {\ Delta} z) ^ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle (+, -, -, -)}$${\ displaystyle \ textstyle (-, +, +, +)}$${\ displaystyle \ textstyle (\ mathrm {i}, +, +, +)}$${\ displaystyle \ mathrm {i}}$${\ displaystyle \ mathrm {i} ^ {2} = - 1}$

Minkowski-tér, négyvektoros

A speciális relativitáselmélet (SRT), a három dimenziós térben koordinátákat meghosszabbítható idő összetevő alkotnak négy vektor a Minkowski tér ( „tér-idő”) . ${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle ct}$ ${\ displaystyle \ mathbb {M} ^ {4} = \ mathbb {R} ^ {1,3}}$${\ displaystyle (ct, x, y, z)}$

A téridő egy pontjának három térkoordinátája és egy időkoordinátája van, és eseménynek vagy világpontnak hívják .

Az eseményekhez invariáns tér-idő intervallumot határozunk meg. A klasszikus euklideszi térben , egy háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerben , két pont differenciális térbeli távolsága ( euklideszi norma ) csak a Galileo-transzformációk alatt marad állandó:

${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {d} y ^ {2} + \ mathrm {d} z ^ {2}}$

Az SRT-ben viszont minden megfigyelő számára azonos (általános) távolságot határoznak meg, amely Lorentz-transzformációk mellett is állandó (invariáns) marad (ezt az invarianciát az a követelmény határozza meg, hogy a négydimenziós távolság vagy a Minkowski-mutató legyen konstans (invariáns) lineáris koordináta-transzformáció alatt áll , amely kifejezi a téridő fent említett homogenitását .):

${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2}: = \ eta _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} x ^ {\ mu} \ mathrm {d} x ^ {\ nu} = c ^ { 2} \ mathrm {d} t ^ {2} - \ mathrm {d} x ^ {2} - \ mathrm {d} y ^ {2} - \ mathrm {d} z ^ {2}.}$

Ez a négyzet alakú Minkowski-norma, amely létrehozza a lapos téridő helytelen metrikáját (távolságfüggvény). A (határozatlan) invariáns skaláris szorzat indukálja a Minkowski-téren, amely a (pszeudo) -metrikus tenzor hatásaként határozható meg : ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = \ mathrm {diag} (+ 1, -1, -1, -1)}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ eta _ {\ mu \ nu} x ^ {\ mu} y ^ {\ nu}}$(megjegyzés: Einstein összegzési konvenciója )

Ezt a metrikus tenzort fizikai szóhasználatban a téridő „Minkowski-metrikájának” vagy „lapos metrikájának” is nevezik, bár valójában nem szabad összetéveszteni magával a metrikával. Matematikailag inkább skaláris szorzat egy ál-Siemens sokaságon .

A kivétel a tényező, a vonal elem van az eltérés megfelelő időpontban : ${\ displaystyle \ mathrm {d} s}$${\ displaystyle 1 / c}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ tau = {\ frac {\ mathrm {d} s} {c}} = \ mathrm {d} t \ cdot {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2} } {c ^ {2}}}}}.}$

Ez egy együtt mozgó mérő óra, azaz a „jelenleg kísérő inerciális rendszer”, amelyben a a világ sort tartalmazott részecskék nyugszik: . ${\ displaystyle (v (t) \ equiv 0)}$

A téridő egy elemét ( vektorát ) nevezzük

• idő- , mint ha (a tér-idő távolságot valós). Két olyan esemény, amelyek pozitívak, kölcsönösen láthatóak, azaz vagyis a fény kúpjában fekszenek .${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2}> 0}$${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2}}$
• térbeli , ha (téridő-távolság képzeletbeli). Két negatív esemény, amelyek térben és időben annyira távol vannak egymástól, hogy egy fénysugár időben nem juthat el egyik eseménytől a másikig. Mivel az információt fény vagy anyag útján továbbítják, és az anyag sebessége a relativitáselméletben soha nem érheti el a fénysebességet (és ezért nem is haladhatja meg), az ilyen eseményeknek soha nem lehetnek ok-okozati összefüggései . Csak a fénysebességnél gyorsabban lehetett érzékelni őket, tehát elvben kölcsönösen láthatatlanok, azaz. vagyis kívül vannak a fény kúpján.${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} <0}$${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2}}$
• fényszerű, ha alkalmazható. A fény mindig pontosan a sebességgel mozog , így minden referenciarendszerre vonatkozik ( a fénysebesség állandósága , a speciális relativitáselmélet kiinduló elve).${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = 0}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} \ equiv 0}$

