egyenlet

A matematika, egy egyenlet van egy nyilatkozatot a egyenlőségét két szempontból , amely jelképezi a segítségével a egyenlőségjel ( „=”). Formálisan egy egyenletnek van formája

${\ displaystyle T_ {1} = T_ {2}}$,

ahol ez a kifejezés az úgynevezett a bal oldalon , és a kifejezést nevezzük a jobb oldalán az egyenlet. Az egyenletek igazak vagy elégedettek (például ) vagy hamisak (például ). Ha legalább az egyik szempontból a változók függvénye, csak egy kifejezési forma előtt; hogy az egyenlet igaz vagy hamis, akkor a használt konkrét értékektől függ. Annak a változónak az értékeit, amelyre az egyenlet teljesül , az egyenlet megoldásainak nevezzük. Ha két vagy több egyenlet szerepel, az egyik beszél a rendszer egyenletek , egy ugyanilyen oldatban kell felelniük az összes egyenletet ugyanabban az időben. ${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle 1 = 1}$${\ displaystyle 1 = 2}$${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}}$

Az egyenletek típusai

Az egyenleteket sok összefüggésben használják; ennek megfelelően az egyenletek különböző nézőpontok szerinti felosztásának különböző módjai vannak. A megfelelő osztályozások nagyrészt függetlenek egymástól; egy egyenlet több ilyen csoportba sorolható. Például van értelme lineáris parciális differenciálegyenletek rendszeréről beszélni.

Érvényesség szerinti osztályozás

Identitás egyenletek

Egyenletek általánosságban érvényes, azaz akkor igaz behelyezésével az összes változó értékeket egy adott alap készlet , vagy legalább egy korábban meghatározott részhalmazát ezek. Az általános érvényesség vagy más axiómákkal bizonyítható , vagy maga is feltételezhető axiómának.

Példák:

• A Pitagorasz-tétel : igaz a derékszögű háromszögek , ha a oldali szemközti a megfelelő szögben ( átfogója ) és a befogó jelölik${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a, b}$
• Az asszociatív törvény : igaz minden természetes számot , és általában bármely elemét egy csoport (axiómaként)${\ displaystyle (a + b) + c = a + (b + c)}$ ${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle a, b, c}$
• az első binomiális képlet : minden valós számra igaz${\ displaystyle (a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$ ${\ displaystyle a, b}$
• az Euler személyazonossága : minden valósra igaz${\ displaystyle e ^ {i \ varphi} = \ cos \ left (\ varphi \ right) + i \ sin \ left (\ varphi \ right)}$${\ displaystyle \ varphi}$

Ebben az összefüggésben matematikai tételről vagy törvényről beszélünk . Az általában nem érvényes egyenletek megkülönböztetéséhez az egyenlőségjel helyett a kongruenciajelet ("≡") kell használni az identitásokhoz.

Egyenletek meghatározása

Gyakran az egyik feladat az összes változó -hozzárendelés meghatározása, amelyekre az egyenlet igaz lesz. Ezt a folyamatot az egyenlet megoldásának nevezik . Az azonosság -egyenletek megkülönböztetésére az ilyen egyenleteket meghatározó egyenleteknek nevezzük . Azt a változó -hozzárendelési halmazt, amelyre az egyenlet igaz , az egyenlet megoldáshalmazának nevezzük. Ha a megoldáshalmaz az üres halmaz , az egyenletet megoldhatatlannak vagy kielégíthetetlennek nevezzük.

Az, hogy az egyenlet megoldható -e vagy sem, függhet az alapkészlettől, például:

• az egyenlet nem oldható meg a természetes vagy a racionális számok egyenleteként, és a megoldás egyenletként van beállítva a valós számok felett${\ displaystyle x ^ {2} = 2}$${\ displaystyle \ lbrace {\ sqrt {2}}, - {\ sqrt {2}} \ rbrace}$
• az egyenlet nem oldható meg a valós számok egyenleteként, és a megoldás egyenletként van beállítva a komplex számok felett${\ displaystyle x ^ {2} = - 2}$${\ displaystyle \ lbrace {\ sqrt {2}} i, - {\ sqrt {2}} i \ rbrace}$

Az egyenletek meghatározása esetén néha olyan változók jelennek meg, amelyeket nem keresnek, de feltételezzük, hogy ismertek. Az ilyen változókat paramétereknek nevezzük . Például a másodfokú egyenlet megoldásának képlete az

${\ displaystyle x ^ {2} + px + q \; = \; 0}$

ismeretlen ismeretlenek és adott paraméterek és${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle x_ {1,2} \; = \; - {\ frac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {{{\ frac {p ^ {2}} {4}} - q}} }$.

