Struktúratudomány

A struktúratudományok kifejezést olyan tudásterületek összefoglalására használják, amelyek általában funkcionálisan hatékony formákat vesznek figyelembe, és általában sem, és nem is kifejezetten a természet vagy a társadalmi valóság tárgyai. Ez a korlátozás a tantárgy szerinti osztályozás alternatívájaként szolgál, akárcsak a természettudományi , humán vagy társadalomtudományi besorolásnál .

A szerkezettudomány kifejezés használatát gyakran összekapcsolják azzal az állítással, hogy ezek a tudásterületek a tárgykörök metaelméleteit képviselik, vagy akár a struktúrák és formák egyetlen tudományára utalnak. Van bizonyos kapcsolat és átfedés a formális tudományokkal vagy a tiszta racionális tudomány klasszikus- racionalista elképzelésével . A szerkezettudomány gondolata ekkor magában foglalja a tudományok egységének gondolatát , amely legyőzi az egyes tudományok megosztottságát úgy, hogy végül csak a szerkezeti tudományok és a megfelelő empirikus tudományok, amelyekben alkalmazzák őket, egymással szemben állnak . A struktúratudomány egyik célja, hogy a természetben található szervezett és összetett struktúrák sokféleségének megjelenését egységes, elvont alaptörvényekig vezesse vissza. A tudományoknak az egyes tudományokba történő felosztásának részeként időnként megoszlik a strukturális tudományok, a természettudományok, a humán tudományok (azaz a humán és társadalomtudományok) és a mérnöki tudományok . A kifejezést gyakran úgy töltik ki, hogy bizonyos megalapozott tudományok alap- és tudományágai a strukturális tudomány rangját adják.

hatálya

Ennek a tudományterületnek a hívei különféle kutatási területeket foglalnak magukban szerkezeti tudományként, amelyek közül néhányat a jobb oldali táblázat példaként sorol fel.

A matematika alapjai Alkalmazott matematika matematikai logika Bizonyításelmélet Rekurziós elmélet Modellelmélet Halmazelmélet Dinamikus rendszerek Nemlineáris dinamika , matematikai katasztrófaelmélet és káoszkutatás Kontrollelmélet ( Irányítástechnika , matematikai rendszerelmélet) Pénzügyi matematika Grafikonelmélet Információelmélet Titkosítás Matematikai biológia Matematikai kémia Matematikai nyelvészet Matematikai fizika Numerika Operációkutatás , optimalizálás Játékelmélet Aktuáriusi Tiszta matematika algebra Elemzés Geometria és topológia (matematika) Sztochasztika Számelmélet Elméleti számítástechnika Általános rendszerelmélet Automata elmélet és hivatalos nyelvek Számíthatóság elmélete Komplexitáselmélet kibernetika Szinergetikumok Önszerveződés elmélete Komplex rendszerek Hálózati kutatás Komplex hálózat Rendszerdinamika Mérnöki rendszerek elmélete

Az egyes tudományágak ezrei számítanak a szerkezeti tudományok közé.

Összehasonlítóan új ágak nyíltak meg, például az alkalmazott matematika és a klasszikus természettudományok és mérnöki tudományok között, a rendszertudományok vagy a kibernetika alkalmazási területein.

Az orosz egyetemeknek kifejezetten saját matematikai és kibernetikai karaik vannak. Az Ilmenau Műszaki Egyetem a következőképpen írja le technikai kibernetikai és rendszerelméleti tanfolyamát: „A műszaki kibernetika interdiszciplináris tudomány. A mérnöki és alkalmazott matematika között helyezkedik el, és a dinamikus folyamatok leírásával, elemzésével és vezérlésével foglalkozik. A kibernetikai módszerek lehetővé teszik a z-t. B. a hajók automatikus navigációja képes leírni a sejtorganizmusokban zajló komplex folyamatokat, vagy elősegíteni az olyan logisztikai folyamatok optimalizálását, mint a menetrendek vagy az energiahálózatok. "

fejlődés

matematika

A strukturális tudomány fogalmát szerkezet származik a törekvés fordulóján a 20. század , hogy megtalálják a közös alapot az összes matematika . Jelentős lépéseket tett ennek voltak a fejlesztési naiv halmazelmélet , a formális logika , a Hilbert programja , a csoport elmélet az algebra és a munka a Nicolas Bourbaki csoport .