A tér-idő vektorok osztályozása (térszerű, fényszerű vagy időszerű) a megengedett transzformációkkal (Lorentz-transzformációk) ( a fénykúp invarianciája ) változatlan marad .

A tér-idő vektorokkal történő számítás gyakorlati alkalmazást kínál a gyors részecskék kinematikájában .

A Minkowski-mutató matematikai motivációja

• Ha figyelembe vesszük azt a D'Alembert operátor az${\ displaystyle \ Box}$

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges t ^ {2}}} - {\ vec {\ nabla}} ^ {2},}$

így látható, hogy rövidíteni is lehet

${\ displaystyle \ Box = \ részleges _ {\ mu} \ részleges ^ {\ mu}}$

tud írni, ha a következő két négyvektor bevezetésre kerül:

${\ displaystyle \ részleges _ {\ mu} = \ balra ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partitális} {\ részleges t}}, {\ vec {\ nabla}} \ jobbra)}$

${\ displaystyle \ részleges ^ {\ mu} = \ balra ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ részleges} {\ részleges t}}, - {\ vec {\ nabla}} \ jobb) }$

Ebben az esetben az idő jelenik meg negyedik dimenzióként, ezért a metrikát egy mátrixnak kell indukálnia.${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle 4 \ szor 4}$

• Mivel a négy dimenzió lineárisan független , átlós formába hozhatók ( főtengely-transzformáció ).${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle (\ eta _ {\ mu \ nu}) = \ balra ({\ begin {array} {cccc} \ alpha _ {0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ alpha _ {1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ alpha _ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ alpha _ {3} \ end {tömb}} \ jobb)}$

• Annak követelménye miatt, hogy nincsenek kiváló tér-idő koordináták, az átlós elemeknek csak az értéke lehet . Itt választják ki a térkoordinátákat . Ez azonban egy olyan megállapodás, amelyet nem egységesen használnak.${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle -1}$

${\ displaystyle (\ eta _ {\ mu \ nu}) = \ balra ({\ begin {array} {cccc} \ pm 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ mp 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ mp 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ mp 1 \ end {tömb}} \ jobbra}}$

• Az idő komponensnek nem lehet ugyanaz a jele, mint a tér összetevőinek. Ehhez fontolja meg újra a D'Alembert operátort :${\ displaystyle \ Box}$

${\ displaystyle \ Box = \ részleges _ {\ mu} \ részleges ^ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} \ részleges ^ {\ mu} \ részleges ^ {\ nu}}$

Ez azt eredményezné, hogy homogén hullámegyenlete egy hullám${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ left ({\ vec {\ nabla}} ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges t ^ { 2}}} \ jobbra] \ psi = 0}$

Ha most érvényes a síkhullám , i. H. , ez komplex frekvenciát eredményezne, és ezáltal exponenciálisan gyengülne. Ebben az esetben nem lennének állandó síkhullámok, ami ellentmond a megfigyelésnek. Következésképpen az idő komponensnek más előjellel kell rendelkeznie:${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi ({\ vec {r}}, t) = A \, e ^ {\ mathrm {i} ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}} - \ omega t) }}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle (\ eta _ {\ mu \ nu}) = \ balra ({\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {tömb}} \ jobbra}}$

Ennek eredménye a helyes homogén hullámegyenlet

${\ displaystyle \ left ({\ vec {\ nabla}} ^ {2} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ részleges ^ {2}} {\ részleges t ^ { 2}}} \ jobbra] \ psi = 0}$

Minkowski-diagram

A kapcsolatok geometrikusan ábrázolhatók és elemezhetők a Minkowski-diagramban . Az időösszetevő összetett tulajdonsága miatt az időtengely forgása ellentétes előjellel jelenik meg ott, mint a koordinátatengely forgása.