Ha behelyezi az egyik megoldás az egyenletben, az egyenlet át egy identitás, azaz válik igaz állítás bármely választott és . Mert itt a megoldás valódi, egyébként összetett. ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle 4q \ leq p ^ {2}}$

A definíció egyenletei

Egyenletek segítségével új szimbólum is definiálható. Ebben az esetben a meghatározandó szimbólum a bal oldalon van, és az egyenlőségjelet gyakran a definíció előjele („: =”) helyettesíti, vagy a „def” egyenlőségjel fölé írja.

Például, amely származék egy függvény olyan helyzetben által ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle f '(x_ {0}): = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {\ frac {f (x) -f (x_ {0})} {x -x_ {0}} }}$

Meg vannak határozva. Az identitásokkal ellentétben a definíciók nem állítások; tehát nem igazak és nem hamisak, csak többé -kevésbé hasznosak.

Osztás a jobb oldalon

Homogén egyenletek

A forma meghatározó egyenlete

${\ displaystyle T (x) = 0}$

nevezzük homogén egyenlet . Ha egy függvény az , akkor a megoldást a függvény nullájának is nevezik . A homogén egyenletek fontos szerepet játszanak a lineáris egyenletrendszerek és a lineáris differenciálegyenletek megoldásszerkezetében . Ha az egyenlet jobb oldala nem egyenlő nullával, akkor az egyenletet inhomogénnek mondjuk. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x}$

Rögzített pont egyenletek

A forma meghatározó egyenlete

${\ displaystyle T (x) = x}$

fixpont egyenletnek , megoldását pedig egyenlet fix pontjának nevezzük. A fixpontos tételek pontosabb információt adnak az ilyen egyenletek megoldásáról . ${\ displaystyle x}$

Sajátérték problémák

A forma meghatározó egyenlete

${\ displaystyle T (x) = \ lambda x}$

sajátérték problémának nevezzük, ahol az állandó (a sajátérték) és az ismeretlen (a sajátvektor) együtt keresendő. A sajátérték -problémáknak különböző alkalmazási területei vannak a lineáris algebrában, például a mátrixok elemzésében és bontásában , valamint az alkalmazási területeken, például a szerkezeti mechanikában és a kvantummechanikában . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle x \ neq 0}$

Osztályozás a linearitás szerint

Lineáris egyenletek

Az egyenletet lineárisnak nevezzük, ha az alakban van

${\ displaystyle T \ left (x \ right) = a}$

hozható, ahol a kifejezés független, és a kifejezés lineáris , tehát ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle T \ bal (\ lambda x + \ mu y \ jobb) = \ lambda T \ bal (x \ jobb) + \ mu T \ bal (y \ jobb)}$

együtthatókra vonatkozik . Értelemszerűen meg kell határozni a megfelelő műveleteket, ezért szükséges, hogy és egy vektor térből legyenek, és a megoldást ugyanabból vagy egy másik vektor térből keresik. ${\ displaystyle \ lambda, \ mu}$${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle W}$

A lineáris egyenleteket általában sokkal könnyebb megoldani, mint a nemlineáris egyenleteket. A szuperpozíció elve a lineáris egyenletekre vonatkozik : Az inhomogén egyenlet általános megoldása az inhomogén egyenlet adott megoldásának és a megfelelő homogén egyenlet általános megoldásának az összege.

A linearitás miatt legalább egy megoldás létezik a homogén egyenletre. Ha egy homogén egyenletnek egyedi megoldása van, akkor a megfelelő inhomogén egyenletnek legfeljebb egy megoldása van. A kapcsolódó, de sokkal részletesebb nyilatkozatot funkcionális elemzés a Fredholm alternatív . ${\ displaystyle x = 0}$

Nemlineáris egyenletek

A nemlineáris egyenleteket gyakran differenciálják a nemlinearitás típusa szerint. Az iskolai matematikában különösen a következő nem-lineáris egyenletek alaptípusaival foglalkoznak.

Algebrai egyenletek

Ha az egyenlettag polinom , akkor algebrai egyenletről beszélünk. Ha a polinom legalább kettes fokú , akkor az egyenletet nemlineárisnak nevezzük. Példák általános másodfokú egyenletek a forma

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$

vagy köbös egyenletek a forma

${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$.