A formális állítmányi logika a Georg Cantor által formalizált halmazelméleten alapszik ( naiv halmazelmélet ). George Boole: A gondolat törvényeinek vizsgálata már összehasonlította a logikai gondolkodás összekapcsolási struktúráit a numerikus algebrával és annak számtani módszereivel. Gottlob Frege a " Begriffsschrift előtt" elvetette az első tisztán formális axiomatikus logikai rendszert, amellyel az aritmetika alaptörvényeibe megpróbálta a matematikát pusztán logikai axiómákra alapozni, azzal, hogy megpróbálta a szám fogalmát a kiterjedéseken és a relációk feltérképezésén alapulva. Frege rendszere azonban lehetővé tette Russell antinómiájának levezetését . Ezt a problémát egyrészt a típuselmélettel, másrészt a halmazelmélet axiomatikájának kiegészítésével oldották meg.

Ezzel alapján a David Hilbert és Wilhelm Ackermann, a logikát algebraized . A formalizmus álláspontja szerint nagyjából minden olyan halmaz, amely formálisan kielégíti a Peano-axiómákat (az axiómák modelljét képviseli), megfelel a természetes számoknak. A modellelmélet különösen az axiomatizált nyelveknek vagy elméleteknek megfelelő ilyen struktúrákkal foglalkozik. A modell olyan struktúrákból álló halmaz, amelyekre a rendszer axiómái vonatkoznak. Formálisan a modellek egy elemi nyelv feletti struktúrák , amelyekben az axiómák megfogalmazódnak. A bizonyítási elméletben a strukturális bizonyítási eljárás fontos számítási alapot képez, mint bizonyítási elmélet. A bizonyítékokat általában induktívan meghatározott adatstruktúrákként , például listákként vagy fákként ábrázolják . A formális logika az elméleti számítástechnika egyik kiindulópontját képezi a kiszámíthatóság elméletén keresztül (lásd még a kiszámíthatóságot ).

Az absztrakt csoport kifejezés segítségével az absztrakt algebrai struktúrát egy vagy több (objektumok, elemek vagy szimbólumok) alaphalmaza, valamint ezeken az alaphalmazokon végzett műveletek, relációk és függvények definiálhatnák . „ Emmy Noether , [Emil] Artin és iskolájuk algebrasztikusainak, mint Hasse, Krull, Schreier, van der Waerden vitathatatlan érdeme volt a modern algebra, mint algebrai struktúrák elméletének koncepciójának teljes megvalósítása a 1920-as évek. „Ezek a struktúrák végül függetlenek voltak a platonisták, formalisták és intuicionisták közötti alapvető vita döntésétől.

Már Frege rendszerében maguk a predikátumok is magasabb rendű predikátumok (és így tovább) révén válhatnak a predikció tárgyává. Ennek alapján a matematika nagy területei már kifejezhetők a matematikai logikában. A relációs jelek, függvényjelek vagy konstansok ezután alkotják a nyelv típusát, amely egyenértékű az algebrai struktúra típusával. Az 1940 körül zajló matematikai és logikai vita során kialakult egy „strukturális álláspont”, amely a matematikát a matematikai didaktikával kapcsolatban strukturális tudománynak nyilvánította, és amely 1955-től kezdve didaktikailag hatékony lett.

A Nicolas Bourbaki csoport egy 1950-ben publikált cikkében végül kijelentette, hogy a matematika teljes egységének biztosításához megfelelő eszközök állnak rendelkezésre.

