Trapéz (geometria)
Egy trapéz ( az ókori görög τραπέζιον trapéz latin trapézja , a τράπεζα trapeza "asztal", "négy láb" kicsinyítője ) egy sík négyszög geometriájában található, amelynek két párhuzamos, egymással szemben lévő oldala van.
Tábornok
A két párhuzamos oldalt a trapéz alapjának nevezzük . Ezen alapoldalak egyikét (általában a hosszabbat) gyakran a trapéz alapjának nevezik , a két szomszédos, általában nem párhuzamos oldalt pedig lábaknak nevezik . A trapézban két pár szomszédos kiegészítő szög van, vagyis a szögek 180 fokot tesznek ki .
A trapéz magassága a két párhuzamos oldal távolsága.
Mindegyik domború trapéznak két átlója van, amelyek egyenlő arányban keresztezik egymást . Az átlóak a trapézot négy háromszögre osztják , amelyek közül kettő hasonló egymáshoz , kettő pedig egyenlő területű. Ez így bizonyítható:
Hagy egy konvex trapéz és a metszéspontja az átlók (lásd az ábrát), majd a háromszögek és hasonlóak egymáshoz, mert az azonos szögek , mert ezek a szögek vertex szögek és váltakozó szögek párhuzamot. E két háromszög hasonlóságából közvetlenül következik, hogy az átlóak ugyanabban az arányban keresztezik egymást, vagyis . A háromszögek és a területük miatt egyenlőek, mivel a háromszögek és a területük megegyezik, mert mindkettőnek ugyanaz az alapja és ugyanaz a magassága . Csak a háromszögből kell levonni a közös háromszöget .
A trapéz vagy domború, vagy felborult négyzet . A felborult trapézokat általában nem számítják a trapézok közé.
Képletek
Matematikai képletek a trapézhoz | ||
---|---|---|
Terület | ||
magasság |
(for ),
Val vel |
|
hatálya | ||
Az átló hossza |
(for ) | |
(for ) | ||
Belső szög |
A magasság oldalhosszakból történő kiszámításának képlete levezethető a háromszög területére vonatkozó herón képletből . Az átlós hosszúságok összefüggései a koszinusz törvényén alapulnak .
Különleges esetek
Egyenlő és szimmetrikus trapéz
A tankönyvekben számos változat létezik az egyenlő szárú trapéz jellemzésére , különösen:
- A trapézot egyenlő szárúnak nevezzük, ha a két oldal, amelyek nem alapoldalak, azonos hosszúságúak.
- A trapézot egyenlő szárúnak nevezzük, ha az egyik párhuzamos oldal két belső szöge egyenlő.
- A trapézot egyenlő szárúnak nevezzük, ha szimmetriatengelye merőleges az egyik oldalára .
Az első jellemzés formálisan tartalmaz paralelogrammákat is , amelyeket néha - ha nem is kifejezetten - kizárunk. Az utolsó két lehetséges egyenértékű és ebben az esetben a egyenlő szárú trapéz van is hívják szimmetrikus trapéz , mert a tengely szimmetria . Ezért a belső szögek mindkét párhuzamos oldalon azonosak. A két átló azonos hosszúságú a szimmetrikus trapézban.
A sarokpontjait szimmetrikus trapéz hazugság kört , a kerülete a trapéz. A trapéz tehát ennek a körnek négyszögű akkordja . A circumcenter a metszéspontja a merőlegesek az oldalán a trapéz. A trapéz két, tükörszimmetrikus részre oszlik , attól a magasságtól kezdve, amely a kerület közepén halad át .
Az a trapéz, amelynek két tulajdonsága derékszögű, pont-szimmetrikus (paralelogramma) és tengely-szimmetrikus, automatikusan rendelkezik a harmadikval is, ezért téglalap.
Derékszögű trapéz
Egy trapéz hívják derékszögű (vagy ortogonális ), ha van legalább egy jobb oldali belső szöge . Mivel a trapéz minden szöge szomszédos az egyik párhuzamos alapoldallal, a derékszögű trapéznak mindig legalább két derékszöget kell tartalmaznia, amelyek egymás mellett vannak. A téglalap a derékszögű trapéz különleges esete. Még négy derékszöge is van.
Felborult vagy keresztezett trapéz
Abban az esetben, ha egy felborult vagy keresztbe trapéz , ez nem a végén a bázis oldalán ugyanazon az oldalán, amely kapcsolódik a másik oldalon, de az ellenkező oldalon. Tehát ezek az oldalak keresztezik a trapéz közepét . A felborult trapéz úgy képzelhető el, mint egy négyzet , amely egy domború trapéz alapjaiból és átlóiból képződik . A két arc háromszög, amely hasonló egymáshoz . A felborult trapézokat általában nem számítják a (normál vagy "valódi") trapézok közé.