Általános megoldási képletek léteznek a negyedik fokig terjedő polinom egyenletekhez .

Törtegyenletek

Ha egy egyenlet olyan tört tagot tartalmaz , amelyben az ismeretlen legalább a nevezőben fordul elő , akkor egy tört egyenletről beszélünk, például

${\ displaystyle {\ frac {x + 2} {x ^ {2} +3}} = {\ frac {2} {x + 1}}}$.

Ha a példában a fő nevezővel szorozzuk, akkor a törtegyenletek algebrai egyenletekre redukálhatók. Az ilyen szorzás általában nem ekvivalenciakonverzió, és meg kell különböztetni az esetet, a példában a törtegyenlet nem szerepel a definíciós tartományban . ${\ displaystyle (x ^ {2} +3) (x + 1)}$${\ displaystyle x = -1}$

Gyökegyenletek

A gyökegyenletek esetében például az ismeretlen legalább egyszer egy gyök alatt van

${\ displaystyle {\ sqrt {x}} = 1-x}$

A gyökegyenletek speciális hatványegyenletek kitevővel . A gyökegyenleteket egy gyök segítségével fel lehet oldani, és a gyök kitevővel (a példában ) potenciálódó egyenlet az. Ezt az eljárást addig ismételjük, amíg az összes gyökeret el nem távolítjuk. A páros számú kitevő hatványára való növelés nem jelent ekvivalencia-konverziót, ezért ezekben az esetekben megfelelő megkülönböztetést kell tenni a megoldás meghatározásakor. A példában a négyzetelés a másodfokú egyenlethez vezet , amelynek negatív megoldása kívül esik a kimeneti egyenlet definíciós tartományán. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle x = (1-x) ^ {2}}$

Exponenciális egyenletek

Az exponenciális egyenletekben az ismeretlen legalább egyszer megjelenik a kitevőben , például:

${\ displaystyle 2 ^ {3x + 2} = 4 ^ {x + 1}}$

Az exponenciális egyenletek logaritmusok feloldásával oldhatók meg . Ezzel szemben a logaritmikus  egyenletek - azaz olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen számként fordul elő (logaritmikus függvény argumentuma) - hatványozással megoldhatók.

Trigonometriai egyenletek

Ha az ismeretlenek jelennek érvként legalább egy szögben funkció , az egyik beszél egy trigonometrikus egyenlettel, például

${\ displaystyle \ sin (x) = \ cos (x)}$

A trigonometriai egyenletek megoldásait általában periodikusan megismételjük , kivéve, ha a megoldáshalmaz például egy bizonyos intervallumra korlátozódik . Alternatívaként a megoldásokat egész változóval lehet paraméterezni. Például a fenti egyenlet megoldásait a következőképpen adjuk meg ${\ displaystyle [0.2 \ pi)}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {4}} + \ pi k}$   -val   .${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$

Osztályozás ismeretlen ismeretlenek szerint

Algebrai egyenletek

Annak érdekében, hogy megkülönböztessük azokat az egyenleteket, amelyekben valós számot vagy valós vektort keresünk, azoktól az egyenletektől, amelyekben például függvényt keresünk, néha az algebrai egyenlet kifejezést használják, de ez a kifejezés nem korlátozódik a polinomokra . Ez a beszédmód azonban ellentmondásos.

Diofantikus egyenletek

Ha valaki egész együtthatókkal rendelkező skaláris egyenlet egész megoldásait keresi, akkor diofantikus egyenletről beszél. Példa egy köbös diofantin egyenletre

${\ displaystyle 2x ^ {3} -x ^ {2} -8x = -4}$,

az egyenletet kielégítő egész számok közül keresünk, itt a számokat . ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle x = \ pm 2}$

Különbségi egyenletek

Ha az ismeretlen következmény , akkor differenciálegyenletről beszélünk. A másodrendű lineáris különbség egyenlet jól ismert példája a

${\ displaystyle x_ {n} -x_ {n -1} -x_ {n -2} = 0}$,

amelynek megoldása a kiindulási értékekre és a Fibonacci -sorozatra az. ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$${\ displaystyle x_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle 1,1,2,3,5,8,13, \ ldots}$

Funkcionális egyenletek

Ha az egyenlet ismeretlenje függvény, amely származékok nélkül fordul elő, akkor funkcionális egyenletről beszélünk. Egy példa a funkcionális egyenletre az

${\ displaystyle f (x + y) = f (x) f (y)}$,

amelynek megoldásai éppen az exponenciális függvények . ${\ displaystyle f (x) = a ^ {x}}$