Számítástechnika

Az elméleti számítástechnika fejlődése az 1930-as évek körül kezdődött. Az informatika alapfogalma az algoritmus matematikai fogalma , amely cselekvési szabály, amely véges számú lépésből áll egy matematikai probléma megoldásához. Az algoritmusok fogalmához kapcsolódik a kiszámíthatóság fogalma , amelyhez különféle matematikai formalizációkat és elemzési módszereket fejlesztettek ki a kiszámíthatóság elméletében . A számítástechnikában is az objektumosztályok szerkezeti tulajdonságait formális szinten kutatják, anélkül, hogy figyelembe vennénk, hogy mely konkrét objektumok vannak ennek a struktúrának alárendelve, és hogy egyáltalán meg lehet-e konstruálni ezeket a valóságban, bár a konstruktivitás követelménye minden bizonnyal megfogalmazható. a fegyelemtől függően.

A klasszikus matematikától idegen fogalom az adatszerkezet fogalma , amely az algoritmusok mellett központi szerepet játszik a számítástechnikában. Az algoritmusok, adatstruktúrák és vizsgálatok időbeli és térbeli ábrázolása, amelyek szükségesek a végrehajtáshoz és tároláshoz, az elméleti számítástechnika külön hozzájárulása a szerkezeti tudományokhoz.

A számítástechnika sajátos alapstruktúrái a számítógépes struktúrák területén tartalmazzák a Von Neumann architektúrát (1945 óta) vagy annak ellentétét, a nem Von Neumann architektúrákat (például párhuzamos számítógépek ).

Az összes strukturált programozás alapja, amely ma is érvényes, a szekvencia, az elágazás és a hurok három vezérlő struktúrája . A vizualizáláshoz folyamatábrákat , strukturált diagramokat (1972 óta) vagy UML diagramokat (1997 óta) használnak.

A szerkezettudomány további fontos impulzusokat köszönhet a számíthatóság-elmélet témáinak , a dönthetőség kérdésének és a komplexitáselméletnek . Az automata elmélet vizsgálata , különösen a sejtautomata vizsgálata , a mai napig progresszív jelleget mutat, nem utolsósorban a tudományos magyarázó modellek területén.

Komplexitáskutatás és rendszerelmélet

1971-ben Carl Friedrich von Weizsäcker kibővített kifejezést hozott létre a szerkezeti tudományok számára: „A szerkezeti tudományok nemcsak a tiszta és alkalmazott matematikára fognak utalni, hanem a tudományok azon területére is, amelyet szerkezetében még nem teljesen értenek, és amely olyan nevekkel ismert, mint a rendszerelemzés, az információelmélet, a kibernetika, az úgynevezett játékelmélet. Mintha azok az időbeli folyamatok matematikája, amelyeket emberi döntés, tervezés, struktúrák, [...] vagy végül véletlenül vezérelnek. Tehát ezek az időbeli változás strukturális elméletei. A legfontosabb gyakorlati segítséged a számítógép, amelynek elmélete maga is az egyik szerkezeti tudomány. Aki elő akarja mozdítani a tudomány fejlődését egy országban, annak prioritásként kell előmozdítania ezeket a tudományokat, mert ezek mintha egy új tudatszintet jelölnének. "

