Összehasonlítás (számok)

A valós számok sorrendjét a számegyenes szemlélteti. Jobbra a számok nagyobbak, balra kisebbek.

A matematika , a számok az egyes tartományok száma, mint amilyenek a természetes , egész , racionális vagy valós számok , lehet , mint egy rögzített módon . Összehasonlítás szimbólumokat használnak erre a matematikai képletek . Az egyik ilyet ír:

• ${\ displaystyle x <y}$: A szám az kisebb, mint a szám , például B. az egyenlőtlenség érvényesül .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle 1 <2}$
• ${\ displaystyle x> y}$: A szám az nagyobb, mint a szám , például B. vonatkozik .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle 2> 1}$
• ${\ displaystyle x \ leq y}$: A szám a kisebb, vagy egyenlő, mint , például a B. alkalmazza és .${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle 1 \ leq 1}$${\ displaystyle 1 \ leq 2}$
• ${\ displaystyle x \ geq y}$: A szám a nagyobb vagy egyenlő, mint , például B. alkalmazza és .${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle 1 \ geq 1}$${\ displaystyle 2 \ geq 1}$

Ezek a megfelelő összehasonlítások ezeknek a számtartományoknak rendezési struktúrát adnak . A számok egyenlősége vagy egyenlőtlensége ettől a sorrendtől függetlenül is megtekinthető, ehhez lásd: Identitás és egyenlőség .

Különböző összehasonlítások

A vizsgálatokat meghatározott négy nincsenek független kapcsolatok : Mindegyik kifejezhető az egymással, ezért indokolt annak ellenére, a különböző összehasonlítások a rendelést természetes, valós számok, stb beszélni. Például a többi összehasonlítás kifejezhető a kapcsolat segítségével az alábbiak szerint : ${\ displaystyle <}$

• ${\ displaystyle x \ leq y}$csak akkor alkalmazható, ha nem.${\ displaystyle y <x}$
• ${\ displaystyle x> y}$csak akkor érvényes, ha alkalmazható.${\ displaystyle y <x}$
• ${\ displaystyle x \ geq y}$csak akkor alkalmazható, ha nem.${\ displaystyle x <y}$

Az egyenlőséget és az egyenlőtlenséget mind a négy összehasonlítás egyértelműen meghatározza, de az összehasonlításokat nem lehet kizárólag egyenlőség vagy egyenlőtlenség szempontjából kifejezni. Például:

• ${\ displaystyle x = y}$akkor és csak akkor, ha sem mindig érvényes.${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle y <x}$
• ${\ displaystyle x \ neq y}$csak akkor alkalmazható, ha érvényes vagy alkalmazható.${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle y <x}$

meghatározás

A számsorban a nagyobb számok jobbra vannak.

A természetes számokon az összehasonlítás az utódfüggvény használatával határozható meg, mint minimális reláció, amely megfelel a következő tulajdonságoknak: ${\ displaystyle \ leq}$ ${\ displaystyle a \ mapsto a + 1}$

• Van olyan is .${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle a \ leq b}$
• A jogutódja, és így van .${\ displaystyle c}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a \ leq c}$

Más szóval, az, ha nem nagyobb, mint ha a származó révén a jogutód funkció elérhető az. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$

A Neumann modelljét természetes számok úgy definiáljuk (vagyis a beállított egy eleme a ) és a (azaz, egy részhalmaza az ). ${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle a \ in b}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a \ subseteq b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

A következő definíció egész számokra lehetséges: ${\ displaystyle a \ leq b}$

• Azok és mindkettő nem negatív, akkor és csak akkor igazak, ha a természetes és természetes számok érvényesek.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$
• Van negatív és nem így .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ leq b}$
• Van negatív és nem, ez nem .${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a \ leq b}$
• Ha és mindkettő negatív, akkor csak akkor érvényes.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle -b \ leq -a}$

A racionális számok töredékként ábrázolhatók . Tehát két racionális számot adjunk meg törtekkel és ( egész számokkal és pozitív természetes számokkal). Akkor határozza meg . ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a_ {0}} {a_ {1}}}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {b_ {0}} {b_ {1}}}}$${\ displaystyle a_ {0}, b_ {0}}$${\ displaystyle a_ {1}, b_ {1}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a_ {0}} {a_ {1}}} \ leq \ textstyle {\ frac {b_ {0}} {b_ {1}}}}$${\ displaystyle a_ {0} \ cdot b_ {1} \ leq b_ {0} \ cdot a_ {1}}$