Differenciál egyenletek

Ha függvényt keresünk a deriváltokkal előforduló egyenletben, akkor differenciálegyenletről beszélünk. A differenciálegyenletek nagyon gyakoriak a tudományos problémák modellezésekor. A leggyakrabban előforduló deriváltot a differenciálegyenlet sorrendjének nevezzük. Az egyik megkülönbözteti:

• rendes differenciálegyenletek , amelyekben egyetlen változóhoz csak származtatottak léteznek, például lineáris rendes elsőrendű differenciálegyenlet

${\ displaystyle f '(x) + xf (x) = 0}$

• parciális differenciálegyenletek , amelyekben részleges deriváltak fordulnak elő több változó szerint, például az első rendű lineáris transzportegyenlet

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges f (x, t)} {\ részleges}} + {\ frac {\ részleges f (x, t)} {\ rész x}} = 0}$

• differenciális algebrai egyenletek , amelyekben mind az algebrai, mind a differenciálegyenletek együtt fordulnak elő, például az Euler-Lagrange egyenletek egy matematikai inga esetén

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ ddot {x}} _ {1} & = 2x_ {1} \ lambda \\ {\ ddot {x}} _ {2} & = 2x_ {2} \ lambda - 1 \\ 0 & = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -1 \ end {aligned}}}$

• sztochasztikus differenciálegyenletek , amelyekben determinisztikus és sztochasztikus származékos kifejezések is előfordulnak, például a pénzügyi matematika Black-Scholes-egyenlete az értékpapírok árának modellezésére

${\ displaystyle {\ rm {d}} S_ {t} = rS_ {t} {\ rm {d}} t + \ sigma S_ {t} {\ rm {d}} W_ {t}}$

Integrálegyenletek

Ha a keresett függvény integrálban fordul elő, akkor integrál egyenletről beszélünk. Egy példa a lineáris integrál egyenlet az 1. típusú van

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} (xt) f (t) ~ \ mathrm {d} t = x ^ {3}}$.

Egyenletláncok

Ha egy sorban több egyenlőségjel van, akkor egy egyenletláncról beszélünk . Egyenletláncban minden egyenlőjelekkel elválasztott kifejezésnek azonos értékűnek kell lennie. Ezen kifejezések mindegyikét külön kell figyelembe venni. Például az egyenletlánc az

${\ displaystyle 17 + 3 = 20/2 = 10 + 7 = 17}$

hamis, mert egyes egyenletekre bontva hamis állításokhoz vezet. Másrészt igaz például

${\ displaystyle 17 + 3 = 40/2 = 10 + 10 = 20}$.

Az egyenletláncok értelmesen értelmezhetők , különösen az egyenlőségi összefüggés tranzitivitása miatt . Az egyenletláncok gyakran együtt jelennek meg a becslések egyenlőtlenségeivel , például${\ displaystyle n \ geq 3}$

${\ displaystyle 2n ^ {2} = n ^ {2} + n ^ {2} \ geq n ^ {2} + 3n> n ^ {2} + 2n + 1 = (n + 1) ^ {2}}$.

Egyenletrendszerek

Gyakran több egyenletet is figyelembe kell venni, amelyeket egyszerre kell teljesíteni, és több ismeretlent keresnek egyszerre.

Lineáris egyenletrendszerek

Az egyenletrendszert - azaz egyenlethalmazt - lineáris egyenletrendszernek nevezzük, ha minden egyenlet lineáris. Például az

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x + y + z & = 5 \\ 2x-z & = 13 \ end {aligned}}}$

két egyenletből és három ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszer és . Ha mind a egyenletek és az ismeretlenek egyesítik sorokat , egy egyenletet rendszert úgy is lehet értelmezni, mint egy egyenlet egy ismeretlen vektor . A lineáris algebrában például egyenletrendszert írnak fel vektor egyenletként ${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle A \ cdot {\ vec {x}} = {\ vec {b}}}$

egy mátrix , az ismeretlen vektor, és a jobb oldali , hol van a mátrix vektor terméket . A fenti példában vannak ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}}}$${\ displaystyle (\ cdot)}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$,     és   .${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle {\ vec {b}} = {\ begin {pmatrix} 5 \\ 13 \ end {pmatrix}}}$

Nemlineáris egyenletrendszerek

Azokat az egyenletrendszereket, amelyek egyenletei nem mind lineárisak, nemlineáris egyenletrendszereknek nevezzük. Például az