Téridő az általános relativitáselméletben

Nem euklideszi geometriák

Az alapja leíró téridő az általános relativitáselmélet az ál-Riemann-geometria . A koordinátatengelyek itt nem lineárisak, ami a tér görbületének értelmezhető. Ugyanazokat a matematikai eszközöket használják a négydimenziós téridőhöz, mint a kétdimenziós gömbfelület leírására vagy a nyeregfelületekre. Ezekben az elméletekben el kell hagyni az euklideszi geometria megcáfolhatatlannak tekintett állításait, különösen a párhuzamok axiómáját, és általánosabb kapcsolatokkal kell felváltani őket. Például a két pont közötti legrövidebb kapcsolat már nem egyenes szakasz . A nem euklideszi világ geodéziája megfelel az euklideszi geometria egyenesének ; gömb alakú felület esetén a geodézia a nagy kör . A geodéziai szakaszokból álló háromszög szögösszege szintén már nem 180 fokos. A gömbfelületnél nagyobb, mint 180 fok, a nyeregfelületeknél kisebb.

Tér-idő görbület

A tér és az idő görbületét az energia bármilyen formája, például tömeg, sugárzás vagy nyomás okozza. Ezek a mennyiségek együttesen alkotják az energia-impulzus tenzort, és az Einstein- egyenletekbe bekerülnek, mint a gravitációs mező forrása. Az erőmentes testek ebből eredő görbe vonalú mozgása a geodézia mentén a gravitációs gyorsulásnak tulajdonítható - ebben a modellben már nem létezik valami gravitációs erő. Egy végtelenül kis térszegmensben (lokális térkép) a létrehozott gravitációs mező mindig a speciális relativitáselmélet sík metrikájával rendelkezik . Ezt a tér és a tényező állandó görbülete írja le . Ebben a térben az összes erő nélküli test világvonalainak (mozgásgörbéi a tér-időben) görbülete megegyezik. ${\ displaystyle g / c ^ {2}}$

Az általános relativitáselmélet számos népszerű reprezentációjában gyakran figyelmen kívül hagyják, hogy a gravitációs mező létrehozásához nemcsak a térnek, hanem az időnek is görbülnie kell. Az a tény, hogy a térnek és az időnek mindig görbülni kell, egyértelműen megérthető: Ha csak a tér lenne görbe, akkor a kidobott kő pályája mindig ugyanaz lenne, függetlenül a kő kezdeti sebességétől, mivel mindig csak kövesse az ívelt teret. A különböző pályák csak az idő további görbületén keresztül valósulhatnak meg. Ez matematikailag is megmutatható az ART keretein belül.

A normál, háromdimenziós térben csak a világvonalak vetülete látható a mozgássíkra. Ha a testnek megvan a sebessége , akkor a világvonal az idő tengelyéhez viszonyítva, nevezetesen az α szöggel hajlik . Az út vetülete hosszabb tényezővel növekszik, a görbületi sugár ugyanazon tényezővel növekszik , így a szögváltozás kisebb. A görbület (a szög változása a hosszmetszetenként) ezért egy tényezővel kisebb. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ tan \ alpha = v / c}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle 1 / \ sin \ alpha}$${\ displaystyle 1 / \ sin \ alpha}$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ alpha}$

Val vel

${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {v} {c}} {\ frac {1} {\ sqrt {1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} }}$

majd a világvonal görbületéből következik a pálya háromdimenziós térben megfigyelt görbülete${\ displaystyle g / c ^ {2}}$${\ displaystyle \ kappa = 1 / R}$

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {g} {v ^ {2}}} \ cdot \ balra (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ jobbra)}$.