A sorrendelmélet szempontjából a valós számok a racionális számok Dedekind-vágásaként határozhatók meg . Ha , részhalmazain racionális számok részhalmaza a valós számok (azaz vagy a készlet minden racionális szám kisebb vagy ), majd akkor, ha egy részhalmaza az is. ${\ displaystyle \ alfa, \ beta}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$

A valós számok lehet, mint Cauchy sorozatok racionális számok jelentik . Hagyja , és racionális Cauchy sorozatok képviselő valós számok és rendre. Ez akkor és csak akkor érvényes (azaz a két Cauchy-szekvencia egyenértékűsége), vagy véges szám kivételével mindegyikre vonatkozik . ${\ displaystyle (a_ {n})}$${\ displaystyle (b_ {n})}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a = b}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n}}$

Közös szervezeti tulajdonságok

Azokkal a számokkal, amelyek és amelyek szintén érvényesek . Ez a tulajdonság az úgynevezett tranzitivitást az . Ezen túlmenően, vagy vagy mindig érvényes . Ezt a tulajdonságot trichotómiának nevezzük. Az említett számtartományok sorrendjének e két tulajdonsága alapján az egyik elvonatkoztat a matematikából, és szigorú totális sorrendnek nevezi a két tulajdonságot teljesítő matematikai objektumok minden relációját . Ebben az értelemben szigorú totális rend is létezik . Ezekből a tulajdonságokból is következik a visszahajthatatlanság : A megfelelő számtartományból egyetlen szám sem érvényes . Az aszimmetria is következik : ha érvényes , akkor nem érvényes. ${\ displaystyle x, y, z}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle y <z}$${\ displaystyle x <z}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle y <x}$${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle>}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x <x}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle y <x}$

A transzitivitás a következőkre is vonatkozik: Ha és , akkor szintén mindig érvényes . Egy másik tulajdonság a reflexivitás : A következő az adott számtartomány bármely számára vonatkozik . Az összefüggés az antiszimmetrikus : Mert nem lehet tartani az ugyanabban az időben , és . Az a tulajdonság, amelyet legalább két számra megadunk, vagy amelyekre minden szám vonatkozik, totalitásnak hívjuk. Ismét elvonatkoztatva, minden relációt, amely teljesíti ezeket a tulajdonságokat, totális rendnek nevezzük. Ezek a tulajdonságok analóg módon érvényesek , ami így teljes sorrendet is alkot. ${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle y \ leq z}$${\ displaystyle x \ leq z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x \ leq x}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle x \ neq y}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle y \ leq x}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle y \ leq x}$${\ displaystyle \ geq}$

Kompatibilitás a számtani szerkezettel

A következőkből következik${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle x + a <y + a}$

A természetes, valós stb. Számok sorrendje kompatibilis az összeadással : Ha van ilyen szám, akkor ez is érvényes . Ellenben szintén és így következik . Ha a kivonás meg van határozva (ami nem a természetes számokra, hanem az egészre , a racionális és a valós számokra vonatkozik), akkor ha és csak akkor érvényes . Analóg pontosan mikor . A és az összehasonlítást tehát az határozza meg, hogy a különbség pozitív vagy negatív . ${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x + a <y + a}$${\ displaystyle x + a <y + a}$${\ displaystyle x + a + (- a) <y + a + (- a)}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle yx> 0}$${\ displaystyle x> y}$${\ displaystyle yx <0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Az additív inverz képződése , azaz. H. az a számmeghatározás , amely minden számhoz rendeli a számot (geometriai értelemben egy tükrözés ), nem kompatibilis a sorrenddel. Inkább pontosan akkor alkalmazható , amikor . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle -x}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle -x> -y}$