Az 1970-es és 1980-as években a szinergetika , az önszerveződés elmélete és a káoszelmélet, a strukturális tudományokhoz rendelhető további területek gyors emelkedést tapasztaltak. A komplexitáskutatás keretében a rendszer koncepciója központi szerepet játszik. A rendszerek kezdetben struktúrákon keresztül szervezik és tartják fenn magukat. A struktúra leírja a rendszerelemek mintázatát és azok kapcsolati hálózatát, amelyek révén a rendszer létrejön, működik és fenntartható. A rendszer felépítésével a rendszer elemeinek egészét, azok működését és egymáshoz való viszonyát értjük. De a rendszerelméletben a rendszer felépítése , a rendszer viselkedése és a rendszer fejlesztése kölcsönösen függ . Ezért a struktúra mellett további axiómákat vezetnek be a rendszerelméletben, amelyek tartalmazzák a rendszer határait (a rendszer és a környezet megkülönböztetését), de mindenekelőtt a rendszer tulajdonságait, például stabilitást, dinamikát, linearitást stb. Ezenkívül a rendszer szempontjából lényeges, hogy a megfelelő rendszerelemek teljesítsenek egy rendszerfunkciót (rendszercél, rendszercél), és funkcionálisan differenciálódjanak. Az első formalizált rendszerelméletek 1950 körül alakultak ki. Az ilyen modellelméletek alkalmazása lehetővé teszi a bonyolult folyamatok szimulációját, ezért számos egyéni tudományban, de mindenekelőtt a biológiában volt a cél az 1970-es és 1980-as években.

Ötlet, formalizálás és matematikai struktúrák példái

A matematikai szerkezet fogalmáról

Mindenekelőtt megjelent a "modern algebra koncepciója mint algebrai struktúrák elmélete", amelyet ma is gyakran tanítanak strukturális matematikaként. Ezután a Bourbaki-csoport az egész matematikát "struktúrák doktrínájaként" fejlesztette ki egy átfogó szerkezeti tudomány értelmében. A matematikai szerkezet fogalmának azonban csak korlátozott mértékben van köze a köznyelvi szerkezet fogalmához . A matematika sokkal pontosabban fogalmazza meg ezt a kifejezést annak formalizálása kapcsán. A matematikai struktúrák hierarchiája például az algebrai és a topológiai struktúrákat tartalmazza .

Az M halmaz szolgál minden matematikai struktúra alapjául, amelynek elemei kezdetben semmilyen módon nem kapcsolódnak egymáshoz, például az M = {1,2,3,4,5} halmaz, ahol az elemek nem feltétlenül számok. Az S szerkezetet lenyűgözi ez az M halmaz, amelyet vivőhalmaznak nevezünk. Ezért egy matematikai struktúra (M, S) -vel rendezett párként ábrázolható az "S szerkezettel ellátott M halmaz" rendszer számára. Ehhez használhatunk például egy sorrend relációt, amely megmutatja, hogy mely elemek kapcsolódnak másokhoz, vagy melyek elszigeteltek maradnak. Az M halmaznak akkor van egy bizonyos S szerkezete.

A matematikai szerkezet formális meghatározása:

A szerkezet egy négyszeres egy A halmazból, valamint az I alapkapcsolatok családja , az egyik J alapfunkció és a K konstans.

Én, J és K is lehet üres vagy végtelen . Az I, J és K nélküli szerkezet tehát triviálisan ismét maga a vivőhalmaz. A társított halmazok nélküli tiszta kapcsolati halmazokat ezért nem definiáljuk matematikai struktúrákként, hanem csak elemi szerkezeti komponensként elemezhetjük külön.

Komplex struktúrák és rendszertudomány

A szerkezeti tudományok viszonylag fiatal ágai manapság összetett és hiperkomplex struktúrákkal foglalkoznak. Ezeknek a struktúráknak az érdeklődését elsősorban nem az új matematikai modellek iránti vágy motiválta, hanem a természetes struktúrák megértésének vágya. Jelenleg ezért sok megfelelő terület található az alkalmazott matematika és a hagyományos természettudományok és mérnöki tudományok között. Egyes területek ma már meglehetősen formalizáltak, mások pedig félig formalizáltabbak.

Ilyenek például a rendszertudomány részei ( rendszerdinamika , fenntarthatóság ), a rendszer gondolkodási iskolái ( Vester , Senge ), a felmerülő rendszerek szenzor-motor szakasz modellje a vezérlés, a funkció és a helyzet köréből , valamint az életképes rendszermodell vagy a kibernetika megközelítései Tekintsük a rendet .