${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} 3x ^ {2} + 2xy & = & 1 \\\ sin (x) \ cdot \ ln (y) & = & e ^ {x} \ end {tömb}} \ jobb.}$

egy nemlineáris egyenletrendszer az ismeretlenekkel és . Az ilyen egyenletrendszerekre nincs általánosan érvényes megoldási stratégia. Gyakran csak egy lehetőség van hozzávetőleges megoldások meghatározására numerikus módszerek segítségével . Hatékony közelítési módszer például a Newton -módszer . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Egy hüvelykujjszabály kimondja, hogy azonos számú egyenlet szükséges ismeretlenekhez ahhoz, hogy az egyenletrendszer egyedileg megoldható legyen. Ez azonban valójában csak hüvelykujjszabály, bizonyos mértékig érvényes a valódi ismeretlenekkel való valós egyenletekre, az implicit függvényekre vonatkozó fő tétel miatt .

Egyenletek megoldása

Analitikai megoldás

Amennyire lehetséges, megpróbáljuk megtalálni a meghatározó egyenlet pontos megoldását . A legfontosabb eszközök az ekvivalencia -transzformációk , amelyek segítségével az egyik egyenletet fokozatosan más egyenértékű egyenletekké alakítják át (azaz amelyeknek ugyanaz a megoldáskészlete), amíg meg nem kapunk egy egyenletet, amelynek megoldása könnyen meghatározható.

Numerikus megoldás

Sok egyenlet, különösen a tudományos alkalmazásokból származó, nem oldható meg analitikusan. Ebben az esetben megpróbál hozzávetőleges numerikus megoldást kiszámítani a számítógépen. Az ilyen eljárásokkal a numerikus matematika foglalkozik. Sok nemlineáris egyenlet megközelítőleg megoldható az egyenletben előforduló nemlinearitások lineáris közelítésével, majd a kapott lineáris feladatok megoldásával (például Newton módszerével ). Más problémaosztályok esetében, például amikor egyenleteket végtelen dimenziós terekben oldunk meg, a megoldást megfelelően kiválasztott véges dimenziós alterekben keressük (például a Galerkin-módszerben ).

Minőségi elemzés

Még akkor is, ha egy egyenletet nem lehet analitikusan megoldani, mégis gyakran lehetséges matematikai megállapításokat tenni a megoldásról. Különösen azok a kérdések érdekelnek, hogy létezik -e egyáltalán megoldás, egyedi -e és folyamatosan függ -e az egyenlet paramétereitől. Ha ez a helyzet, akkor valaki helyesen feltett problémáról beszél . A kvalitatív elemzés szintén vagy különösen fontos az egyenlet numerikus megoldásánál annak biztosítása érdekében, hogy a numerikus megoldás valójában az egyenlet közelítő megoldását adja.

Lásd még

• Reakcióegyenlet
• Gazdasági modellek egyenleteinek típusai
• Numerikus egyenlet
• Méret egyenlet

web Linkek

• Állami oktatási szerver Baden -Wuerttemberg - az Abiturra vonatkozó egyenlet típusok összeállítása megoldási tippekkel és feladatokkal
• A matematikai egyenletek világa. ( Megemlékezés 2004. június 7 -én az Internet Archívumban ) Kiterjedt angol nyelvű oldal.
• Egyenlet . In: Michiel Hazewinkel (szerk.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag és EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (angol, online ). 
• J. Pahikkala: Egyenlet . In: PlanetMath . (Angol)
• Eric W. Weisstein : Egyenlet . In: MathWorld (angol).
• A 12 legszebb egyenlet bbc.com

Egyéni bizonyíték

1. ^ Robert Recorde : A Witte köve. London 1557, 238. o.
2. ↑ Wolfgang Brauch: Matematika mérnököknek / Wolfgang Brauch; Hans-Joachim Dreyer; Wolfhart Haacke. Alkalmazottak között írta: Wolfgang Gentzsch . Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0073-4 , p. 40 . 
3. ↑ Főoldal egyenletek. (Már nem kapható nálunk.) Az állami oktatás szerver Baden-Württemberg, archivált az eredeti szóló május 22, 2015 ; Letöltve: 2011. március 8 . Információ: Az archívum linkjét automatikusan beszúrta, és még nem ellenőrizte. Kérjük, ellenőrizze az eredeti és az archív linket az utasítások szerint, majd távolítsa el ezt az értesítést. @1@ 2Sablon: Webachiv / IABot / www.schule-bw.de