Szorzás esetén meg kell különböztetni: A kompatibilitás teljesen hasonlóan érvényes, mint a pozitív számmal történő szorzás. A nullával való kétoldalas szorzás viszont mindig egyenlőséghez vezet: bármely számhoz . Mert és ezért van legalább kompatibilitás a nem negatív számok szorzásával: Ha ez érvényes és nem negatív, akkor érvényes is . Ez az egyenlőtlenség azonban nem feltétlenül következik . A negatív számmal való szorzást viszont a fenti tükrözéssel fejezhetjük ki, amelyet pozitív számmal (pl .) Való szorzás követ . Ezért az egyenlőtlenség két , negatív és negatív szám esetén érvényes . ${\ displaystyle x \ cdot 0 = y \ cdot 0}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle \ geq}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x \ cdot a \ leq y \ cdot a}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle x \ cdot (-2) = x \ cdot (-1) \ cdot 2 = (- x) \ cdot 2}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x \ cdot a> y \ cdot a}$

Ezen kompatibilitási tulajdonságok matematikai absztrakcióját lásd a rendezett törzsben .

A vonatkozó megrendelések speciális tulajdonságai

Az itt bemutatott sorrendek a természetes, az egész, a racionális és a valós számokon bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek, amelyek függetlenek a számtani szerkezettől, de nem vonatkoznak egyetlen teljes sorrendre sem.

A természetes számok sorrendjében van egy minimum , a szám (egyes definíciókban itt is az egyszerűség kedvéért mindig benne van a természetes számokban). Minden természetes számnak van utódja ; H. minimális száma nagyobb, mint . Ez csak a szám . ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x + 1}$

• Az, hogy egy diszkrét egy .${\ displaystyle \ mathbb {N}}$
• A természetes számok korlátlanok (felfelé) - nincs maximális természetes szám.
• Ez az egyetlen természetes szám, amelynek nincs elődje.${\ displaystyle 0}$
• A természetes számok rendezettek ; H. a természetes számok minden nem üres részhalmazának van minimumja.

Az egész számok szintén diszkrét sorrendet alkotnak. Bennük minden elemnek van elődje és utódja . Nincs is maximális, de nincs minimális elem sem. Ezért már nincsenek jól rendezve. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x-1}$${\ displaystyle x + 1}$

A racionális számok nem alkotnak különálló sorrendben: a racionális számok számát nem rendelkezik elődje vagy utódja, sokkal több hazugság minden, két racionális számok (legalább) egy harmadik racionális szám, például a . A racionális számok tehát sűrű sorrendet alkotnak . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle x <z}$${\ displaystyle y: = {\ tfrac {x + z} {2}},}$${\ displaystyle x <y <z}$

A valós számok sűrű rendet is alkotnak. További fontos tulajdonság a szupremum tulajdonság vagy a rendelés teljessége : Minden korlátozott részhalmaznak van szupruma és infimumja , azaz. H. legkisebb felső vagy legnagyobb alsó határ. A természetes számok korlátlanul a racionális, sőt a valós számokban rejlenek , azaz Vagyis minden valós számhoz létezik egy legalább akkora természetes szám. A valós számok sorrendje tehát megszámlálható összeköttetéssel rendelkezik . A megrendelések mindegyike rend topológiát indukál . Vonatkozó. A valós számok sorrend topológiája szerint a racionális számok közel vannak a valós számokhoz.

számítás

Segítségével hely értékrendek , természetes számok is képviselteti magát szekvenciák számjegy . Az ilyen ábrázolások felhasználásával két természetes szám hasonlítható össze, azaz Vagyis kiszámítható, hogy az egyik számjegysor kisebb-e, mint a másik. Két természetes szám és a megfelelő számjegy-karakterláncuk kezdő nullák nélkül hozzáadva egy prioritási rendszerhez, csak akkor és csak akkor ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a <b}$

• a számjegyek sorrendje túl rövid, vagy a${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$
• mindkettő azonos hosszúságú, és a számjegyek sorozata túl lexikografikusan kisebb, mint a zu .${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

A lexikográfiai összehasonlítás egyjegyű számok összehasonlításán alapul. A helyérték-rendszerek alkalmazásával a természetes számok a modern digitális számítógépekben is megjelennek , amelyek alapján lehetségesek az összehasonlítások. A számok, amelyekkel az ilyen számítógépek számtani-logikai egységei közvetlenül tudnak foglalkozni, fix méretűek , azaz vezető nullákat tartalmaznak, így az összehasonlítás a lexikográfiai sorrend szerint lehetséges. A sorrend fenti definíciójának felhasználásával bármely egész vagy racionális szám összehasonlítása is kiszámítható. Amikor a racionális számokat tudományos jelölésekben ábrázoljuk , két számot össze lehet hasonlítani úgy, hogy először összehasonlítjuk a kitevőt, majd ha a kitevő mindkettőnél megegyezik, akkor a mantissát . Ez különösen vonatkozik a diadikus frakciókat képviselő lebegőpontos számokra , amelyeket gyakran használnak a digitális számítógépeken - különösen közelítő  - számításokhoz. Sok processzor ( pl . X86 alapján ) saját utasításokat ad az egész számok és a lebegőpontos számok összehasonlítására .