A keresztezett trapéz területét, vagyis a két háromszög területének összegét a következőképpen számoljuk:
A felfordított vagy keresztezett trapézokat, amelyek szintén derékszögben vannak, a geodéziában a területek kiszámításához használják például ortogonális felvételek alapján . Két derékszögű háromszögből állnak, amelyek az egyik sarokban érintkeznek. A két háromszög területei közötti különbség azt eredményezi
-val . Ez a terület alá van írva. Ez azt jelenti, hogy a Gauss-féle trapéz alakú képlet alkalmazásával a területek kiszámításához nincs szükség esetkülönbségekre, ha a terület körüli terület egyik oldala keresztezi a referenciavonalat.
Koncepciótörténet
A kifejezés két párhuzamos oldalú négyszögekre történő korlátozása viszonylag új keletű. A 20. század elejéig a trapézot általában olyan négyzetnek nevezték, amelyben egyetlen oldalpár sem volt párhuzamos, vagyis szabálytalan négyzet, amelynek nincsenek különleges tulajdonságai. A párhuzamos trapéz kifejezés a két párhuzamos oldalú trapéz esetében általános volt . Ez a felhasználás a négyszögek Euclid általi osztályozásából származott, ahol az utóbbi nem vette külön a párhuzamos oldalpárral rendelkező négyszöget, hanem külön tulajdonságokkal nem rendelkező négyszögekhez számolta. Vagyis az euklideszi trapéz magában foglalta mind a trapéz, mind a párhuzamos trapézot a fenti értelemben. Euklidész pontos osztályozása a következő volt:
„A négyoldalú ábrák közül az egyiket négyzetnek ( τετράγωνον ) nevezzük, amely egyenlő és derékszögű; derékszögű, de nem egyenlő oldalú téglalap ( ὀρθογώνιον ); rombusz (ῥόμβος), amely egyenlő oldalú, de nem derékszögű; és egy rombusz ( ῥομβοειδὲς σχῆμα ), amelynek ellentétes oldalai és szöge megegyezik, de nem egyenlő vagy derékszögű. Minden más négyoldalas alakot trapéznak ( τραπέζιον ) nevezünk . "
Ezzel szemben Proklos , Heron és Poseidonios a trapéz kifejezést használták a mai értelemben vett, vagyis a párhuzamos trapézra . Ezek az úgynevezett szabálytalan négyzet egy trapéz ( τραπεζοειδῆ ). Ez a megkülönböztetés (angl. Trapezoidal trapezium ) és trapéz német és brit angol nyelven létezik. Az amerikai angol nyelvben a trapéz és a trapéz kifejezéseket megzavaróan fordítva használják.
A legtöbb középkori matematikus Boethiustól kezdve szabálytalan négyzetként fogadta el Euklidész kifejezést. A Poseidonios szerinti megkülönböztetést csak ritkán vették fel újra. Csak a 18. század óta találtak gyakrabban, pl. B. Legendre és Thibaut . Jean Henri van Swinden a "trapéz" kifejezést használta Euklidész értelmében, és a két párhuzamos oldalú négyzetet párhuzamos trapéznak nevezte .
web Linkek
- Eric W. Weisstein : Trapéz . In: MathWorld (angol).
- Eric W. Weisstein : Trapéz . In: MathWorld (angol).
Egyéni bizonyíték
- ↑ A τράπεζα-ban a τετράπεapα tetrapeza "négy láb" rövid alakja ( τέτρα tetra "négy"; πέζα peza "láb"). Vö. Karl Menninger : szám és szám. A szám kultúrtörténete. Vandenhoeck & Ruprecht, 1979, ISBN 3-525-40725-4 . 190. o. ( Részlet (Google) )
- ^ A b Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 24. kiadás. Harri Deutsch, Thun és Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-87144-492-8 , pp. 192 .
- B a b Szövetségi matematikaverseny: gyakorlatok és megoldások, 2012. I. forduló . S. 8 ( PDF ).
- ^ Friedrich Zech: Matematikai didaktika alapszak . 10. kiadás. Beltz, Weinheim és Basel 2002, ISBN 3-407-25216-1 , p. 256 .
- ^ Hallgatói haverok: Mathematik I. Dudenverlag, 8. kiadás, Mannheim 2008, 457. o.
- ↑ Bronstein / Semendjajew esetében az egyenlő szárú trapézra a lábak hossza jellemző, de az alábbi képlet nem vonatkozik a paralelogrammákra. A Szövetségi Matematikai Verseny 2012 megoldásaiban alternatívaként nevezik meg az oldalhosszakat és a belső szögeket használó jellemzéseket. Csak akkor egyenértékűek, ha az első esetben a paralelogrammákat kizárják.
- ^ Pierer Egyetemes Lexikon. 4. kiadás 1857–1865, „Trapez” cikk .
- Y Meyer nagy beszélgetési lexikonja. 6. kiadás, 1905–1909, „Paralleltrapēz” cikk .
- ↑ Tehát egy „valódi” paralelogramma volt: olyan paralelogramma, amely nem rombusz és nem téglalap (és ezért biztosan nem négyzet).
- ^ Euklidész elemei. Eredeti görög szöveg.
- ^ Az Euclid Elements (I. könyv, 22. definíció) angol fordítása annotációkkal.
- ↑ a b Johannes Tropfke: Az elemi matematika története. 4. kötet: Síkgeometria. de Gruyter, 1940 ( f. # v = oldal korlátozott előnézete a Google könyvkeresőben).