Kapcsolat a természettudományokkal, az emberi és a társadalomtudományokkal

Természettudományok

Az absztrakt matematikai modellalakzatok napjainkban is megtalálhatók a természettudomány minden ágában, így ésszerűnek tűnhet , ha strukturális tudományként a módszertan általános elemévé teszik őket. Például a fizika szempontjából fontos, hogy a lehető legáltalánosabb struktúrákból halásszák ki azokat, amelyekre a kísérleti folyamatok leírásához szükség van. Ezután matematikai következtetéseket lehet levonni az adott struktúrából, amelyek igazolható következményekkel járnak a vizsgálat tárgyára nézve.

A differenciálgeometria szempontjából a fizikai elméletek véges számú dimenzióval rendelkező differenciálható sokaságok . Matematikailag nézve még a fázistér is különleges sokaság. Ez az ismeret lehetővé teszi az olyan vizsgálatok elvégzését, mint az integrálható és a nem integrálható dinamikus rendszerek közötti különbség, és ezt néhány évig részletesebben vizsgálták a káoszelmélet formájában .

Továbbá a csoport fogalma rendkívül fontos lett a modern fizikában. A csoportelmélet , a rendelkezésre álló matematikai eszközök, amelyekkel a szimmetriák megvizsgálhatók. Egy fizikai rendszerről azt mondjuk, hogy szimmetrikus egy transzformációval szemben, ha az átalakítás alkalmazása miatt nem változik. A szimmetriák különösen fontosak a Noether-tétel keretében (amelyet 1918-ban fogalmazott meg Emmy Noether ), mert változatlanságot és ezáltal konzervált mennyiséget eredményeznek.

A vegyi anyag alkalmazható a szerkezettudományok számára, mivel 1865 az elmélet szerkezete ( Friedrich August Kekule uralkodása alapján) a kémia területén. Eszerint a kémiai tulajdonságokat a molekulák belső szerkezete magyarázza (ezért a kémia egyik fontos alkalmazása a szerkezeti képletek létrehozása ). Ez megteremtette az alapot a fizika különleges közelségéhez is, amely lehetővé tette a kémiai kötések értelmezését az atomok kapcsolódási képességeként. Amennyiben a kémia megvizsgálja az atomok kötéseit a külső elektronhéjon keresztül, amelyek atom- és molekulaszerkezetük miatt kémiai kötéseken belül nagyon különböző kötési erőket és típusokat képesek megvalósítani, a természeten belüli adott szerkezetekkel foglalkozik.

Belül biológia , szerkezeti biológia foglalkozik az építési hierarchikusan szervezett struktúrák élőlények származó makromolekulák a sejtek , szervek , szervezetek , biocenoses és bioszférákat . Az élőlények egyes építőkövei, valamint a populációkban vagy más közösségekben élő egyének egymással és a fizikai-kémiai környezettel való kapcsolattartásban vannak.

Ebben az összefüggésben különösen releváns az a kérdés, hogy bizonyos struktúrák mennyire hordozzák a megjelenő tulajdonságokat. Míg a strukturális elemzés egyrészt megígéri az alapvető fizikai erők, a kémiai vegyületek és a szerves élet közötti átmenet megvilágítását, másrészt vannak olyan rendszertudományi megközelítések is, amelyek strukturálisan is érthetők.

A rendszerfizikát például a komplex rendszerek fizikájának kutatásával összefüggésben végzik a Max Planck Komplex Rendszerek Fizikai Intézetében. A nemlineáris rendszerdinamika területeit kutatják, a fizikai alapokat gyakran a statisztikai fizika modelljei biztosítják .