Mivel a valós számok megszámlálhatatlan halmazt alkotnak , nincs olyan séma, amely szerint az összes valós szám ábrázolható lenne. Az összehasonlításra vonatkozó általános számítási szabály kérdése tehát szintén felesleges . Fontos alapvető megközelítés bizonyos valós számok ábrázolása olyan számítási szabályok segítségével, amelyek racionális számok formájában kiszámíthatják a szám bármilyen pontos felső és alsó határát, például további tizedesjegyek fokozatos kiszámításával. Ez a kiszámítható szám fogalmához vezet . Két különböző kiszámítható szám összehasonlítható, ha mindkettőre egyre pontosabb felső és alsó határokat számolunk ki, amíg a két intervallum el nem válik egymástól (lásd intervallumszámtan ). Ezzel szemben két ilyen módon ábrázolt szám egyenlőségét nem lehet kiszámítani , így a többi összehasonlítás nem számítható ki esetleg azonos számokra. Sok alkalmazás esetében, például numerikus elemzésben , elegendő megengedni egy tűrést, azaz H. az összehasonlítást mindaddig helyesen végzik, amíg a két szám közötti távolság nagyobb, mint egy rögzített, önkényesen kicsi, választható tűrés, különben a számokat azonosnak tekintik. Ilyen összehasonlítás kiszámítható általános számítható számokhoz. Fontos speciális esetekben azonban pontos összehasonlítás is lehetséges: Az algebrai számokat olyan polinomokkal lehet ábrázolni, amelyek egész együtthatóval rendelkeznek, amelyek nulla , és egy racionális minimum és maximum intervallum, amely meghatározza a megfelelő nullát. Algebrai módon két, így ábrázolt szám számára meghatározható, hogy azonosak-e a közös nullák meghatározásával. Ezeket pontosan meghatározza a két polinom legnagyobb közös osztója . Egyenlőtlenség esetén az összehasonlítás ismét elvégezhető felső és alsó határok alkalmazásával. Ezek lehetővé teszik az algebrai számítás mellőzését is, ha az egyenlőtlenséget számított határok már bizonyították. Feltételezve, hogy Schanuel a korábban bizonyított sejtés vonatkozik, egy algoritmust is kialakítani, hogy kiszámolja összehasonlításokat is a számokat, melyek kapnak a nullákat rendszerek az egyenletek , amelyek tartalmazhatnak elemi függvények . Speciális összehasonlítási módszerek léteznek olyan algebrai számok esetében, amelyeket négyzetgyök kifejezésként vagy alacsony fokú polinom nullaként adnak meg .

Az ilyen összehasonlító módszerek felhasználhatók a számítógépes algebrai rendszerekben és az algoritmikus geometriában .

Aritmetikához való viszony

Természetes számokban a sorrend segítségével meghatározható a minimális elem. Ennek megfelelően lehetséges az utódfüggvény , azaz minden szám utódjának meghatározása. A Sukzessorfunktion segítségével rekurzív módon meghatározhatók az aritmetikai műveletek, például az összeadás és a szorzás. Minden, racionális és valós számok azonban eleme sem különbözteti meg a rend, ezért az aritmetikai műveletek (amely, mint mindig , mint egy semleges elem lenne megkülönböztetni hozzáadásával) nem határozza meg a sorrendben. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0}$