A tér görbülete és centrifugális gyorsulása

Alacsony v ≪ c sebesség esetén az út görbülete g / v ^2, és így megfelel a klasszikus centrifugális gyorsulás értékének. A v = c fénysugaraknál az (1 + v ² / c ² ) tényező értéke 2 , a 2 g / c ² görbület a klasszikus g / c ² szempont kétszeresének felel meg . A csillagfény szögeltérésének a nap közelében lévő fix csillagoktól tehát kétszer akkorának kell lennie, mint a klasszikus esetben. Ezt először Arthur Eddington ellenőrizte az 1919-es napfogyatkozást megfigyelő afrikai expedíció részeként , amely nagy figyelmet keltett és jelentősen hozzájárult az általános relativitáselmélet megvalósításához. Megfigyelései a későbbi elemzések során pontatlannak bizonyultak, de a napfogyatkozások későbbi megfigyelései megerősítették az általános relativitáselmélet jóslatait.

A klasszikus értéktől való kis eltérés miatt a bolygópályák már nem pontos ellipszisek, hanem az apszis forgásának vannak kitéve . Az apszis ilyen forgását, amelyet addig nem lehetett megmagyarázni az égi mechanikában, korábban megfigyelték a Merkúr bolygón, és ezt a relativitáselmélet általános elmélete magyarázta .

Szimmetriák

A téridőt számos szimmetria jellemzi , amelyek nagyon fontosak a benne alkalmazott fizika szempontjából. A tér szimmetriái ( transzláció , forgatás ) mellett ezek a szimmetriák a Lorentz-transzformációk (különböző sebességű referencia rendszerek közötti váltás) alatti szimmetriákat is magukban foglalják . Ez utóbbi biztosítja a relativitás elvét .

irodalom

• George FR Ellis és Ruth M. Williams: Lapos és ívelt téridők. Oxford Univ. Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-851164-7 .
• Erwin Schrödinger : Tér-idő szerkezet. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1950, német: A tér-idő szerkezete. , Wiss. Buchges., Darmstadt 1993, ISBN 3-534-02282-3 .
• Edwin F. Taylor , John Archibald Wheeler : Téridő-fizika. Freeman, San Francisco 1966, ISBN 0-7167-0336-X , német: A tér-idő fizikája. Spektrum Akad. Verl., Heidelberg 1994, ISBN 3-86025-123-6 .
• Rainer Oloff: A téridő geometriája. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0468-6 .
• Abhay Ashtekar : A téridő Springer kézikönyve. Springer, Berlin 2014, ISBN 978-3-642-41991-1 .

Filozófiai könyvek:

• Paul Davies : Az idő halhatatlansága. Modern fizika a racionalitás és Isten között. Scherz, München 1995, ISBN 3502131430 (Eredeti: About Time - Einstein befejezetlen forradalma . Simon és Schuster 1995).
• Robert DiSalle: A téridő megértése: a fizika filozófiai fejlődése Newtontól Einsteinig. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-85790-1 .
• Moritz Schlick : Tér és idő a kortárs fizikában. Springer, Berlin, 1922, doi: 10.1007 / BF02448303 .
• Lawrence Sklar : Tér, idő és téridő , University of California Press 1977.

web Linkek

Wikiszótár: téridő  - jelentések, szóeredetek, szinonimák, fordítások magyarázata

• Zeit , Albert Einstein 1929, Einstein Archívum Online
• TÉRIDŐ - A görögöktől a Gravity Probe B-ig , stanford.edu, 2011. április 28.

Hivatkozások és lábjegyzetek

1. ^ Roger Penrose: A valóság útja . Vintage Books, London, 2005, ISBN 978-0-099-44068-0 .
2. ↑ VI Arnol'd: A klasszikus mechanika matematikai módszerei , második kiadás, Springer, 1989, ISBN 978-1-4419-3087-3 .
3. ↑ lásd pl. B .: W. Greiner, J. Rafelski: Különleges relativitáselmélet , 3. kiadás, Frankfurt, 1992, ISBN 3-8171-1205-X , 136-185.