A rendszerbiológia a biológiai tudomány egyik ága, amely a biológiai szervezetek egészének megértésére törekszik. A cél az, hogy integrált képet kapjunk minden szabályozási folyamatról minden szinten, a genomtól a proteomon át , az organellákig, az egész szervezet viselkedéséig és biomechanikájáig. Az ehhez szükséges alapvető módszerek a rendszerelméletről és annak részterületeiről származnak . Mivel azonban a rendszerbiológia matematikai-analitikai oldala nem tökéletes, gyakran számítógépes szimulációkat és heurisztikákat alkalmaznak kutatási módszerként. Az élet matematikai formalizálására tett kísérletek megtalálhatók többek között. Robert Rosen- nel , aki az anyagcserét és a javulást vagy a replikációt az élőlények fő jellemzőjeként írja le relációs biológiája kapcsán .

Például a természettudományokat támogató, a természettudományok integrált eredményeire a szervezett struktúrák megjelenésének leírása során a Manfred Eigen kutatási eredményei , amelyek a molekuláris biológiában vették kezdetüket , valamint az Illya Prigogine strukturális tudományos eredményei és Herman Haken, amely a termodinamika szempontjaival kezdődött. Az önszerveződés ( Ilya Prigogine ) és a szinergetika ( Hermann Haken ) paradigmája lehetővé tette a biológiai evolúció, mint a struktúrák evolúciójának összekapcsolását a fizikával. Korábban a termodinamika 2. törvénye , amely az entrópia növekedését jósolja, ellentmondani látszott a struktúrák spontán kialakulásának. Haken szinergetikai szempontjainak kiindulópontja tehát az a kérdés volt, hogy miért alakulhatnak ki az univerzumban összetett struktúrák, ha csak a termodinamika második törvénye érvényesül. Azt írja róla:

Humán és társadalomtudományok

A filozófiában mindenekelőtt a strukturalizmus és a struktúra tudományos alapjainak realizmusa megvalósításának gondolati iskolái alkalmazhatók. A strukturalizmus az interdiszciplináris módszerek és kutatási programok gyűjtőfogalma, amelyek a kulturális szimbólumrendszerek nagyrészt öntudatlanul működő mechanizmusaiban vizsgálják a struktúrákat és kapcsolatokat. A strukturalizmus az egész logikai prioritását érvényesíti a részekkel szemben, és megpróbálja felfogni a jelenségek belső struktúráját. A strukturális realizmus filozófiai területe episztemikus változatában felveti azt az elméletet, miszerint minden tudományos elmélet a világ struktúráira hivatkozik, az ontikus változat azt állítja, hogy a világ csak struktúrákból áll, és megvizsgálja a kapcsolatok létének és kialakulásának lehetőségeit. és fizikai) tárgyakat, vagy azt is megkérdezi, hogy csak saját dia nélküli kapcsolatok létezhetnek-e.

A filológián belül a központi szerkezettudományi elmélet a nyelvészet vagy a nyelvészet, a szerkezettudomány szempontjából ez a szemiotika egyik részterülete . A nyelvészek ugyanakkor részben azt az álláspontot képviselik, hogy a nyelvészet ebből a részterületből már önálló szerkezettudománysá fejlődött. Szerkezettudományi szempontból a nyelvészet feltételezi, hogy tárgya, nyelve strukturált. Ennek érdekében módszertani eljárásokat dolgoz ki ezeknek a struktúráknak a feltárására, és elméleteket állít össze, amelyek ezeket a struktúrákat kívánják ábrázolni.