Ezzel szemben mindezen esetekben a sorrendet számtani módszerrel lehet meghatározni. Abban az esetben, a természetes számok, egy elemi meghatározása lehetséges a kizárólag útján kívül (azaz Presburger számtani ): Ez érvényes, ha, és csak akkor, ha létezik a . Összességében a racionális és a valós számok egyértelmű meghatározása önmagában az összeadás útján nem lehetséges, mert a leképezés a megfelelő számtartományban egy csoport- automorfizmus az adott additív csoportban, amely azonban nem egyeztethető össze a sorrenddel. A szorzás összeadásával, i. H. a megfelelő gyűrűszerkezetben viszont a sorrend elemi meghatározása is lehetséges. Ez különösen könnyű a valós számokban és általánosabban minden euklideszi mezőben : mert ott a nem negatív számokat éppen az jellemzi, hogy négyzetgyökük van . Ez a következő meghatározást adja: ${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle x + a = y}$${\ displaystyle x \ mapsto -x}$

${\ displaystyle x \ leq y: \ Balra mutató nyíl létezik a: x + a \ cdot a = y}$

A négyzetes tétel felhasználásával megfelelő meghatározás egész számok esetén lehetséges: egy egész szám csak akkor nem negatív, ha négy négyzetszám összegeként ábrázolható . Ez adja meg a meghatározást

${\ displaystyle x \ leq y: \ Baloldali nyíl létezik a, b, c, d: x + a \ cdot a + b \ cdot b + c \ cdot c + d \ cdot d = y}$,

amely átvihető a racionális számokra (a racionális szám akkor és csak akkor nem negatív, ha négy négyzetszám két összegének hányadosa ).

Hosszabbítások

• A valós számok lehetnek a hiper-valós számok kibővülhetnek , amelynek barátsága van az összeadási és szorzási sorrenddel is, de megint más megfelelő elméleti tulajdonságokkal bír.
• A természetes számok kibővíthetők a számjegyekre és a sorszámokra , amelyek még mindig jól vannak rendezve.
• A szürreális számok egy másik, a rendeléssel ellátott számtartományt alkotnak.

Lásd még

• Összehasonlító operátor

Egyéni bizonyíték

1. ↑ 8086/88 szerelő utasítás referencia. Letöltve: 2012. szeptember 7 . 
2. ↑ Jihun Yu, Chee Yap, Zilin Du Sylvain Pion és Hervé Brönnimann: The Design Core 2: A könyvtár Pontos numerikus számítása a geometria és algebra . In: Nemzetközi matematikai szoftver kongresszus . szalag 3 . Springer , 2010, p. 121–141 ( online [PDF; 305 kB ; megtekintve 2012. szeptember 7-én]).  4. o.
3. ^ Carl Witty: Az algebrai számok mezője. 2007, letöltve: 2012. szeptember 7. (Dokumentáció a Sage Computer Algebra rendszerhez ). 
4. ^ Daniel Richardson : Hogyan lehet felismerni a nullát . In: Journal of Symbolic Computation . szalag 24 , no. 6 . Elsevier , 1997, p. 627–645 , doi : 10.1006 / jsco.1997.0157 ( online [PDF; 275 kB ; megtekintve 2012. szeptember 7-én]). 
5. ^ Daniel Richardson, John Fitch: Az elemi függvények és állandók identitásproblémája . In: A szimbolikus és algebrai számításokról szóló nemzetközi szimpózium anyagai . ACM , 1994, pp. 285–290 , doi : 10.1145 / 190347.190429 . 
6. ↑ Yu, Yap, Du, Pion, Brönnimann, 2. o.
7. ↑ Ioannis Z. Emiris és Elias P. Tsigaridas: A negyedik fokú algebrai számok és alkalmazások összehasonlítása a geometriai predikátumokban . 2000 ( online [hozzáférés: 2012. szeptember 7.]). 
8. ↑ Ioannis Z. Emiris és Elias P. Tsigaridas: A kis fokú valós algebrai számok összehasonlítása . In: Előadási jegyzetek a számítástechnikában . Springer , Berlin 2004, ISBN 978-3-540-23025-0 , pp. 652–663 , doi : 10.1007 / 978-3-540-30140-0_58 ( online [hozzáférés: 2012. szeptember 7.]). 
9. ↑ Wolfgang Rautenberg : Bevezetés a matematikai logikába. Tankönyv . 3., átdolgozott kiadás. Vieweg + Teubner , Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0578-2 , doi : 10.1007 / 978-3-8348-9530-1 . 
10. ^ Yiannis Nicholas Moschovakis : Logikai megjegyzések . 2012, p. 21 ( online [PDF; 1.3 MB ; megtekintve 2012. szeptember 6-án]).