A szociológia , a szociológiai rendszerek elmélete a Niklas Luhmann számít például egy szerkezeti-tudományos elmélet épület, ami viszont nyúlik vissza megfontolások strukturális funkcionalizmus és a rendszer funkcionalizmusa Talcott Parsons . A társadalmi rendszerek strukturális és funkcionális elemzéséhez Parsons kifejlesztette az AGIL sémát , amely rendszerezi a struktúra fenntartásához szükséges funkciókat. A rendszerek elmélete szerint Niklas Luhmann egy filozófiai-szociológiai kommunikációelmélet univerzális állítás, amellyel a társadalom leírandó és magyarázni, mint a komplex kommunikációs rendszert. A kommunikáció olyan műveletek, amelyek lehetővé teszik a társadalom különböző társadalmi rendszereinek megjelenését, átengedését, fenntartását, megszüntetését, megkülönböztetését, behatolását és összekapcsolását strukturális összekapcsolódás révén . Luhmann szerint a társadalmi rendszerek jelentést feldolgozó rendszerek. Luhmann szerint az "értelem" az a név, amelyet a társadalmi (és pszichológiai) rendszerek bonyolultságának csökkentésére adnak. A társadalmi rendszer határa tehát egy komplexitási gradienst jelöl a környezettől a társadalmi rendszerig. A szociális rendszerek a legösszetettebb rendszerek, amelyeket a rendszerelméletek képesek kezelni. Egy társadalmi rendszerben a komplexitás csökkentése a környezettel összehasonlítva magasabb rendet teremt kevesebb lehetőséggel. A komplexitás csökkentésével a társadalmi rendszerek közvetítenek a határozatlan világú komplexitás és a pszichés rendszerek komplexitás-feldolgozó képessége között.

A lipcsei iskola gestalt-pszichológiája , amely irányt Felix Krueger alapított a 20. század elején, a mechanikus-materialista pszichofizika antitézisének tekintette magát . A pszichológia megközelítése, amelyet jobban a számítástechnika alapjai vezérelnek, megtalálható a konstruktivizmusban .

web Linkek

• Honlapja Frege Központ strukturális Sciences a Friedrich Schiller Egyetem Jena
• Tiszta és Alkalmazott Szerkezettudományi Kompetencia Központ

Egyéni bizonyíték

1. ^ Helmut Balzert: Tudományos munka. 2008, 46. o.
2. ↑ Lásd például: http://cs.bsu.edu.az/en/content/faculty_of_applied_mathematics_and_cybernetics .
3. ↑ http://www.tu-ilmenau.de/studieninteressierte/studieren/bachelor/technische-kybernetik-und-systemtheorie/
4. ↑ itt: B.-O. Küppers (Szerk.), A valóság egysége, München 2000: 89-105. O., Online (PDF; 206 kB); 20-22
5. ↑ CF v. Weizsäcker: A természet egysége. 1971, 22. o.
6. ↑ Reiner Winter: A formális logika alapjai. 2001, 3-6.
7. ↑ Wußling, Hans: előadások a matematika történetéről; 1998, 281. o
8. ↑ Köck, Michael: A matematika - a természettudomány terméke? 2011, 31. o
9. ^ Bourbaki, Nicolas: A matematika építészete. Amer. Math. Havi 67; 1950, 221–232
10. ↑ CF v. Weizsäcker: A természet egysége; 1971, 22. o
11. ↑ Bernd-Olaf Küppers: Csak a tudás vezérelheti a tudást, 2008, 314. o
12. ↑ Wußling, Hans: Előadások a matematika történetéről 1998, 281. o.
13. ↑ Wußling, Hans: Előadások a matematika történetéről 1998, 283. o
14. ↑ Brock, William, 1992; Vieweg kémiai története, 163. o
15. ↑ A Max Planck Komplex Rendszerek Fizikai Intézetének honlapja
16. ↑ Rosen, Robert; 1991, maga az élet: átfogó vizsgálat az élet természetéről, eredetéről és gyártásáról , Columbia University Press
17. ↑ Glandsdorff, Prigogine; 1971: A szerkezet, a stabilitás és az ingadozások termodinamikája
18. ↑ Haken, Hermann; 1978: Szinergetika, egyensúlyhiányos fázisátalakulások és önszerveződés a fizikában, a kémia és a biológia területén
19. ↑ Haken, Hermann; 1995, Nature sikerének titkai, 12. o